-高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)

高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)理論AdvancedMicroeconomicTheorySlide2課案簡(jiǎn)介授課教師：樊茂清Email：fmq2119@Slide3課程簡(jiǎn)介教材：G.A.Jehle&P.Reny

AdvancedMicroeconomicTheory參考書：H.R.Varian

MicroeconomicAnalysisA.Mas-Colell,M.D.Whinston&J.R.GreenMicroeconomicTheory

Ch0.導(dǎo)論Slide5主流經(jīng)濟(jì)學(xué)的分析框架四個(gè)分析層次經(jīng)濟(jì)環(huán)境個(gè)體行為分析最優(yōu)化原則個(gè)體互動(dòng)結(jié)果均衡分析福利分析Slide6微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變古典經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際革命（1870年代，門格爾，瓦爾拉斯，杰文斯）Slide7微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變古典經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心是初創(chuàng)于李嘉圖，綜合于穆勒的生產(chǎn)成本價(jià)值論。在很大的意義上，馬克思的勞動(dòng)價(jià)值論和剩余價(jià)值論同樣歸屬于這一體系。邊際革命的意義在于力圖把經(jīng)濟(jì)理論建立在主觀意義之上，納入主觀心理的范疇。邊際主義者認(rèn)為，經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)該是研究享樂并使其最大化的科學(xué)；消費(fèi)是實(shí)現(xiàn)和追求享樂的直接領(lǐng)域，因此消費(fèi)才是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。而消費(fèi)又是通過個(gè)人的行為得以實(shí)現(xiàn)的，個(gè)人是消費(fèi)的主體，于是，個(gè)人的消費(fèi)行為被視為研究的重點(diǎn)。分析個(gè)人消費(fèi)心理成為經(jīng)濟(jì)分析的根本出發(fā)點(diǎn)和理論支點(diǎn)。Slide8微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變邊際主義者宣稱，效用是人對(duì)物品滿足自己欲望的一種估價(jià)，它純粹是一種主觀現(xiàn)象，決不存在于人的意識(shí)之外。物品的一大特性是其稀缺性，任何物品的供應(yīng)存在確定上限。效用和稀缺性結(jié)合，就產(chǎn)生了價(jià)值現(xiàn)象。所謂價(jià)值，就是人對(duì)物品主觀效用的評(píng)價(jià)，它顯然也是純粹的主觀現(xiàn)象。Slide9微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變門格爾在經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究方法上，強(qiáng)調(diào)以抽象演繹法為主，輔以經(jīng)驗(yàn)歸納法。這一主張是以承認(rèn)經(jīng)濟(jì)規(guī)律的存在和能夠被認(rèn)識(shí)為前提的。杰文斯和瓦爾拉斯主張并實(shí)際進(jìn)行了將數(shù)學(xué)方法引入經(jīng)濟(jì)學(xué)的嘗試，成為數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的先驅(qū)。二者對(duì)此后經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論的發(fā)展起到了極其深遠(yuǎn)的影響。Slide10微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變邊際革命的擴(kuò)展：（1）對(duì)邊際效用價(jià)值論的深化和通俗化（2）從基數(shù)效用論轉(zhuǎn)向序數(shù)效用論（3）邊際生產(chǎn)力論的完成（4）對(duì)包括邊際效用論和邊際生產(chǎn)力論在內(nèi)的整個(gè)邊際主義的不同形式的綜合闡述。對(duì)邊際革命不同方向的擴(kuò)展形成了不同的學(xué)派，瑞典洛桑學(xué)派、奧地利學(xué)派，以及所謂新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)派，都是對(duì)邊際革命的不同方向的擴(kuò)展結(jié)果。Slide11微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變邊際主義學(xué)說與原本它要反對(duì)的英國古典學(xué)派傳統(tǒng)的融合，最終形成了新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)。這使邊際主義從異端走向正宗，新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)也成為近現(xiàn)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的主流學(xué)派。這一學(xué)派的創(chuàng)始者是馬歇爾（1890，《經(jīng)濟(jì)學(xué)原理》）。馬歇爾的理論將價(jià)值論和供求論統(tǒng)一起來，提出“供求均衡價(jià)值論”，從而使原本針鋒相對(duì)的古典經(jīng)濟(jì)學(xué)和邊際主義理論相互融合，并以此為軸線建立起自己的學(xué)說體系。馬歇爾的理論體系直到1930年代受到來自于凱恩斯的挑戰(zhàn)，二戰(zhàn)后，凱恩斯主義部分取代了馬歇爾理論中關(guān)于宏觀的方面，從而使得新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)在當(dāng)代條件下采取了微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的形式。Slide12微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變薩繆爾森基本上全盤繼承了馬歇爾的理論體系，并吸收了凱恩斯關(guān)于有效需求的論述，從而建立起現(xiàn)代微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論體系。如果說邊際主義革命是現(xiàn)代主流經(jīng)濟(jì)學(xué)的肇始的話，那么，博弈論的興起和迅猛發(fā)展，就是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)“二次革命”的契機(jī)。博弈論的興起，“正在改寫著微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)”。Slide13微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變一個(gè)粗略的學(xué)術(shù)譜系：門格爾龐巴維克維塞爾杰文斯維斯蒂德瓦爾拉斯帕累托奧地利學(xué)派洛桑學(xué)派古典經(jīng)濟(jì)學(xué)馬歇爾薩繆爾森新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際革命Slide14數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)提高經(jīng)濟(jì)學(xué)爭(zhēng)論的效率，加速理論的創(chuàng)新。形成統(tǒng)一的知識(shí)體系，便于交流、傳承，以及知識(shí)的積累。Slide15數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）集合

