高中數(shù)學(xué)人教A版3第二章隨機(jī)變量及其分布正態(tài)分布

2．4正態(tài)分布[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．2．了解變量落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大?。?．會用正態(tài)分布去解決實(shí)際問題．[知識鏈接]1．在頻率分布直方圖中，縱坐標(biāo)的含義是eq\f(頻率,組距)，用小矩形的面積表示數(shù)據(jù)落在該組中的頻率，在折線圖中，隨著分組越來越多，其越來越接近于一條光滑的曲線．2．正態(tài)曲線φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R中的參數(shù)μ，σ有何意義？答μ可取任意實(shí)數(shù)，表示平均水平的特征數(shù)，E(X)＝μ；σ>0表示標(biāo)準(zhǔn)差，D(X)＝σ2.一個(gè)正態(tài)曲線方程由μ，σ唯一確定，π和e為常數(shù)，x為自變量，x∈R.3．若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則X是離散型隨機(jī)變量嗎？答若X～N(μ，σ2)，則X不是離散型隨機(jī)變量，由正態(tài)分布的定義：P(a＜X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx可知，X可取(a，b]內(nèi)的任何值，故X不是離散型隨機(jī)變量，它是連續(xù)型隨機(jī)變量．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．正態(tài)曲線函數(shù)φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)，其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù)，φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．2．正態(tài)分布如果對于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布常記作N(μ，σ2)，如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2)．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R有以下性質(zhì)：(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①；(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖②.4．正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝4.要點(diǎn)一正態(tài)曲線例1如圖所示是一個(gè)正態(tài)曲線．試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差．解從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對稱，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20.eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是概率密度函數(shù)的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))·e－eq\f(（x－20）2,4)，x∈(－∞，＋∞)．總體隨機(jī)變量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.規(guī)律方法利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是找對稱軸x＝μ與最值eq\f(1,σ\r(2π))，這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ的值便確定了．跟蹤演練1若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,4\r(2π)).求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式．解由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0.由于eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π)·4)，得σ＝4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e－eq\f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．要點(diǎn)二利用正態(tài)分布求概率例2設(shè)ξ～N(1，22)，試求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．解∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，(1)P(－1＜ξ≤3)＝P(1－2＜ξ≤1＋2)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝6(2)∵P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1)，∴P(3＜ξ≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3＜ξ≤5)－P(－1＜ξ≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4＜ξ≤1＋4)－P(1－2＜ξ≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜x≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)4－6)＝9.(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝eq\f(1,2)[1－P(－3＜ξ≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4＜ξ≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)(1－4)＝8.規(guī)律方法解答此類題目的關(guān)鍵在于充分利用正態(tài)曲線的對稱性，把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在此過程中充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合及化歸的數(shù)學(xué)思想．