第二章人壽保險精算現值

第二章人壽保險的精算現值熟悉人壽保險的數學模型；熟悉人壽保險現值隨機變量及人壽保險精算現值；掌握各種壽險產品躉繳凈保費及人壽保險現值隨機變量方差的計算方法；了解躉繳凈保費的實際意義及遞推公式；熟悉利用換算函數計算人壽保險的躉繳凈保費。2/3/20231第二章人壽保險的精算現值人身保險是以人的壽命和身體為保險標的的保險。人壽保險是人身保險的一種。人壽保險轉嫁的是被保險人的生存或者死亡的風險。它起源于古代的互助團體，其原理是通過集合具有同質風險的大量被保險人，通過在這些被保險人之間進行風險分散——即由所有的被保險人共同出資給遭遇風險的少數被保險人——來達到降低突發(fā)風險事故對遭遇風險事故的個體造成的財務沖擊。本章的目的就是討論各種人壽保險的模型和方法。2/3/20232第二章人壽保險的精算現值§2.1連續(xù)型保險所謂連續(xù)型保險，指的是在保險事故出現后立即支付保險利益的保險，因為人壽保險一般以被保險人的死亡為保險事故，所以有時又叫做在死亡即刻支付的保險。在保險事故出現后，保險公司向被保險人（或其收益人）支付的保險金為保險利益，保險利益一般為從保險開始（保單生效）后到保險事故出現之間的時間長度的函數，根據上一章的記號，用t來記時間變量，相應的保險利益記為bt。一般情況下，統(tǒng)稱bt為保額函數。相應地，用vt記貼現函數，即將bt貼現到保險開始時的函數。通常假設貼現因子中的利率為常數。對于一份新發(fā)行的保單，因為保險事故發(fā)生的時間由隨機變量T(x)來描述，而保險利益的支付時間及其價值均與T(x)有關，所以，可以定義相應的現值隨機變量如下：Z=bTvT

2/3/20233第二章人壽保險的精算現值等額保險所謂等額保險，是指保險利益的金額在保險開始時就已經固定，只是支付的時間不確定而已，支付時間與保險事故發(fā)生的時間有關。定期死亡保險終身壽險生存和兩全保險延期保險定期死亡保險：考慮n年期定期死亡保險，這種保險只有被保險人在保險開始后n年內死亡，保險公司才對被保險人進行支付。2/3/20234第二章人壽保險的精算現值等額保險本節(jié)討論的壽險模型,其保險金是在被保險人的未來壽命T=T(x)時給付,即在被保險人死亡時立即給付。在壽險實務中幾乎所有保險都是如此。這就是所謂的連續(xù)型的人壽保險模型死亡保險:假設被保險人在投保(或簽單)時的年齡為x歲,保險金在被保險人未來壽命T=T(x)時的給付金額為bt,而vt是在時刻t時給付1個單位金額在簽單時的利息貼現系數,ZT是給付金額在簽單時的現值。則現值隨機變量2/3/20235第二章人壽保險的精算現值死亡保險對于(x)投保連續(xù)型的保險金額為1單位的n年期定期壽險,其有關函數是稱現值函數隨機變量Z的數學期望為保險的精算現值，也是躉繳純保費額于是2/3/20236第二章人壽保險的精算現值則連續(xù)型的保險金額為1個單位的n年定期壽險現值隨機變量ZT的方差是2/3/20237第二章人壽保險的精算現值2/3/20238第二章人壽保險的精算現值例，設(x)的未來壽命T=T(x)的密度函數是解:依題意,則有2/3/20239第二章人壽保險的精算現值2/3/202310第二章人壽保險的精算現值保險金給付現值的隨機變量ZT的方差,對于考慮經營該險種業(yè)務的財務穩(wěn)定性具有重要的指導意義。[例]設有100個相互獨立的年齡都是x歲的被保險人均投保保險金額為10元的連續(xù)型終身壽險,死力為=0.04,保險金將從按利力=0.06計息的投資基金中支付。試計算該項基金在最初(t=0)時,其數額至少有多大,才能保證從該項基金中足以支付每個被保險人死亡保險金的概率近似為95%。2/3/202311第二章人壽保險的精算現值解:設Zj表示第j個被保險人的死亡給付在投保時的現值隨機變量,則2/3/202312第二章人壽保險的精算現值設該項基金在最初時的數額至少是h元,依題意,則

