第2章動(dòng)能定理

例題第2章動(dòng)能定理1半徑為2r的圓輪在水平面上作純滾動(dòng)如圖示，輪軸上有繞有軟繩，輪軸半徑為r，繩上作用常值水平拉力F，求輪心C運(yùn)動(dòng)x距離時(shí)，力F所作的功。

2rOrCxF例題2-1例題

第2章

動(dòng)能定理2例題2-1例題

第2章

動(dòng)能定理3將力F向輪心簡化，產(chǎn)生力偶MC=Fr

，輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為。根據(jù)式力F所作的功為2rOrCxF解：例題2-1例題

第2章

動(dòng)能定理4

坦克或拖拉機(jī)履帶單位長度質(zhì)量為，輪的半徑為r，輪軸之間的距離為d，履帶前進(jìn)的速度為v0。求全部履帶的總動(dòng)能。v0C2C1dr例題2-2例題

第2章

動(dòng)能定理5例題2-2例題

第2章

動(dòng)能定理6v0C2C1dr

解：在C1C2桿上建立動(dòng)系C1x′y′。x′y′

牽連運(yùn)動(dòng)為水平平移，牽連速度為v0；

相對(duì)運(yùn)動(dòng)為繞在兩個(gè)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)圓輪上履帶的運(yùn)動(dòng)。圓輪的角速度為＝v0/r,履帶上各點(diǎn)的相對(duì)速度均為v0。例題2-2v0例題

第2章

動(dòng)能定理7應(yīng)用柯希尼定理，全部履帶的總動(dòng)能為例題2-2v0C2C1drx′y′v0例題

第2章

動(dòng)能定理8

平臺(tái)的質(zhì)量

m

=

30kg，固連在剛度系數(shù)

k

=

18N·mm－1的彈性支承上?，F(xiàn)在從平衡位置給平臺(tái)以向下的初速度v0

=

5m·s－1，求平臺(tái)由這位置下沉的最大距離s，以及彈性支承中承受的最大力，假設(shè)平臺(tái)作平動(dòng)。例題2-3l0λ1=

λssλ2=λs+sv0A1A2v2=0mgF(a)(b)(c)例題

第2章

動(dòng)能定理9例題2-3例題

第2章

動(dòng)能定理10解：

取平臺(tái)為研究對(duì)象。從平衡位置A1(圖a)運(yùn)動(dòng)到最大下沉位置A2(圖b)，平臺(tái)的初動(dòng)能

T1=mv02/2

，而末動(dòng)能

T2=0

。彈簧的初變形1=

s=mg/k，末變形

2=s+s

，作用在平臺(tái)上的力有重力mg

和彈性力

F(圖c)。例題2-3l0λ1=

λssλ2=λs+sv0A1A2v2=0mgF(a)(b)(c)例題

第2章

動(dòng)能定理11根據(jù)動(dòng)能定理的積分形式2202210skmv-=-由此求得平臺(tái)的最大下沉距離彈性支承有最大壓縮量2=s+s

,故承受的最大壓力Fmax=k(s+s)=mg+ks=4kN2222])([2ssllskkmgWss-=+-+=s=204mm它們的總功為l0λ1=

λsδλ2=λs+δv0A1A2v2=0mgF(a)(b)(c)例題2-3例題

第2章

動(dòng)能定理12

運(yùn)送重物用的卷揚(yáng)機(jī)如圖a所示。已知鼓輪重

W1，半徑是

r,對(duì)轉(zhuǎn)軸

O的回轉(zhuǎn)半徑是

。在鼓輪上作用著常值轉(zhuǎn)矩

MO，使重

W2的物體

A沿傾角為

的直線軌道向上運(yùn)動(dòng)。已知物體

A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)是

f；假設(shè)系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，繩的傾斜段與斜面平行，繩的質(zhì)量和軸承

O

的摩擦都忽略不計(jì)。試求物體

A沿斜面上升距離

s時(shí)，物體

A的速度和加速度。(a)sA2AA1OMOα例題2-4例題

第2章

動(dòng)能定理13

用v表示這時(shí)物體的速度大小。則鼓輪的角速度大小=v/r。從而有系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)的，初動(dòng)能

T1=0。在重物上升的單向路程為s時(shí)。系統(tǒng)的動(dòng)能T2可計(jì)算如下。取鼓輪、繩索和物體A組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。解:(b)AOM0W2FNFFOxFOyW1av例題2-4例題

第2章

動(dòng)能定理14由此求出物體

A的速度根據(jù)動(dòng)能定理的積分形式T2T1=W，有在物體

A上升

s路程中，作用在系統(tǒng)上的力的總功為(b)AOM0W2FNFFOxFOyW1av例題2-4例題

第2章

動(dòng)能定理15根號(hào)內(nèi)必須為正值，故當(dāng)滿足條件MO≥W2r(sin+fcos)時(shí)，卷揚(yáng)機(jī)才能開始工作。把上式中的s看作變值，并求兩端對(duì)時(shí)間

t的導(dǎo)數(shù)，有考慮到在單向的直線運(yùn)動(dòng)中

dv/dt=a，ds/dt

=v，故例題2-4例題

第2章

動(dòng)能定理16

物體

A

裝在下部有輪子

B

的鉛直軸

z

上，輪B的半徑是

r

，其上纏著不可伸長的細(xì)繩。此繩跨過小滑輪

C

，在下端系有質(zhì)量是

m的物塊

D

。當(dāng)物塊下降時(shí)，帶動(dòng)

