材料力學(xué)第四章彎曲內(nèi)力1

材料力學(xué)6何斌806379258@04二月2023第4章剪力圖與彎矩圖

桿件承受垂直于其軸線的外力或位于其軸線所在平面內(nèi)的力偶作用時(shí)，其軸線將彎曲成曲線，這種受力與變形形式稱為彎曲（bending）。主要承受彎曲的桿件稱為梁（beam）。

在外力作用下，梁的橫截面上將產(chǎn)生剪力和彎矩兩種內(nèi)力。

在很多情形下，剪力和彎矩沿梁長(zhǎng)度方向的分布不是均勻的。

對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，需要知道哪些橫截面可能最先發(fā)生失效，這些橫截面稱為危險(xiǎn)面。彎矩和剪力最大的橫截面就是首先需要考慮的危險(xiǎn)面。研究梁的變形和剛度雖然沒(méi)有危險(xiǎn)面的問(wèn)題，但是也必須知道彎矩沿梁長(zhǎng)度方向是怎樣變化的。

第4章剪力圖與彎矩圖工程中的彎曲構(gòu)件剪力方程與彎矩方程載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系剪力圖與彎矩圖剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖結(jié)論與討論工程中的彎曲構(gòu)件工程中的彎曲構(gòu)件2010年6月6日，中國(guó)選手何姿(右)/吳敏霞在比賽中。當(dāng)日，在江蘇常州進(jìn)行的2010年第17屆國(guó)際泳聯(lián)跳水世界杯女子雙人3米跳板決賽中，何姿/吳敏霞奪冠。

工程中的彎曲構(gòu)件上圖：水閘立柱下圖：跳板彎曲實(shí)例工程中的彎曲構(gòu)件主要約束形式與反力

固定鉸支座：支反力FRx與FRy

可動(dòng)鉸支座：垂直于支承平面的支反力

FR

固定端：支反力

FRx,FRy與矩為

M

的支反力偶工程中的彎曲構(gòu)件FFFF

簡(jiǎn)支梁：一端固定鉸支、另一端可動(dòng)鉸支的梁

外伸梁：具有一個(gè)或兩個(gè)外伸部分的簡(jiǎn)支梁

懸臂梁：一端固定、另一端自由的梁約束反力數(shù)超過(guò)有效平衡方程數(shù)的梁（

Ch12

研究）常見(jiàn)靜定梁靜不定梁常用梁截面縱向?qū)ΨQ面平面彎曲概念縱向?qū)ΨQ面P1P2變形前P1P2變形后第4章剪力圖與彎矩圖工程中的彎曲構(gòu)件剪力方程與彎矩方程載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系剪力圖與彎矩圖剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖結(jié)論與討論梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系FS－剪力M－彎矩梁的內(nèi)力分析方法：截面法剪力－作用線沿所切橫截面的內(nèi)力分量彎矩－矢量沿所切橫截面的內(nèi)力偶矩分量由梁左段平衡求得在m-m截面：注意：設(shè)正法。梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系剪力：使微段有沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為正彎矩：使微段彎曲呈下凹形為正彎矩符號(hào)另一定義：使橫截面頂部受壓為正剪力與彎矩的符號(hào)規(guī)定常規(guī)水平梁的受力模式——彎矩正向梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

假想地將梁切開(kāi)，并任選一段為研究對(duì)象

畫所選梁段的受力圖，F(xiàn)S與

M

宜均設(shè)為正

由

S

Fy

=

0

計(jì)算

FS

由

S

MC

=

0

計(jì)算

M，C

為截面形心任一指定截面剪力與彎矩的計(jì)算思考：均布載荷、集中載荷、集中力偶兩側(cè)剪力是否相等？彎矩是否相等？第4章剪力圖與彎矩圖工程中的彎曲構(gòu)件剪力方程與彎矩方程載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系剪力圖與彎矩圖剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖結(jié)論與討論剪力方程與彎矩方程剪力、彎矩方程：剪力、彎矩沿梁軸（x軸）變化的解析表達(dá)式。

