小波動(dòng)控制圖

小波動(dòng)控制圖第一頁，共五十頁，2022年，8月28日CUSUM控制圖概述CUSUM控制圖的設(shè)計(jì)思想就是對(duì)數(shù)據(jù)的信息加以積累。CUSUM控制圖分別可用于計(jì)量性數(shù)據(jù)（正態(tài)分布），缺陷數(shù)（泊松分布），不合格品率（二項(xiàng)分布）。利用樣本數(shù)據(jù)的累積和建立控制圖最早由佩吉提出，理論基礎(chǔ)是序貫分析原理中的序貫概率比檢驗(yàn)，這是一種基本的序貫檢驗(yàn)法。該控制圖通過對(duì)信息的累積，將過程的小偏移累加起來，達(dá)到放大的效果，提高檢測(cè)過程小偏移的靈敏度。

第二頁，共五十頁，2022年，8月28日

對(duì)于不同的累積和控制圖，有一個(gè)基本的共同點(diǎn)即：首先提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，其次對(duì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)并做出結(jié)論。本章所講的累積和控制圖指?jìng)鹘y(tǒng)意義上的累積和控制圖。構(gòu)造累積和控制圖，最關(guān)鍵的就是對(duì)所選質(zhì)量特性的描述，所以它與休哈特控制圖的基本構(gòu)建程序及應(yīng)用范圍有一定區(qū)別。在實(shí)際應(yīng)用中，用累積的統(tǒng)計(jì)值構(gòu)建的控制圖其敏感性和檢出效果要明顯強(qiáng)于憑單個(gè)樣本值構(gòu)建的控制圖，原因在于該圖是通過對(duì)樣本均值、樣本波動(dòng)、極差等質(zhì)量特性值的累積和建立的。它也可以對(duì)屬性值進(jìn)行累積。第三頁，共五十頁，2022年，8月28日7.1傳統(tǒng)的CUMSUM主要講述在樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的前提下，基于過程均值的單側(cè)檢驗(yàn)和雙側(cè)檢驗(yàn)的CUMSUM的構(gòu)造步驟與方法。（1）序貫概率比檢驗(yàn)

序貫概率比檢驗(yàn)是每次只從需檢測(cè)的一批產(chǎn)品中抽檢一個(gè)樣本的產(chǎn)品，然后根據(jù)過去抽檢的各樣本的測(cè)試結(jié)果，比較在兩種不同假時(shí)出現(xiàn)上述序貫測(cè)試結(jié)果的概率，以這兩種概率的比值（統(tǒng)計(jì)上稱為對(duì)的似然比）作為判斷的依據(jù)。如果概率比遠(yuǎn)大于1，說明成立的可能性大；如果概率比遠(yuǎn)小于1，說明成立的可能性大。如果兩種假設(shè)下的概率相差不大，則繼續(xù)抽檢下一個(gè)樣本，再重復(fù)上述過程，直到能明確做出接受假設(shè)為止。第四頁，共五十頁，2022年，8月28日命題1：若（為遠(yuǎn)大于1的數(shù)），則接受；若（為遠(yuǎn)小于1的數(shù)），則接受；若，繼續(xù)抽檢下一個(gè)樣本。A.wald對(duì)此有詳細(xì)的論述，并證明在使用時(shí)可近似取

當(dāng)為真時(shí)接受的概率近似等于，其中為第一類錯(cuò)誤概率；當(dāng)為真時(shí)接受的概率近似等于，其中為第二類錯(cuò)誤概率。

第五頁，共五十頁，2022年，8月28日（2）單側(cè)檢驗(yàn)和雙側(cè)檢驗(yàn)的CUMSUM建立在假設(shè)檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)之上，分別作出原假設(shè)和備擇假設(shè)，對(duì)連續(xù)的似然比率進(jìn)行檢驗(yàn)步驟如下：原假設(shè)：H0：μ=μ0