A

繞軸

z

旋轉(zhuǎn)。(1)已知軸

z上物體系對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

Jz

,試求物塊D由靜止開始下降距離

s

時(shí)的速度和加速度；

(2)若由試驗(yàn)測得當(dāng)物塊下降距離

s

所需的時(shí)間是t

，試求重物A

對(duì)轉(zhuǎn)軸

z

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸承摩擦,空氣阻力以及小滑輪C和繩索的質(zhì)量都不計(jì)。17-9(b)ωAvzBrsmgaCD例題2-5例題

第2章

動(dòng)能定理17解：

取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。作用在系統(tǒng)上的全部約束力的功總和為零。物塊下降過程中，只有物塊D做功W

=

mgs系統(tǒng)的初動(dòng)能

T1=0，而末動(dòng)能根據(jù)T2T1=W，得17-9(b)ωAvzBrsmgaCD例題2-5例題

第2章

動(dòng)能定理18由此求得物塊D的速度把式(1)中

s看作時(shí)間的函數(shù)，求此式兩端對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)故由上式求得物塊D的加速度17-9(b)ωAvzBrsmgaCD例題2-5例題

第2章

動(dòng)能定理19因初速度為v0=0，故由直線勻變速運(yùn)動(dòng)公式，得物塊

D的運(yùn)動(dòng)規(guī)律從而得關(guān)系式17-9(b)ωAvzBrsmgaCD例題2-5例題

第2章

動(dòng)能定理20

系統(tǒng)在鉛直平面內(nèi)由兩根相同的勻質(zhì)細(xì)直桿構(gòu)成，

A，B為鉸鏈，D為小滾輪，且AD水平。每根桿的質(zhì)量m=6kg，長度l=0.75m。當(dāng)仰角1=60o時(shí)，系統(tǒng)由靜止釋放。求當(dāng)仰角減到2=20o時(shí)桿AB的角速度。摩擦和小滾輪的質(zhì)量都不計(jì)。ABDFEmgmgα1α1(a)BAFEmgmgα2α2(b)例題2-6例題

第2章

動(dòng)能定理21例題2-6例題

第2章

動(dòng)能定理22解:

取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，其中桿AB定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而桿BD平面運(yùn)動(dòng)。由圖b知，桿BD的速度瞬心是Cv。分析點(diǎn)B的速度有

由于BCv

=BD=AB，代入上式，求得ωAB=ωBDAB

·ωAB=BCv

·ωBDABDFEmgmgFAxFAyFD(a)BADFEmgmgF'AxF'AyF'Dα2α2ωBDωAB(b)vBvDCvα1α1例題2-6例題

第2章

動(dòng)能定理23ωAB=ωBD但兩者的轉(zhuǎn)向相反。另外，當(dāng)2=20o時(shí)，有DCv=2lsin20o由余弦定理可求得Cv

E

，從而得桿BD質(zhì)心C的速度vE

=Cv

E

·ωBDABDFEmgmgFAxFAyFD(a)BADFEmgmgF'AxF'AyF'DvBvDα2α220o20o70o70oωBDωAB(b)Cvα1α1vE例題2-6例題

第2章

動(dòng)能定理24

在運(yùn)動(dòng)過程中，只有桿的重力做功。所以作用在系統(tǒng)中的力在運(yùn)動(dòng)過程中的總功為系統(tǒng)開始時(shí)處于靜止，初動(dòng)能

T1=0，而末動(dòng)能等于ABDFEmgmgFAxFAyFD(a)BADFEmgmgF'AxF'AyF'DvBvEvDα2α220o20o70o70oωBDωAB(b)Cvα1α1例題2-6例題

第2章

動(dòng)能定理25從而得桿AB的角速度大小ωAB=3.9rad·s－1(順鐘向)代入動(dòng)能定理積分形式的方程

T2T1=W例題2-6例題

第2章

動(dòng)能定理26

如圖所示質(zhì)量為

m1

的物塊

A

懸掛于不可升長的繩子上，繩子跨過滑輪與鉛直彈簧相連，彈簧剛度系數(shù)為

k。設(shè)滑輪的質(zhì)量為m2，并可看成半徑是

r

的勻質(zhì)圓盤。現(xiàn)在從平衡位置給物塊

A

以向下的初速度

v0

，試求物塊

A由這位置下降的最大距離s，彈簧和繩子的質(zhì)量不計(jì)。skAv0v2=0O例題2-7例題

第2章

動(dòng)能定理27例題2-7例題

第2章

動(dòng)能定理28解：

取整個(gè)系統(tǒng)作為研究對(duì)象。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中做功的力為有勢力(重力和彈性力)，故可用機(jī)械能守恒定律求解。

取物塊A的平衡位置作為初位置。彈簧的初變形λ1=λs=m1g/k。物塊

A有初速度

v1=v0，故系統(tǒng)初動(dòng)能skAv0v2=0O

以物塊

A的最大下降點(diǎn)作為末位置，則彈簧的末變形λ2=λs+s；系統(tǒng)的末動(dòng)能

T2=0。例題2-7例題

第2章

動(dòng)能定理29

取彈簧未變形時(shí)的位置作為彈性力場的零點(diǎn)，又取物塊A的平衡位置作為重力場的零點(diǎn)。于是，系統(tǒng)的初勢能

，而末勢能應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，有考慮到λ1=λs，λ2=λs+s，m1g=kλs

