高二物理競(jìng)賽晶體能帶理論（能帶論）課件

第四章

晶體能帶理論（能帶論）1、晶體能帶論的基本理論基本假定和近似（絕熱近似、單電子近似、周期性勢(shì)場(chǎng)假定）；2、周期性勢(shì)場(chǎng)中單電子一般特性布洛赫定理、波矢空間、能帶及能帶表示3、晶體能帶論的自由電子近似模型、求解、結(jié)論及討論；4、晶體能帶論的緊束縛近似模型、求解、結(jié)論及討論；5、晶體中電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)平均速度、加速度、有效質(zhì)量；6、固體導(dǎo)電特性的能帶論解釋固體導(dǎo)電特性的能帶解釋、空穴

；7、固體電子的能態(tài)密度R

n

a

n

a

n

an 1 1 2 2 3 31 2 3(n,n

,

n

0,1,2,3,)1a3 a2a離子實(shí)價(jià)電子價(jià)電子§4.1 晶體能帶論的基本理論1、

晶體電子模型和薛丁諤方程晶體電子的共有化運(yùn)動(dòng)原子孤立原子中庫侖電勢(shì)分布及電子能級(jí)原子0V=-q/rr孤立原子中的電子在該原子的核和其它電子的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，電子按能級(jí)分布，由四個(gè)量子數(shù)決定。原子中的電子分布在一系列能級(jí)上，用電子波函數(shù)解釋，就是電子在對(duì)應(yīng)能級(jí)的運(yùn)動(dòng)軌道上出現(xiàn)的幾率最大。晶體由大量原子周期性重復(fù)排列而成，每個(gè)原子包含原子核和許多電子，當(dāng)原子結(jié)合成晶體時(shí)，內(nèi)層電子狀態(tài)變化很小，外層電子（價(jià)電子）狀態(tài)變化很大，其勢(shì)壘高度和勢(shì)壘寬度都變小，通過隧道效應(yīng)穿越勢(shì)壘進(jìn)入另一個(gè)原子，被整個(gè)晶體原子共有。將內(nèi)層電子和原子核等效為離子實(shí)，價(jià)電子在離子實(shí)周期性勢(shì)能場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)（共有化運(yùn)動(dòng)）。avax內(nèi)電子能級(jí)一維晶體周期性勢(shì)場(chǎng)分布共有化電子能級(jí)離子實(shí)周期性變化勢(shì)場(chǎng)3s3s3s3s2p2p2p2p硅晶體原子中價(jià)電子共有化運(yùn)動(dòng)示意圖：硅原子核KLM硅原子殼層結(jié)構(gòu)：（幾率波）與這個(gè)粒子2

V

E2m薛定諤方程2中運(yùn)動(dòng)的一個(gè)粒子，有一個(gè)波函數(shù)

r

對(duì)薛定諤方程的理解：對(duì)于質(zhì)量為m并在勢(shì)能為V

的勢(shì)場(chǎng)的穩(wěn)定狀態(tài)相聯(lián)系，這個(gè)波函數(shù)滿足薛定諤方程。薛定諤方程的每一個(gè)解

r

，表示粒子運(yùn)動(dòng)的某一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，稱為本征解（本征函數(shù)）。與這個(gè)解相應(yīng)的常數(shù)

E

，就是粒子在這個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)的能量，稱為本征值。為了使波函數(shù)是合理的，必須要求波函數(shù)滿足單值、有限、連續(xù)、歸一化。如果電子和離子實(shí)的位置矢量分別用方程（1023/cm3個(gè))

：晶體電子的薛定諤方程假定在體積為V

的晶體中有

N個(gè)帶正電荷

Ne

的離子實(shí)，相應(yīng)有NZ

個(gè)價(jià)電子（電子）。電子與電子、電子與原子實(shí)、原子實(shí)與原子實(shí)之間存在著相互作用i和

rRn表示，則晶體多粒子體系的薛定諤r

xi

yj

z

ki i i i

Rn

Rnxi

Rnyj

Rnzk

N

個(gè)離子實(shí)動(dòng)能、相互作用能離子實(shí)與價(jià)電子之間的相互作用能22

2

2x2 y2 z2

r

（拉普拉斯算符）電子質(zhì)量：m

9.11031kgM

m氫原子核質(zhì)量：M

1.661027

kg２、能帶論的基本假定和近似Ａ、絕熱近似相對(duì)于電子運(yùn)動(dòng)，離子實(shí)不動(dòng)（離子實(shí)處于平衡位置），電子在固定不動(dòng)的離子實(shí)產(chǎn)生的周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。B、平均場(chǎng)近似（單電子近似）假定每個(gè)價(jià)電子所處的勢(shì)場(chǎng)都相同，每個(gè)電子與其他電子之間的相互作用勢(shì)能只與該電子的位置有關(guān)，與其他電子的位置無關(guān)。得到：NZji

i ii1 j

ie212

(r)

4

0

r

ri

rNZ

NNZ0 r iZe2

i i i1 i1

n1u(r)

4

r

Rn?21i2n

i

(ri

)

ui

(ri

)Hi

2多粒子系統(tǒng)的薛定諤方程簡(jiǎn)化為：NZi( ri

,2mRn

)

Rn

2NZ

i

(ri

)i1i1) E

NZui

(ri

)

(rii12令：2NZi( ri

,2mRn

)2i1

) E

i

(ri

)

ui

(ri

)

(ri

Rn

第

i

個(gè)電子的哈密頓算符NZH?

H?ii1?12i2nV

(ri)2Hi

V

ri

i

(ri

)

ui

(ri

)i薛定諤方程：H?

(r1

ri

)

E

(r1

ri

)由分離變量法，令電子波函數(shù)：

(r1

ri

)

1

(r1

)

2

(r2

)

i

(ri

)

II

i

(ri

)H?

(r1

ri

)

H?i

i

(ri

)

H?i

i

(ri

)

Ei

i

(ri

)

Eii i i i i i i即：H?i

i(ri)

Ei

i(ri)所有電子都滿足同樣的薛定諤方程，晶體多電子問題簡(jiǎn)化為單電子問題。22m

(r)

V

(r)

(r)

E2NRni i n10 r iZe2u(r)

4

rC、周期性勢(shì)場(chǎng)近似離子實(shí)對(duì)電子的相互作用勢(shì)能：具有與晶格相同的周期性NN0 r iZe2RnZe2

ui(ri)ui(ri

R )

n10 r i Rnm n1

4

r

4

r

Rm在定態(tài)下，是恒定量：V

(r)

V

(r

Rn

)R

n

a

n

a

n

an 1 1 2 2 3 3(n1,

n2

,

n