2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)7正切函數(shù)學(xué)案4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE7正切函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解任意角的正切函數(shù)的定義.2。能畫出y＝tanx（x∈R，x≠eq\f（π,2)＋kπ，k∈Z）的圖像.3.理解正切函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性，及其在區(qū)間（－eq\f(π，2),eq\f(π，2））內(nèi)的單調(diào)性.4。正切函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用．知識點(diǎn)一正切函數(shù)的定義思考1設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(a，b)，那么eq\f（b,a）何時(shí)有意義？思考2正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)有怎樣的關(guān)系？梳理(1）任意角的正切函數(shù)如果角α滿足：α∈R，α≠eq\f（π，2）＋kπ（k∈Z),那么,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(a，b)，唯一確定比值________,我們把它叫作角α的正切函數(shù)，記作y＝________,其中α∈R，α≠eq\f（π,2）＋kπ，k∈Z.（2）正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系根據(jù)定義知tanα＝________（α∈R，α≠eq\f(π,2）＋kπ，k∈Z）．(3）正切值在各象限的符號根據(jù)定義知，當(dāng)角在第____和第____象限時(shí),其正切函數(shù)值為正；當(dāng)角在第____和第____象限時(shí),其值為負(fù)．知識點(diǎn)二正切線思考正切線是過單位圓上哪一點(diǎn)作出的？梳理如圖所示，線段____為角α的正切線．知識點(diǎn)三正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)思考1正切函數(shù)的定義域是什么？思考2能否說正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)？梳理解析式y(tǒng)＝tanx圖像定義域{x｜x∈R,x≠kπ＋eq\f（π，2）,k∈Z｝值域R周期最小正周期是π奇偶性____函數(shù)對稱中心單調(diào)性在開區(qū)間eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π，2）＋kπ,\f（π,2)＋kπ)）（k∈Z)上是增加的知識點(diǎn)四正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式思考前面我們學(xué)習(xí)過π±α，－α，eq\f（π，2)±α，2π±α等的正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，并總結(jié)出“奇變偶不變，符號看象限"的記憶口訣．對正切函數(shù)能適用嗎？梳理函數(shù)角y＝tanx記憶口訣kπ＋αtanα函數(shù)名不變,符號看象限2π＋αtanα－α－tanαπ－α－tanαπ＋αtanαeq\f(π,2）＋α－cotα函數(shù)名改變，符號看象限eq\f(π,2）－αcotα類型一正切函數(shù)的概念例1若角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)A(－eq\f(4,5），m)，且tanθ＝eq\f(3，4），則m＝________.反思與感悟(1)解決本題的關(guān)鍵是熟記正切函數(shù)的定義，即tanα＝eq\f(b，a）.（2）已知角終邊上的一點(diǎn)M（a，b)（a≠0），求該角的正切函數(shù)值,或者已知角α的正切值，求角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，都應(yīng)緊扣正切函數(shù)的定義求解，在解題過程中，應(yīng)注意分子、分母的位置．跟蹤訓(xùn)練1已知點(diǎn)P（－2a，3a)(a≠0）是角θ終邊上的一點(diǎn),求tanθ的值．類型二正切函數(shù)的圖像及性質(zhì)例2畫出函數(shù)y＝|tanx|的圖像，并根據(jù)圖像判斷其單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性．反思與感悟（1)作出函數(shù)y＝｜f（x)|的圖像一般利用圖像變換方法,具體步驟是:①保留函數(shù)y＝f（x)圖像在x軸上方的部分；②將函數(shù)y＝f(x)圖像在x軸下方的部分沿x軸向上翻折．（2）若函數(shù)為周期函數(shù),可先研究其一個(gè)周期上的圖像，再利用周期性,延拓到定義域上即可．跟蹤訓(xùn)練2將本例中的函數(shù)y＝|tanx｜改為y＝tan｜x|,回答同樣的問題，結(jié)果怎樣？類型三正切函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例3求下列各式的值．（1)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；(2）eq\f（tan225°＋tan750°,tan－30°－tan－45°)。反思與感悟(1）熟記誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值是解決此類問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．(2)無條件求值，又稱給角求值，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式將任意的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值．跟蹤訓(xùn)練3化簡:eq\f（sinπ＋α·cosπ－α·tan\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(3π，2）－α)),tan\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，2)＋α))·cos\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3π,2）＋α)）).