，將上式整理后得從而求得物塊A的最大下降距離skAv0v2=0O例題2-7例題

第2章

動(dòng)能定理30質(zhì)量為m的物體，自高處自由落下，落到下面有彈簧支持的板上，如圖所示。設(shè)板和彈簧的質(zhì)量都忽略不計(jì)，彈簧的剛度系數(shù)為k。求彈簧的最大壓縮量。mⅠⅡⅢhsmax例題2-8例題

第2章

動(dòng)能定理31例題2-8例題

第2章

動(dòng)能定理32求得物體從位置Ⅰ落到板上時(shí)是自由落體運(yùn)動(dòng)，速度由0增到v1，動(dòng)能由0變?yōu)?。mⅠⅡⅢhsmax在這段過程中，重力作的功為mgh。應(yīng)用動(dòng)能定理得解：例題2-8例題

第2章

動(dòng)能定理33在這段過程中重力作的功為

mgsmax

，彈簧力作的功為。物體繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，彈簧被壓縮，物體速度逐漸減小。當(dāng)速度等于零時(shí)，彈簧被壓縮到最大值smax。mⅠⅡⅢhsmax應(yīng)用動(dòng)能定理得例題2-8例題

第2章

動(dòng)能定理34求得由于彈簧的壓縮量必定是正值，因此答案取正號(hào)，即mⅠⅡⅢhsmax例題2-8例題

第2章

動(dòng)能定理35同時(shí)也可把上兩段合在一起考慮，即對(duì)質(zhì)點(diǎn)從開始下落至彈簧壓縮到最大值的過程應(yīng)用動(dòng)能定理。解得的結(jié)果與前面所得相同。mⅠⅡⅢhsmax在這一過程的始末位置質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能都等于零。在這一過程中，重力作的功為mg(h+smax)，彈簧力作的功同上，于是有例題2-8例題

第2章

動(dòng)能定理36卷揚(yáng)機(jī)如圖所示。鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱沿斜坡上拉。已知鼓輪的半徑為R1，質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2，質(zhì)量為m1，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為θ，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求圓柱中心C經(jīng)過路程s時(shí)的速度。θOMDC例題2-9例題

第2章

動(dòng)能定理37圓柱和鼓輪一起組成質(zhì)點(diǎn)系。作用于該質(zhì)點(diǎn)系的外力有：重力m1g和m2g，外力偶M，水平軸支反力FOx和FOy，斜面對(duì)圓柱的作用力FN和靜摩擦力Fs。應(yīng)用動(dòng)能定理進(jìn)行求解，先計(jì)算力的功。因?yàn)辄c(diǎn)O沒有位移。力FOx，F(xiàn)Oy和m1g所作的功等于零；圓柱沿斜面只滾不滑，邊緣上任一點(diǎn)與地面只作瞬時(shí)接觸，因此作用于瞬心D的法向約束力FN和摩擦力Fs不作功，此系統(tǒng)只受理想約束，且內(nèi)力作功為零。解：θOMCm1gFOxFOym2gFNFsDω1ω2例題2-9例題

第2章

動(dòng)能定理38質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能計(jì)算如下：式中J1，JC分別為鼓輪對(duì)于中心軸O，圓柱對(duì)于過質(zhì)心C的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：ω1和ω2分別為鼓輪和圓柱的角速度，即主動(dòng)力所作的功計(jì)算如下：θOMCm1gFOxFOym2gFNFsDω1ω2例題2-9例題

第2章

動(dòng)能定理39由動(dòng)能定理得以代入，解得：于是θOMCm1gFOxFOym2gFNFsDω1ω2例題2-9例題

第2章

動(dòng)能定理40在絞車的主動(dòng)軸Ⅰ上作用一恒力偶M以提升重物，如圖所示。已知重物的質(zhì)量為m；主動(dòng)軸Ⅰ和從動(dòng)軸Ⅱ連同安裝在軸上的齒輪附件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，傳動(dòng)比；鼓輪的半徑為R。軸承的摩擦和吊索的質(zhì)量均可不計(jì)。絞車開始靜止，求當(dāng)重物上升的距離為h時(shí)的速度。ⅠⅡMmg例題2-10例題

第2章

動(dòng)能定理41例題2-10例題

第2章

動(dòng)能定理42解：選取絞車和重物為研究的質(zhì)點(diǎn)系。

將代入上式，得把重物的靜止位置和升高了h的位置作為質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的始點(diǎn)和終點(diǎn)，在這兩瞬時(shí)的動(dòng)能分別為ⅠⅡMmg例題2-10例題

第2章

動(dòng)能定理43質(zhì)點(diǎn)系具有理想約束，各處約束反力的功等于零；質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力功的和顯然等于零。因，，于是由動(dòng)能定理得（a）主動(dòng)力的功為ⅠⅡMmg例題2-10例題

第2章

動(dòng)能定理44解得

重物運(yùn)動(dòng)過程中，速度v及上升的距離h都是變化的，將式（a）兩端對(duì)時(shí)間取一階導(dǎo)數(shù)，并注意到上式兩端消去v，可求得重物的加速度得ⅠⅡMmg例題2-10例題

