Chap3-時域瞬態(tài)響應分析

第三章時域瞬態(tài)響應分析時域分析概述一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析二階系統(tǒng)系統(tǒng)性能指標高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析第三章時域瞬態(tài)響應分析時域分析概述時域分析——根據(jù)控制系統(tǒng)在一定輸入作用下的輸入量時域表達式，來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，瞬態(tài)過程性能和穩(wěn)態(tài)誤差。瞬態(tài)響應：在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應過程。穩(wěn)態(tài)響應：在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)在時間趨于無窮大時的輸出狀態(tài)。特點:(1)直接在時域中對系統(tǒng)進行分析校正，直觀，準確；

(2)可以提供系統(tǒng)時間響應的全部信息；

(3)基于求解系統(tǒng)輸出的解析解，比較煩瑣。時域分析概述典型輸入信號

脈沖信號(突變過程)加速度信號(飛船)階躍信號（工業(yè)過程）斜波信號（天線、雷達）正弦信號(通信)其中單位階躍信號是最為基本、最常見且最易產(chǎn)生的信號；被選為衡量系統(tǒng)控制性能的好壞的基準輸入，并據(jù)此定義時域的性能指標。

t01t0tt0t0t0時域分析概述時域性能指標穩(wěn)：(基本要求)系統(tǒng)受脈沖擾動后能回到原來的平衡位置;快:

(動態(tài)要求)過渡過程要平穩(wěn)，迅速;準:

(穩(wěn)態(tài)要求)穩(wěn)態(tài)輸出與理想輸出間的誤差要小。延遲時間td:階躍響應第一次達到終值的50％所需的時間上升時間tr:階躍響應首次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。對于響應無振蕩的系統(tǒng)是階躍響應從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。峰值時間tp:

階躍響應越過終值達到第一個峰值所需的時間調節(jié)時間ts:

階躍響應達到并保持在終值5％誤差帶內所需的最短時間超調量MP:

峰值超出終值的百分比MP一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析單位脈沖響應數(shù)學模型：微分方程:傳遞函數(shù):方框圖：

R(S)C(S)c(t)t0T1單位階躍響應一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析一階系統(tǒng)沒有超調，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為調節(jié)時間:ts=3T(±2%)ts=4T(±5%)c(t)t01T2T3T4T0.980.6320.860.95單位斜坡響應一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析h(t)t0c(t)r(t)T系統(tǒng)的誤差：t→∞

ess=lime(t)=T可知:系統(tǒng)輸入信號導數(shù)的輸出響應，等于該輸入信號輸出響應的導數(shù)；根據(jù)一種典型信號的響應，就可推知于其它。c(t)=1-e-t/Tc(t)=t-T(1-e-t/T)c(t)=e-t/TT1r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=δ(t)三種響應比較一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析R(S)C(S)r(t)c(t)系統(tǒng)G(S)例:一階系統(tǒng)的結構如圖，已知Kk=100,KH=0.1,

試求系統(tǒng)的調節(jié)時間ts

(±5%),如果要求ts=0.1s，求反饋系數(shù)。

解：閉環(huán)傳遞函數(shù)-KHKksC(s)R(s)E(s)Ф(s)=C(s)R(s)=1+s

KkKH

s

Kk

10=0.1s+1100=s+10得:t

s=3T=3×0.1=0.3若要求:t

s=0.1s則:Ф(s)=1+s

100KH

s

100

=0.01s+1KH

1

KH

t

s=3×0.01/KH=0.1KH=0.3一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析微分方程:傳遞函數(shù):方框圖：

數(shù)學模型：阻尼比無阻尼自由振蕩頻率n

-R(s)C(s)s(s+2ωζω2

n)閉環(huán)形式:R(S)C(S)顯然求出標準形式的性能指標表達式，便可求得任何二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。ζ二階系統(tǒng)實例:彈簧-質量-阻尼系統(tǒng)彈簧系數(shù)km阻尼系數(shù)cf(t)

y(t)

