王振發(fā)版-分析力學(xué)-課件-第4章-力學(xué)的變分原理

第四章力學(xué)的變分原理1.變分法簡(jiǎn)介2.哈密頓原理3.力學(xué)原理.方程之間的聯(lián)系（了解）4.哈密頓原理應(yīng)用舉例5.高斯最小拘束原理（了解）6.拉格朗日最小作用量原理（了解）力學(xué)原理：不需經(jīng)過(guò)證明，在實(shí)踐中靠歸納得出的力學(xué)的最基本最普遍的規(guī)律。力學(xué)原理分為兩大類(lèi)：不變分原理和變分原理；每一類(lèi)可分為兩種形式：微分形式、積分形式。不變分原理：

反映力學(xué)系統(tǒng)真實(shí)運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律，如果原理本身只表明某一瞬時(shí)狀態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，稱(chēng)為微分原理，如達(dá)朗伯原理就是不變分微分原理；如果原理是說(shuō)明一有限時(shí)間過(guò)程系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則稱(chēng)為積分原理，如機(jī)械能守恒原理即不變分的積分原理。變分原理：

提供一種準(zhǔn)則，根據(jù)這種準(zhǔn)則，可以把力學(xué)系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)與相同條件下約束所允許的一切可能運(yùn)動(dòng)區(qū)別開(kāi)來(lái)，從而確定系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)。如果準(zhǔn)則是對(duì)某一瞬時(shí)狀態(tài)而言的，則該原理稱(chēng)為微分變分原理。虛位移原理就是微分變分原理，它提供了區(qū)別非自由質(zhì)點(diǎn)系的真實(shí)平衡位置和約束所允許的鄰近的可能平衡位置的準(zhǔn)則，動(dòng)力學(xué)普遍方程和本章的高斯最小拘束原理都是微分變分原理。如果準(zhǔn)則是對(duì)一有限時(shí)間過(guò)程而言的，則該原理稱(chēng)為積分變分原理，本章的哈密頓原理和拉格朗日最小作用量原理即積分原理。力學(xué)的變分原理是變分法在力學(xué)中的應(yīng)用。1.變分法簡(jiǎn)介1.泛函的概念（1）函數(shù)的概念設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集。如果對(duì)D中的每個(gè)數(shù)x，變量y按確定關(guān)系總有一個(gè)確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y是x的函數(shù)，記作y=f(x)，x稱(chēng)做自變量，y

稱(chēng)做因變量。對(duì)于多元函數(shù)，記做

y=f(x1，x2，…，xn）（2）泛函的概念給定一個(gè)由任何對(duì)象組成的集合D，這里所說(shuō)的任何對(duì)象可以是數(shù)、數(shù)組、點(diǎn)、線(xiàn)、面，也可以是函數(shù)或某系統(tǒng)的狀態(tài)等。設(shè)集合D中的元素用x

表示，如果對(duì)于集合中的每一個(gè)元素x

對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)y，則稱(chēng)y是x的泛函，記為y=F(x).有時(shí)泛函可以看做是函數(shù)，函數(shù)也可看做是泛數(shù)。譬如，如果集合D中的元素是數(shù)x

，則泛函y=F(x)可視為函數(shù)y=f(x)

；如果集合D中的元素是數(shù)組（x1,x2,…xn），則泛函y=F(x)

可視為函數(shù)y=f(x1,x2…xn)。函數(shù)和泛函畢竟是兩個(gè)不同的概念：函數(shù)表示的是數(shù)與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而泛函表示的是函數(shù)與數(shù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，函數(shù)概念可作為泛函概念的特殊情況。2.變分法簡(jiǎn)介（1）變分法的研究對(duì)象一個(gè)可微函數(shù)y=f(x)在某點(diǎn)x

具有極值的條件是它的導(dǎo)數(shù)等于零，即或說(shuō)函數(shù)的微分等于零，。實(shí)踐中還常常遇到需要求出泛函的極大值和極小值的問(wèn)題，變分法就是研究求泛函的極值的方法。凡有關(guān)求泛函的極值問(wèn)題都稱(chēng)做變分問(wèn)題。例如：著名的最速降線(xiàn)問(wèn)題就是一個(gè)變分問(wèn)題。在圖所示的鉛垂平面內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)M在重力作用下，不計(jì)摩擦，無(wú)初速地自點(diǎn)A降落到點(diǎn)B，所沿曲線(xiàn)可有無(wú)數(shù)條，顯然A，B兩點(diǎn)的直線(xiàn)距離最短，但所用時(shí)間并不是最少的，那么，沿哪條曲線(xiàn)所用時(shí)間最少呢？由圖知，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，0），（），過(guò)A，B兩點(diǎn)的曲線(xiàn)可用函數(shù)表示為（0≤x≤xb）由機(jī)械能守恒定律，質(zhì)點(diǎn)M的速度為在dt

時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)M走過(guò)的弧長(zhǎng)為則質(zhì)點(diǎn)M

從點(diǎn)A降落到點(diǎn)B所用時(shí)間為上式時(shí)間t是用定積分（函數(shù)的集合）來(lái)表示的，這種關(guān)系即泛函，其數(shù)值取決于式中未知函數(shù)y=f(x)和。另外：在某一曲面上指定的兩點(diǎn)之間，求出長(zhǎng)度最短曲線(xiàn)問(wèn)題（短程線(xiàn)問(wèn)題）；求長(zhǎng)度一定的封閉線(xiàn)所圍面積為最大的問(wèn)題（等周問(wèn)題）等，都是變分問(wèn)題。顯然求此泛函的極小值就是求所用的最小時(shí)間t,，也就是求出函數(shù)中的哪一個(gè)函數(shù)表示的曲線(xiàn)是最速降線(xiàn)。（2）變分的概念變分分等時(shí)變分和全變分兩種，全變分又稱(chēng)非等時(shí)變分。我們只研究等時(shí)變分。設(shè)集合D中的元素是表示某一力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的函數(shù)，其中t為自變量，q為力學(xué)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，此函數(shù)見(jiàn)下圖。當(dāng)自變量t有微小增量dt時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)q的微小增量的線(xiàn)性主部dq稱(chēng)為函數(shù)的微分，記為