第2章

動(dòng)能定理45材料承受沖擊的能力可在沖擊試驗(yàn)機(jī)上測定，如圖所示。試驗(yàn)機(jī)擺錘質(zhì)量為18kg，重心到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離l=840mm。桿重不計(jì)。試驗(yàn)開始時(shí)，將擺錘升高到擺角的地方然后釋放，沖斷試件后，擺錘上升的擺角。求沖斷試件需用的能量。試件lα1α2mg例題2-11例題

第2章

動(dòng)能定理46解：沖斷試件前后，擺錘的角速度發(fā)生突然變化。擺錘損失的動(dòng)能被試件吸收，就是沖斷試件需用的能量。設(shè)擺錘沖擊試件前的角速度為ω1，將試件沖斷后擺錘的角速度為ω2。角速度的變化是在沖擊的一瞬間發(fā)生的，這時(shí)擺錘在鉛直位置。擺錘在的位置開始下落，這時(shí)角度速度等于零，因此動(dòng)能等于零。當(dāng)擺錘落到鉛直位置與試件相撞前，角速度為ω1，這時(shí)動(dòng)能為T1。在這一過程中重力作正功。先研究沖擊試件前的下落過程。試件lα1α2mg例題2-11例題

第2章

動(dòng)能定理47代入已知數(shù)據(jù)，得現(xiàn)在研究沖斷試件后擺錘的上升過程。剛沖斷試件的瞬時(shí)，設(shè)擺錘的角速度為ω2，動(dòng)能為T2。當(dāng)擺錘到達(dá)最高位置時(shí)，角速度為零，動(dòng)能等于零，在這過程中，重力作負(fù)功。代入已知數(shù)據(jù)，得根據(jù)動(dòng)能定理有根據(jù)動(dòng)能定理有試件lα1α2mg例題2-11例題

第2章

動(dòng)能定理48擺錘在沖斷試件時(shí)損失的動(dòng)能等于沖斷試件需要的能量Wk，即設(shè)試件的最小橫斷面面積為S，則有稱為材料的沖擊韌度，它是衡量材料抵抗沖擊能力的一個(gè)指標(biāo)。試件lα1α2mg例題2-11例題

第2章

動(dòng)能定理49此例題也可以在α1和α2兩擺角之間直接應(yīng)用動(dòng)能定理。代入數(shù)據(jù)，同樣求得試件lα1α2mg根據(jù)動(dòng)能定理，有例題2-11例題

第2章

動(dòng)能定理50如圖所示的鼓輪D勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使繞在輪上鋼索下端的重物以v=0.5m·s－1勻速下降，重物質(zhì)量為m=250kg。設(shè)當(dāng)鼓輪突然卡住時(shí)，鋼索的剛度系數(shù)k=3.35×106N·m－1

。求此后鋼索的最大張力。δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D例題2-12例題

第2章

動(dòng)能定理51

輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，重物處于平衡狀態(tài)，臨卡住的前一瞬刻鋼索的伸長量，鋼索的張力。當(dāng)鼓輪被卡住后，由于慣性，重物將繼續(xù)下降，鋼索繼續(xù)伸長，鋼索對(duì)重物作用的彈性力逐漸增大，重物的速度逐漸減小。當(dāng)速度等于零時(shí)，彈性力達(dá)最大值，此值等于鋼索的最大張力。解：δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D例題2-12例題

第2章

動(dòng)能定理52取重物平衡位置為重力和彈性力的零勢能點(diǎn)，則在Ⅰ、Ⅱ兩位置系統(tǒng)的勢能分別為因,于是有注意到，上式可改寫為因重物只受重力和彈性力的作用，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D例題2-12例題

第2章

動(dòng)能定理53因δmax應(yīng)大于δst，因此上式應(yīng)取正號(hào)。解得鋼索的最大張力為代入數(shù)據(jù)，求得由此可見，當(dāng)鼓輪被突然卡住后，鋼索的張力增大了5.9倍。δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D例題2-12例題

第2章

動(dòng)能定理54求第二宇宙速度。第二宇宙速度是使宇宙飛船能脫離地球引力場，從地面發(fā)射所需的最小速度。取宇宙飛船為研究質(zhì)點(diǎn)，設(shè)飛船質(zhì)量為m1，地球質(zhì)量為m2。飛船僅受地球引力的作用，在引力場內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒。取離地球無限遠(yuǎn)處為零勢能點(diǎn)，設(shè)在地球表面附近飛船的速度為v1，此后某一時(shí)刻的速度為v2，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有解：例題2-13例題

第2章

動(dòng)能定理55

代入上式，得在地球表面，地球引力等于重力，即欲使宇宙飛船脫離地球引力場飛向太空，應(yīng)在r2→∞

處時(shí)v2=0。又有r1=R=6370km(地球半徑)，代入上式，可求得第二宇宙速度例題2-13例題

第2章

動(dòng)能定理56一空間飛行器返回地球時(shí)，設(shè)飛行軌道AB為通過地球中心O的平面內(nèi)的橢圓曲線，并在大氣層之外。已知在A點(diǎn)的速度為vA=2.5km·s－1