二階系統(tǒng)實例:電樞控制直流電機

TfiJD二階系統(tǒng)實例:RLC電路L+-CRi輸入量輸出量單位階躍響應二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析顯然ζ值不同，兩個根的性質不同，有可能為實根、復根或重根，相應的單位階躍響應的形式也不相同。下面分別討論。根的分布：j0j0j0j0二階系統(tǒng)的單位階躍響應ζ>1(過阻尼)(兩不相等負實根)系統(tǒng)輸出無振蕩和超調，輸出響應最終趨于穩(wěn)態(tài)值1。

c(t)t01ζ>1

特征方程還可為:當

時，極點為：式中這里，因此過阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個時間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應為：二階系統(tǒng)的單位階躍響應二階系統(tǒng)的單位階躍響應ζ=1(臨界阻尼)(兩相等負實根)系統(tǒng)輸出無振蕩和超調，ζ=1時系統(tǒng)的響應速度比ζ>1

時快，輸出響應最終趨于穩(wěn)態(tài)值1。

1ζ=1

c(t)t0二階系統(tǒng)的單位階躍響應ζ=0(無阻尼)(兩共軛虛根)系統(tǒng)輸出為無阻尼等幅振蕩，震蕩周期為wn。

c(t)t01ζ=0

二階系統(tǒng)的單位階躍響應0<ζ<1(欠阻尼)(兩不相等負實根)令：—阻尼振蕩頻率S1S2σφ01ω-ζ2nω-ζn1ω-ζ2n-ωnjc(t)t01ζ<1

二階系統(tǒng)的單位階躍響應不同ζ值時系統(tǒng)的單位階躍響應總結基本結論:

在0<ζ<1的情況下,ζ

越大，超調量越小,響應的振蕩性越弱，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好；反之,ζ

越小，系統(tǒng)輸出響應振蕩越強，系統(tǒng)平穩(wěn)性越差。ζ過大，比如,ζ>1則系統(tǒng)響應遲緩，調節(jié)時間變長，快速性變差；若ζ過小，雖然響應的起始速度較快，tr

和tp

小，但振蕩強烈，響應曲線衰減緩慢，調節(jié)時間ts

亦長。c(t)t01ζ=0

ζ>1

ζ=1

ζ<1

單位階躍響應極點位置特征根阻尼系數(shù)單調上升兩個互異負實根單調上升一對負實重根

衰減振蕩一對共軛復根(左半平面）

等幅周期振蕩一對共軛虛根

二階系統(tǒng)的性能指標性能指標分析二階系統(tǒng)的性能指標主要針對在欠阻尼狀態(tài)下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應進行討論和計算的。tc(t)01trtpMptsess主要性能指標有：1.上升時間

tr2.峰值時間tp3.超調量

Mp4.調節(jié)時間

ts5.穩(wěn)態(tài)誤差

ess1.上升時間tr即根據(jù)定義有則二階系統(tǒng)的性能指標tc(t)01tr當一定時，越小，越小；當一定時，越大，越小。2.峰值時間tp即二階系統(tǒng)的單位階躍響應為則二階系統(tǒng)的性能指標當一定時，越小，越?。划斠欢〞r，越大，越小。根據(jù)定義有：tc(t)01tp3.超調量Mp即超調量根據(jù)定義為則二階系統(tǒng)的性能指標

增大，減小。通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比取在0.4-0.8之間,相應的超調量約為25%-2.5%。

與的關系曲線tc(t)01tpMP4.調節(jié)時間ts即根據(jù)定義調節(jié)時間為可得：二階系統(tǒng)的性能指標tc(t)01ts誤差帶在設計系統(tǒng)時,通常由要求的最大超調量決定,而調節(jié)時間則由無阻尼振蕩頻率來決定。調節(jié)時間與系統(tǒng)極點的實部成反比。系統(tǒng)極點距虛軸距離越遠，調節(jié)時間越短。在之間，調節(jié)時間和超調量(25%~1.5%)都較小。工程上常取作為設計依據(jù)，稱為最佳阻尼常數(shù)。5.穩(wěn)態(tài)誤差ess穩(wěn)態(tài)誤差根據(jù)定義為二階系統(tǒng)的性能指標tc(t)01ess=0性能指標分析總結1）平穩(wěn)性：主要由ζ決定2）快速性：由ζ和ωn決定3）準確性：由ζ和ωn決定二階系統(tǒng)的單位脈沖響應ζ=0(無阻尼)二階系統(tǒng)的單位脈沖響應0<ζ<1(欠阻尼)