實(shí)數(shù)集n維歐氏空間

iffxi>yi,i=1,2,…,nSlide16數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）ConvexsetsinRn

isaconvexsetifforallwehave

如果一個(gè)集合包含了該集合中每對(duì)點(diǎn)的所有凸組合，它才是凸的。當(dāng)且僅當(dāng)我們可把集合內(nèi)的兩點(diǎn)用一條直線連接，該連接線又完全處在集合內(nèi)的情況下，這一集合才是凸的。Slide17數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）:binaryrelationbetweenSandTAnycollectionoforderedpairss與t存在特定關(guān)系或Slide18數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）Completeness（完備性）ArelationonSiscompleteif,forallelementsx,yinS,Transitivity（傳遞性）ArelationonSistransitiveif,foranythreeelementsx,y,zinS,implies。Slide19數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）度量與度量空間歐氏空間歐氏度量：Slide20數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）開鄰域閉鄰域Slide21數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）例1：在R1上的鄰域

Slide22數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）

上的鄰域：Slide23數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）開集如果，都使，那么是上的開集。Slide24數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）閉集S如果S的補(bǔ)集Sc是開集，那么S是閉集。Slide25數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）定理：一個(gè)集合是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)所有的序列，如果對(duì)任意的m有，那么，就有。Slide26數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）BoundedSets（有界集）AsetSinRniscalledboundedifitisentirelycontainedwithinsomeThatis,Slide27數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）upperandlowerboundofS

inRupperbound:u最小上界：上確界（l.u.b.）lowerbound:l最大下界：下確界（g.l.b.）Slide28數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）定理1.5：實(shí)數(shù)子集的上界與下界1、有界開集不包含上、下確界；2、有界閉集包含上、下確界。Slide29數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）Compactset（緊集）有界閉集Ch1消費(fèi)者理論Slide311.消費(fèi)者理論消費(fèi)集偏好關(guān)系與效用函數(shù)消費(fèi)者問題間接效用函數(shù)與支出函數(shù)需求函數(shù)性質(zhì)Slide321.1消費(fèi)集商品i及其數(shù)量種類有限性數(shù)量無限可分

消費(fèi)組合（束）Slide331.1消費(fèi)集商品定義時(shí)點(diǎn):

今天的面包VS昨天的面包地點(diǎn):

上海的面包與北京的面包狀態(tài):生產(chǎn)期為1天的面包與生產(chǎn)期為2天的面包Slide341.1消費(fèi)集例：跨期消費(fèi)決策兩種商品：第一期消費(fèi)第二期消費(fèi)Slide351.1消費(fèi)集消費(fèi)集：消費(fèi)者可以想象自己可能消費(fèi)的各種消費(fèi)組合的集合?！从匙匀坏募s束以及消費(fèi)者關(guān)于商品的信息Slide361.1消費(fèi)集休閑時(shí)間24面包·自然約束(physicalconstraint)：總量約束(i)Slide371.1消費(fèi)集132汽車汽油(ii)·自然約束(physicalconstraint)：?jiǎn)挝患s束Slide381.1消費(fèi)集更具一般性的消費(fèi)集Slide391.1消費(fèi)集消費(fèi)集基本假設(shè)Nonempty：

isclosed凸性(convex)