，A點(diǎn)離地心的距離rA=17000km。B點(diǎn)離地心的距離rB=17000

km，如圖所示。求飛行器在B點(diǎn)的速度vB。AOPBvAvvBrrArBF例題2-14例題

第2章

動(dòng)能定理57例題2-14例題

第2章

動(dòng)能定理58此題可應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理求解。AOPBvAvvBrrArBF解：由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理得不計(jì)空氣阻力，設(shè)飛行器在任一位置P的速度為v，只受地球的引力F作用。按牛頓引力規(guī)律此處G為引力常數(shù)，m為飛行器的質(zhì)量，Me為地球的質(zhì)量。例題2-14例題

第2章

動(dòng)能定理59代入數(shù)據(jù)和R=6370km，得由于則AOPBvAvvBrrArBF例題2-14例題

第2章

動(dòng)能定理60繩的一端系小球，另端固定，如圖所示。設(shè)球以初速vA=3m·s－1從位置OA擺下，當(dāng)擺到鉛直位置時(shí)，繩受到固定在O1點(diǎn)的釘子限制，開始繞此點(diǎn)擺動(dòng)。已知l=1m,h=0.7m,θA=60°。（1）求小球到達(dá)點(diǎn)C時(shí)的速度vC。（2）設(shè)球的質(zhì)量為m=0.5kg，不計(jì)繩的質(zhì)量，設(shè)繩碰撞時(shí)無能量損失。求當(dāng)繩碰到O1點(diǎn)的釘子前、后，且仍在鉛直位置時(shí)，繩中的拉力TB

和

TB'。hCABMM'O1Oll'θAθvAvC例題2-15例題

第2章

動(dòng)能定理61例題2-15例題

第2章

動(dòng)能定理62球的軌跡可分為兩段：一段是以O(shè)為中心、l為半徑的圓弧AB。另一段是以O(shè)1為中心、l'為半徑的圓弧BC。顯然繩的拉力T在運(yùn)動(dòng)過程中總垂直位移，故拉力T的功，而重力的功。代入后得

(a)解：hCABMM'O1OvATmgvvCll'θAθA到B的運(yùn)動(dòng)階段，球的受力圖如圖中M位置所示。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，得1.求小球到達(dá)點(diǎn)C時(shí)的速度vC。例題2-15例題

第2章

動(dòng)能定理63再考察B到C的運(yùn)動(dòng)階段，球的受力圖如圖中M′

位置所示，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，得同理，約束力的功，而重力的功為(b)hCABMM'TmgO1OvAvvCll'θAθmgv'T'代入后得將式

代入得例題2-15例題

第2章

動(dòng)能定理64如果把ABC視作一個(gè)連續(xù)運(yùn)動(dòng)的階段，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，因繩的拉力不作功，得得（c）將數(shù)據(jù)代入（c），得hCABMM'TmgmgO1OvAvv'vCll'θAθT'例題2-15例題

第2章

動(dòng)能定理65應(yīng)用牛頓定律在法線方向的投影式求繩的拉力TB和TB'

。這里，也應(yīng)分開兩種狀態(tài)。在第一種情形下，小球是沿圓弧AB運(yùn)動(dòng)，圓心為O，半徑為l，B點(diǎn)的法向加速度為，hCABMM'TmgmgO1OvAvvBvCll'θAθTB2.繩中的拉力TB

和

TB'。由牛頓第二定律例題2-15例題

第2章

動(dòng)能定理66代入數(shù)據(jù)得將式

代入得hCABMM'TmgmgO1OvAvvBvCll'θAθTB例題2-15例題

第2章

動(dòng)能定理67在第二種情形下，小球是沿圓弧BC運(yùn)動(dòng)，圓心為O1，半徑為l′，B點(diǎn)的法向加速度為。代入數(shù)據(jù)得TB′約為TB

的2.53倍。hCABMM'TmgmgO1OvAvvBv'vCll'θAθTB'由牛頓第二定律得例題2-15例題

第2章

動(dòng)能定理68一質(zhì)量為m=1kg的套筒M可沿固定光滑導(dǎo)桿運(yùn)動(dòng)，套筒上系一彈簧，如圖所示。設(shè)彈簧原長為r=0.2m，彈簧剛度系數(shù)為k=200N·m－1，當(dāng)套筒在A點(diǎn)時(shí)其速度為vA=1.5m·s－1。求（1）套筒滑到B點(diǎn)時(shí)的速度vB；（2）套筒在B點(diǎn)處所受到的動(dòng)約束力。

例題2-16rO1OABFBvA例題

第2章

動(dòng)能定理69設(shè)套筒在任意位置M時(shí)，受力圖如圖所示。這里，重力的功為，彈性力的功為，約束力的功為。rO1OAMBFNFFNBFBmgmgvAvB解:1.求套筒滑到B點(diǎn)時(shí)的速度vB。當(dāng)套筒由A點(diǎn)滑到B點(diǎn)時(shí)，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理得代入數(shù)據(jù)得代入上式得例題2-16例題

第2章

動(dòng)能定理70

要求套筒在B點(diǎn)的動(dòng)約束力，須先求得套筒在此時(shí)的加速度。在套筒到達(dá)B點(diǎn)前的一瞬時(shí)，由牛頓定律的法向投影式得因，代入得rO1OAMBFNFFNBFBmgmgvAvB2.求套筒在B點(diǎn)的動(dòng)約束力。代入數(shù)據(jù)得例題2-16例題