即該項基金在最初時的數額至少要有449.35元,比所收取的建繳純保費建立的初始基金400(=100×4)元多出49.35元,即超過歪繳純保費基金的12.34%。這說明,最初基金需有風險附加費(即安全附加費)的存在,即該基金超過保費總額的那部分(49.35元)是安全附加基金。

2/3/202313第二章人壽保險的精算現值兩全保險與延期壽險對于(x)投保連續(xù)型的保險金額為1個單位的n年期兩全保險,其給付現值的隨機變量

2/3/202314第二章人壽保險的精算現值延期壽險對于(x)投保連續(xù)型的保險金額為1個單位的延期h年的終身壽險,其給付現值的隨機變量是

2/3/202315第二章人壽保險的精算現值表示連續(xù)型的保險金額為1個單位的延期h年的n年期定期壽險和延期h年的n年期兩全保險的躉繳純保費分別為2/3/202316第二章人壽保險的精算現值例考察保險金額為1個單位的延期5年的終身壽險,設年齡為x歲的被保險人,其死力為常值μ=0.04,利力=0.10,Z表示給付現值隨機變量。試求:期望值E(Z);(2)方差Var(Z);(3)中位數解:依題意可知,未來壽命T=T(x)的密度函數是2/3/202317第二章人壽保險的精算現值2/3/202318第二章人壽保險的精算現值變額保險對于連續(xù)型的非均衡給付保險,本文僅討論遞增非均衡給付和遞減非均衡給付中的兩種特殊情形:1.按算術數列續(xù)年遞增的終身壽險;2.按算術數列續(xù)年遞減的終身壽險。1.按算術數列續(xù)年遞增的終身壽險按算術數列{n}續(xù)年遞增的連續(xù)型的終身壽險,可分為三種情況,其一是按年遞增的終身壽險,其二是按年遞增且每年遞增m次的終身壽險,其三是按年連續(xù)遞增的終身壽險。

2/3/202319第二章人壽保險的精算現值(1)按年遞增的終身壽險:其保險利益為:如被保險人在第一保單年度內死亡,則在死亡時立即給付保險金1元;在第二個保單年度內死亡,則在死亡時立即給付保險金2元;在第三個保單年度內死亡,則在死亡時立即給付保險金3元,依次類推

該終身壽險的有關函數是

2/3/202320第二章人壽保險的精算現值(2)按年度遞增且每年遞增m次的終身壽險.它是將每一個保單年度分為均等的m個時間段,其保險利益是:如被保險人在第一個保單年的第一個1/m年內死亡,則立即給付保險金1/m元,在第一個保單年的第二個1/m年(即1/m到2/m年之間）內死亡,則立即給付保險金2/m，…，第一個保單年的第m個1/m年內死亡,則立即給付保險金1(即m/m)元;在第二個保單年的第一個1/m年內死亡,則立即給付保險金(1+1/m)元,在第二個保單年的第二個1/m年內死亡,則立即給付保險金(1+2/m)元,依次類推

2/3/202321第二章人壽保險的精算現值該終身壽險的有關函數是

2/3/202322第二章人壽保險的精算現值(3)按年連續(xù)遞增的終身壽險。按年連續(xù)遞增的即期終身壽險其保險利益是:如被保險人在時刻t(t>O)時死亡,則給付死亡保險金t元

該終身壽險的現值隨機變量

2/3/202323第二章人壽保險的精算現值上式表明:按年連續(xù)遞增的終身壽險保單等價于由一系列的延期的保險金額為1元的連續(xù)型終身壽險保單所組成

2/3/202324第二章人壽保險的精算現值2.按年遞減的n年定期壽險。按年遞減的n年定期壽險,其保險利益是:如被保險人在第一個保單年內死亡,則立即給付保險金n元,在第二個保單年內死亡,則立即給付保險金(n-1)元,依次類推,在第n個保單年內死亡,則立即給付保險金1元。該保險的有關函數是2/3/202325第二章人壽保險的精算現值2/3/202326第二章人壽保險的精算現值2/3/202327第二章人壽保險的精算現值2/3/202328第二章人壽保險的精算現值2/3/202329第二章人壽保險的精算現值微分方程（換算函數表示式）本節(jié)引人連續(xù)的換算函數來表示連續(xù)型各壽險的精算現值考慮(x)的終身壽險，我們有2/3/202330第二章人壽保險的精算現值2/3/202331第二章人壽保險的精算現值死亡均勻分布假設下的壽險模型討論在死亡均勻分布假設下，連續(xù)型壽險模型的躉繳純保費與相對應的離散型壽險模型之間的關系。以連續(xù)型的保險金額為1個單位的終身壽險為例,在死亡均勻分布的假設條件下,討論