Slide401.1消費(fèi)集可行集B在給定環(huán)境約束下，所有消費(fèi)者實(shí)際上可以選擇的消費(fèi)束?！从持贫?、技術(shù)、個(gè)人能力等因素Slide411.2偏好與效用如何描述消費(fèi)者的偏好？Betham：效用可度量、可比較Jevons等：邊際效用遞減法則需求規(guī)律——基數(shù)效用論Slide421.2偏好與效用序數(shù)效用論P(yáng)areto(1896)、Slutsky（1915）Hicks（1939）:ValueandCapitalDebru（1959）:TheoryofValue——公理化方法Slide431.2偏好與效用理性假設(shè)theconsumercanchoose能夠判斷自己喜歡什么andchoicesareconsistent自己的偏好具有一致性Slide441.2.1偏好關(guān)系二元關(guān)系(binaryrelation):如果，有,那么至少與一樣好。讀作：偏好于。Slide451.2.1偏好關(guān)系偏好公理1：完備性

偏好公理2：傳遞性

Slide461.2.1偏好關(guān)系定義1.1：如果在消費(fèi)集上的二元關(guān)系滿足公理1和2，那么我們稱它為偏好關(guān)系。Slide471.2.1偏好關(guān)系定義1.2：strictpreferencerelation而且

讀作：嚴(yán)格偏好于

定義1.3：indifferencerelation而且

讀作：與無差異Slide481.2.1偏好關(guān)系消費(fèi)集的分劃弱偏好集：嚴(yán)格偏好集：無差異集：Slide491.2.1偏好關(guān)系

消費(fèi)集的分劃Slide501.2.1偏好關(guān)系公理3：連續(xù)性

,如果都有而且有和，那么就有和

是閉集。連續(xù)定理：Slide511.2.1偏好關(guān)系Slide521.2.1偏好關(guān)系例1：字典序偏好設(shè)，如果

或，并且如：奧運(yùn)會(huì)金牌榜Slide531.2.1偏好關(guān)系證明：字典序偏好不連續(xù)(反證法)連續(xù)性假設(shè)：該偏好關(guān)系具有連續(xù)性假設(shè)不成立（1）——與結(jié)論(1)矛盾Slide541.2.1偏好關(guān)系公理:局部非飽和性

,,使得?！偞嬖诟倪M(jìn)福利的可能性Slide551.2.1偏好關(guān)系X1不滿足公理Slide56局部非飽和性無差異集合是一條曲線，

不存在無差異區(qū)域。1.2.1偏好關(guān)系Slide57X3（好的）商品越多越好??！X2Slide581.2.1偏好關(guān)系公理4：嚴(yán)格單調(diào)性，如果有那么有，如果有，那么有嚴(yán)格單調(diào)性局部非飽和性Slide59X2X3X11.2.1偏好關(guān)系無差異曲線斜率為負(fù)嚴(yán)格單調(diào)性Slide601.2.1偏好關(guān)系公理：凸性如果，那么Slide61X2X1Xt1.2.1偏好關(guān)系Slide621.2.1偏好關(guān)系公理5：嚴(yán)格凸性如果和，那么Slide631.2.1偏好關(guān)系X1Xt嚴(yán)格單調(diào)、凸性偏好凸向原點(diǎn)的無差異曲線Slide64

X1Xt嚴(yán)格單調(diào)、嚴(yán)格凸性偏好嚴(yán)格凸向原點(diǎn)的無差異曲線1.2.1偏好關(guān)系Slide651.2.1偏好關(guān)系邊際替代率無差異曲線的斜率凸偏好邊際替代率非遞增嚴(yán)格凸偏好邊際替代率遞減Ch1.2.2效用函數(shù)Slide67數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù)連續(xù)性如果定義域的一個(gè)“微小運(yùn)動(dòng)”并不導(dǎo)致值域的“大跳躍”，那么，函數(shù)基本上可以判斷是連續(xù)的。嚴(yán)格定義：PP406R到R的函數(shù)的連續(xù)性概念可以推廣到兩個(gè)度量空間之間的函數(shù)中。函數(shù)Slide68數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù)連續(xù)性（Cauchy）在此定義中，函數(shù)的定義域不再在R中取值，而只是在R的一個(gè)子集中取值。Slide69數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù)象與原象（inverseimage）

連續(xù)性與原象（定理A1-6）Slide70數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù)定理A1.7：連續(xù)函數(shù)在緊集上的象（image)是緊集Slide71數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù)極值存在性定理（Weierstrass）證明：根據(jù)定理A1-7，f（x）在R上是一個(gè)緊集，所以f（x）是閉且有界的，令a為其上確界，則a是f（x）的極限點(diǎn)；又因?yàn)閒（x）是閉的，所以a屬于f（x），即在S中存在某點(diǎn)xd，使得f（xd）=a。Slide72數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：多變量函數(shù)的微分梯度(gradient)：一階微分：二階微分：（海賽矩陣）Slide73數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：矩陣定義：