備擇假設(shè)：H1：μ=μ1(μ1>μ0),

當(dāng)β/(1-α)<序貫概率比〈1-β/α（7.1）時(shí)，不能作出接受或拒絕H0和H1的判斷。第六頁，共五十頁，2022年，8月28日公式7.1可用來對(duì)呈上升趨勢(shì)的均值構(gòu)造一個(gè)單側(cè)檢驗(yàn)控制圖。假如我們有一組按時(shí)間順序測(cè)得的獨(dú)立樣本數(shù)據(jù)即：X1X2…Xt，且服從正態(tài)分布組且樣本方差已知為，均值未知，序貫概率比用如下公式計(jì)算：

(7.2)第七頁，共五十頁，2022年，8月28日現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，則：△1=μ1－μ0

（7.3）St是對(duì)兩個(gè)均值平均數(shù)的偏差的累積和，如圖7.1所示。上下控制限分別根據(jù)方程7.2確定。按抽樣程序，在抽到第6個(gè)樣本點(diǎn)時(shí)，停止抽樣并接受H0：μ=μ0，因?yàn)闃颖静畹睦鄯e和超出了下控制線。同樣在第18個(gè)樣本點(diǎn)，接受：H1：μ=μ1

因?yàn)榇藭r(shí)樣本點(diǎn)超出上控制線。

第八頁，共五十頁，2022年，8月28日-20-100-30樣本數(shù)，t+1010020累積和控制圖上控制線圖7.1連續(xù)抽樣的累積和控制圖St第九頁，共五十頁，2022年，8月28日

在單側(cè)檢驗(yàn)控制圖中，可接受上限常常定為控制圖上控制限，而下控制限由于無實(shí)際意義，一般不預(yù)研究，所以圖7.1中雖然第六個(gè)點(diǎn)已超出下控制限也就無須采取補(bǔ)救措施，而第18個(gè)樣本點(diǎn)則相反。總之，單邊控制圖主要研究均值向下偏移的趨勢(shì)。若需要同時(shí)對(duì)大于和小于μO的兩種情況加以研究時(shí)，我們可以借助一對(duì)單側(cè)檢驗(yàn)控制圖，分別對(duì)向上和向下的變動(dòng)進(jìn)行研究。目標(biāo)均值分別記為μ1>μO和μ2<μO，對(duì)應(yīng)的發(fā)生第二類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)概率分別為β1和β2，發(fā)生第一類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)概率為2α，第十頁，共五十頁，2022年，8月28日將公式（7·2）與（7·3）合并，則得出累積和上下控制線為：

(7.4)(7.5)第十一頁，共五十頁，2022年，8月28日公式（7·4）和（7·5）是樣本數(shù)t的線性函數(shù)。結(jié)果見圖7.2（a）。一般情況下無論Δ1和Δ2取何值，CUMSUM都可用于對(duì)過程進(jìn)行雙邊檢驗(yàn)。圖7·2（α）顯示了向上和向下兩種變動(dòng)。

