新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊期末復(fù)習(xí)歸納

新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊期末復(fù)習(xí)歸納必修第一冊·第一章《集合與常用邏輯用語》1.元素把研究的對象統(tǒng)稱為元素.（用小寫字母表示：）2.集合把一些元素組成的總體叫做集合.（用大寫字母表示：）3.元素的特征確定性、互異性、無序性.①求集合或元素時(shí)，一定要檢驗(yàn)集合中元素的互異性.4.元素與集合的關(guān)系①屬于：；②不屬于：.5.常用數(shù)集①自然數(shù)集（包含和正整數(shù)）②正整數(shù)集或③整數(shù)集④有理數(shù)集⑤實(shí)數(shù)集⑥復(fù)數(shù)集⑦素?cái)?shù)集（質(zhì)數(shù)集）6.集合的分類①有限集；②無限集；③空集.7.集合的表示方法①列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用括起來.例如、②描述法：把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為.例如、③圖示法（圖）：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合.例如8.常見集合的表示方法①方程的解集：②不等式的解集：③函數(shù)自變量構(gòu)成的集合：④函數(shù)因變量構(gòu)成的集合：⑤函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合：⑥方程組的解：或⑦奇數(shù)集：⑧偶數(shù)集：①做題時(shí)，要認(rèn)清集合中元素的屬性（點(diǎn)集、數(shù)集、自變量、因變量···），以及元素的范圍（、、、···）.9.子集集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素.記作：或讀作：包含于或包含①任何一個(gè)集合是它本身的子集.②若，且，則.10.集合相等若，且，則.①若，且，則.②欲證，只需證，且.11.真子集如果集合是集合的子集，并且中至少有一個(gè)元素不屬于.記作：或讀作：真包含于或真包含①若，且，則.②若，且，則.③和用于集合和集合之間，和用于元素和集合之間.12.空集不含任何元素的集合.符號：①空集是任何集合的子集.②空集是任何非空集合的真子集.③解決有關(guān)、等問題時(shí)，一定要先考慮的情況，以防漏解.13.子集個(gè)數(shù)與元素個(gè)數(shù)的關(guān)系設(shè)有限集合有個(gè)元素,則其子集個(gè)數(shù)是，真子集個(gè)數(shù)是，非空子集個(gè)數(shù)是，非空真子集個(gè)數(shù)是.14.交集屬于集合且屬于集合.（和的公共部分）記作：讀作：交含義：①；②；③；④；⑤；⑥.15.并集屬于集合或?qū)儆诩?（包含和的所有元素）記作：讀作：并含義：①；②；③；④；⑤；⑥.16.全集研究問題中涉及的所有元素.符號：17.補(bǔ)集由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合.符號：含義：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.⑨注意補(bǔ)集思想在解題中的運(yùn)用，“正難則反”.18.命題可以判斷真假的陳述句叫做命題.判斷為真的語句是真命題；判斷為假的語句是假命題.表示：“若，則”、“如果，那么”.其中為命題的條件,為命題的結(jié)論.19.充分條件與必要條件①“若，則”是真命題，即，則是的充分條件，是的必要條件；②“若，則”是假命題，即，則不是的充分條件，不是的必要條件.判斷充分條件、必要條件的三種方法：①定義法：直接判斷“若，則”以及“若，則”的真假；②集合法：利用集合的包含關(guān)系判斷；③傳遞法：充分條件、必要條件、充要條件都具有傳遞性，若，，則.20.充要條件如果“若，則”和“若，則”都是真命題，即既有，又有，則可記作，這時(shí)稱是的充分必要條件，簡稱充要條件.充分條件、必要條件的判斷：①且是的充分不必要條件②且是的必要不充分條件③是的充要條件④且是的既不充分也不必要條件21.全稱量詞短語“所有的”“任意一個(gè)”通常叫做全稱量詞.符號：含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.“對中任意一個(gè)，成立”用符號記為：22.存在量詞短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”通常叫做存在量詞.符號：含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.“存在中元素的，成立”用符號記為：23.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定①全稱量詞命題的否定為：.②存在量詞命題的否定為：.①命題的否定的書寫：既要轉(zhuǎn)換量詞，又要否定結(jié)論.②全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.③一個(gè)命題和它的否定，只能是一真一假.必修第一冊第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1.比較大小的基本事實(shí)：比較兩實(shí)數(shù)大小的方法——求差比較法；；。2.恒成立的不等式：一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。說明：（1）指出定理適用范圍：；（2）強(qiáng)調(diào)取“”的條件。3.等式的性質(zhì)：性質(zhì)1：若a=b，則b=a;性質(zhì)2：若a=b,b=c,則a=c;性質(zhì)3：若a=b，則a±c=b±c;性質(zhì)4：若a=b，則ac=bc;性質(zhì)5：若a=b，c≠0，則4.不等式的性質(zhì)：性質(zhì)1：若，則；若，則．即。說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。性質(zhì)2：若，，則。不等式的傳遞性。性質(zhì)3：若，則。性質(zhì)4：如果且，那么；如果且，那么。性質(zhì)5：若。性質(zhì)6：如果且，那么。性質(zhì)7：如果，那么。2.2基本不等式1.如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）說明：（1）這個(gè)定理適用的范圍：；（2）我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)。即：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。（3）對于兩個(gè)正數(shù)，①若為定值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，ab有最大值；②若為定值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，a+b有最小值2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式1.一元二次不等式：一般地，我們把只有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式。一般形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均為常數(shù)，a≠0.2..一元二次方程根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)：對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（1）△>0，方程有兩個(gè)不等實(shí)根；（2）△=0，方程有兩個(gè)相等實(shí)根；（3）△<0，方程無實(shí)根3..