人教版2016第一輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題

熱點(diǎn)專題突破系列(六)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題考點(diǎn)一統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例【考情分析】以實(shí)際生活中的事例為背景,通過(guò)對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析、抽象概括,作出估計(jì)、判斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識(shí)交匯考查,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力.【典例1】(2015·蚌埠模擬)為了了解某班學(xué)生喜愛(ài)打籃球是否與性別有關(guān),對(duì)某班50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:喜愛(ài)打籃球不喜愛(ài)打籃球總計(jì)男生5女生10總計(jì)50已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人,抽到喜愛(ài)打籃球的學(xué)生的概率為.(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整.(2)試問(wèn):喜愛(ài)打籃球與性別是否有關(guān)?說(shuō)明你的理由.【解題提示】(1)由隨機(jī)抽樣的概率,可補(bǔ)充完表格.(2)可利用隨機(jī)變量χ2確定,因此首先計(jì)算χ2的值.【規(guī)范解答】(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下:(2)因?yàn)棣?=≈8.333>6.635,所以有99%以上的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān).喜愛(ài)打籃球不喜愛(ài)打籃球總計(jì)男生20525女生101525總計(jì)302050【規(guī)律方法】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)思想解決問(wèn)題的步驟(1)依題意寫出列聯(lián)表.(2)依據(jù)列聯(lián)表用公式計(jì)算χ2的值.(3)依據(jù)χ2的值確定問(wèn)題的結(jié)果.【變式訓(xùn)練】(2015·六安模擬)某企業(yè)為了更好地了解設(shè)備改造前后與生產(chǎn)合格品的關(guān)系,隨機(jī)抽取了180件產(chǎn)品進(jìn)行分析,其中設(shè)備改造前生產(chǎn)的合格品有36件,不合格品有49件,設(shè)備改造后生產(chǎn)的合格品有65件,不合格品有30件.根據(jù)所給數(shù)據(jù):(1)寫出2×2列聯(lián)表.(2)試問(wèn):產(chǎn)品是否合格與設(shè)備改造有關(guān)嗎?【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)得列聯(lián)表如下:(2)根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù),得χ2=≈12.38,由于12.38>6.635,所以有99%以上的把握認(rèn)為產(chǎn)品是否合格與設(shè)備改造有關(guān).合格品不合格品總計(jì)設(shè)備改造后653095設(shè)備改造前364985總計(jì)10179180考點(diǎn)二統(tǒng)計(jì)與概率分布列綜合【考情分析】以現(xiàn)實(shí)生活為背景,利用頻率估計(jì)概率,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率以及概率分布列等知識(shí)交匯考查,考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【典例2】(2015·唐山模擬)從某校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)中,隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的成績(jī)得到頻率分布直方圖如下:(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分.(2)以上述樣本的頻率作為概率,從該校高三學(xué)生中有放回地抽取3人,記抽到的學(xué)生成績(jī)不低于90分的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.【解題提示】(1)每個(gè)區(qū)間的中值與對(duì)應(yīng)頻率積的和,即為平均值.(2)由題意可知X服從二項(xiàng)分布.【規(guī)范解答】(1)由頻率分布直方圖,得該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分為:0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92.(2)樣本中成績(jī)不低于90分的頻率為:0.0150×20+0.0125×20+0.0025×20=0.6,所以從該校高三學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,分?jǐn)?shù)不低于90分的概率為0.6.由題意,X～B(3,0.6),P(X=k)=0.6k0.43-k(k=0,1,2,3),其分布列為:X的期望為:EX=3×0.6=1.8X0123P0.0640.2880.4320.216【規(guī)律方法】統(tǒng)計(jì)與概率分布綜合問(wèn)題的解題思路(1)找概率分布問(wèn)題中隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)意義.(2)綜合統(tǒng)計(jì)中相關(guān)圖、表、數(shù)據(jù)明確相關(guān)聯(lián)的隨機(jī)變量的分布特征.(3)依隨機(jī)變量的分布特征進(jìn)一步解決相關(guān)問(wèn)題.【變式訓(xùn)練】(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ改編)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2).②某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù),利用①的結(jié)果,求EX.附:≈12.2.【解析】(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z～N(200,150),從而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=68.3%.②由①知,一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為68.3%.依題意知X～B(100,0.683),所以EX=100×0.683=68.3.