一般的連續(xù)抽樣的累積和控制圖模型7·2（b），圖中有三個(gè)判斷區(qū)域來接受相應(yīng)的假設(shè)：Ho：μ=μO，H１：μ=μO+Δ1，H2：μ=μO+Δ2，如陰影部分表示。當(dāng)樣本累積和落到任何三個(gè)區(qū)域之一時(shí)，就停止抽樣。在控制圖中，僅僅向外擴(kuò)張的上下控制線用于檢測(cè)對(duì)均值的偏離。注意：在所有情況下的累積和是偏離過程均值的累積。第十二頁，共五十頁，2022年，8月28日接受H1接受H2繼續(xù)抽樣繼續(xù)抽樣接受H0LCLUCL樣本數(shù)樣本數(shù)（a）雙側(cè)檢驗(yàn)的累積和控制圖（b）連續(xù)取樣區(qū)間圖7.2雙側(cè)檢驗(yàn)的累積和控制圖的不同序貫概率比的可接受區(qū)間接受H1接受H2繼續(xù)抽樣繼續(xù)抽樣接受H0LCLUCL樣本數(shù)樣本數(shù)（a）雙側(cè)檢驗(yàn)的累積和控制圖（b）連續(xù)取樣區(qū)間第十三頁，共五十頁，2022年，8月28日（3）CUMSUM的V型摸板當(dāng)均值向上和向下波動(dòng)的幅度相同時(shí)（如：Δ1=Δ2=Δ），常常用一個(gè)V型摸板對(duì)稱的兩臂做為上下控制限來分析累積和圖。僅僅觀測(cè)一下近期數(shù)據(jù)而非全部就可以從累積和的變動(dòng)中對(duì)非隨機(jī)模式做出判斷。由圖7·2（a）得出圖7·3。轉(zhuǎn)動(dòng)V型摸板，使其下控制限平行于X軸，中心o作為最近數(shù)據(jù)的始點(diǎn)。橫軸代表時(shí)間，以此判斷何時(shí)的數(shù)據(jù)落到兩臂上。當(dāng)一個(gè)或數(shù)個(gè)點(diǎn)被任一臂覆蓋時(shí)，表明過程均值已發(fā)生波動(dòng)。當(dāng)一個(gè)或數(shù)個(gè)點(diǎn)落被下臂覆蓋時(shí)，則表明過程均值向上波動(dòng)，被上臂覆蓋，表明過程均值向下波動(dòng)。第十四頁，共五十頁，2022年，8月28日?qǐng)D7.3累積和控制圖的V型模板t-7tt-3樣本數(shù)累積和dф可能發(fā)生偏移的時(shí)間第十五頁，共五十頁，2022年，8月28日?qǐng)D7·3描述了一個(gè)典型的CUMSUM的具體運(yùn)用，圖中清晰地顯示了第t時(shí)刻樣本點(diǎn)的具體位置。在3—7期間，均值明顯向上移動(dòng)，所以累積控制圖的優(yōu)勢(shì)就是借助該圖能夠?qū)^程均值發(fā)生變動(dòng)的時(shí)間做出較準(zhǔn)確的判斷。由β1=β2=β分別計(jì)算出：前置距離d，即：模板的頂點(diǎn)V到基點(diǎn)0的水平距離，角度Φ：即模板兩邊線UV與LV之間夾角的一半。為均值可允許的偏移量，則

第十六頁，共五十頁，2022年，8月28日

其中A稱為刻度因子，表示縱軸上一個(gè)刻度單位相當(dāng)于橫軸上A個(gè)刻度單位，通常取至2間的值。第十七頁，共五十頁，2022年，8月28日

用V型模板判斷過程是否發(fā)生異常時(shí)，把透明的模板放在累積和圖上，使它的基點(diǎn)O與圖上剛描上的點(diǎn)重合，模板與累積和圖的水平軸平行。如果以前所描的點(diǎn)都在V型模板的兩條斜線內(nèi)，則過程沒有發(fā)生異常；

1）如果有一點(diǎn)碰到或被V型模板下臂覆蓋，則判斷過程平均水平異常增大；

2）如果有一點(diǎn)碰到或被V型模板上臂覆蓋，則判斷過程平均水平異常減小。碰到或被V型模板覆蓋的點(diǎn)則可能是過程發(fā)生變化的起點(diǎn)。第十八頁，共五十頁，2022年，8月28日（4）樣本均值的傳統(tǒng)CUMSUM前述的CUMSUM是個(gè)體計(jì)量值控制圖，而對(duì)于樣本規(guī)模為n，均值分別為（…）的獨(dú)立樣本，構(gòu)造CUMSUM的步驟為：計(jì)算上下控制限：（7.7）（7.8）第十九頁，共五十頁，2022年，8月28日其中?1=μ1–μ0，?2=μ2–μ0，Cusum統(tǒng)計(jì)量為：

