第二章光腔與高斯光束

第二章開放式光腔與高斯光束

1利用ABCD矩陣分析光腔穩(wěn)定性2腔與模的關系分析3高斯光束的基本性質4q參數(shù)應用1、開腔：F-P腔：最早提出來的平行平面光腔共軸球面腔(b)2、閉腔：介質腔(a)3、氣體波導激光諧振腔4、光腔的其它分類

折疊腔、環(huán)形腔復合腔－腔內(nèi)加入其它光學元件，如透鏡，F(xiàn)－P標準具等穩(wěn)定腔、非穩(wěn)腔、臨界腔§2.1

光腔理論的一般問題一光腔的構成和分類折疊腔環(huán)形腔染料調Q裝置示意圖§2.1

光腔理論的一般問題駐波條件:波從某一點出發(fā),經(jīng)腔內(nèi)往返一周再回到原來位置時,應與初始出發(fā)波同相二

F-P腔TEMmnq模之縱模——縱模間隔滿足諧振條件的各個頻率是分立的！§2.1

光腔理論的一般問題

腔精細度F及線寬

：腔線寬自由光譜區(qū)（FSR）§2.1

光腔理論的一般問題光學開腔的損耗包括：幾何偏折損耗衍射損耗腔鏡反射不完全所引起的損耗材料中的非激活吸收、散射、腔內(nèi)插入的光學元件或其它物體所引起的損耗三光腔的損耗選擇損耗非選擇損耗1分類§2.1光腔理論的一般問題2平均單程損耗因子定義一：若初始光強為,在腔中往返一次后，光強衰減為，則有：對于多種損耗，則：定義二：單程渡越時光強的平均衰減百分數(shù)說明：當損耗較小時，兩種定義一致?！?.1

光腔理論的一般問題3光子在腔內(nèi)的平均壽命（又叫腔的時間常數(shù)）t時刻的光強為也可看成腔內(nèi)光子的平均壽命。物理意義:當時，可見，越大，越短，腔內(nèi)光子數(shù)衰減越快！§2.1

光腔理論的一般問題設t時刻光子數(shù)密度為N在t～t+dt內(nèi)減少的光子數(shù)密度為這（-dN）個光子的壽命均為t，N0個光子的平均壽命為§2.1

光腔理論的一般問題4無源腔的Q值定義一:腔內(nèi)儲存的總能量單位時間內(nèi)損耗的能量定義二:定義三:激光的單模線寬小結：損耗越大，Q值越小?！?.1

光腔理論的一般問題損耗舉例1：（由鏡反射不完全引起的損耗）初始強度為I0的光，在腔內(nèi)經(jīng)兩個鏡面反射往返一周后，其強度應為當r1≈1，r2≈1時，§2.1

光腔理論的一般問題損耗舉例2：（腔鏡傾斜時的幾何損耗）以D=1cm，L=1m計算，如果要求損耗低于0.01§2.1

光腔理論的一般問題菲涅耳數(shù)損耗舉例3：（衍射損耗）忽略第一暗環(huán)以外的光假設愛里斑內(nèi)光強均勻§2.1

光腔理論的一般問題例CO2激光器的腔長L=100cm，反射鏡直徑D=1.5cm，兩鏡的光強反射系數(shù)分別為r1=0.985,r2=0.8。求由衍射損耗及輸出損耗分別引起的δ、、Q、(設n=1)解：衍射損耗:§2.1

光腔理論的一般問題輸出損耗:§2.1

光腔理論的一般問題§2.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件一、傍軸光線往返傳輸?shù)木仃嚕ˋBCD矩陣）描述1、傍軸光線的坐標描述和矩陣描述(1)坐標描述rqr：光線離光軸的距離：光線與光軸的夾角傍軸光線:tg

sin

正,負號規(guī)定：q>0q<0q<0(2)矩陣描述兩種描述是統(tǒng)一的！說明：光傳輸中，r,θ可能發(fā)生變化，而變化后的r、θ可用一個ABCD傳輸矩陣與初始光線的矩陣相乘得到。2、自由空間的平移矩陣LABA處：r0，q0B處：r’，q’

