第4章MATLAB符號計算

MATLAB基礎(chǔ)及應用

第2版主編：于潤偉朱曉慧第4章MATLAB符號計算本章要點符號計算的基本函數(shù)符號微積分符號方程求解4.1符號函數(shù)的計算一、符號變量和符號矩陣函數(shù)：符號變量名=sym（‘表達式’）說明：創(chuàng)建一個符號變量。表達式可以是變量、字符、字符串、數(shù)學表達式或字符表達式等。函數(shù)：syms變量名1變量名2變量名3…說明：一次創(chuàng)建多個符號變量。例4-1創(chuàng)建符號變量。>>clear>>a=sym(‘matlab’)>>b=sym(‘3*x^2+4*x+7’)>>e=[135;246;7911]%創(chuàng)建數(shù)值矩陣>>m=sym(e)%創(chuàng)建符號矩陣（沒加單引號）例4-2創(chuàng)建符號變量和符號矩陣。>>clear>>symsABC//觀察工作窗口>>symsabcd>>n=[abcd;bcda;cdab;dacb]二、常用函數(shù)數(shù)值運行結(jié)果為數(shù)值符號運算結(jié)果為表達式或符號MATLAB運算中，浮點運算速度最快，符號運算占用時間和內(nèi)存比較多，但運算結(jié)果最精確。在默認情況下，當生成符號變量后，利用符號工具箱中提供的函數(shù)進行符號運算。二、常用函數(shù)1．算術(shù)函數(shù)函數(shù)格式說明函數(shù)格式說明symadd(S1，S2)符號表達式S1加上符號表達式S2symdiv(S1，S2)符號表達式S1除符號表達式S2symsub(S1，S2)符號表達式S1減去符號表達式S2sympow(S，p)符號表達式S1的p次冪，p可以是表達式symmul(S1，S2)符號表達式S1乘上符號表達式S2例4-3計算表達式與表達式x-1的和、差、積、商河乘方。>>clear>>symsx>>s1=x^3-1>>s2=x-1>>symadd(s1,s2)%7.0版取消該函數(shù)，而直接運算>>symsub(s1,s2)>>symmul(s1,s2)>>symdiv(s1,s2)>>sympow(s1,s2)2．化簡函數(shù)

函數(shù)格式說明函數(shù)格式說明collect(s，x)合并自變量x的同冪系數(shù)simple(s)尋找表達式的最簡型expand(s)符號表達式s的展開simplify(s)符號表達式的化簡factor(s)因式分解radsimp(s)對含根式的表達式s化簡numden(s)符號表達式s的分式通分horner(s)符號表達式s的嵌套形式例4-4對表達式進行因式分解。>>clear>>symsx>>f=factor(x^3-1)%用例4-5的方式表示例4-5展開三角函數(shù)表達式sin(a+b)。>>clear>>s=sym(‘sin(a+b)’)%用sym函數(shù)創(chuàng)建符號變量>>expend(s)例4-6對表達式f=x(x(x-8)+6)t,分別將自變量x和t的同類項合并。>>clear>>symsxt>>f=x*(x*(x-8)+6)*t;%與上例比又一種表示方法>>collect(f)%按默認的變量x合并>>collect(f,t)%按變量t合并例4-9對表達式f=x/y-y/x進行通分。>>clear>>symsxy>>f=x/y-y/x;>>[m,n]=numden(f)%如果沒有m、n則默認ans為分子例4-10對表達式進行嵌套形式重寫。>>clear>>symsx>>f=x^4+3*^3-7*x^2+12;>>horner(f)%注意觀察什么是嵌套形式3．替換函數(shù)函數(shù)：[R，SYM]=subexpr（S，‘SYM’）說明：用變量SYM（字符或字符串）的值代替符號表達式S中重復出現(xiàn)的字符串，R是返回替換后的結(jié)果。函數(shù)subs的調(diào)用格式：R=subs（S，old，new）說明：該函數(shù)是用新的符號變量new替換原來符號表達式S中的變量old，R是替換后的符號表達式。需要注意的，當變量new是數(shù)值形式時，顯示的結(jié)果雖然是數(shù)值，但事實上還是符號變量，可以用vpa函數(shù)強制求值。例4-11求解并化簡三次方程符號解。>>clear>>t=solve(‘a(chǎn)*x^3+b*x+1=0’)>>[r,s]=subexpr(t,’s’)%可否采用subs例4-12求表達式在x=1時的代數(shù)值。>>clear>>symsx>>s=(3*x^3+x^2-1)/(x^2+1)>>r=subs(s,’x’,’1’)%此處1為符號變量>>vpa(r)%求x=1的值三、可視化符號函數(shù)計算器