V型模板的前置距離d和角?的計(jì)算公式如下：第二十頁，共五十頁，2022年，8月28日（4）樣本極差的傳統(tǒng)CUMSUM

利用樣本累積和統(tǒng)計(jì)值對(duì)過程變動(dòng)進(jìn)行控制類似于對(duì)連續(xù)的似然比率進(jìn)行檢驗(yàn)。實(shí)際應(yīng)用中，用樣本極差考查I、П類錯(cuò)誤概率分別為和時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差σX從σ0到σ1發(fā)生的位移。由此得出V型模板兩個(gè)系數(shù)的計(jì)算公式：(7.9)第二十一頁，共五十頁，2022年，8月28日樣本累積統(tǒng)計(jì)量為：，其中：Ri為第i個(gè)樣本極差。為原假設(shè)。ω為由樣本規(guī)模決定的常數(shù)。第二十二頁，共五十頁，2022年，8月28日樣本規(guī)模，nω30.23340.18850.16060.14270.12880.11890.110100.103表7.1決定樣本極差Cusum的常數(shù)第二十三頁，共五十頁，2022年，8月28日7·3闡釋CUMSUM

由于構(gòu)成CUMSUM的樣本數(shù)據(jù)之間相互依賴，所以要研究處于控制限線數(shù)據(jù)間的非隨機(jī)因素引起的波動(dòng)就存在一定的難度，也就無法利用分析休哈特均值控制圖的原則和方法分析CUSUM。原因在于圖中樣本點(diǎn)是對(duì)歷史數(shù)據(jù)的累積，有些點(diǎn)就會(huì)遠(yuǎn)離中心線，再根據(jù)具體落點(diǎn)位置解釋圖形也就失去了意義。

如果一系列點(diǎn)隨機(jī)地排列在與中心線平行的某一位置，那么出現(xiàn)這種情況的原因很可能是中心線定位有問題。

第二十四頁，共五十頁，2022年，8月28日

一般地，當(dāng)圖中出現(xiàn)幾個(gè)樣本點(diǎn)連續(xù)呈上升或下降趨勢(shì)時(shí)則表明過程有可能產(chǎn)生了波動(dòng)；另一種發(fā)生波動(dòng)的信號(hào)是圖中連續(xù)的樣本點(diǎn)成線性趨勢(shì)向下傾斜。圖7·5（b）出了一天中每個(gè)樣本點(diǎn)與平均9個(gè)樣本均值之差的累積，圖中顯示，從第72天起，每天至少出現(xiàn)三次上偏和一次下偏趨勢(shì)。而圖（a）（休哈特圖）則無法顯示該信息。由此可以看出，在檢測(cè)過程中的微小波動(dòng)方面，CUMSUM的檢出功效明顯高于休哈特控制圖。第二十五頁，共五十頁，2022年，8月28日102007.5

(a)X單值圖30每天變化數(shù)樣本數(shù)，天204006080UCLX=21.00=9.50LCLX=0.00返回第二十六頁，共五十頁，2022年，8月28日4002080-207.5

(b)累積和圖（m=9）204006060累積和：樣本數(shù)，天801234第二十七頁，共五十頁，2022年，8月28日有些時(shí)候，由于計(jì)算累積和方法的差別，CUSUM也會(huì)提供錯(cuò)誤信號(hào)。例如參數(shù)值m、目標(biāo)均值的選擇等都可能造成控制圖錯(cuò)發(fā)信號(hào)。圖7·5（c）(d)是利用不同的參照值對(duì)同一批數(shù)據(jù)構(gòu)造出的CUSUM，但對(duì)過程波動(dòng)顯示出的統(tǒng)計(jì)信號(hào)卻明顯不同。