從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和不等式：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系：注：①當(dāng)a<0時(shí)，轉(zhuǎn)化為a>0的情況研究。②ax2+bx+c<0的解集為R，則；③ax2+bx+c≤0的解集為R，則；④ax2+bx+c>0的解集為,則；⑤ax2+bx+c≥0的解集為,則.必修第一冊第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1函數(shù)的概念及其表示1．函數(shù)的概念：一般地，設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域（1）函數(shù)的定義域的求法：①自然型：解析式自身有意義，如分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)；②實(shí)際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義。③初中學(xué)過的幾種基本函數(shù)的定義域與值域：函數(shù)定義域值域RRR{x|x≠0}{y|y≠0}（2）求函數(shù)的值域的方法：①配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；②不等式法（運(yùn)用不等式的各種性質(zhì)）；③函數(shù)法（運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）。（3）兩個(gè)函數(shù)的相等：當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。3．常用的函數(shù)表示法（1）解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式；（2）列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系；（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。4．分段函數(shù)：若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；5.區(qū)間的概念：設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b,我們規(guī)定：（1）滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示[a,b];（2）滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示(a,b);（3）滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，表示[a,b)或(a,b];a,b都叫做區(qū)間的端點(diǎn)。（4）代數(shù)與幾何表示對照表（數(shù)軸上用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)）（5）3.2函數(shù)的基本性質(zhì)1．單調(diào)性：（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮， 區(qū)間D:①x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們成它是增函數(shù)。②x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)；特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們成它是減函數(shù)。（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形（通常是因式分解和配方）；④定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；⑤下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。2．最大（?。┲担海?）最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對于x∈I，都有f(x)≤M；②x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。（2）最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對于x∈I，都有f(x)≥M；②x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值。（3）求最值的方法：①利用函數(shù)單調(diào)性；②利用不等式或基本不等式；③函數(shù)圖像等。3.奇偶性：（1）定義：①一般地，設(shè)函數(shù)f(x)定義域內(nèi)為I，如果x∈I,都有-x∈I,且f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)；②一般地，設(shè)函數(shù)f(x)定義域內(nèi)為I，如果x∈I,都有-x∈I,且f(－x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；③如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；②確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；③得出結(jié)論：（3）圖象的對稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；3.3冪函數(shù)1．冪函數(shù)：一般地，叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)。2．幾個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)：定義域RRR{x|x≠0}值域RR{y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)先減再增增函數(shù)增函數(shù)原點(diǎn)左右都為減公共點(diǎn)（1，1）圖象都不過的第4象限3.圖像：必修第一冊第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)1．（1）實(shí)數(shù)指數(shù)冪：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)。記作當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)且為互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒有偶次方根。記作±0的任何次方根都是0。（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=|a|=；（3）①；②（4）實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)為：①；②；③4.2指數(shù)函數(shù)1．指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。2．