在MATLAB的命令窗口輸入funtool，即可啟動可視化符號函數(shù)計算器。4.2符號微積分一、符號極限函數(shù)格式說明limit(s)s為符號表達式。在默認表達式中的自變量趨向于0時的極限。limit(s，a)a為常數(shù)。表達式s中由默認自變量趨向于a條件下的極限。limit(s，x，a)計算符號表達式s在x趨向于a條件下的極限。limit(s，x，a，‘right’)計算符號表達式s在x趨向于a條件下的右極限limit(s，x，a，‘left’)計算符號表達式s在x趨向于a條件下的左極限例4-13分別計算表達式、、、、。先在命令窗口創(chuàng)建符號變量a和x，再分別計算上面各表達式的極限。>>clear>>symsxa;>>limit(1/x,x,0,’right’)>>limit(1/x,x,0,’left’)>>limit(sin(x)/x)>>limit((1+1/x)^x,x,inf,’left’)%注意左右極限>>limit(exp(-x),x,0,’left’)二、符號求導函數(shù)：diff（s，x，n）說明：其中s為符號表達式，x為自變量，n為求導的階數(shù)。例4-14分別計算表達式的一階導數(shù)和三階導數(shù)。>>clear>>symsx>>diff(x^5)>>diff(x^5,3)%x，n都可以默認，自變量為系統(tǒng)默認，如果有多個變量，選擇字母順序表中最接近x的字母作為自變量。默認n為一階導數(shù)。三、符號積分

函數(shù)格式說明函數(shù)格式說明int(s)符號表達式s對于默認自變量的不定積分int(s，x)符號表達式s對于自變量x的不定積分int(s，a，b)符號表達式s對于默認自變量從a到b的定積分int(s，x，a，b)符號表達式s對于自變量x從a到b的定積分表4-8符號積分的函數(shù)格式例4-15分別計算下列表達式的積分。

(1)(2)(3)(4)>>clear>>symsxy>>s=(4-3*x^2)^2;>>int(s)>>int(x/(x+y),x)>>int(x/(x+y),y)>>int(x^2/(x+2),x,1,3)>>double(ans)%以雙精度計算ans四、積分變換

函數(shù)名稱函數(shù)格式說明傅立葉變換fourier(fx，x，t)fx為函數(shù)f(x)的符號表達式、x為自變量、t像函數(shù)F(t)的自變量。結(jié)果為函數(shù)f(x)的傅立葉像函數(shù)F(t)ifourier(Fw，t，x)Fw為函數(shù)F(t)的符號表達式、t為自變量、x為原函數(shù)f(x)的自變量。結(jié)果為函數(shù)F(t)的傅立葉原函數(shù)f(x)拉普拉斯變換laplace(fx，x，t)結(jié)果為函數(shù)f(x)的拉普拉斯像函數(shù)F(t)ilaplace(Fw，t，x)結(jié)果為函數(shù)F(t)的拉普拉斯原函數(shù)f(x)Z變換ztrans(fx，x，t)結(jié)果為函數(shù)f(x)的Z變換像函數(shù)F(t)iztrans(Fw，t，x)結(jié)果為函數(shù)F(t)的Z變換原函數(shù)f(x)例4-16求函數(shù)的傅里葉變換及其逆變換。>>clear>>symsxt>>y=exp(-x^2);>>Ft=fourier(y,x,t)%傅里葉變換>>fx=ifourier(Ft,t,x)%逆變換4.3符號方程求解一、代數(shù)方程

