工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析

工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析第一頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日§3.1

工業(yè)機(jī)器人速度雅可比與速度分析第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析一、工業(yè)機(jī)器人速度雅可比矩陣

數(shù)學(xué)上,雅可比矩陣(JacobianMatrix)是一個(gè)多元函數(shù)的偏導(dǎo)矩陣。假設(shè)有六個(gè)函數(shù),每個(gè)函數(shù)有六個(gè)變量,即(3.1)

第二頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日可寫成

Y=F(X)

可簡(jiǎn)寫成

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析將其微分,得

(3.2)

(3.3)

式中,(6×6)矩陣

稱為雅可比矩陣。

第三頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日即

以二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人為例,如圖3-1所示,機(jī)器人的手部坐標(biāo)(x,y)相對(duì)于關(guān)節(jié)變量(θ1,θ2)有圖3-1二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析(3.5)

(3.4)

第四頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析求微分有

(3.6)

寫成矩陣為

(3.7)

第五頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析令

(3.8)

則式(3.8)可簡(jiǎn)寫為

dX=Jdθ

(3.9)

式中,

第六頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析由此可求得

(3.10)

對(duì)于n自由度機(jī)器人,由X=X(q)可知,

其中J(q)是(6×n)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣,稱為n自由度機(jī)器人速度雅可比矩陣。

dX=J(q)dq

(3.11)

矩陣的第i行第j列元素為第七頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日二、工業(yè)機(jī)器人速度分析

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析把式(3.11)兩邊各除以dt,得

(3.12)其中:V——機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度,V=X;J(q)——速度雅可比矩陣;q—機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度。

或

V=J(q)q

(3.13)

第八頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日

若把J(q)矩陣的第1列與第2列矢量記為J1、J2,則3-13式有V=J1θ1+J2θ2,說(shuō)明機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其它關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。

二自由度手部速度為(3.14)

若已知關(guān)節(jié)上θ1與θ2是時(shí)間的函數(shù),θ1=f1(t),θ2=f2(t),則可求出該機(jī)器人手部在某一時(shí)刻的速度V=f(t),即手部瞬時(shí)速度。反之,給定機(jī)器人手部速度,可由V=J(q)q解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度，q=J-1V，式中J-1為機(jī)器人逆速度雅可比矩陣。.

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析第九頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日

逆速度雅可比J-1出現(xiàn)奇異解的情況如下:

①工作域邊界上的奇異:

機(jī)器人手臂全部伸開或全部折回時(shí),叫奇異形位。該位置產(chǎn)生的解稱為工作域邊界上的奇異。②工作域內(nèi)部奇異:機(jī)器人兩個(gè)或多個(gè)關(guān)節(jié)軸線重合引起的奇異。當(dāng)出現(xiàn)奇異形位時(shí),會(huì)產(chǎn)生退化現(xiàn)象,即在某空間某個(gè)方向(或子域)上,不管機(jī)器人關(guān)節(jié)速度怎樣選擇,手部也不可能動(dòng)。

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析第十頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日由式q=J-1V可得，，且，即vx=1m/s，vy=0，因此，可得：

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析解：由公式3.10知，二自由度機(jī)械手速度雅可比為因此，逆雅可比為例3-1如圖3-2所示，二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以1.0m/s速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)為l1=l2=0.5m。設(shè)在某瞬間時(shí)θ1=30°，θ2=-60°，求相應(yīng)瞬間的關(guān)節(jié)速度。圖3-2二自由度機(jī)械手手爪沿X0方向運(yùn)動(dòng)Y0X0Y2X2l1l2θ1θ2v2第十一頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日

綜上所述，在該瞬時(shí)，兩關(guān)節(jié)的位置和速度分別為θ1=30°，θ2=-60°，θ1=-2rad/s，θ2=4rad/s，手部瞬時(shí)速度為1m/s。

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析奇異討論：當(dāng)l1l2s2=0時(shí)，上式無(wú)解。第十二頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日一.機(jī)器人力雅可比矩陣

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析§3.2工業(yè)機(jī)器人力雅可比與靜力計(jì)算(3.15)

其中:τ——廣義關(guān)節(jié)力矩;F——機(jī)器人手部端點(diǎn)力;JT——(n×6)階機(jī)器人力雅可比矩陣,簡(jiǎn)稱力雅可比。

假定關(guān)節(jié)無(wú)摩擦,忽略各桿件的重力,

則有第十三頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日

式(3.15)可用虛功原理證明。證明:如圖3-4所示,各個(gè)關(guān)節(jié)的虛位移組成機(jī)器人關(guān)節(jié)虛位移矢量δqi;末端操作器的虛位移矢量為δX,由線虛位移d矢量和角虛位移δ矢量組成。(3.16)

δq=［δq1δq2

…δqn］T

(3.17)

圖3-4關(guān)節(jié)及末端操作虛位移

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析第十四頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)發(fā)生上述虛位移時(shí),各關(guān)節(jié)力為τi(i=1,2,…，n),環(huán)境作用在機(jī)器人手部端點(diǎn)上的力和力矩分別為-f和-n,由上述力和力矩所做的虛功可以由下式求出:δW=τ1δq1+τ2δq2+…+τnδqn-fd-nδ

(3.18)

或?qū)懗?/p>

δW=τTδq-FTδX

(3.19)

根據(jù)虛位移原理,機(jī)器人處于平衡狀態(tài)的充分必要條件是對(duì)任意的符合幾何約束的虛位移,有δW=0,又因dX=Jdq,代入得δW=τTδq-FTδX=τTδq-FTJδq=[τ-JTF]Tδq

(3.20)

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析第十五頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日式中,δq表示幾何上允許位移的關(guān)節(jié)獨(dú)立變量,對(duì)任意的δq,欲使δW=0成立,必有τ=JTF

(3.21)

式中,JT與手部端點(diǎn)力和廣義關(guān)節(jié)力矩之間的力傳遞有關(guān),稱為機(jī)器人力雅克比。機(jī)器人力雅克比正好是速度雅克比的轉(zhuǎn)置。

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析第十六頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日二.機(jī)器人靜力計(jì)算的兩類問題

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析

從操作臂手部端點(diǎn)力F與廣義關(guān)節(jié)力矩τ之間的關(guān)系式τ=JTF可知,操作臂靜力計(jì)算可分為兩類:

(1)已知外界對(duì)手部作用力F′,求滿足靜力平衡條件的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τ(τ=JTF)。

(2)已知關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τ,確定機(jī)器人手部對(duì)外界環(huán)境的作用力F或負(fù)荷質(zhì)量(逆解,即求解F=(JT)-1τ)。當(dāng)自由度n>6時(shí),力雅可比可能不是方陣,JT沒有逆解,一般情況下不一定能得到惟一的解。第十七頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日例3-2由圖所示的一個(gè)二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)械手，已知手部端點(diǎn)力F=[FxFy]T,求相應(yīng)于端點(diǎn)力F的關(guān)節(jié)力矩（不考慮摩擦）。

第3章工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析圖3-5手部端點(diǎn)力F與關(guān)節(jié)力矩TY0X0l2l1τ2τ1FyFFxΘ2=90°Θ1=0°F=[FxFy]TY0X0l1l2τ1τ2Θ1Θ2(a)(b)第十八頁(yè)，共十九頁(yè)，2022年，8月28日已知該機(jī)械手的速度雅可比為：則該機(jī)械手的力雅可比為：根據(jù)τ=JTF，得：所以τ1=-(l1s1+l2s12)Fx+(l1