2/3/202332第二章人壽保險的精算現值第二章人壽保險的精算現值（躉繳純保費）第二節(jié)離散型人壽保險模型概念：是指以離散型未來壽命為基礎，保險金是在被保險人所處的保單年度末支付而建立的各種人壽保險的數學模型。若被保險人在投保(或簽單)時的年齡為Z歲,其未來壽命整年數為K(x),則其概率分布律為2/3/202333第二章人壽保險的精算現值離散型人壽保險模型假設保險金額在K(x)+1處給付,給付數額為bk+l元,記K+1為在K(x)+1處給付1個單位保險金在簽單時的利息貼現系數,Z為給付保險金額在簽單時的現值。則 Z=bk+l·K+1(K=0,1,2,…)因此,在離散型人壽保險模型下,現值隨機變量Z的期望值E(Z)的一般表達式是對于人壽保險,現值隨機變量Z的期望值E(Z)稱為躉繳純保費。躉繳意味著一次性繳付而不是按其他方式分期繳付。

2/3/202334第二章人壽保險的精算現值等額保險等額保險指保險利益固定的保險，支付時間不確定，可以分為n年定期死亡保險險、終身壽險、兩全保險、延期保險等。設年齡為x歲的人,投?；蚝灱s保險金額為1個單位的n年定期壽險,則給付現值函數是用換算符號，可以得在人壽保險中,純保費通常稱為自然純保費2/3/202335第二章人壽保險的精算現值另外，有從而得到定期保險的一個遞推公式：一份n年期定期保險，可以拆成兩份保險之和，它們分別是，一年期的定期保險和在一年后的n-1年期定期保險，因為一年后的n-1年期定期保險只有在被保險人生存的情況下才有意義，所以，其價值為一年后的在現在的精算現值上述遞推關系式，也可以得到一種由生命表直接計算定期保險的方法，即：n年期定期保險的精算現值可以寫成一系列的一年期保險的精算現值之和2/3/202336第二章人壽保險的精算現值上式第一個等號的左邊可以看成是保險人在賣出lx份保險后收集到的全部保費在時刻1（即賣出保險1年后）的積累值，因為在1時還有l(wèi)x+1個被保險人生存，所以保險公司應該有l(wèi)x+1份n-1年期的保險的負債，同時，因為在第一年死亡dx人，保險公司在時刻1時需要向每個在第一年內死亡的人（或其受益人）支付1元保險利益，根據收支（含負債）相等的原則，第一個等號成立。第二個等號是因為lx+1=lx-dx，等號右邊的含義是：所有在x歲購買了n年期定期保險的lx個人，在1年后都應該有一份n-1年期的保險，同時對那些在這年內死亡的被保險人來說，他們還得到另外一筆金額為的支付2/3/202337第二章人壽保險的精算現值用x+1替代上式中的x，同時用n-1替代上式中的n，有這表明：保險的精算現值其實就是保險期限內各年度預期的年度花費的現值2/3/202338第二章人壽保險的精算現值例2-9假設i=4%，利用示例生命表（2000-2003非養(yǎng)老保險生命表CL1），計算20歲被保險人的1000單位保險利益的三年期定期死亡保險的精算現值。2/3/202339第二章人壽保險的精算現值2/3/202340第二章人壽保險的精算現值2．終身壽險注意到，如果令式(2-18)中n→∞，那么n年期定期保險就變成了終身壽險，所以，終身壽險的精算現值為上式的意義非常明顯：左邊可看成是在保單發(fā)行時，所有的被保險人(x)聚集的資金（相當于保險公司為發(fā)行全部保單而建立的保險基金），右邊則是預期的全部死亡賠付在保單發(fā)行時的現值。2/3/202341第二章人壽保險的精算現值2/3/202342第二章人壽保險的精算現值2/3/202343第二章人壽保險的精算現值2/3/202344第二章人壽保險的精算現值2/3/202345第二章人壽保險的精算現值計算結果表明：基金預期金額與實際金額相差-7115.78元，也就是說，實際結果比預期的理想。造成實際結果比預期理想的原因是在第一年的實際投資收益率是5%，超過預期！另外，從死亡人數方面看，實際的死亡情況比預期的還要好，因為各年實際出現的死亡人數都比預期的要少。由此也可以看出，利率假設在壽險產品定價中的重要性2/3/202346第二章人壽保險的精算現值

