D3-1環(huán)的定義及環(huán)的基本性質(zhì)

第三章環(huán)與域3.1環(huán)的定義及環(huán)的基本性質(zhì)3.2交換律、單位元、零因子、整環(huán)3.3除環(huán)、域

3.4子環(huán)、環(huán)的同構(gòu)

3.5理想3.6商環(huán)與環(huán)同構(gòu)基本定理3.7極大理想與素理想本節(jié)將在群理論的基礎(chǔ)上討論具有兩個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)——環(huán)的基本性質(zhì)。環(huán)也是近世代數(shù)中一類重要的、基本的代數(shù)系統(tǒng)。由于它具有二個(gè)運(yùn)算，故不可避免地會(huì)遇到在群論中不能觸及和解決的問(wèn)題。在群論中，無(wú)論在思考問(wèn)題、提出問(wèn)題的基本想法，還是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的主要手法方面，對(duì)于近世代數(shù)來(lái)說(shuō)，都具有普遍的、典型的意義，可以說(shuō)基本上體現(xiàn)了近世代數(shù)研究問(wèn)題的格調(diào)與模式。這些對(duì)環(huán)的討論會(huì)有重要的啟發(fā)和借鑒作用。本節(jié)中，主要介紹環(huán)的概念、環(huán)的主要特性及它與群的聯(lián)系與區(qū)別。在教學(xué)過(guò)程中，還將引入一批環(huán)的實(shí)例，以及討論有關(guān)環(huán)在二個(gè)運(yùn)算方面所具有的基本性質(zhì)。要求在學(xué)習(xí)中，第一節(jié)環(huán)的定義及環(huán)的基本性質(zhì)

第三章教學(xué)目的和要求：（1）能清楚理解環(huán)的定義以及它與群的區(qū)別和聯(lián)系；（2）環(huán)的基本性質(zhì)應(yīng)該全部能領(lǐng)會(huì)；（3）教學(xué)活動(dòng)中介紹的環(huán)的幾種主要類型要掌握；重點(diǎn)和難點(diǎn)：清楚環(huán)這種代數(shù)體系中兩種運(yùn)算中的協(xié)調(diào)關(guān)系。一、環(huán)的引入及例子定義1對(duì)于環(huán)R而言，(R，+)是加法交換群，則意味著（R，+）滿足群的四個(gè)條件，其中單位元為零元0，R中元素a的逆元為負(fù)元-a。而半群（R，·)意味著“·”滿足封閉和結(jié)合律.注意1：例1數(shù)環(huán).例2一般地，例3例4明示1：一元多項(xiàng)式環(huán).在例4中，若將數(shù)域F換成任一個(gè)數(shù)環(huán)，那么也能構(gòu)成多項(xiàng)式環(huán).譬如，取整數(shù)Z，則叫做整系數(shù)多項(xiàng)式環(huán).例5n階矩陣環(huán).明示2：在例5中，若用數(shù)環(huán)替代數(shù)域F后，結(jié)果仍成立.譬如，用偶數(shù)環(huán)替代F，得到二、兩個(gè)重要的環(huán)關(guān)于環(huán)，我們可以舉出許許多多的例子.下面特別介紹一個(gè)用途很廣的環(huán)。三、環(huán)的基本性質(zhì)一個(gè)環(huán)（R,+,·)中的加法與乘法不是孤立的兩個(gè)運(yùn)算，二者被分配律聯(lián)系起來(lái)了，正是這個(gè)紐帶才是使得一個(gè)具有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)成為環(huán)的重要依據(jù)。性質(zhì)(1)

性質(zhì)(2)

性質(zhì)(3)

性質(zhì)(4)

性質(zhì)(5)

事實(shí)上，性質(zhì)(6)

性質(zhì)(7)

性質(zhì)(8)

由性質(zhì)（4）可得性質(zhì)(9)

性質(zhì)(10)

事實(shí)上，事實(shí)上，事實(shí)上，性質(zhì)(11)

性質(zhì)(12)

性質(zhì)(13)

性質(zhì)(14)

證明：數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立。（2）假設(shè)對(duì)某個(gè)自然數(shù)n，結(jié)論成立。當(dāng)n+