第2章

動(dòng)能定理71達(dá)到B點(diǎn)后的一瞬時(shí)，因法線加速度為零，故應(yīng)用平衡條件可求得FNB'

：負(fù)號(hào)表示約束力FNB'方向向下。由此可知，當(dāng)套筒到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，法向約束從62.2N突然變到－1.91N。

rO1OAMBNFNB'

FBmgmgvAvB例題2-16例題

第2章

動(dòng)能定理72一不能伸長的柔繩跨過一小滑車A，繩的兩端分別系質(zhì)量為m1和m2的兩物塊M1和M2，物塊M1沿光滑的鉛直導(dǎo)桿滑動(dòng)，如圖所示。開始時(shí)M1與A點(diǎn)在同一水平線上，質(zhì)點(diǎn)系處于靜止。假設(shè)在重力作用下，物塊M1往下運(yùn)動(dòng)。不計(jì)繩和滑車的質(zhì)量，求物塊M1降到某一高度h1時(shí)的速度v1

。

v2h1aM1M2m1gm2gv1A例題2-17例題

第2章

動(dòng)能定理73這是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的一非自由質(zhì)點(diǎn)系，僅有一個(gè)自由度，為了建立兩質(zhì)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，由圖b可知M1點(diǎn)下降的位移x1與M2點(diǎn)上升的位移x2之間有如下關(guān)系：（b）對(duì)式（a）求導(dǎo)可得M1與M2的速度v1與v2之間的關(guān)系：（a）解：x1aM2M20x2O（b）例題2-17例題

第2章

動(dòng)能定理74因繩不伸長，導(dǎo)桿光滑，所有約束力的功的和為零。由動(dòng)能定理得，代入式（a）和（b）后，令得（c）（b）（a）x1aM2M20x2Ov2h1aM1M2m1gm2gv1A例題2-17例題

第2章

動(dòng)能定理75由式（d）知，只有≥0時(shí)，物塊M1才能降到h1的位置。故m1≥才能實(shí)現(xiàn)題設(shè)的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，可求得物塊M1下降的最大距離（d）這是物塊M1下降高度h1時(shí)所具有的速度。x1aM2M20x2Ov2h1aM1M2m1gm2gv1A例題2-17例題

第2章

動(dòng)能定理76一長為l的鏈條置放在光滑桌面上，有長為b一段懸掛下垂，如圖所示。設(shè)鏈條開始時(shí)處于靜止，在自重作用下運(yùn)動(dòng)。當(dāng)末端滑離桌面時(shí)，求鏈條的速度。

l-bb例題2-18例題

第2章

動(dòng)能定理77設(shè)鏈條的單位長度的質(zhì)量為ρ，則整個(gè)鏈條的質(zhì)量為ρl。任一瞬時(shí)鏈條下垂部分的長度為x，此部分的重力為W=ρgx。從此位置算起，鏈條下滑一微小位移dx。積分得解：xdxvl-bb設(shè)此時(shí)鏈條的速度為v，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分式，略去高階無限小量。不考慮摩擦力，桌面約束力不作功。得例題2-18例題

第2章

動(dòng)能定理78此處v為所求的速度。xdxvl-bb例題2-18例題

第2章

動(dòng)能定理79選桌面高度為重力場勢能的基準(zhǔn)點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得l-bb應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求解。例題2-18例題

第2章

動(dòng)能定理80如圖所示為一卷揚(yáng)機(jī)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，設(shè)啟動(dòng)時(shí)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子作用在聯(lián)軸節(jié)上的常力矩為M，大齒輪和鼓輪對(duì)軸AB的轉(zhuǎn)動(dòng)貫量為J2，小齒輪和聯(lián)軸節(jié)對(duì)軸CD的轉(zhuǎn)動(dòng)貫量為J1。鼓輪的半徑為R，已知齒輪的傳動(dòng)比為，被提升的重物的重量為mg，試求啟動(dòng)時(shí)重物的平均加速度a。ABCDRr2r1smgMavω1ω2從動(dòng)軸鼓輪大齒輪主動(dòng)軸聯(lián)軸節(jié)J2J1吊索例題2-19例題

第2章

動(dòng)能定理81(a)考慮除電機(jī)其轉(zhuǎn)子以外的整個(gè)系統(tǒng)為一質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)起始瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)系靜止。因此式（a）可表示為式中φ1為主動(dòng)軸CD的轉(zhuǎn)角，s為重物相應(yīng)上升的距離。各部分的運(yùn)動(dòng)間關(guān)系(b)解：ABCDRr2r1smgMavω1ω2從動(dòng)軸鼓輪大齒輪主動(dòng)軸聯(lián)軸節(jié)J2J1吊索由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理得例題2-19例題

第2章

動(dòng)能定理82將上式（b）兩邊對(duì)時(shí)間取導(dǎo)數(shù)，并注意到和，即可得故（c）ABCDRr2r1smgMavω1ω2從動(dòng)軸鼓輪大齒輪主動(dòng)軸聯(lián)軸節(jié)J2J1吊索(b)例題2-19例題