由于是在瞬時(shí)t

，不考慮時(shí)間t

的變化，這種變分稱(chēng)為等時(shí)變分。圖給出了函數(shù)的變分與微分的區(qū)別。

如果自變量t

保持不變，而函數(shù)本身形式發(fā)生微小變化，則得另一條曲線(xiàn)，如圖中虛線(xiàn)所示，顯然這種曲線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，令

式中為一參數(shù)，為無(wú)窮小量。

上式表示的是一族依賴(lài)于參數(shù)的函數(shù)，相應(yīng)的是一族非常接近的曲線(xiàn)。式中是可微的時(shí)間函數(shù)。

在瞬時(shí)，由函數(shù)本身形式的微小變化而得的微小增量的主部稱(chēng)為函數(shù)的變分，記為

等時(shí)變分的兩個(gè)運(yùn)算規(guī)則變分與對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算次序可以相互交換，即變分與對(duì)時(shí)間的積分的運(yùn)算次序也可以相互交換：變分的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的變分；變分的積分等于積分的變分.（3）變分法設(shè)泛函J

為定積分

現(xiàn)欲求通過(guò)兩固定點(diǎn)和的一條曲線(xiàn)，如圖實(shí)線(xiàn)所示，這條曲線(xiàn)使泛函J具有極值。為表示通過(guò)A，B兩固定點(diǎn)的與非常接近的一族函數(shù)，我們將這族函數(shù)表示為依賴(lài)于參數(shù)的函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，就是欲求的函數(shù)。因可為不同的值，因此泛函J也是的函數(shù)，即泛函的極值問(wèn)題就轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的極值問(wèn)題。由函數(shù)的極值條件*該式說(shuō)明泛函的極值條件是泛函的變分等于零.得按運(yùn)算規(guī)則。有用分部積分公式，第二項(xiàng)的時(shí)間積分為積分號(hào)中第二項(xiàng)因兩端點(diǎn)A，B是固定的，所以因此上式右邊第一項(xiàng)等于零，得由于是任意的，因此上式成立的條件是

上式就是使泛函J取極值時(shí)函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件，它是關(guān)于函數(shù)的二階微分方程，稱(chēng)為歐拉微分方程，解之便得欲求的函數(shù)。下面我們來(lái)求解質(zhì)點(diǎn)的最速降線(xiàn)。改變泛函的形式，即對(duì)比歐拉微分方程，更換變量，成為式中經(jīng)整理后得兩邊同乘以后積分，得即亦即令則代入上式并化簡(jiǎn)得積分后得由得。于是最后得這是以為參數(shù)的旋輪線(xiàn)的曲線(xiàn)方程。其中可由值來(lái)確定，由圖可見(jiàn)是旋輪的直經(jīng)，是旋輪的轉(zhuǎn)角?？傊钏俳稻€(xiàn)為一旋輪線(xiàn)。2. 哈密頓原理應(yīng)用變分法來(lái)研究哈密頓原理L為拉格朗日函數(shù)，使泛函及泛函的極值條件進(jìn)而得使泛函取極值時(shí)的函數(shù)q(t)應(yīng)滿(mǎn)足的條件這恰是一個(gè)自由度的保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。

對(duì)于多自由度的保守系統(tǒng)，其拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)，仿照對(duì)一個(gè)自由度系統(tǒng)的分析，便得使泛函取極值時(shí)的函數(shù)qk(t)應(yīng)滿(mǎn)足的條件為拉格朗日方程組這個(gè)結(jié)論推導(dǎo)如下：由N個(gè)廣義坐標(biāo)構(gòu)成的空間為N維位形空間為了形象簡(jiǎn)潔的表示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，由N個(gè)廣義坐標(biāo)和時(shí)間t組成的N+1維空間，這樣，增廣位形空間的一個(gè)點(diǎn)就表示了系統(tǒng)在任一瞬時(shí)的位置。先介紹增廣位形空間的概念：設(shè)系統(tǒng)在起始和終止的時(shí)間和位置分別用A和B兩個(gè)點(diǎn)表示，系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)用上圖中的實(shí)線(xiàn)AMB表示，此曲線(xiàn)稱(chēng)為系統(tǒng)的真實(shí)路徑。在相同的始末條件下，系統(tǒng)為約束所允許的與真實(shí)運(yùn)動(dòng)非常鄰近的任一可能運(yùn)動(dòng)用圖中虛線(xiàn)AM’B表示，此曲線(xiàn)稱(chēng)為系統(tǒng)的可能路徑。

在任一瞬時(shí)t，可能路徑對(duì)真實(shí)路徑的偏離用等時(shí)變分表示，真實(shí)路徑的M點(diǎn)坐標(biāo)為，而可能路徑對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則函數(shù)L的等時(shí)變分則為可能運(yùn)動(dòng)的拉格朗日函數(shù)為真實(shí)的運(yùn)動(dòng)的拉格朗日函數(shù)為泛函變分為由于始末兩點(diǎn)固定，所以上式右邊第一項(xiàng)為零，則上式變?yōu)楦鶕?jù)泛函的極值條件，此式應(yīng)為零。由于各廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)