第二十八頁，共五十頁，2022年，8月28日-10-30-2010-407.5

(c)累積和圖（m=10）2000累積和：樣本數(shù)，天406080-50第二十九頁，共五十頁，2022年，8月28日20-20060-407.5

(d)累積和圖（m=9.5）204006040累積和：樣本數(shù)，天80第三十頁，共五十頁，2022年，8月28日7.4類似于休哈特圖的Cusum傳統(tǒng)的Cusum很大程度上依賴于對(duì)目標(biāo)過程參數(shù)和移動(dòng)檢測(cè)區(qū)間(n)的準(zhǔn)確估計(jì)。事實(shí)上，這有時(shí)很難做到，這種情況下，最好不要隨意地選取參數(shù)值來構(gòu)造Cusum，可以利用累積和作為樣本點(diǎn)，按照休哈特控制圖的原理來作圖。這些圖無備擇假設(shè)。我們先討論基于個(gè)體變量值之上的過程均值控制圖。隨后我們將討論樣本均值的Shewhart-likeCusumControlCharts。第三十一頁，共五十頁，2022年，8月28日（1）Cusum能被有效地應(yīng)用于個(gè)體測(cè)量數(shù)據(jù)它通過求和或求均值來對(duì)過去的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行總結(jié)。記t個(gè)個(gè)體觀測(cè)值為X1X2….Xt，則它們的和為：

St=∑（Xi–m）=St–1+(Xt–m)，這里m是任意參數(shù)值，通常為過程均值。St是樣本偏差的累積量。如果過程處于良好控制之下并且過程均值等于m，則CusumsSi將圍繞m波動(dòng)，不顯示任何傾向。當(dāng)過程向上或向下偏離m時(shí)，Si就會(huì)顯示上移或下移的趨勢(shì)，如果偏移是持續(xù)的，這種趨勢(shì)就是線形的。因此，在檢測(cè)這些圖時(shí)，要特別注意這些趨勢(shì)。第三十二頁，共五十頁，2022年，8月28日

沒有偏移的傾向，事實(shí)上累積統(tǒng)計(jì)量的均值始終圍繞一條水平直線隨機(jī)波動(dòng)一般認(rèn)為過程穩(wěn)定。因?yàn)槭抢鄯e量，它對(duì)細(xì)微波動(dòng)很敏感。傳統(tǒng)的Cusum遵循統(tǒng)計(jì)假設(shè)的思想，給出一個(gè)接受值和拒絕值以及相應(yīng)的錯(cuò)誤概率。下面所講的是一種轉(zhuǎn)換方法。設(shè)個(gè)體觀測(cè)值服從均值為μx方差為σX正態(tài)分布，記個(gè)體觀測(cè)值為Xi,i=1,2…t,實(shí)行標(biāo)準(zhǔn)化得：

Zi=（Xi–μx）/σX，此時(shí)，累積統(tǒng)計(jì)量為：它服從正態(tài)分布，將它描繪在中心線為0，控制線為±3的控制圖上即可。第三十三頁，共五十頁，2022年，8月28日（2）CusumChart的制作步驟

1、收集至少k=25個(gè)個(gè)體觀測(cè)值，記：X1X2….Xk。

2、計(jì)算它們的均值和方差的估計(jì)值。

3、實(shí)行標(biāo)準(zhǔn)化求Zi。

4、對(duì)每t個(gè)樣本數(shù)據(jù)求和，t=1,2,3,…k。

sumt=∑Zi。

5、對(duì)上述值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。

6、繪制標(biāo)準(zhǔn)的Cusum圖。這里：

centerlineline=0UCL=3LCL=–37、解釋控制圖。第三十四頁，共五十頁，2022年，8月28日案例實(shí)踐下面用磨砂著色的例子中的(31—57)數(shù)據(jù)來說明標(biāo)準(zhǔn)化的csusum圖的步驟。已知：