則自由空間的平移矩陣為：§2.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件3、界面的折射矩陣n1n2入射出射4、球面鏡的反射矩陣Tr對于薄透鏡有類似的關系§2.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件5、共軸球面腔的往返矩陣T一次往返兩次自由空間和兩次球面鏡反射L§2.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件其中:6、共軸球面腔中光線往返n次的變換矩陣由Sylvester定理有:其中：§2.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件變換矩陣的特點③對于一定結構的球面腔而言是一確定量，②往返矩陣中的各個元素的具體值與初始出發(fā)位置、光線往返順序有關。①往返矩陣與初始坐標無關，可用來描述任意傍軸光線在腔中的傳播行為。而與光線的初始坐標、出發(fā)位置和往返次序無關！更進一步，對于共軸球面腔，下式永遠成立：§2.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件7光學諧振腔的穩(wěn)定性條件

的rn和θn取值大小，反映的是光線偏離光軸能力的程度當其為有限值，即小于鏡面的橫向尺寸時，光不逸出，即為穩(wěn)定。我們討論φ的取值情況：1)φ為實數(shù)a.Tn為有限值的條件為Sinφ不為0φ不等于Kπ即穩(wěn)定條件§2.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件定義諧振腔的g參數(shù)穩(wěn)定條件b.Sinφ=0,Tn為極大值即臨界腔§2.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件(1)對稱共焦腔滿足條件Rl＝R2＝L的諧振腔稱為對稱共焦腔，這時腔的中心即為兩個鏡面的公共焦點。對稱共焦腔滿足常見的幾種臨界腔任意徬軸光線均可在腔內(nèi)往返無限多次而不致橫向逸出，而且經(jīng)兩次往返即自行閉合。共焦腔應屬于穩(wěn)定腔?！?.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件(2)平行平面腔此時有R1=R2＝∝，

1.腔中沿軸線方向行進的光線能往返無限多次而不致逸出腔外，且一次往返即實現(xiàn)簡并(形成閉合光路)．2.沿非軸向行進的光線在經(jīng)有限次往返后，必然從側面逸出腔外，這又與非穩(wěn)腔相像?！?.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件滿足條件R1十R2＝L的諧振腔稱為共心腔，因這時腔的兩個鏡面的曲率中心互相重合。通過公共中心的光線能在腔內(nèi)往返無限多次，且一次往返即自行閉合。所有不通過公共中心的光線在腔內(nèi)往返有限多次后，必然橫向逸出腔外。平行平面腔、共心腔可稱為介穩(wěn)腔。(3)共心腔§2.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件

當φ值為復數(shù)時,由于有虛部,必然導致sinφ與sin(n-1)φ的值隨n的增大按指數(shù)規(guī)律增大。從而使rn、θn的值也隨n增大按指數(shù)規(guī)律增大。傍軸光線在腔內(nèi)往返有限次后必將橫向逸出腔外。2)φ為虛數(shù)非穩(wěn)腔判據(jù)或對增益較高的工作物質,非穩(wěn)腔也能穩(wěn)定地工作§2.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件例、由凸面鏡和凹面鏡組成的球面腔，如果凸面鏡曲率半徑為2m，凹面鏡曲率半徑為3m，腔長L為1m，腔內(nèi)介質折射率為1，此球面鏡腔是何種腔（穩(wěn)定腔、臨界腔、非穩(wěn)腔）?當腔內(nèi)插入一塊長為0.5m，折射率的其他透明介質時（介質兩端面垂直于腔軸線），諧振腔是何種腔（穩(wěn)定腔、臨界腔、非穩(wěn)腔）?思路：寫出傳輸一周的ABCD矩陣判斷？非穩(wěn)腔§2.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件解：設凸面鏡與凹面鏡的曲率半徑分別為，當腔內(nèi)未插入其他透明介質時即該腔為臨界腔

