第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路

第二單元動態(tài)電路的相量分析和s域分析

動態(tài)電路的“變換（域）”分析法

——相量分析法s域（復頻域）分析法2.阻抗和導納的概念及計算

——相量模型相量分析相量圖3.其他內(nèi)容

——功率三相電路多頻耦合電感等第5章正弦穩(wěn)態(tài)相量分析一、變換方法相量的概念二、兩類約束的相量形式三、阻抗導納相量模型四、正弦穩(wěn)態(tài)電路分析5.1正弦電量及穩(wěn)態(tài)響應1.正弦電量的表示瞬時值表達式i(t)=Imcos(wt+y)ti0T頻率f

：每秒重復變化的次數(shù)。周期T

：重復變化一次所需的時間。單位：赫(茲)，Hz單位：秒，S波形——三要素1）表示變化快慢的量：T、f、ω角頻率ω

：每秒重復變化的角度。單位：弧度/秒，rad/Sω

=2πf，f=ω/2πti02）表示大小的量：——瞬時值i、最大值Im、有效值I有效值——方均根值。幅度瞬時值3）表示起點和相位：——初相位ψ、相位ωt+ψ

在瞬時表達式i(t)=Imcos(ωt+ψ)中，(ωt+ψ)決定了i(t)隨時間的變化進程——相位（角）。當t=0時，(ωt+ψ)=ψ——初相位（角），定義為正最大值超前計時0點的相角。ψ>0同一個正弦量，計時起點不同，初相位不同。一般規(guī)定：||

。=0>0<0ot注意iii2.正弦響應1）在圖中施加以正弦激勵：u(t)=Umcos(wt+y),t>=0則有：對微分方程求解得到電路的瞬時響應：和穩(wěn)態(tài)響應：見P231，圖6-67所示2）若uc(0)≠0

則可得：0輸入相應0狀態(tài)響應瞬態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應5.2變換方法及相量——將復雜問題變換為更簡單的問題求解原問題結(jié)果變換域（更簡單的）變換域的解直接求解（復雜）變換求解反變換求解過程一般有三個步驟：即：變換、求解、反變換5.2.2復數(shù)的復習1.復數(shù)的表示形式FbReImao|F|下頁上頁代數(shù)式指數(shù)式極坐標式三角函數(shù)式返回用歐拉公式展開幾種表示法的關系：或2.復數(shù)運算加減運算——

采用代數(shù)式，實部、虛部分別相加減。下頁上頁FbReImao|F|返回則

F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)若

F1=a1+jb1，F(xiàn)2=a2+jb2圖解法下頁上頁F1F2ReImoF1+F2-F2F1ReImoF1-F2F1+F2F2返回乘除運算——

采用極坐標式，模相乘除，幅角相加減。若

F1=|F1|1，F(xiàn)2=|F2|2則:下頁上頁模相乘角相加模相除角相減返回例1

解下頁上頁例2解返回④旋轉(zhuǎn)因子復數(shù)

ejq

=cosq+jsinq=1∠qF?ejqFReIm0F?ejq下頁上頁旋轉(zhuǎn)因子返回二復數(shù)相等——實部虛部分別相等；二復數(shù)共軛——實部相等，虛部等值異號；復數(shù)為0——實部虛部均為0。

+j,–j,-1

都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。特殊旋轉(zhuǎn)因子ReIm0下頁上頁注意返回5.2.3振幅相量P91.問題的提出在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各支路的響應與激勵為同頻率正弦波，需要完成兩個同頻正弦電量的相加：如KCL、KVL方程運算：i1i1+i2i3i2www角頻率

同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只需確定初相位和幅度即可。因此采用正弦量復數(shù)下頁上頁I1I2I3有效值123初相位變換的思想tu,ii1

i2oi3結(jié)論返回引入一個復函數(shù)對F(t)取實部

任意一個正弦時間函數(shù)都有唯一與其對應的復數(shù)函數(shù)。無物理意義是一個正弦量有物理意義2.正弦量的相量表示下頁上頁結(jié)論返回利用歐拉公式展開F(t)包含了三要素：Im、、，復常數(shù)包含了兩個要素：Im,