N×N矩陣M，如果都有半負(fù)定矩陣的特點(diǎn)是其每個(gè)特征值都是0或負(fù)數(shù)；負(fù)定矩陣的特點(diǎn)是其每個(gè)特征值都是負(fù)數(shù)。那么，稱M是半負(fù)定矩陣；如果不等號(hào)嚴(yán)格成立，那么稱M為負(fù)定矩陣。Slide74數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：擬凹函數(shù)定義域是凸集的函數(shù)，若其任一上等值集（Superiorset,定義域中使函數(shù)值不小于某值的子集）是凸集，則該函數(shù)是擬凹的。Slide75數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：擬凹函數(shù)證明：充分性定理f(x)是擬凹函數(shù)Slide76數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：擬凹函數(shù)必要性：S(y)是凸集Slide77數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：擬凹函數(shù)Slide78數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：擬凹函數(shù)定理：連續(xù)可微函數(shù)f,以下三個(gè)命題等價(jià)：1、f是凹的，2、對(duì)于D中所有x，H（x）是負(fù)半定的，3、對(duì)于一切x0屬于D，Slide791.2.2效用函數(shù)定義1.5：實(shí)值函數(shù)u:R??R是表示偏好關(guān)系的效用函數(shù),如果存在性唯一性Slide80

效用函數(shù)存在性定理1.1(P14)：代表偏好關(guān)系的實(shí)值函數(shù)的存在性定義在的偏好關(guān)系滿足連續(xù)性和嚴(yán)格單調(diào)性，那么就存在一個(gè)連續(xù)的實(shí)值函數(shù)表示.。Slide81

效用函數(shù)存在性定理1.1證明思路先構(gòu)造一個(gè)實(shí)值函數(shù)然后證明它滿足效用函數(shù)的條件Slide82I、效用函數(shù)的構(gòu)造0連續(xù)性

是非空閉集(上一講公理3)Slide83I、效用函數(shù)的構(gòu)造嚴(yán)格單調(diào)性那么都有如果那么都有如果完備性（A是有下界閉集）（B是有界閉集）Slide84I、效用函數(shù)的構(gòu)造而且是唯一的。因?yàn)椋杭僭O(shè)（嚴(yán)格單調(diào)性）（傳遞性）存在唯一的使得Slide85I、效用函數(shù)的構(gòu)造0u(x)e~xSlide86至此我們證明出，對(duì)于每個(gè)x屬于R，正好存在一個(gè)函數(shù)u（x），使得u(x)e~x。到此為止,我們構(gòu)造了一個(gè)效用函數(shù),它給X中的每一消費(fèi)束分配一個(gè)數(shù)字。以下我們將說明這一效用函數(shù)代表偏好關(guān)系。Slide87II、是效用函數(shù)由式得到（傳遞性）（嚴(yán)格單調(diào)性）——u(x)是表示偏好關(guān)系效用函數(shù)Slide88III、是連續(xù)函數(shù)效用函數(shù)u(x)在開區(qū)間(a,b)上的逆映射(原象)（定義）（單調(diào)性）（傳遞性）是開集（因?yàn)榈难a(bǔ)集是閉集）Slide89III、是連續(xù)函數(shù)定理A1.6：（P409）連續(xù)是開集，在任意開集的逆映射在是開集連續(xù)Slide90

效用函數(shù)的唯一性正單調(diào)變化其中在的取值范圍上是嚴(yán)格遞增函數(shù)。Slide91

效用函數(shù)的唯一性定理1.2：效用函數(shù)對(duì)正單調(diào)變化的不變性實(shí)值函數(shù)u(x)能夠表示偏好關(guān)系，那么，當(dāng)且僅當(dāng)v(x)是u(x)的正單調(diào)變換,v(x)也能夠表示該偏好關(guān)系。Slide92

效用函數(shù)的唯一性設(shè)表示的是偏好關(guān)系的結(jié)構(gòu)。

Slide93效用函數(shù)與無差異曲線無差異集：

效用函數(shù)的性質(zhì)Slide94上等值集(SuperiorSet)【嚴(yán)格上等值集】

效用函數(shù)的性質(zhì)Slide95

效用函數(shù)的性質(zhì)

嚴(yán)格遞增嚴(yán)格單調(diào)Slide96

效用函數(shù)的性質(zhì)