指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：0<a<1a>1圖象定義域R值域性質(zhì)①過定點(diǎn)（0，1）②單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)③x>0,ax的范圍：（0，1）（1，+∞）④x<0,ax的范圍：（1，+∞）（0，1）4.3對數(shù)1．對數(shù)概念：（1）對數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)。2.對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，3.有關(guān)對數(shù)的幾個(gè)結(jié)論：①負(fù)數(shù)和零無對數(shù)；②；③；④4..對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：如果則①；②；③R）。④換底公式：⑤4.4對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)函數(shù)：一般地，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)2．對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：0<a<1a>1圖象定義域(0,+∞)值域R性質(zhì)①過定點(diǎn)(1,0)②單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)③0<x<1,的范圍：（0，+∞）（-∞，0）④x>1,的范圍：（-∞，0）（0，+∞）3．叫做互為反函數(shù)。4.5函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解1.函數(shù)零點(diǎn)：對于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。2.函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)含義：函數(shù)的零點(diǎn)方程實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。3.函數(shù)零點(diǎn)的存在性判斷：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。4.零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。既存在，使得，這個(gè)也就是方程的根。5.二分法：對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．6.二分法求零點(diǎn)的步驟：給定精確度，（1）確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)f(b)<0.（2）求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c。（3）計(jì)算f(c),并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在區(qū)間：

①若f(c)=0，（此時(shí)x0=c），則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若f(a)f(c)<0,（此時(shí)x0∈(a,c)）,則令b=c;③若f(b)f(c)<0,（此時(shí)x0∈(c,b)）,則令a=c;（4）判斷是否達(dá)到精確度：若|a-b|<,則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟（2）～（4）.必修第一冊第五章三角函數(shù)5.1任意角和弧度制1．任意角的概念：一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角。2．終邊相同的角：所有與某個(gè)角α具有同終邊的所有角，連同角α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個(gè)集合{β|β=2kπ+α，k∈Z}，J即任意與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與正數(shù)個(gè)周角的和。3．弧度制（1）長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角；一般地,正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。（2）角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑。（3）弧度與角度互換公式：180°=rad,1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝≈0.01745（rad）。弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：。5.2三角函數(shù)的概念1．三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，∈R,它的終邊OP與單位圓交于點(diǎn),那么:(1)叫做的正弦,記做,即；（2）叫做的余弦,記做,即；（3）叫做的正切,記做,即。也是一角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)。我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。2.三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號：函數(shù)符號第一象限第二象限第三象限第四象限sin++--cos+---tan+-++3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同一個(gè)角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切。5.3誘導(dǎo)公式1.誘導(dǎo)公式公式一：，，其中公式二：=；=-；公式三：；；公式四：；；公式五：；；公式六：；2.任意角化為銳角三角函數(shù)的方式：5.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.正弦、余弦與正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)圖像周期性;最小正周期2;最小正周期2;最小正周期定義域RR{x|x}值域[-1,1][-1,1]R最值當(dāng)x=時(shí)取最小值-1，當(dāng)x=時(shí)取最大值1；當(dāng)x=時(shí)取最小值-1，當(dāng)x=時(shí)取最大值1；無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性遞增區(qū)間是遞減區(qū)間是遞增區(qū)間是遞減區(qū)間是遞增區(qū)間是圖像的軸對稱性對稱軸為，對稱軸為，無圖像的中心對稱性對稱中心為；對稱中心為（，0）；對稱中心為零點(diǎn)2.周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對每一個(gè)x∈D，都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么f(x)就叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫這個(gè)函數(shù)的周期。k∈Z，且k≠0,常數(shù)kT都是它的周期。如果周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)那么這個(gè)最小正數(shù)就叫f(x)的最小正周期。3.