。F(t)還可以寫成復常數(shù)下頁上頁正弦量對應的相量相量的模表示正弦量的最大值（振幅）相量的幅角表示正弦量的初相位注意返回同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系：已知例1試用相量表示i,u.解下頁上頁例2試寫出電流的瞬時值表達式。解返回根據(jù)線性電路的比例性，寫成振幅或有效值是同樣的關系。在復平面上用向量表示相量的圖

相量圖下頁上頁q+1+j返回5.3兩類約束的相量形式5.3.1.線性性質(zhì)——若干同頻正弦量線性組合的相量等于各正弦量相量的線性疊加?！l正弦量之和仍為同一頻率正弦量。同頻率正弦量的加減相量關系為：i1i2=i3下頁上頁例返回借助相量圖計算+1+j首尾相接下頁上頁+1+j返回正弦量的微分、積分運算微分運算積分運算下頁上頁返回例用相量運算：把時域問題變?yōu)閺蛿?shù)問題；把微積分方程的運算變?yōu)閺蛿?shù)方程運算；可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路。下頁上頁Ri(t)u(t)L+-C相量法的優(yōu)點返回①正弦量相量時域頻域相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變線性電路。③相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。正弦波形圖相量圖下頁上頁注意不適用線性線性w1w2非線性w返回5.3.2基爾霍夫定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對應的相量形式來進行計算。因此，在正弦電流電路中，KCL和KVL可用相應的相量形式表示：

流入某一節(jié)點的所有正弦電流用相量表示時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時仍滿足KVL。下頁上頁表明返回KCL相量形式KVL相量形式5.3.3單一元件VCR的相量形式阻抗/導納1.電阻元件VCR的相量形式時域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值關系相位關系R+-URu相量關系：UR=RIu=i下頁上頁返回歐姆定律相量形式瞬時功率

波形圖及相量圖

itouRpRu=iURI

瞬時功率以2交變，始終大于零，表明電阻始終吸收功率同相位下頁上頁返回時域形式：相量形式：相量模型相量關系：2.電感元件VCR的相量形式下頁上頁有效值關系：

U=wLI相位關系：u=i+90°

i(t)uL(t)L+-jL+-返回歐姆定律相量形式L的阻抗單位：歐姆感抗的性質(zhì)表示限制電流的能力；感抗和頻率成正比。wXL相量表達式XL=L=2fL，稱為感抗，單位為

(歐姆)BL=-1/L=-1/2fL，

稱為感納，單位為S

感抗和感納下頁上頁返回功率t

iouLpL2

瞬時功率以2交變，有正有負，一周期內(nèi)剛好互相抵消，表明電感只儲能不耗能。i波形圖及相量圖電壓超前電流900下頁上頁返回時域形式：相量形式：相量模型iC(t)u(t)C+-+-相量關系：3.電容元件VCR的相量形式下頁上頁有效值關系：