擬凹具有凸性嚴(yán)格擬凹具有嚴(yán)格凸性

Slide97

效用函數(shù)的性質(zhì)

處處具有可導(dǎo)性無差異曲線光滑（smooth）無差異關(guān)系是XⅹX上的光滑流形。邊際效用（偏好單調(diào)性）（偏好嚴(yán)格單調(diào)性）【幾乎處處成立】Slide98

效用函數(shù)的性質(zhì)是凹函數(shù)

擬凹邊際效用遞減Slide99

效用函數(shù)性質(zhì)海塞矩陣滿足本章PPT，P73凹Slide100

效用函數(shù)實(shí)例2X1X12X0X0位似偏好(homotheticpreference)Slide101

效用函數(shù)實(shí)例位似偏好效用函數(shù)如果是位似偏好，那么就可以用一個(gè)一次齊次效用函數(shù)來表示。位似偏好：證明：Slide102

效用函數(shù)實(shí)例位似偏好效用函數(shù)如果是位似偏好，那么就可以用一個(gè)一次齊次函數(shù)的正單調(diào)變換來表示。Slide103

效用函數(shù)實(shí)例擬線性偏好(quasilinearpreference)偏好關(guān)系是相對(duì)于商品1的擬線性偏好，如果

~~其中Slide1041.2.2效用函數(shù)實(shí)例擬線性偏好效用函數(shù)Slide1051.2.2效用函數(shù)實(shí)例CES（constantelasticityofsubstitution）效用函數(shù)Slide106Ch1.3消費(fèi)者問題Slide108Ch1.3消費(fèi)者選擇問題最優(yōu)解的性質(zhì)最優(yōu)解的充分必要條件Slide109數(shù)學(xué)基礎(chǔ)約束最優(yōu)化求解：拉格朗日方法受約束于可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，用無拘束三變量函數(shù)替代兩變量函數(shù)：

Slide110拉格朗日定理（定理A2-16）設(shè)f（x）與是一些定義域在上的連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)。設(shè)x*是D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)并且x*是f的一個(gè)最優(yōu)值點(diǎn)（最大值或最小值）；f受到的約束，如果梯度向量是線性獨(dú)立的，那么總會(huì)存在m個(gè)不同的數(shù)使得Slide111定理A2-19受非負(fù)性條件約束的實(shí)值函數(shù)最優(yōu)化的必要條件：設(shè)f(x)是連續(xù)可微的1.如果在的約束下,x*最大化了f(x),那么x*滿足:

Slide112定理A2-19,續(xù)2.如果在的約束下,x*最小化了f(x),那么x*滿足:Slide113Kuhn-Tucker條件（定理A2-20）受不等式條件約束的實(shí)值函數(shù)最優(yōu)化的（Kuhn-Tucker

）必要條件設(shè)f（x）與是一些定義域在上的連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)。設(shè)x*是D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)并且x*受到條件約束的f的最優(yōu)解（最大值或最小值解）。如果與所有束緊約束相關(guān)的梯度向量是線性獨(dú)立的，那么必存在唯一的向量使得（x*，）滿足Kuhn-Tucker