當腔內(nèi)插入其他介質時，設該介質的長度為l，該介質卓有兩邊剩余的腔內(nèi)長度分別為l1和l2，則。設此時的等效腔長為，則§2.2

共軸球面腔的穩(wěn)定性條件在開腔中是否存在電磁場的本征態(tài)或不隨時間變化的穩(wěn)態(tài)場分布?如何求場分布?§2.3

開腔模的衍射理論分析方法一、開腔模的一般物理概念1、理想開腔模型兩塊反射鏡面放在無限大的均勻的各向同性介質中。2、定量處理開腔模式問題的數(shù)學理論：菲涅耳—基爾霍夫衍射積分功能：如果知道了光波場在其所達到的任意空間曲面上的振幅和相位分布，就可以求出該光波場在空間其他任意位置處的振幅和相仿分布。1、分析衍射的理論基礎：惠更斯—菲涅耳原理2、菲涅耳—基爾霍夫衍射積分各子波源發(fā)出的球面波傾斜因子§2.3

開腔模的衍射理論分析方法3、穩(wěn)態(tài)場的形成——模的“自再現(xiàn)”鏡1上的場分布，到達鏡2時，由于衍射，要經(jīng)歷一次能量的損耗和場分布的變化，中間能量損失小，鏡邊緣損失大。每單程渡越一次，都會發(fā)生類似的能量損耗和場分布變化。多次往返后，從而逐漸形成中間強、邊緣弱的基本不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場分布。該穩(wěn)態(tài)場分布一個往返后可“自再現(xiàn)”出發(fā)時的場分布，唯一變化是鏡面上各點的場振幅按同樣的比例衰減，各點相位滯后的整數(shù)倍。§2.3

開腔模的衍射理論分析方法4.用孔闌傳輸線模擬自再現(xiàn)模的形成過程完全吸收屏腔長腔鏡濾光片§2.3

開腔模的衍射理論分析方法1、只有不受衍射影響的場分布才能形成穩(wěn)定的場分布，成為自再現(xiàn)模。5自再現(xiàn)模的幾點理解2、衍射起“篩子”作用，將腔中允許存在的自再現(xiàn)模從各種自發(fā)輻射模中篩選出來。3、自再現(xiàn)模是多次衍射的結果，與初始波形無關，但不同的初始波形最終形成的場分布不同，而自發(fā)輻射可提供不同的初始波形,因此決定了自再現(xiàn)模的多樣性。4、每經(jīng)過一次衍射，光束橫截面上各點的相位關聯(lián)度便增加一次，則由于經(jīng)過足夠多次衍射的作用后，光束橫截面上各點的相位關聯(lián)越來越緊密，從而使光的空間相干性變強?！?.3

開腔模的衍射理論分析方法S1S2經(jīng)過j次渡越后所生成的場uj+1產(chǎn)牛它的場uj之間也應滿足類似的迭代關系：二、自再現(xiàn)模所應滿足的積分方程§2.3

開腔模的衍射理論分析方法按照自再現(xiàn)理論，當渡越次數(shù)j

足夠大時，除了一個表示振幅衰減和相位移動的復常數(shù)因子

以外，uj+1應該再現(xiàn)uj，則：復常數(shù)的物理意義e-

：單程渡越的振幅衰減！越大，則衰減愈厲害，若0，則模無損耗傳播?！?.3

開腔模的衍射理論分析方法表示每經(jīng)單程渡越后模的相位滯后，愈大，相位滯后愈多。(1)對稱開腔中模的單程損耗δd：自再現(xiàn)模單程渡越后的相對功率損耗。(2)對稱開腔中模的單程總相移δФ若滿足：一般的諧振條件§2.3

開腔模的衍射理論分析方法代入迭代關系得則不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場分布函數(shù)v(x,y)為：§2.3

開腔模的衍射理論分析方法積分核為：當腔長L和鏡線度a滿足：L>>a，或曲面反射鏡的曲率半徑R和鏡線度a滿足：R>>a時，有：則初步簡化后的自再現(xiàn)模方程為：§2.3

開腔模的衍射理論分析方法三、分離變量法1、求解自再現(xiàn)模方程的思路(1)由開腔的具體結構，給出方程的具體形式并做簡化具體做法：由對稱性引入適當坐標系由λ