IC=wCU相位關系：i=u+90°

返回歐姆定律相量形式C的阻抗單位：歐姆XC=-1/wC，

稱為容抗，單位為(歐姆)BC

=wC，

稱為容納，單位為

S

容抗和頻率成反比

0，|XC|

直流開路(隔直)w，|XC|0

高頻短路w|XC|容抗與容納相量表達式下頁上頁返回功率t

iCoupC

瞬時功率以2交變，有正有負，一周期內(nèi)剛好互相抵消，表明電容只儲能不耗能。u波形圖及相量圖電流超前電壓900下頁上頁2返回4.阻抗/導納歐姆定律的相量形式1）由前述得到的RLC元件的伏安關系：引入阻抗/導納的概念，即：2）則前述三式可寫成相同的形式：歐姆定律的相量式3）結(jié)合前述有：——兩類約束均與直流電路具有相同的形式例1試判斷下列表達式的正、誤。L下頁上頁返回例2已知電流表讀數(shù)：A1＝8A下頁上頁＝6AA2A1A0Z1Z2A2A0＝?＝I0max=?A0A0＝I0min=?＝?A2A0＝A1解返回5.4相量模型——與電阻電路分析方法的類比1.變換關系模型時域相量模型結(jié)構(gòu)約束元件約束R元件約束C元件約束L變換方法：時域→相量模型→復數(shù)解→時域解變換復數(shù)運算反變換1.變換關系2.方法（步驟）例8-11P27，求i(t)已知，us(t)=10cos2tV1）建立相量模型us(t)→電路結(jié)構(gòu)及符號不變RLC→Z2）用類比電阻電路方法求解列KVL：運用VCR：即：得：3）反變換：其中：即，u超前于i，呈感性。例2解相量模型下頁上頁+_15Wu4H0.02Fij20W-j10W+_15W返回下頁上頁j20W-j10W+_15W返回例3解下頁上頁+_5WuS0.2Fi相量模型+_5W-j5W返回5.4.3正弦混聯(lián)電路分析1.RLC混聯(lián)電路的基本關系1）同一元件或網(wǎng)絡的同一端口間Z與Y互為倒數(shù)，即：2）元件的Z與Y關系見P32，表8-1所示，即：ZYRRGCL3）RLC串并聯(lián)：串聯(lián)：并聯(lián)：即：任一無源RLC網(wǎng)絡均可等效為一個阻抗Z或者一個導納Y。例8-13，P33：已知us(t)=40cos3000tV,求i(t)1）相量模型：2）相量計算：3）反變換：i(t)=16cos(3000t-36.9)A例5圖示電路I1=I2=5A，U＝50V，總電壓與總電流同相位，求I、R、XC、XL。解法1令等式兩邊實部等于實部，虛部等于虛部下頁上頁jXC+_RjXLUC+-返回下頁上頁畫相量圖計算jXC+_RjXLUC+-解法2返回例4解下頁上頁j40WjXL30WCBA返回5.4.4相量模型的網(wǎng)孔法和節(jié)點法1.網(wǎng)孔法。例8-15，P36。已知us(t)=10cos1000t,V1）建立相量模型2）列網(wǎng)孔方程聯(lián)解得：3）反變換2.節(jié)點法。例8-16，P37。列出節(jié)點電壓相量方程。節(jié)點1：節(jié)點2：即：5.4.5相量模型的等效——單口網(wǎng)絡的阻抗和導納先來看一個節(jié)點分析的例子，例8-17，P38，求單口網(wǎng)絡的阻抗和導納1）建立相量模型，射角頻率為ω2）外加電源法電路是一個2節(jié)點的并聯(lián)支路，對此列寫節(jié)點方程：消去U1得：整理得：3）的單口網(wǎng)絡的阻抗和導納為：4）結(jié)論：a）單口網(wǎng)絡可等效為一個的阻抗或?qū)Ъ{：b）阻抗或?qū)Ъ{為一個復數(shù)；其實部包含了ω因子，即與頻率有關，反映出電抗元件的影響；其虛部包含了α因子，反映出電阻元件和受控源的影響。C）即，Z和Y的實部和虛部都是由電阻、受控源、電抗元件的參數(shù)和頻率共同決定的。2.相量模型的等效1）阻抗：Noω的VCR為：式中的Z即為單口網(wǎng)絡的輸入（等效）阻抗，它一般為一個復數(shù)，即可表示為：Z=ReZ+jImZ=R+jX其中，R為阻抗的電阻分量，X為阻抗的電抗分量。二者一般均為網(wǎng)絡中所有元件參數(shù)和頻率的函數(shù)，見前例。建立復平面則可表示為：RXZ=R+jX或：則可引入“阻抗三角形”的概念，并有：阻抗的模阻抗角電阻分量電抗分量Z=R+jX2）導納：GBNoω的VCR為：式中的Y即為單口網(wǎng)絡的輸入（等效）導納，它一般為一個復數(shù)，即可表示為：Y=ReY+jImY=G+jB其中，G為導納的電導分量，B為導納的電納分量。二者一般均為網(wǎng)絡中所有元件參數(shù)和頻率的函數(shù)，見前例8-17。Y=G+jB則可引入“導納三角形”的概念，并有：導納的模導納角電導分量電納分量2.相量模型的等效根據(jù)阻抗與導納定義及等效的概念，應有：則：即有：（8-59,60）——可見，G、B均不單純是R或X的倒數(shù)，而是網(wǎng)絡中所有元件參數(shù)及頻率的函數(shù)。同理：則：即有：（8-61,62）——可見，R、XB均不單純是G或B的倒數(shù)，而是網(wǎng)絡中所有元件參數(shù)及頻率的函數(shù)。下頁上頁注意一端口N0的阻抗或?qū)Ъ{是由其內(nèi)部的參數(shù)、結(jié)構(gòu)和正弦電源的頻率決定的，在一般情況下，其每一部分都是頻率的函數(shù)，隨頻率而變；一端口N0中如不含受控源，則有或但有受控源時，可能會出現(xiàn)或其實部將為負值，其等效電路要設定受控源來表示實部；返回下頁上頁注意一端口N0的兩種參數(shù)Z和Y具有同等效用，彼此可以等效互換，其極坐標形式表示的互換條件為返回例1RL串聯(lián)電路如圖，求在＝106rad/s時的等效并聯(lián)電路。解RL串聯(lián)電路的阻抗為：下頁上頁0.06mH50R’