【加固訓(xùn)練】為了了解《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》在學(xué)生中的普及情況,調(diào)查部門組織了一次知識(shí)競(jìng)賽,現(xiàn)隨機(jī)抽取了某校20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī),得到如圖所示莖葉圖:(1)若測(cè)試成績(jī)不低于90分,則稱為“優(yōu)秀成績(jī)”,求從這20人中隨機(jī)選取3人,至多有1人是“優(yōu)秀成績(jī)”的概率.(2)以這20人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù),若從該校(人數(shù)較多)任選3人,記Y表示抽到“優(yōu)秀成績(jī)”學(xué)生的人數(shù),求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)優(yōu)秀成績(jī):4人；設(shè)優(yōu)秀成績(jī)?nèi)藬?shù)為X,至多一人成績(jī)優(yōu)秀為事件A,P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝(2)由樣本估計(jì)總體可知抽到“優(yōu)秀成績(jī)”學(xué)生的概率P＝.Y所有可能的取值為0,1,2,3，顯然則P(Y＝i)＝EY=Y

0123P考點(diǎn)三期望與方差的綜合應(yīng)用【考情分析】以現(xiàn)實(shí)生活為背景,求某些事件的概率分布列、期望值以及方差,常與離散型隨機(jī)變量、概率、相互獨(dú)立事件、二項(xiàng)分布等知識(shí)交匯考查,考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【典例3】(2014·湖北高考)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站,過(guò)去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過(guò)120的年份有35年,超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.(1)求未來(lái)4年中,至多1年的年入流量超過(guò)120的概率.(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元,欲使水電站年利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123【解題提示】(1)先求出年入流量X的概率,根據(jù)二項(xiàng)分布,求出未來(lái)4年中,至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率.(2)分三種情況進(jìn)行討論,分別求出一臺(tái),兩臺(tái),三臺(tái)的數(shù)學(xué)期望,比較即可得到.【規(guī)范解答】(1)依題意,p1=P(40<X<80)==0.2,p2=P(80≤X≤120)==0.7,p3=P(X>120)==0.1.根據(jù)二項(xiàng)分布,在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為=(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y,①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形:由于水庫(kù)年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5000,EY=1×5000=5000.②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形:依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)X≥80時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8;由此得分布列如下所以,EY=4200×0.2+10000×0.8=8840.Y420010000P0.20.8③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形:依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)80≤X≤120時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×2-800=9200,因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;當(dāng)X>120時(shí),三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×3=15000,因此P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1.由此得分布列如下所以,EY=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.綜上,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).Y3400920015000P0.20.70.1【規(guī)律方法】1.求數(shù)學(xué)期望值的方法(1)求離散型隨機(jī)變量分布列.(2)利用公式EX=x1p1+x2p2+…+xnpn.2.均值、方差意義的應(yīng)用均值僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平.如果兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等,還要看隨機(jī)變量的取值在均值周圍的變化,方差大,說(shuō)明隨機(jī)變量取值較分散;方差小,說(shuō)明取值較集中.【變式訓(xùn)練】某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如表所示.一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中的一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.(1)確定x,y的值,并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(2)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘的概率.(注:將頻率視為概率)【解析】(1)由已知,得25+y+10=55,x+y=35,所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所以收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)隨機(jī)樣本,將頻率視為概率得:因此X的分布列為:X11.522.53PX的數(shù)學(xué)期望為EX＝(2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘”,Xi(i=1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間,則P(A)=P(X1=1且X2=1)+P(X1=1且X2=1.5)+P(X1=1.5且X2=1).由于顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,且X1,X