=13.777Sx=0.1270其控制圖如7.6所示。從圖7.6中可看出，所有的累積量都在中心線之上，且呈向下傾斜的趨勢(shì)。這可能歸于如下原因：

1、樣本的均值下降致使累積和下降，反之亦然。

2、過程均值持續(xù)不明顯的波動(dòng)使累積和呈現(xiàn)出向上或向下的非線性趨勢(shì)。第三十五頁，共五十頁，2022年，8月28日2-204-4樣本7.6

31-57批磨砂數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化累積和控制圖每批重量的標(biāo)準(zhǔn)化的累積和UCL＝3.0LCL＝－3.0CL＝0.01020300第三十六頁，共五十頁，2022年，8月28日

3、參數(shù)估計(jì)值存在誤差。

4、受前期波動(dòng)的影響。

5、由上述兩個(gè)或兩個(gè)以上原因共同作用的結(jié)果。圖7.6在中，27個(gè)數(shù)據(jù)下移趨勢(shì)十分明顯，表明有特殊的因素在起作用。為進(jìn)一步說明，現(xiàn)舍棄前五個(gè)數(shù)據(jù)，重新作一新的控制圖。剩余22個(gè)樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生了變化。新樣本的標(biāo)準(zhǔn)化控制圖如7.7所示。圖7.7顯示，新的數(shù)據(jù)點(diǎn)圍繞估計(jì)均值隨機(jī)波動(dòng)，最后一段

基本上貼近或與中心線重合，這是因?yàn)橐詾橹行木€，同時(shí)以它作為參數(shù)造成的。第三十七頁，共五十頁，2022年，8月28日2-204-47.7調(diào)整后的36-57批磨砂數(shù)據(jù)的累積和圖標(biāo)準(zhǔn)化的累積和UCL＝3.0LCL＝－3.0CL＝0.01020300第三十八頁，共五十頁，2022年，8月28日

現(xiàn)假設(shè)由于特殊原因，表7.2中樣本點(diǎn)從13—17逐級(jí)增加0.5個(gè)單位重量，重新作一個(gè)控制圖見圖7.8。顯然，這些假設(shè)的偏移在圖中通過非隨機(jī)的波動(dòng)傾向表現(xiàn)出來。這表明：1、cusum圖能迅速地反映均值的波動(dòng)；2、cusum圖能確定波動(dòng)開始產(chǎn)生的點(diǎn)的位置。

第三十九頁，共五十頁，2022年，8月28日2-1013-2-37.8設(shè)定幅度后36-57批磨砂數(shù)據(jù)的累積和圖標(biāo)準(zhǔn)化的累積和UCL＝3.0LCL＝－3.001020CL＝0.0均值的下降幅度為0.5均值的上升幅度為0.5第四十頁，共五十頁，2022年，8月28日

因?yàn)閷?duì)cusum圖的解釋主要基于數(shù)據(jù)的可能傾向上，同真實(shí)水平關(guān)系不大，將控制線去掉，它仍然能反映明顯的變動(dòng)趨勢(shì)。這使得此類控制圖適用于各種不同的數(shù)據(jù)，包括業(yè)務(wù)和管理記錄數(shù)據(jù)。第四十一頁，共五十頁，2022年，8月28日（3）類似與休哈特圖的均值累積和控制圖

在擁有按時(shí)間序列測(cè)得的樣本均值數(shù)據(jù)的情況下，可以制作累積量的休哈特控制圖。如果已知反因反映質(zhì)量特性的變量X的總體均值μx和方差σX，以及樣本均值同μx之間偏差累積和為St,且,St的均值為0，方差為，以為控制線的Csusum控制圖類似圖7.9。將累積統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化得：

這個(gè)統(tǒng)計(jì)量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其控制圖的示意圖如7.10所示第四十二頁，共五十頁，2022年，8月28日10-200-10020102030St圖7.9樣本均值的累積合控制圖UCLLCL第四十三頁，共五十頁，2022年，8月28日+2-10