L’返回例2求圖示電路的等效阻抗，

＝105rad/s

。解感抗和容抗為：下頁上頁1mH301000.1FR1R2返回例2圖示電路對外呈現(xiàn)感性還是容性？解1等效阻抗為：下頁上頁33－j6j45電路對外呈現(xiàn)容性返回例8-18如圖所示單口網(wǎng)絡及相量模型，求在ω=4rad/S和ω=10rad/S時的等效模型。解.ω=4rad/S時：∵或：∵

解.ω=10rad/S時：∵或：∵

例4

用疊加定理計算電流解下頁上頁Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3返回下頁上頁Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3+-返回方法1：電源變換解例5下頁上頁Z2Z1Z3Z+-Z2Z1ZZ3返回方法2：戴維寧等效變換求開路電壓：求等效電阻：下頁上頁ZeqZ+-+-Z2Z1Z3返回例6

求圖示電路的戴維寧等效電路。解下頁上頁+_j300+_+_100求開路電壓：j300+_+_5050返回求短路電流：下頁上頁+_j300+_+_100+_100返回5.4.7兩類特殊問題相量圖法

——以幅值和相位差時的問題

在電工、電子技術(shù)的實際應用時，經(jīng)常會只需要計算電量的幅值（振幅或有效值量）和相位差的兩類特殊問題，這時用相量圖法最方便。

做相量圖的關鍵在于，找一個合適的參考電量并以它的方向作為參考方向。例8-23求電表A的度數(shù)?；颍?/p>

已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,

f=50Hz。

求：線圈的電阻R2和電感L2

。方法一、畫相量圖分析。例2解下頁上頁R1R2L2+_+_+_q2q返回下頁上頁q2q返回方法二、其余步驟同解法一。下頁上頁R1R2L2+_+_+_返回5.5正弦穩(wěn)態(tài)功率5.5.1

瞬時功率及能量的概念無源網(wǎng)絡+ui_第一種分解方法；第二種分解方法。下頁上頁返回1.對于一個任意元件或無源單口網(wǎng)絡的瞬時功率有：第一種分解方法：p

有時為正,有時為負；p>0,電路吸收功率；p<0，電路發(fā)出功率；t

iouUIcos

恒定分量。UIcos

(2t－)為正弦分量。下頁上頁返回p最大值恒量≥0變量可+可-to第二種分解方法：UIcos(1-cos2t)為不可逆分量。UIsinsin2t為可逆分量。電阻分量的功率電抗分量的功率可見，p(t)

有兩個分量構(gòu)成：第一部分以UIcosφ平均值按2ω頻率變化，且≥0——電阻消耗的功率；第二部分以±UIcosφ為幅度、2ω為頻率變化的正弦函數(shù)，反應電抗分量的能量交換。2.功率及能量的符號1）能量為功率的積分，即：2）對于p(t)，兩個分量疊加后是可+可-的，其符號意義見P67表9-1uiR+-即，R：PR=UIcos=UIcos0=UI=I2R=U2/RLC：PLC=UIcos=UIcos(±90

）=05.5.23種單一元件的功率及能量1.電阻——平均（有功）功率PP671）平均功率：僅消耗，對外做功，有功功率，單位：W2）實際上對于RLC有：cosj1,純電阻0，純電抗一般地,有：0cos1X>0,j>0,