、a、L的數(shù)量級關系，將積分核做泰勒展開舍去展開式中的小量，從而將方程簡化(2)進行變量分離，將化簡后的積分方程化為兩個單元函數(shù)的積分方程?！?.3

開腔模的衍射理論分析方法2、可行性分析研究表明，對矩形及圓形平面鏡腔、共焦球面或拋物面腔和一般球面鏡腔等幾種常見的幾何結構，以上的簡化和變量分離是可能的！3、方程簡化和分離變量的事例分析(1)對稱矩形平面鏡腔(2a×2b)數(shù)量關系：§2.3

開腔模的衍射理論分析方法若滿足：可做菲涅耳近似：§2.3

開腔模的衍射理論分析方法則模方程變?yōu)椋悍蛛x變量，令：則積分核為：§2.3

開腔模的衍射理論分析方法模方程變?yōu)閮尚问酵耆粯拥姆匠?，求一個即可：方程的解有多個，其中第m和第n個分別為vm(x)和vn(y)，m和n為相應的復常數(shù)，則：——積分本征值方程鏡面上的場分布為：相應的復常數(shù)為：§2.3

開腔模的衍射理論分析方法m和n取一系列特定值——本征值。對應本征值m和n的滿足方程的場分布函數(shù)vm(x)和vn(y)為本征函數(shù)。本征函數(shù)：決定鏡面上的場分布，包括場的振幅和相位分布。本征值：決定自再現(xiàn)模的傳輸特性，包括模的衰減、相移、諧振頻率等。鏡面上場的振幅分布。鏡面上場的位相分布。求解衍射積分本征值方程的目的意義：求出本征值和本征函數(shù)，從而決定開腔自再現(xiàn)模的全部特征。§2.3

開腔模的衍射理論分析方法§2.4

平行平面腔模的迭代解法能解析求解積分本征值方程的開腔是很少的，此時可以利用腔模的“自再現(xiàn)”理論，通過計算機進行數(shù)值求解，稱為腔模的Fox-Li迭代解法。一、迭代解法的原理利用菲涅耳—基爾霍夫衍射積分公式設初始場分布為u1，代入上式算u2，再以u2作初始場，再代入上式算u3，以此類推，迭代多次后，若滿足自再現(xiàn)關系：則說明找到了腔的一個自再現(xiàn)模！代入前面的平行平面鏡腔的衍射積分方程：可以取出經(jīng)過多次迭代后的場振幅分布和位相分布并作比較。二、迭代舉例:對稱條形平行平面鏡腔:寬:2a，腔長:L設初始場分布為均勻平面波:§2.4

平行平面腔模的迭代解法%————初始化—————————————lm=632.8e-9;%波長L=100*lm;%腔長a=25*lm;%腔鏡線寬k=2*pi/lm;%波失x1=linspace(-a,a,1000);%取1000個點積分Un_n=zeros(1,1000);Un_n_1=Un_n;§2.4

平行平面腔模的迭代解法%———求解第一次的迭代結果——————form=1:1000x=x1(m);y=exp((-i*k*(x-x1).^2)/(2*L));Un_n(m)=sqrt(i/(pi*L)*exp(-i*k*L))*sum(y(1:1000));end§2.4

平行平面腔模的迭代解法%————對第一次的歸一化————a=zeros(1,1000);a=abs(Un_n);%求解振幅yabsmax=max(a);%振幅最大值Un_n=Un_n/yabsmax;%歸一化Un_2=a/yabsmax;%振幅歸一化Yn_2=angle(Un_n);%相位分布§2.4

平行平面腔模的迭代解法form=1:299forn=1:1000x=x1(n);y=exp((-i*k*(x-x1).^2)/(2*L)).*Un_n;Un_n_1(n)=sqrt(i/(pi*L)*exp(-

i*k*L))*sum(y(1:1000));endUn_n=Un_n_1;§2.4

平行平面腔模的迭代解法a=zeros(1,1000);a=abs(Un_n);yabsmax=max(a);Un_n=Un_n/yabsmax;endUn_300=a/yabsmax;Yn_300=angle(Un_n);§2.4