條件：Slide114Ch1.3消費(fèi)者選擇問題分析框架偏好關(guān)系：消費(fèi)集：可行集：最優(yōu)化選擇：Slide115Ch1.3消費(fèi)者選擇問題假設(shè)1.2消費(fèi)者偏好具有完備性、可傳遞性、連續(xù)性和嚴(yán)格單調(diào)性。消費(fèi)者的效用可以由一連續(xù)、嚴(yán)格遞增的擬凹實(shí)值函數(shù)表示。形式理性Slide116Ch1.3消費(fèi)者選擇問題可行集預(yù)算行動(dòng)規(guī)則制度、政府規(guī)制等交易規(guī)則：完全競(jìng)爭(zhēng)性市場(chǎng)可行集：Slide117Ch1.3消費(fèi)者選擇問題例：跨期消費(fèi)選擇Slide118Ch1.3消費(fèi)者選擇問題收入：利率：例：跨期消費(fèi)選擇預(yù)算約束：（未來值形式）Slide119Ch1.3消費(fèi)者選擇問題借不到錢融資約束貸款利率rc存款利率rs<Slide120Ch1.3消費(fèi)者選擇問題消費(fèi)者問題Slide121Ch1.3.1解的性質(zhì)：存在性如果定義域D是一個(gè)緊集，那么連續(xù)實(shí)值函數(shù)u(x)則存在最大值。是上的連續(xù)函數(shù)非空是有界、閉集是緊集存在最大值滿足假設(shè)1.2Slide122Ch1.3.1解的性質(zhì)：唯一性如果偏好關(guān)系滿足嚴(yán)格凸性，可行集B是凸集，那么最優(yōu)解唯一證明：是凸集是嚴(yán)格擬凹函數(shù)——與假設(shè)矛盾假設(shè)不成立解是唯一的Slide123Ch1.3.1解的性質(zhì)：唯一性非凸偏好x1x2Slide124Ch1.3.1解的性質(zhì)：唯一性非嚴(yán)格凸偏好x1x2Slide125Ch1.3.1解的性質(zhì)：瓦爾拉斯法則瓦爾拉斯法則偏好的遞增性當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下條件時(shí)效用函數(shù)取到最大值：Slide126Ch1.3.1解的性質(zhì)偏好的理性、連續(xù)性偏好的嚴(yán)格凸性偏好的遞增性效用最大化問題的解就是馬歇爾需求函數(shù)。存在性唯一性瓦爾拉斯法則——馬歇爾需求函數(shù)Slide127Ch1.3.2解的充要條件偏好具有良好性質(zhì)，可導(dǎo)Slide128解的充要條件I、II、III、根據(jù)Kuhn-Tucker條件Slide129Ch1.3.2解的充要條件偏好的嚴(yán)格單調(diào)性（幾乎處處成立）內(nèi)點(diǎn)解必要條件Slide130Ch1.3.2解的充要條件定理1.4：內(nèi)點(diǎn)解必要條件的充分性如果效用函數(shù)連續(xù)擬凹，在可導(dǎo)，而且，。那么滿足以下必要條件的解一定是消費(fèi)者的效用最大化解。Slide131Ch1.3.2解的充要條件擬凹設(shè)有：證明Slide132Ch1.3.2解的充要條件假設(shè)不是消費(fèi)者的效用最大化選擇,即連續(xù)性——與u(x)擬凹性矛盾Slide133Ch1.3.2解的充要條件定理1.5：需求函數(shù)的可微性設(shè)為在下消費(fèi)者的最優(yōu)選擇。如果有

在點(diǎn)上的加邊海塞矩陣的秩不等于0。是上的二階連續(xù)可微函數(shù)在可微。那么Slide134例Slide135角點(diǎn)解如果那么最優(yōu)解位于可行集的角上Slide136角點(diǎn)解擬線性偏好Slide137角點(diǎn)解線性偏好2442x1Slide138角點(diǎn)解Slide139角點(diǎn)解1、2、Slide140角點(diǎn)解3、Slide141Ch1.4間接效用與支出Slide143數(shù)學(xué)基礎(chǔ)值函數(shù)（Valuefunction）MP：Slide144最大化定理如果目標(biāo)函數(shù)與約束條件關(guān)于參數(shù)是連續(xù)的,并且如果定義域是一個(gè)緊集,那么,M(a)與x(a)是參數(shù)a的連續(xù)函數(shù).進(jìn)一步,如果目標(biāo)函數(shù),約束條件與解均對(duì)參數(shù)可微,則有包絡(luò)定理.Slide145包絡(luò)定理（定理A2.21）（MP）中，如果f(·),g(·)對(duì)a連續(xù)可微，并且對(duì)任意a,x(a)>>0是MP的唯一解，而且對(duì)a可微。為該問題的拉格朗日函數(shù)，是滿足Kuhn-Tucker條件的解。那么有

（等式右邊表示拉格朗日函數(shù)關(guān)于參數(shù)aj的偏導(dǎo)數(shù)，它在點(diǎn)（x(a)，(a)）處取值）Slide146包絡(luò)定理的含義定理說明了如下情況：當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)（并且假設(shè)因此變化而使整個(gè)最優(yōu)化問題被重新賦值），它對(duì)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化值產(chǎn)生的總效應(yīng)可用如下方式來推導(dǎo)：給拉格朗日函數(shù)求參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并接著可在原問題的一階庫恩-塔克條件的解處給該導(dǎo)數(shù)取值。證明：略Slide1471.4.1間接效用函數(shù)Slide1481.4.1間接效用函數(shù)定義在消費(fèi)集上的效用函數(shù)直接效用函數(shù)u(x)定義在(p,y)上的函數(shù)間接效用函數(shù)v(p,y)——當(dāng)價(jià)格、收入變化時(shí)，消費(fèi)者福利會(huì)發(fā)生怎樣的變化？Slide1491.4.1間接效用函數(shù)性質(zhì)1：在上連續(xù)最大化定理約束函數(shù)是p,y的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)2：是(p,y)的0次齊次函數(shù)Slide1501.4.1間接效用函數(shù)性質(zhì)3、4：是y的嚴(yán)格遞增函數(shù)，p的遞減函數(shù)。證明：構(gòu)建拉格朗日函數(shù)令為最大化問題的解，則根據(jù)拉格朗日定理得出存在一個(gè)使得下式成立：