為了建立剪力方程和彎矩方程，必須首先建立Oxy坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x坐標(biāo)軸與梁的軸線一致，坐標(biāo)原點(diǎn)O一般取在梁的左端，x坐標(biāo)軸的正方向自左至右，y坐標(biāo)軸鉛垂向上。

建立剪力方程和彎矩方程時(shí)，需要根據(jù)梁上的外力作用狀況，確定要不要分段，以及分幾段建立剪力方程和彎矩方程。

確定了分段之后，在每一段中任意取一橫截面，假設(shè)這一橫截面的坐標(biāo)為x；然后從這一橫截面處將梁截開(kāi)，并假設(shè)所截開(kāi)的橫截面上的剪力FQ(x)和彎矩M(x)都是正方向；最后分別應(yīng)用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和彎矩M(x)的表達(dá)式，這就是所要求的剪力方程FQ(x)和彎矩方程M(x)。

例題圖示簡(jiǎn)支梁受到三角形分布荷載的作用，最大荷載集度為q0，試求截面C上的內(nèi)力。解：先求支反力xyABalCq0FBFAq0l/2例題截面C的內(nèi)力思考：是否可以將梁上的分布荷載全部用靜力等效后的合力代替來(lái)求截面C的內(nèi)力？FSCMCFAaAa/3例題建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖qqa2aaABCx可以不求支反力建立坐標(biāo)建立剪力彎矩方程：FS=-qx

(0￡

x

￡a)

M=-qx2/2(0￡

x<a)

FS=-qa

(a

￡

x<2a)

M=qa2-qa(x-a/2)(a<x<2a)

$

在集中力偶作用處(包括支座)彎矩有突變第4章剪力圖與彎矩圖工程中的彎曲構(gòu)件剪力方程與彎矩方程載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系剪力圖與彎矩圖剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖結(jié)論與討論載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系微積分關(guān)系的推導(dǎo)取梁一長(zhǎng)dx微段，研究它的平衡q向上為正

x向右為正注意：積分關(guān)系：載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系一、微積分關(guān)系的幾何意義（用于快速畫剪力彎矩圖）1.微分關(guān)系確定線形（Fs斜率=q，M斜率=Fs)q>0，F(xiàn)s上斜；q<0，F(xiàn)s下斜；q=0，F(xiàn)s水平；q=常數(shù)，F(xiàn)s直線。Fs>0，M上斜；Fs<0，M下斜；Fs=0，M水平。2.

積分關(guān)系確定各段起點(diǎn)、終點(diǎn)值（面積關(guān)系）。3.

載荷q的符號(hào)確定M圖的凹凸性。q>0，M凹；q<0，M凸（喻打傘）；q=0，M直線。載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系二、集中載荷情形M右qF左M左F右dxFqF左M左F右M右dxMF左+q(x)dx+F=F右M左+F左dx+Fdx/2+q(x)dx2/2=M右1.集中力處（向上為正）F左+F=

F右，M左

=M右2.集中力偶處（順時(shí)針為正）F左+q(x)dx=F右M左+F左dx+M+q(x)dx2/2=M右F左

=

F右，M左+M

=M右結(jié)論：在集中力處，剪力圖沿集中力方向跳躍（突變）在集中力偶處，彎矩圖跳躍，順時(shí)針力偶向上。第4章剪力圖與彎矩圖工程中的彎曲構(gòu)件剪力方程與彎矩方程載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系剪力圖與彎矩圖剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖結(jié)論與討論例題利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖ABqa/2qa/2a/2aCD1、求支反力：FAy=5qa/8FDy=7qa/85qa/87qa/83、積分關(guān)系求特征點(diǎn)剪力彎矩值：03qa2/85qa2/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85qa/8FsD-C-B+B-A+CDBCAB2次凸曲線斜上斜上M圖斜下水平水平Fs圖q=常數(shù)<0q=0q=0qFSFSABCD+-5qa/8qa/87qa/8MMABCD+3qa2/85qa2/1649qa2/1282、微分關(guān)系確定各段曲線形狀：4、畫剪力彎矩圖：例題：利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖AB2/3qa21/3qa2CD1/3qa2++-ABqaaaaCDqa22/3qa1/3qaAB+2/3qa1/3qaCD-ABa/2--+qaCqaAB5/4qa2qa2qa2C-qaqa22qaaACBqa例題：利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖-剪力圖凸曲線1.載荷的坐標(biāo)圖2.分析剪力圖凹凸性3.求剪力圖零點(diǎn)4.求彎矩圖極值●利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖小結(jié)3次凹曲線(傘）3次凹曲線(傘）2次凹曲線(傘）2次凸曲線