平行平面腔模的迭代解法%————迭代第300次重復第一次過程——forn=1:1000x=x1(n);y=exp((-i*k*(x-x1).^2)/(2*L)).*Un_n;Un_n_1(n)=sqrt(i/(pi*L)*exp(-i*k*L))*sum(y(1:1000));endUn_n=Un_n_1;§2.4

平行平面腔模的迭代解法a=zeros(1,1000);a=abs(Un_n);yabsmax=max(a);Un_n=Un_n/yabsmax;Un_301=a/yabsmax;Yn_301=angle(Un_n);§2.4

平行平面腔模的迭代解法%—畫出振幅特性—figure;plot(Un_2);holdon;plot(Un_300,'r');holdon;plot(Un_301,'g');%—畫出相位特性—figure;plot(Yn_2);holdon;plot(Yn_300,'r');holdon;plot(Yn_301,'g');§2.4

平行平面腔模的迭代解法鏡面振幅分布圖§2.4

平行平面腔模的迭代解法§2.4

平行平面腔模的迭代解法鏡面位相分布圖§2.4

平行平面腔模的迭代解法三、迭代解法的意義1、直接而直觀地證明了開腔自再現(xiàn)模式的存在性。2、因數(shù)學迭代的過程與自再現(xiàn)模的形成過程對應，因而迭代解法可以加深對自再現(xiàn)模形成的物理過程的理解。3、具有普遍性。原則上可以計算任何幾何形狀的開腔的自再現(xiàn)模。4、可計算腔鏡的傾斜、不平整等對模造成的擾動。缺點：計算復雜，迭代次數(shù)多。§2.4

平行平面腔模的迭代解法§2.5

方形鏡共焦腔的自在現(xiàn)模

1、厄米－高斯近似：當C=2N1或模場分布集中在鏡面中心附近(x,y<<a)時，角向長橢球函數(shù)化為厄米－高斯函數(shù)。厄米多項式和高斯函數(shù)的乘積換回x,y可得本征函數(shù)為：一鏡面上場分布—厄米－高斯近似§2.5

方形鏡共焦腔的自在現(xiàn)模常系數(shù)m階厄米多項式的零點:因Hm(X)=0有m個根，故m階厄米多項式有m個零點。厄米多項式的零點決定了場圖的零點，高斯函數(shù)決定了場分布的外形輪廓§2.5

方形鏡共焦腔的自在現(xiàn)模基模TEM00光斑半徑：

基模光束的能量集中在光斑有效截面圓內(nèi).上式表明，共焦腔基模在鏡面上的光斑半徑與鏡的橫向尺寸無關，只與腔長有關。這是共焦腔的主要特征?；Ｕ穹畲笾档?/e處§2.5

方形鏡共焦腔的自在現(xiàn)模數(shù)值例：L=1m,λ=10.6μm,共焦腔的CO2激光器ω0s≈1.84mmL=30cm,λ=0.6328μm,共焦腔的He—Ne激光器

ω0s≈0.25mm

可見，共焦腔的光斑半徑非常小。由

可知,增大鏡面寬度,只減少衍射損耗,對光斑尺寸并無影響.§2.5

方形鏡共焦腔的自在現(xiàn)模利用基模光斑半徑，本征函數(shù)的解可以寫為：

當m、n取不同時為零的一系列整數(shù)時,由上式可得出鏡面上各高階橫模的振幅分布因為故§2.5

方形鏡共焦腔的自在現(xiàn)模因為故TEM20§2.5

方形鏡共焦腔的自在現(xiàn)模因為故§2.5

方形鏡共焦腔的自在現(xiàn)模因為故TEM11§2.5

方形鏡共焦腔的自在現(xiàn)?？梢钥闯觯琓EMmn模在鏡面上振幅分布的特點取決于厄米多項式與高斯函數(shù)的乘積。厄米多項式的零點決定場的節(jié)線，厄米多項式的正負交替的變化與高斯函數(shù)