易得>0Slide151性質(zhì)3、4根據(jù)包絡(luò)定理,因此v(p,y)關(guān)于y是遞增的.同樣根據(jù)包絡(luò)定理有:因此v(p,y)關(guān)于p是遞減的.Slide1521.4.1間接效用函數(shù)性質(zhì)5：是(p,y)的擬凸函數(shù)擬凸令Slide1531.4.1間接效用函數(shù)假設(shè)不成立，那么即—與矛盾Slide154性質(zhì)6:Roy恒等式：消費(fèi)者對(duì)物品i的馬歇爾需求只是間接效用函數(shù)關(guān)于pi的偏導(dǎo)數(shù)與其關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)的比率的負(fù)數(shù)。根據(jù)包絡(luò)定理，根據(jù)性質(zhì)3，有Slide1551.4.1間接效用函數(shù)例Slide1561.4.2支出函數(shù)在給定價(jià)格(p1,p2)下，實(shí)現(xiàn)效用水平u，至少需要多少預(yù)算（支出）？ux1x2u(x1,x2)=u等支出線Slide1571.4.2支出函數(shù)支出最小化問題(EMP)——?？怂剐枨蠛瘮?shù)Slide1581.4.2支出函數(shù)?？怂剐枨蠛瘮?shù)xh(p,u)在價(jià)格p下，實(shí)現(xiàn)效用水平u，支出最小的消費(fèi)束。Slide159x1x2xh補(bǔ)償需求曲線Slide160Hicksiandemandfunction對(duì)于不同的無差異曲線，——對(duì)于不同的效用水平，有不同的?？怂剐枨笄€，它們中的每一個(gè)的形狀與位置將總是由潛在的偏好所決定。在同一條?？怂剐枨笄€上的每一點(diǎn)，其給消費(fèi)者帶來的效用都相等。顯然，在給定價(jià)格體系p和效用水平U(x)之后，相應(yīng)的?？怂剐枨蟛灰姷么嬖?，即使存在，也不見得唯一，要使其具有存在性和唯一性，還須運(yùn)用相應(yīng)的假設(shè)。Slide1611.4.2支出函數(shù)支出最小化問題解的存在性、唯一性支出函數(shù)的性質(zhì)Slide162存在性定理設(shè)消費(fèi)集合X是向下有界的非空閉集，?是連續(xù)的偏好，則對(duì)任何價(jià)格向量及任何，都有（即?？怂剐枨蠹戏强眨?。因此理性消費(fèi)者的希克斯需求是存在的。Slide163唯一性定理設(shè)消費(fèi)集X是凸集,是連續(xù)的嚴(yán)格凸偏好,則對(duì)于符合條件e(p,x)>e*(p)的任何價(jià)格體系p和消費(fèi)向量,?？怂剐枨蠹现凶疃嘀挥幸环N消費(fèi)方案.因此,理性消費(fèi)者的?？怂剐枨笫俏ㄒ坏?Slide164存在性定理的證明是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)是閉集Slide165續(xù)E有下界是閉集2.1.存在最小值，即Slide166唯一性定理的證明u(x)是嚴(yán)格擬凹函數(shù)假設(shè)x1,x2都是EMP的最優(yōu)解u(xt)>up·xt=p·x2=e存在k<1使得

u(kxt)>up·kxt<e如果偏好滿足假設(shè)1.2，那么EMP最優(yōu)解唯一證明：u(x)是連續(xù)函數(shù)—與假設(shè)矛盾Slide167支出函數(shù)e(p,u)的性質(zhì)如果u(.)是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的,那么由最小值函數(shù)定義的e(p,u)則是:性質(zhì)1：當(dāng)效用水平取最低值時(shí)，支出函數(shù)值為0。偏好（嚴(yán)格）遞增性質(zhì)2：在是連續(xù)函數(shù)(最大化定理)Slide168

支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)3:對(duì),是u的嚴(yán)格遞增函數(shù)，而且無上界。證明:假設(shè)非嚴(yán)格遞增，令u1<u2記x1＝xh(p,u1),x2＝xh(p,u2)——與x1＝xh(p,u1)矛盾Slide169

支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)3：證明（微分方法：包絡(luò)定理）假設(shè)1.而且可微u(·)可微u(·)連續(xù)，嚴(yán)格遞增性2.I.Slide170