例設現有100個年齡為30歲的人組成一個互助會,并建立一筆基金,該項基金專門用于在他們每個成員死亡時給付其指定受益人1000元(給付時間是在死亡的基金年度末)。經商定:這筆基金總額是按1990年-1993年中國人壽保險業(yè)經驗生命表(非養(yǎng)老金業(yè)務混合表)和預定年利率6%來計算躉繳純保費的,試問每個成員需要繳納多少資金。若這個基金實際運作的結果是：在第二年與第五年分別有1人死亡，第一年的收益率是6%,第二年和第三年的收益率是6.5%,第四年與第五年的收益率是7%。試分析在第五年度末該基金按計劃之初決定的期望值與實際基金之間的差異。2/3/202347第二章人壽保險的精算現值例題解：每個成員需要繳納的資金(也稱會費)是 P=1000A30=86.63(元)則100個成員所建立的基金總額是S=100p=100×86.63=8663(元)在第五年度末該項基金按計劃之初決定的期望值是用FK表示第k個基金年度末的基金值,則實際運作的結果是

F0=S=8663(元)，F5=10004.86×(1+7%)-1000=970520(元)

兩者之間的差額是11061.69-9705.20=1356.49(元)這一結果反映了五年間的投資與死亡的經驗,一方面反映了實際投資收益超過了預期利率6%的年收益,而另一方面也反映了實際死亡人數2大大高于預期死亡人數0.44880

2/3/202348第二章人壽保險的精算現值兩全保險N年兩全保險是由n年生存保險和n年定期壽險組成的，假設（x）簽約保險金額為1個單位的n年兩全保險，則其有關函數是2/3/202349第二章人壽保險的精算現值例2-13

已知某(35)的壽命服從deMoivre律，ω=100，i=0.05，Z為對其發(fā)行的20年定期兩全壽險的現值隨機變量，計算Z的期望和方差。2/3/202350第二章人壽保險的精算現值2/3/202351第二章人壽保險的精算現值延期壽險概念：人壽保險模型,是壽險保單一經簽訂,保險保障即生效的保險,也可稱為即期壽險。而本節(jié)我們考慮的情況為延期壽險,它意味著在保單簽發(fā)后的若干年后才提供保障。函數：假設(x)投保離散型的保險金額為1個單位的延期h年的n年定期壽險,則其有關函數是2/3/202352第二章人壽保險的精算現值延期壽險例證明2/3/202353第二章人壽保險的精算現值2/3/202354第二章人壽保險的精算現值例2-14假設利率i=4%，利用示例生命表，求：2/3/202355第二章人壽保險的精算現值我們討論了各種年度離散保險，類似地，我們還可以討論在死亡所在的1/m年度末支付的保險。這種支付模式可能更有實際意義，因為在人壽保險實務中，保險利益的支付并沒有必要等到年末，而是在保險事故發(fā)生后比較短的時間內支付，因此，在死亡的1/m年度末支付的保險可能更與實際情況接近。這種保險的討論與上述討論完全類似，我們以終身壽險為例進行討論。2/3/202356第二章人壽保險的精算現值2/3/202357第二章人壽保險的精算現值變額保險（非均衡給付保險）考慮保險金額的給付隨著被保險人未來壽命的變化而改變,這類人壽保險稱為變額保險.我們主要討論保險金額按算術數列{n}遞增和遞減的情形.遞增的n年定期壽險,即假設(x)投保離散型的按算術數列遞增的n年期定期壽險.

2/3/202358第二章人壽保險的精算現值遞增的n年定期壽險若保險人在第k+1個保單年度內死亡,則給付(k+1)元的保險金(k=0,1,2,…n-1).則相應的有關函數是bk+1=k+l,(k=0,1,2,…,n-1)vk+1=(k=0,1,2,…,n-1)Z=bk+1vk+1=(k+1)(k=0,1,2,…,n-1)

2/3/202359第二章人壽保險的精算現值對(x)投保離散型的按算術數列{n}遞增的終身壽險，則精算現值(相當于上式中n)是從上式可看出,按算術數列遞增的終身壽險,實際上是由一系列延期定額終身壽險所構成的。2/3/202360第二章人壽保險的精算現值遞減的n