經(jīng)常用到如下轉(zhuǎn)換公式：①P(x≥a)＝1－P(x＜a)；②若b＜μ，則P(X＜b)＝eq\f(1－P（μ－b<X≤μ＋b）,2).跟蹤演練2若η～N(5，1)，求P(5＜η＜7)．解∵η～N(5，1)，∴正態(tài)分布密度函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)為μ＝5，σ＝1，因?yàn)樵撜龖B(tài)曲線關(guān)于x＝5對稱，∴P(5＜η＜7)＝eq\f(1,2)×P(3＜η＜7)＝eq\f(1,2)×4＝2.要點(diǎn)三正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用例3設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X～N(110，202)，且知試卷滿分150分，這個(gè)班的學(xué)生共54人，求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)．解μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ＜－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ＞σ)＝2P(X－μ＜－σ)＋6＝1，∴P(X－μ＜－σ)＝7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ＜－σ)＝1－7＝3.∴54×3≈45(人)，即及格人數(shù)約為45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ＞σ)＝6＋2P(X－μ≥σ)＝1.∴P(X－μ≥σ)＝7.∴54×7≈9(人)，即130分以上的人數(shù)約為9人．規(guī)律方法解答此類題目的關(guān)鍵在于將所求的問題向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過程中用到化歸思想和數(shù)形結(jié)合的思想．跟蹤演練3工廠制造的某機(jī)械零件的尺寸X服從正態(tài)分布N(4，eq\f(1,9))，問在一次正常的試驗(yàn)中，取1000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3，5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？解∵X～N(4，eq\f(1,9))，∴μ＝4，σ＝eq\f(1,3)，∴不屬于區(qū)間(3，5)的概率為P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3＜X＜5)＝1－P(4－1＜X＜4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－4＝6≈，∴1000×＝3(個(gè))，即不屬于區(qū)間(3，5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè).1．如圖是當(dāng)σ取三個(gè)不同值σ1，σ2，σ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3答案D2．把一個(gè)正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線b.下列說法中不正確的是()A．曲線b仍然是正態(tài)曲線B．曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C．以曲線b為概率密度曲線的總體的均值比以曲線a為概率密度曲線的總體的均值大2D．以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2答案D3．正態(tài)分布N(0，1)在區(qū)間(－2，－1)和(1，2)上取值的概率為P1，P2，則二者大小關(guān)系為()A．P1＝P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．不確定答案A解析根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，圖象關(guān)于x＝0對稱，可得在區(qū)間(－2，－1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等．4．一批燈泡的使用時(shí)間X(單位：小時(shí))服從正態(tài)分布N(10000，4002)，求這批燈泡中“使用時(shí)間超過10800小時(shí)”的概率．解依題意μ＝104，σ＝400.∴P(104－800<X≤104＋800)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝4.由正態(tài)分布性質(zhì)知P(X≤104－800)＝P(X>104＋800)故2P(X>10800)＋P(104－800<X≤104＋800)＝1，∴P(X>10800)＝eq\f(1－4,2)＝8，故使用時(shí)間超過10800小時(shí)的概率為8.1．理解正態(tài)分布的概念和正態(tài)曲線的性質(zhì)．2．正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：(1)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等．②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)，若b<μ，則P(X<μ－b)＝eq\f(1－P（μ－b<X<μ＋b）,2).一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．設(shè)某長度變量X～N(4，16)，則下列結(jié)論正確的是()A．E(X)＝D(X)＝eq\r(D（X）)B．D(X)＝eq\r(D（X）)C．E(X)＝eq\r(D（X）)D．E(X)＝D(X)答案C2．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝，則P(ξ<0)等于()A．B．C．D．答案A解析P(ξ≤4)＝，故P(ξ>4)＝.P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且相應(yīng)的概率密度函數(shù)為φ(x)＝eq\f(1,\r(6π))e－eq\f(x2－4x＋4,6)，則()A．μ＝2，σ＝3B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3)D．μ＝3，σ＝eq\r(3)答案C解析由φ(x)＝eq\f(1,\r(2π)×\r(3))e－eq\f(（x－2）2,2（\r(3)）2)，得μ＝2，σ＝eq\r(3).故選C.4．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線上的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是(10，eq\f(1,2))，則該隨機(jī)變量的方差等于()A．10B．