感性，X<0,j<0,

容性，QL=UIsin=UIsin90=UI=I2XLiuL+-2.電感電容——平均儲能，無功功率QP691）電感的平均儲能：可見：平均儲能為：2）電感的無功功率：——反映電感與外電路能量交換規(guī)模，單位：Var≥0（9-11）QC=UIsin=UIsin(-90)=-UI=

I2XCiuC+-2）電容的儲能及功率：可見：平均儲能為：電容的無功功率：≤0（9-11）——反映電容與外電路能量交換規(guī)模，單位：Var3）電感電容的平均功率：PL、C=UIcos=UIcos(±90)=0——反映電容與電感均不消耗電能。5.5.3無源單口網(wǎng)絡的3個功率1.對任一無源單口網(wǎng)絡有：由電路結(jié)構(gòu)、參數(shù)和頻率決定，一般在2.平均（有功）功率

P，（W）一般，0≤｜｜≤π/2，可見，P≤UI其中，λ=cos

：功率因數(shù)。當=0時，cos=1，P=UI——純電阻，為最大；當0<<π/2時，cos<1，P<UI——感性；當-π/2<<0時，cos<1，P<UI——容性。3.顯然：P=UI*cosφ視在功率S=UI，（VA）——反映網(wǎng)絡能量交換能力（規(guī)模）。4.無功功率Q=UI*sinφ，（Var）感性：>0，QL=UIsin>0；容性：<0，QL=UIsin<0；純組：=0，QL=UIsin=0?？梢姡W(wǎng)絡的無功功率僅由電抗元件產(chǎn)生，電容和電感的無功功率具有相互補償?shù)淖饔?，對于提高cos有益。5.

功率三角形jSPQjZRXjSPQjZRX相似三角形jIIGIBjUURUX例1

三表法測線圈參數(shù)。已知：f=50Hz，且測得U=50V，I=1A，P=30W。解法1下頁上頁RL+_ZWAV**返回解法2又下頁上頁解法3返回已知：電動機

PD=1000W，U=220，f=50Hz，C=30F

cosD=0.8，求：負載電路的功率因數(shù)。例2解下頁上頁+_DC返回6.

功率因數(shù)的提高

設備容量

S

(額定)向負載送多少有功要由負載的阻抗角決定。P=UIcos=Scosjcosj=1,P=S=75kWcosj=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用戶：異步電機

空載cosj

=0.2~0.3

滿載

cosj=0.7~0.85

日光燈

cosj=0.45~0.6設備不能充分利用，電流到了額定值，但功率容量還未被充分利用；1）提高功率因數(shù)意義：S75kVA負載當輸出相同的有功功率時，線路上電流大，I=P/(Ucos)，線路壓降損耗大。j1j22）解決方法：

（1）并聯(lián)電容，提高功率因數(shù)。（2）改進自身設備，比如讓交流異步電動機接近額定負荷使用。i+-uZ分析j1j2

并聯(lián)電容后，原負載的電壓和電流不變，吸收的有功功率和無功功率不變，即：負載的工作狀態(tài)不變。但電路的功率因數(shù)提高了。特點：下頁上頁LRC+_返回并聯(lián)電容的確定：補償容量不同全——不要求(電容設備投資增加,經(jīng)濟效果不明顯)欠過——功率因數(shù)又由高變低(性質(zhì)不同)下頁上頁j1j2返回并聯(lián)電容也可以用功率三角形確定：j1j2PQCQLQ從功率角度看:并聯(lián)電容后，電源向負載輸送的有功UILcos1=UIcos2不變，但是電源向負載輸送的無功UIsin2<UILsin1減少了，減少的這部分無功由電容“產(chǎn)生”來補償，使感性負載吸收的無功不變，而功率因數(shù)得到改善。下頁上頁返回已知：f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos1=0.6，要使功率因數(shù)提高到0.9,求并聯(lián)電容C，并聯(lián)前后電路的總電流各為多大？例解未并電容時：并聯(lián)電容后：下頁上頁LRC+_返回若要使功率因數(shù)從0.9再提高到0.95

,試問還應增加多少并聯(lián)電容，此時電路的總電流是多大？解

cos

提高后，線路上總電流減少，但繼續(xù)提高cos

所需電容很大，增加成本，總電流減小卻不明顯。因此一般將cos

提高到0.9即可。下頁上頁注意返回5.5.4復功率復功率守恒