高二物理競賽晶體能帶理論（能帶論）課件

第四章

晶體能帶理論（能帶論）1、晶體能帶論的基本理論基本假定和近似（絕熱近似、單電子近似、周期性勢場假定）；2、周期性勢場中單電子一般特性布洛赫定理、波矢空間、能帶及能帶表示3、晶體能帶論的自由電子近似模型、求解、結論及討論；4、晶體能帶論的緊束縛近似模型、求解、結論及討論；5、晶體中電子的準經典運動平均速度、加速度、有效質量；6、固體導電特性的能帶論解釋固體導電特性的能帶解釋、空穴

；7、固體電子的能態(tài)密度R

n

a

n

a

n

an 1 1 2 2 3 31 2 3(n,n

,

n

0,1,2,3,)1a3 a2a離子實價電子價電子§4.1 晶體能帶論的基本理論1、

晶體電子模型和薛丁諤方程晶體電子的共有化運動原子孤立原子中庫侖電勢分布及電子能級原子0V=-q/rr孤立原子中的電子在該原子的核和其它電子的勢場中運動，電子按能級分布，由四個量子數(shù)決定。原子中的電子分布在一系列能級上，用電子波函數(shù)解釋，就是電子在對應能級的運動軌道上出現(xiàn)的幾率最大。晶體由大量原子周期性重復排列而成，每個原子包含原子核和許多電子，當原子結合成晶體時，內層電子狀態(tài)變化很小，外層電子（價電子）狀態(tài)變化很大，其勢壘高度和勢壘寬度都變小，通過隧道效應穿越勢壘進入另一個原子，被整個晶體原子共有。將內層電子和原子核等效為離子實，價電子在離子實周期性勢能場中運動（共有化運動）。avax內電子能級一維晶體周期性勢場分布共有化電子能級離子實周期性變化勢場3s3s3s3s2p2p2p2p硅晶體原子中價電子共有化運動示意圖：硅原子核KLM硅原子殼層結構：（幾率波）與這個粒子2

V

E2m薛定諤方程2中運動的一個粒子，有一個波函數(shù)

r

對薛定諤方程的理解：對于質量為m并在勢能為V

的勢場的穩(wěn)定狀態(tài)相聯(lián)系，這個波函數(shù)滿足薛定諤方程。薛定諤方程的每一個解

r

，表示粒子運動的某一個穩(wěn)定狀態(tài)，稱為本征解（本征函數(shù)）。與這個解相應的常數(shù)

E

，就是粒子在這個穩(wěn)定狀態(tài)的能量，稱為本征值。為了使波函數(shù)是合理的，必須要求波函數(shù)滿足單值、有限、連續(xù)、歸一化。如果電子和離子實的位置矢量分別用方程（1023/cm3個)

：晶體電子的薛定諤方程假定在體積為V

的晶體中有

N個帶正電荷

Ne

的離子實，相應有NZ

個價電子（電子）。電子與電子、電子與原子實、原子實與原子實之間存在著相互作用i和

rRn表示，則晶體多粒子體系的薛定諤r

xi

yj

z

ki i i i

Rn

Rnxi

Rnyj

Rnzk

N

個離子實動能、相互作用能離子實與價電子之間的相互作用能22

2

2x2 y2 z2

r

（拉普拉斯算符）電子質量：m

9.11031kgM

m氫原子核質量：M

1.661027

kg２、能帶論的基本假定和近似Ａ、絕熱近似相對于電子運動，離子實不動（離子實處于平衡位置），電子在固定不動的離子實產生的周期性勢場中運動。B、平均場近似（單電子近似）假定每個價電子所處的勢場都相同，每個電子與其他電子之間的相互作用勢能只與該電子的位置有關，與其他電子的位置無關。得到：NZji

i ii1 j

ie212

(r)

4

0

r

ri

rNZ

NNZ0 r iZe2

i i i1 i1

n1u(r)

4

r

Rn?21i2n

i

(ri

)

ui

(ri

)Hi

2多粒子系統(tǒng)的薛定諤方程簡化為：NZi( ri

,2mRn

)

Rn

2NZ

i

(ri

)i1i1) E

NZui

(ri

)

(rii12令：2NZi( ri

,2mRn

)2i1

) E

i

(ri

)

ui

(ri

)

(ri

Rn

第

i

個電子的哈密頓算符NZH?

H?ii1?12i2nV

(ri)2Hi

V

ri

i

(ri

)

ui

(ri

)i薛定諤方程：H?

(r1

ri

)

E

(r1

ri

)由分離變量法，令電子波函數(shù)：

(r1

ri

)

1

(r1

)

2

(r2

)

i

(ri

)

II

i

(ri

)H?

(r1

ri

)

H?i

i

(ri

)

H?i

i

(ri

)

Ei

i

(ri

)

Eii i i i i i i即：H?i

i(ri)

Ei

i(ri)所有電子都滿足同樣的薛定諤方程，晶體多電子問題簡化為單電子問題。22m

(r)

V

(r)

(r)

E2NRni i n10 r iZe2u(r)

4

rC、周期性勢場近似離子實對電子的相互作用勢能：具有與晶格相同的周期性NN0 r iZe2RnZe2

ui(ri)ui(ri

R )

n10 r i Rnm n1

4

r

4

r

Rm在定態(tài)下，是恒定量：V

(r)

V

(r

Rn

)R

n

a

n

a

n

an 1 1 2 2 3 3(n1,

n2

,

n