函數(shù)格式說明solve(s)求解符號表達式s=0的代數(shù)方程，自變量為默認自變量solve(s，x)求解符號表達式s=0的代數(shù)方程，自變量為xsolve(s1,s2,…sn，x1,x2,...xn)求解由符號表達式s1,s2,…sn組成的代數(shù)方程組，自變量分別為x1,x2,...xn具體調(diào)用方式：[x1,x2,…,xn]=solve()例4-19求解代數(shù)方程程序：>>clear>>symsabcx>>s=a*x^2+b*x+c；%若將b*x的x換為y會怎樣>>solve(s)%可以換種寫法例4-20求解代數(shù)方程組程序：>>clear>>symsxyz>>s1=2*x^2+y^2-3*z-4>>s2=y+z-3>>s3=x-2*y-3*z>>[x,y,z]=solve(s1,s2,s3)%注意[x,y,z]的使用如果不寫會怎樣后面省去了自變量x，y，z二、微分方程微分方程：y’’+y’+x-10=0MATLAB中的表示方式：D2y+Dy+x-10=0條件的寫法：y’(0)=3用Dy(0)=3表示解方程的函數(shù)：dsolve()函數(shù)：r=dsolve(‘eq’,‘cond’,‘var’)說明：式中eq代表常微分方程，cond代表常微分方程的邊界條件或初始條件，var代表自變量，缺省取系統(tǒng)默認的自變量。該函數(shù)可求解微分方程的特解。函數(shù)：r=dsolve(‘eq1’,‘eq2’…‘eqN’,‘cond1’,‘cond2’…‘condN’,‘var1’…‘varN’)說明：該函數(shù)求解由eq1，eq2，…指定的常微分方程組在條件cond1，cond2，…,condN下的符號解，若不給出初始條件，則求方程組的通解。var1，…，varN為求解變量，缺省取系統(tǒng)默認的自變量。例4-21求微分方程的通解。>>clear>>y=dsolve(‘Dy-(t^2+y^2)/t^2/2’,’t’)%注意式子寫法

例4-22求微分方程的通解和當y(0)=1時的特解。>>clear>>y=dsolve(‘Dy=2*x*y^2’,’x’)%求通解>>y=dsolve(‘Dy=2*x*y^2’,’y(0)=1’,’x’)%求特解這種寫法中t必須存在，若換為=的式子則可以省去可否像前面例子用s來代替這個表達式x不能省去，因為系統(tǒng)默認為t例4-23求微分方程的通解。>>clear>>[x,y]=dsolve(‘Dx=4*x-2*y’,’Dy=2*x-y’,’t’)x,y為要求解的變量，同例4-20一樣不可省略4.4級數(shù)一、級數(shù)的符號求和函數(shù)格式說明函數(shù)格式說明symsum(S)計算符號表達式S（表示級數(shù)的通項）對于默認自變量的不定和。symsum(S，a，b)計算符號表達式S對于默認自變量從a到b的有限和。symsum(S，x)計算符號表達式S對于自變量x的不定和。symsum(S，x，a，b)計算符號表達式S對于自變量x從a到b的有限和。例4-24分別計算表達式、、。>>clear>>symsxk>>symsum(k)>>symsum(k^2-3,0,10)>>symsum(x^k/k,k,1,inf)%如果把k換為x有何結(jié)果，如果求不定和有什么結(jié)果二、函數(shù)的泰勒級數(shù)

函數(shù)格式說明函數(shù)格式說明taylor(s)計算符號表