第2章

動(dòng)能定理83汽車連同車輪總重量為m1g，如圖所式，每個(gè)輪子重m2g，半徑為r，對(duì)輪心的回轉(zhuǎn)半徑為ρ。發(fā)動(dòng)機(jī)汽缸中氣體的平均壓力經(jīng)過變速箱和后橋齒輪系傳到后輪上，成為作用在后輪上的平均驅(qū)動(dòng)力矩M。設(shè)汽車由靜止開始運(yùn)動(dòng)，空氣阻力與汽車速度的平方成正比，F(xiàn)=μv2，μ為阻力系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)測定。每個(gè)輪子受到地面的滾動(dòng)摩阻力矩為Mr，略去所有的軸承摩擦。求汽車的加速度和能達(dá)到的極限速度。vFFN2FN1F2F1MMrMr例題2-20例題

第2章

動(dòng)能定理84由于,，代入上式并求微分得(b)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理來建立汽車運(yùn)動(dòng)方程。(a)設(shè)vC為汽車的速度，即輪子中心的速度，ω為輪子的角速度，汽車的動(dòng)能為解：vFFN2FN1F2F1MMrMr例題2-20例題

第2章

動(dòng)能定理85將式（b）、（c）、（d）代入（a），并在等式兩邊除以無限小時(shí)間間隔dt后得作功的外力有阻力F和滾動(dòng)摩阻力矩Mr，所以(c)內(nèi)力的功為驅(qū)動(dòng)力矩M在后輪無限小轉(zhuǎn)角dφ上的功：(d)vFFN2FN1F2F1MMrMr例題2-20例題

第2章

動(dòng)能定理86因,,則這就是汽車的加速度。當(dāng)汽車到達(dá)其極限速度v*時(shí)aC=0

，由式（e）知(e)得vFFN2FN1F2F1MMrMr例題2-20例題

第2章

動(dòng)能定理87車床電動(dòng)機(jī)的功率P=4.5kw，主軸的最低轉(zhuǎn)速為n=42rpm，如圖所示。設(shè)傳動(dòng)時(shí)由于摩擦而損耗的功率是輸入功率的30%，如工件的直徑d=100mm，求在此轉(zhuǎn)速時(shí)的切削力F。nndrF例題2-21例題

第2章

動(dòng)能定理88車床正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)是勻速的，因此動(dòng)能不隨時(shí)間改變，即，故輸入功率與輸出功率和消耗功率之和平衡。解:nndrF由題意知，代入上式得例題2-21例題

第2章

動(dòng)能定理89對(duì)比上兩式得如忽略走刀阻力，則P有用就表示切削力F的功率，如圖所示。即nndrF例題2-21例題

第2章

動(dòng)能定理90設(shè)質(zhì)量為m，半徑為r的園柱體在一個(gè)半徑為R的大園槽內(nèi)作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，如圖所示。如不計(jì)滾動(dòng)摩阻，求園柱體圍繞其平衡位置作微小擺動(dòng)的周期。ORACrEφ例題2-22例題

第2章

動(dòng)能定理91例題2-22例題

第2章

動(dòng)能定理92其中。至于角速度ω可以這樣確定：利用無滑動(dòng)的條件，接觸點(diǎn)A為瞬時(shí)速度中心，因此可得到，或者。系統(tǒng)的動(dòng)能（a）解：將這些關(guān)系代入上式，就有ORACrmgFFNEφ例題2-22例題

第2章

動(dòng)能定理93如以平衡位置為重力勢能的零點(diǎn)，則在任一位置系統(tǒng)的勢能為將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用回轉(zhuǎn)半徑表示，上式可化為（b）（c）ORACrmgFFNEφ例題2-22例題

第2章

動(dòng)能定理94此式給出了系統(tǒng)的速度隨位置的變化規(guī)律。根據(jù)機(jī)械能定恒定律得（d）為了得到運(yùn)動(dòng)微分方程，可將式（d）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)ORACrmgFFNEφ則微小擺動(dòng)的周期為（e）在微小擺動(dòng)情況下，可近似地取。上式可簡化為例題2-22例題

第2章

動(dòng)能定理95

如圖所示，擺的質(zhì)量為m，點(diǎn)C為其質(zhì)心，O端為光滑鉸支，在點(diǎn)D處用彈簧懸掛，可在鉛直平面內(nèi)擺動(dòng)。設(shè)擺對(duì)水平軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，彈簧的剛度系數(shù)為k；擺桿在水平位置處平衡。設(shè)OD=CD=b。求擺從水平位置處初角速度ω0擺下作微幅擺動(dòng)時(shí)，擺的角速度與φ

角的關(guān)系。

φω0ODCmg例題2-23例題

第2章

動(dòng)能定理96例題2-23例題

第2章

動(dòng)能定理97研究擺的運(yùn)動(dòng)。作用于擺的力有彈簧力F，重力mg和支座約束力FOx和FOy。前兩力為保守力，后兩力不作功，因此擺的機(jī)械能守恒。 取水平位置為擺的零勢能位置，此時(shí)機(jī)械能等于動(dòng)能。擺作微幅擺動(dòng)，φ角極小。系統(tǒng)對(duì)平衡位置的勢能為，而動(dòng)能為。解此方程得擺桿的角速度為解：φω0ODCmg由機(jī)械守恒，有例題2-23例題

第2章

動(dòng)能定理98Rr（+）αθFaCmgFNOC均質(zhì)圓輪半徑為r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無滑動(dòng)。建立圓輪質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)微分方程。例題2-24O1例題