1．函數(shù)y＝tan（2x＋eq\f（π,6))的最小正周期是（)A．πB．2πC。eq\f(π,2）D。eq\f（π,6)2．函數(shù)f（x）＝tan（x＋eq\f(π，4)）的遞增區(qū)間為（）A．(kπ－eq\f(π，2），kπ＋eq\f(π，2））,k∈ZB．（kπ，(k＋1)π)，k∈ZC．(kπ－eq\f（3π，4),kπ＋eq\f(π,4)），k∈ZD．(kπ－eq\f（π，4），kπ＋eq\f(3π，4)),k∈Z3．在下列函數(shù)中同時(shí)滿足：①在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2))）上遞增;②以2π為周期；③是奇函數(shù)的是（）A．y＝tanx B．y＝cosxC．y＝taneq\f（x,2） D．y＝－tanx4．taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3π，2)＋α))等于(）A．－cotα B．cotαC．tanα D．－tanα5．比較大小:tan1________tan4.1．正切函數(shù)的圖像正切函數(shù)有無數(shù)多條漸近線，漸近線方程為x＝kπ＋eq\f（π，2），k∈Z，相鄰兩條漸近線之間都有一支正切曲線，且是增加的．2．正切函數(shù)的性質(zhì)(1)正切函數(shù)y＝tanx的定義域是｛x|x≠kπ＋eq\f(π,2）,k∈Z}，值域是R。(2)正切函數(shù)y＝tanx的最小正周期是π，函數(shù)y＝Atan（ωx＋φ）(A，ω≠0)的周期為T＝eq\f（π,|ω｜)。(3）正切函數(shù)在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ)）（k∈Z)上是增加的，不能寫成閉區(qū)間，正切函數(shù)無遞減區(qū)間．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1當(dāng)a≠0時(shí)，eq\f（b,a)有意義．思考2tanα＝eq\f(sinα,cosα）(α∈R，α≠eq\f（π,2）＋kπ，k∈Z）．梳理（1)eq\f(b，a)tanα（2）eq\f(sinα，cosα）（3)一三二四知識點(diǎn)二思考過單位圓與x軸的非負(fù)半軸的交點(diǎn)A(1，0)．梳理AT知識點(diǎn)三思考1{x|x∈R，x≠eq\f(π，2)＋kπ，k∈Z｝．思考2不能．正切函數(shù)y＝tanx在每段區(qū)間eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f（π，2)，kπ＋\f（π,2）））（k∈Z）上是增函數(shù)，但不能說正切函數(shù)在其整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)．梳理奇eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2），0)），k∈Z知識點(diǎn)四思考因?yàn)閠anα＝eq\f(sinα,cosα)（α≠kπ＋eq\f（π,2）），所以口訣對正切函數(shù)依然適用．題型探究例1－eq\f(3，5）跟蹤訓(xùn)練1解由于a≠0，∴tanθ＝eq\f(3a,－2a）＝－eq\f（3，2)。例2解由y＝｜tanx|，得y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(tanx，kπ≤x〈kπ＋\f（π,2）k∈Z，,－tanx,－\f（π，2）＋kπ〈x<kπk∈Z,）)其圖像如圖所示．由圖像可知，函數(shù)y＝|tanx｜是偶函數(shù)，遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f（π,2））)（k∈Z)，遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，kπ))(k∈Z），周期為π.跟蹤訓(xùn)練2解由于y＝tan｜x|＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(tanxx≥0，,tan－xx<0。）)其圖像如下：由圖像可知，函數(shù)y＝tan｜x｜是偶函數(shù)，遞增區(qū)間為［0,eq\f（π，2）)，(kπ－eq\f(π，2),kπ＋eq\f(π,2))(k為正整數(shù))，遞減區(qū)間為(kπ－eq\f（π，2），kπ＋eq\f(π，2)）（k為負(fù)整數(shù)）和(－eq\f(π，2),0），不是周期函數(shù)．例3解(1）原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin（180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°）＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝0－3×1＋1＝－2。(2)原式＝eq\f(tan180°＋45°＋tan2×360°＋30°,－tan30°＋tan45°）＝eq\f(tan45°＋tan30°,tan45°－tan30°）＝eq\f(1＋\f（\r(3)，3