(傘）直線M圖2次凸曲線2次凹曲線Fs圖q(x)=ax+b>0(a<0)q(x)=ax+b>0(a>0)q(x)=c>0q(x)=c<0q(x)=0q線形與外載關(guān)系利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖小結(jié)M圖:斜率Fs=常數(shù)，M直線;Fs>0,上斜；Fs<0,下斜。集中力偶Mo處,M圖按Mo大小跳,Mo順時(shí)鐘上逆下。

各段起終點(diǎn)M值=Fs圖左邊面積+q圖集中力偶值。

Fs=0處,M圖極值點(diǎn)(或拐點(diǎn))

q>0處,M圖凹;q<0處,M圖凸(喻:雨傘)Fs圖:

斜率q=常數(shù),Fs直線;q>0,上斜;q<0,下斜集中力F處,Fs按F大小,方向跳各段起終點(diǎn)Fs值=q圖左邊面積+集中力值(含支反力)校核:

兩圖右邊回零點(diǎn).線形看微分，段值看積分。例：利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖第4章剪力圖與彎矩圖工程中的彎曲構(gòu)件剪力方程與彎矩方程載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系剪力圖與彎矩圖剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖結(jié)論與討論剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖剛架：用剛性接頭連接的桿系結(jié)構(gòu)一、剛架剛性接頭的力學(xué)性質(zhì)：

約束－限制相連桿端截面間的相對(duì)線位移與角位移

受力－既可傳力，也可傳遞力偶矩剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖二、剛架的內(nèi)力及其符號(hào)剛架的內(nèi)力包括軸力、扭矩、剪力和彎矩，其中軸力、扭矩和剪力符號(hào)與前相同。彎矩圖不標(biāo)正負(fù)號(hào)，畫在受壓一側(cè)。認(rèn)為正彎矩觀察者B觀察者A認(rèn)為負(fù)彎矩兩觀察者均會(huì)將圖畫在右側(cè)（受壓側(cè)）注釋：彎矩符號(hào)規(guī)定下凹為正，上凸為負(fù)，與坐標(biāo)方向相關(guān)。無(wú)論是正彎矩，還是負(fù)彎矩按規(guī)定都畫在受壓一側(cè)，與坐標(biāo)方向無(wú)關(guān)。實(shí)際作圖，可任選正向，不標(biāo)正負(fù)號(hào)，即可取得一致：畫在受壓一側(cè)。剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖剛架拆為分段的梁根據(jù)微積分關(guān)系畫圖剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖將分段梁的剪力與彎矩圖合成為剛架總的剪力彎矩圖，彎矩圖不標(biāo)正負(fù)號(hào)。軸力、扭矩、剪力圖符號(hào)是否相同？是否會(huì)畫在同一側(cè)？彎矩圖符號(hào)是否相同？是否會(huì)畫在同一側(cè)？思考：按上述方法畫剛架內(nèi)力圖，例題ABqCaa1、求支反力FAx=qa

FAy=qa/2，F(xiàn)cy=qa/2FAyFAxFCy2、建立局部坐標(biāo)x2x13、分段列內(nèi)力方程：CB段：Fs=-Fcy=-qa/2M=qax1/2FN=0AB段：Fs=qa-qx2

M=qax