100\f(2,π)\r(\f(2,π))答案C解析由正態(tài)分布密度曲線上的最高點(diǎn)為(10，eq\f(1,2))知eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2)，∴D(X)＝σ2＝eq\f(2,π).5．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ>3)＝P(ξ<1)成立，則μ＝________.答案2解析∵ξ～N(μ，σ2)，故正態(tài)密度函數(shù)關(guān)于直線x＝μ對稱，又P(ξ<1)＝P(ξ>3)，從而μ＝eq\f(1＋3,2)＝2，即μ的值為2.6．對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)，下列說法正確的有________．①f(x)為偶函數(shù)；②f(x)的最大值是eq\f(1,\r(2π))；③f(x)在x>0時(shí)是單調(diào)遞減函數(shù)，在x≤0時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)；④f(x)關(guān)于x＝1對稱．答案①②③7．已知某種零件的尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布曲線在(0，80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，且f(80)＝eq\f(1,8\r(2π)).(1)求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)估計(jì)尺寸在72～88mm(不包括72mm，包括88mm)間的零件大約占總數(shù)的百分比．解(1)∵正態(tài)分布曲線在(0，80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)．∴正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x＝80對稱，且在x＝80處達(dá)到峰值，∴μ＝80.又eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,8\r(2π))，∴σ＝8，故正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式為φμ，σ(x)＝eq\f(1,8\r(2π))e－eq\f(（x－80）2,128).(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.∴零件的尺寸X位于區(qū)間(72，88]內(nèi)的概率為6.故尺寸在72～88mm(不包括72mm，包括88mm)間的零件大約占總數(shù)的%.二、能力提升8．已知一次考試共有60名學(xué)生參加，考生的成績X～N(110，52)，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？()A．(90，110]B．(95，125]C．(100，120]D．(105，115]答案C解析∵X～N(110，52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考試成績在區(qū)間(105，115]，(100，120]，(95，125]上的概率分別應(yīng)是6，4，4.由于一共有60人參加考試，故成績位于上述三個(gè)區(qū)間的人數(shù)分別是60×6≈41(人)，60×4≈57(人)，60×4≈60(人)．9．若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，1)，已知P(ξ≤－＝，則P(|ξ|<等于()A．B．C．D．答案C解析由隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，1)，得P(ξ<＝1－P(ξ≤－．所以P(|ξ|<＝P(－<ξ<＝P(ξ<－P(ξ≤－＝1－2P(ξ≤－＝1－2×＝.10．為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1000名年齡在歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(μ，22)，且正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若體重大于kg小于等于kg屬于正常情況，則這1000名男生中屬于正常情況的人數(shù)約為________．答案683解析依題意可知，μ＝，σ＝2，故P<X≤＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝6，從而屬于正常情況的人數(shù)為1000×6≈683.11．一臺機(jī)床生產(chǎn)一種尺寸為10mm的零件，現(xiàn)在從中抽測10個(gè)，它們的尺寸分別如下(單位：mm)：，，10，，，，，10，，.如果機(jī)床生產(chǎn)零件的尺寸η服從正態(tài)分布，求η的正態(tài)分布密度函數(shù)．解依題意得μ＝eq\f(1,10)＋＋10＋＋＋＋＋10＋＋＝10.σ2＝eq\f(1,10)[－10)2＋－10)2＋(10－10)2＋－10)2＋－10)2＋－10)2＋－10)2＋(10－10)2＋－10)2＋－10)2]＝.即μ＝10，σ2＝.所以η的正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(10,\r(6π))·e－eq\f(50（x－10）2,3).12．某年級的一次信息技術(shù)測驗(yàn)成績近似服從正態(tài)分布N(70，102)，如果規(guī)定低于60分為不及格，求：(1)成績不及格的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；(2)成績在80～90內(nèi)的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的比例．解(1)設(shè)學(xué)生的得分為隨機(jī)變量X，X～N(70，102)，則μ＝70，σ＝10.分?jǐn)?shù)在60～80之間的學(xué)生的比例為P(70－10<X≤70＋10)＝6，所以不及格的學(xué)生的比例為eq\f(1,2)×(1－6)＝7，即成績不及格的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的%.(2)成績在80～90內(nèi)的學(xué)生的比例為eq\f(1,2)[P(70－2×10<X≤70＋2×10)]－eq\f(1,2)[P(70－10<X≤70＋10)]＝eq\f(1,2)4－6)＝9.即成績在80～90內(nèi)的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的比例為%.三、探究與創(chuàng)新13．(2023·湖北理)假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800，502)的隨機(jī)變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.(1