ζ=1(臨界阻尼)

ζ>1(過阻尼)二階系統(tǒng)的單位斜坡響應ζ=0(無阻尼)二階系統(tǒng)的單位斜坡響應0<ζ<1(欠阻尼)

ζ=1(臨界阻尼)系統(tǒng)誤差為:系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為:例3:給圖示機械系統(tǒng)施加f=8.9N的階躍力，質量塊的位移曲線y(t)如圖所示。試確定系統(tǒng)的參數(shù)m,k和c的值？m二階系統(tǒng)的性能指標解:（1）建立系統(tǒng)的數(shù)學模型微分方程：傳遞函數(shù):二階系統(tǒng)的性能指標在階躍力作用下響應的拉氏變換為:由響應曲線可知:穩(wěn)態(tài)值為

0.03m超調量為峰值時間為根據(jù)(2)求k利用終值定理：(3)求m和c

二階系統(tǒng)的性能指標一般高階系統(tǒng)可以分解成若干慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的疊加。其瞬態(tài)響應即是由這些慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的響應函數(shù)疊加而成。高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應R(S)C(S)系統(tǒng)G(S)設則單位階躍響應為：設則所以高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應

極點為實數(shù)的函數(shù)項對應衰減指數(shù)項，極點為共軛復數(shù)的函數(shù)項對應衰減正弦函數(shù)項.

顯然當系統(tǒng)穩(wěn)定時，所有極點都在s的左半平面,極點離虛軸越近(實部的絕對值越小),所對應分量就衰減得越慢,對動態(tài)性能的影響就越大,極點離虛軸越遠(實部的絕對值越大),所對應分量就衰減得越快,對動態(tài)性能的影響就越小.

在高階系統(tǒng)中,如果存在一對離虛軸最近的共軛復數(shù)極點，且其周圍沒有零點，其他閉環(huán)極點與虛軸的距離比這對共軛復數(shù)極點與虛軸的距離大5倍以上。這樣一對共軛復數(shù)極點就稱為閉環(huán)主導極點。

高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應增加非主導極點對阻尼系數(shù)有何影響？高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應j0附加閉環(huán)零點對欠阻尼二階系統(tǒng)的影響閉環(huán)零點的作用是減少阻尼，使系統(tǒng)響應速度加快，并且閉環(huán)零點越接近虛軸，效果越明顯。j0j0j0系統(tǒng)零點影響各極點處的留數(shù)的大小（即各個瞬態(tài)分量的相對強度）,如果在某一極點附近存在零點，則其對應的瞬態(tài)分量的強度將變小。一對靠得很近的零點和極點其瞬態(tài)響應分量可以忽略。零點的增加將使系統(tǒng)響應過程加快，超調量增大，系統(tǒng)對輸入作用的反應靈敏了。高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應附加閉環(huán)極點對二階系統(tǒng)的影響j0

閉環(huán)非主導極點的作用是增加阻尼，使系統(tǒng)響應速度變緩，并且閉環(huán)極點越接近虛軸，效果越明顯。最接近虛軸的閉環(huán)極點，對系統(tǒng)響應速度影響最大。j0j0j0高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應偶極子(彼此接近的零、極點)的影響偶極子：若閉環(huán)零、極點彼此接近，則它們對系統(tǒng)響應速度的影響互相抵消。

二階系統(tǒng)的性能改善

二階系統(tǒng)的性能改善

調整典型二階系統(tǒng)的兩個特征參數(shù)ζ和ωn,可以改善系統(tǒng)性能，但這種改善功能有限。例如為了減小階躍響應的超調量，應增大阻尼比ζ,但是卻降低了響應的初始快速性，即上升時間、峰值時間延長了；當系統(tǒng)為了增大阻尼比必須以減小自然頻率ωn,為代價時，系統(tǒng)的快速性降低，穩(wěn)態(tài)誤差也會增大。所以，要改善系統(tǒng)的性能必須研究其它控制方法。比例微分控制和速度反饋控制是兩種常用的改善系統(tǒng)性能的