第2章

動(dòng)能定理991.應(yīng)用功率方程建立該方程。得應(yīng)用功率方程輪與地面接觸點(diǎn)為瞬心，如圖所示，因此摩擦力與法向約束力不作功。重力的功率為Rr（+）αθFaCmgFNOC解：均質(zhì)圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能為例題2-24O1例題

第2章

動(dòng)能定理100Rr（+）αθFaCmgFNOC因當(dāng)θ很小時(shí)，，于是得質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)微分方程為例題2-24O1例題

第2章

動(dòng)能定理101取質(zhì)心的最低位置O為重力場零勢能點(diǎn)，圓輪在任意位置的勢能為同一瞬時(shí)的動(dòng)能為因機(jī)械能守恒，有把V和T的表達(dá)式代入，取導(dǎo)數(shù)后得從前面的分析已知，地面的法向約束力和摩擦力不作功，只有重力作功，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。于是質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)微方程也可通過機(jī)械能守恒定律建立。Rr（+）αθFaCmgFNOC2.應(yīng)用機(jī)械能守恒定律建立該方程。例題2-24O1例題

第2章

動(dòng)能定理102因于是得當(dāng)θ很小時(shí)，于是得圓輪作微幅擺動(dòng)時(shí)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)微分方程為Rr（+）αθFaCmgFNOC例題2-24O1例題

第2章

動(dòng)能定理103一平板與水平面成角θ，板面上有一質(zhì)量為m的小球，如圖所示。若不計(jì)摩擦等阻力，問平板以多大加速度向右平動(dòng)時(shí)，小球能保持相對(duì)靜止？若平板又以兩倍這個(gè)加速度向右平動(dòng)時(shí)，小球應(yīng)沿板向上運(yùn)動(dòng)。問小球沿板走了l距離后，小球的相對(duì)速度是多少？θmae例題2-25例題

第2章

動(dòng)能定理104解：1.在平板上固結(jié)一動(dòng)參考系O'x'y'z'。

從中解出得θx'y'O'maeFNF*emgOxy小球受的有重力mg，平板的支承力FN。小球的牽連慣性力的大小為F*e=mae，方向與平板向右作平動(dòng)的加速度ae相反，如圖所示。因動(dòng)系作平動(dòng)，所以沒有科氏慣性力，小球相對(duì)靜止方程為例題2-25例題

第2章

動(dòng)能定理105解得整理后得2.當(dāng)加速度時(shí)，牽連慣性力，應(yīng)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理，有θx'y'O'maeFNF*emgOxy例題2-25例題

第2章

動(dòng)能定理106半徑為R的環(huán)形管，繞鉛垂軸z以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。管內(nèi)有一質(zhì)量為m的小球，原在最低處平衡。小球受微小擾動(dòng)時(shí)可能會(huì)沿圓管上升。忽略管壁摩擦，求小球能達(dá)到的最大偏角φmax。φRωz例題2-26例題

第2章

動(dòng)能定理107例題2-26例題

第2章

動(dòng)能定理108以環(huán)形管為動(dòng)參考系，小球在任一角度φ時(shí)，其牽連慣性力大小為，方向如圖。小球在最低處和最高處的相對(duì)速度都等于零。列出此二位置間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理，得φRωmgF*ez經(jīng)過微小角度dφ時(shí)，此慣性力作功為解：例題2-26例題

第2章

動(dòng)能定理109由積分可得或解出因上式變?yōu)棣誖ωmgF*ez例題2-26例題

第2章

動(dòng)能定理110其中一解為對(duì)應(yīng)于小球在最低處的情況，即另一解為得可以看出，上述結(jié)果只在ω2R≥g時(shí)才有意義，此時(shí)有cosφmax

≤1；而當(dāng)ω2R<g時(shí)，小球不會(huì)沿圓管上升，而在最低點(diǎn)處才是穩(wěn)定的。φRωmgF*ez例題2-26例題

第2章

動(dòng)能定理111ⅠⅡMmg在絞車的主動(dòng)軸Ⅰ上作用一恒力偶M以提升重物，如圖所示。已知重物的質(zhì)量為m；主動(dòng)軸Ⅰ和從動(dòng)軸Ⅱ連同安裝在軸上的齒輪附件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，傳動(dòng)比；鼓輪的半徑為R。軸承的摩擦和吊索的質(zhì)量均可不計(jì)。絞車開始靜止，求當(dāng)重物上升的距離為h時(shí)的加速度。例題2-27例題

第2章

動(dòng)能定理112當(dāng)重物速度為v時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能為兩端消去v，得重物上升加速度為此時(shí)主動(dòng)軸Ⅰ的角速度為，忽略摩擦，此系統(tǒng)總功率為代入功率方程式，得ⅠⅡMmg解:例題2-27例題

第2章

動(dòng)能定理113如圖所示，物塊質(zhì)量為m，用不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩跨過滑輪與彈簧相連。彈簧原長為l0，剛度系數(shù)為k，質(zhì)量不計(jì)。滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。不計(jì)軸承摩擦，試建立此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。ssxxl0δ0δ0mgφθ例題2-28例題

第2章

動(dòng)能定理114例題2-28例題

第2章

動(dòng)能定理115若彈簧由自然位置拉長任一長度s，滑輪轉(zhuǎn)過角φ，物塊下降，顯然有s=

φR。重物下降速度