支出函數(shù)性質(zhì)根據(jù)拉格朗日定理，必然存在一個(gè)λ*，使得：由于u(x)是遞增的,,所以λ*>0根據(jù)包絡(luò)定理：性質(zhì)4：支出函數(shù)是價(jià)格的遞增函數(shù)。Slide171

支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)5：價(jià)格的一次齊次函數(shù)Slide172

支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)6：是價(jià)格的凹函數(shù)證明：Slide173

支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)7:Shephardlemma證明見性質(zhì)4.Slide174

支出函數(shù)性質(zhì)例:求與對(duì)應(yīng)的支出函數(shù)解:

求拉格朗日函數(shù)的一階條件并消去,得到

,于是可得支出函數(shù)Slide1751.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系定義定義（1.17）（1.16）1、2、Slide1761.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系支出最小化→要達(dá)到效用u，最小的支出是e(p,u)效用最大化→支出為y時(shí)效用最大取值為u→支出為y時(shí)總能實(shí)現(xiàn)效用u→y最小支出e(p,u)效用最大化→在支出為y的條件下能達(dá)到的最大效用是u支出最小化→實(shí)現(xiàn)效用u的最小支取值為e(p,u)→當(dāng)開支取值為e時(shí)總能實(shí)現(xiàn)u→開支取值為e(p,u)時(shí)帶來的效用v(p,e(p,u))uSlide1771.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系定理1.8：假設(shè)連續(xù)且嚴(yán)格遞增，如果和分別是消費(fèi)者的間接效用函數(shù)和支出函數(shù)，那么，對(duì)有：

Slide1781.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系

假設(shè)e(·)連續(xù)性(1.17)

這是不可能的證明：v(·)是y的嚴(yán)格遞增函數(shù)Slide1791.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系

（1.17）:假設(shè)證明：v(·)連續(xù)這是不可能的Slide1801.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系定理1.9：馬歇爾需求與希克斯需求的對(duì)偶性在假設(shè)1.2下，對(duì)于所有有:

Slide1811.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系

證明：定理1.8Slide182對(duì)偶性的內(nèi)涵

從表面上看,效用最大化的馬歇爾需求沒有考慮支出最小化的問題,支出最小化的?？怂剐枨鬀]有考慮效用最大化的問題,但事實(shí)并非如此.馬歇爾需求與希克斯需求是互相一致的,或者說,效用最大化蘊(yùn)涵著支出最小化,支出最小化也蘊(yùn)涵著效用最大化.因此,消費(fèi)最優(yōu)選擇不僅可以看做一個(gè)選擇與預(yù)算線相切的最高無差異曲線的問題,也可以看做是一個(gè)選擇與既定的無差異曲線相切的最低預(yù)算線的問題.1.5需求函數(shù)性質(zhì)Slide184Relativepricesandrealincome.relativepricepricesthegoodbysomeothergood,notmoney.realincomeisthemaximumnumberofunitstheconsumercanconsumeifhespendsallhismoneyincome.Slide1851.5需求函數(shù)的性質(zhì)定理1.10:0次齊次和預(yù)算平衡在假設(shè)1.2下

x(p,y)是(p,y)的0次齊次函數(shù)x(tp,ty)＝x(p,y)forallt>0滿足預(yù)算平衡：p·x(p,y)=ySlide1861.5需求函數(shù)的性質(zhì)相對(duì)價(jià)格形式令x(p,y)=x(tp,ty)相對(duì)價(jià)格：實(shí)際收入：對(duì)n種商品中每一種商品的需求只依存于n-1個(gè)相對(duì)價(jià)格與消費(fèi)者的實(shí)際收入。Slide1871.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)?？怂狗纸馓娲?yīng)(SE)：在保持消費(fèi)者最大化效用不變前提下，相對(duì)價(jià)格變化所引起的需求量的變化。收入效應(yīng)(IE)：總效應(yīng)(TE)與替代效應(yīng)的差。TE=SE+IESlide188x1x2xhTEIESE1.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)Slide1891.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)Slutsky方程收入效應(yīng)替代效應(yīng)Slide190Slutsky方程對(duì)偶性記：對(duì)偶性Shepard引理Slide191Slutsky方程Slide1921.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)

是p的凹函數(shù)(支出函數(shù)性質(zhì)6)定理1-12：負(fù)的自替代效應(yīng)Shepard引理Slide1931.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)NormalgoodsinferiorgoodsGiffenGoodsSlide1941.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)NormalgoodsinferiorgoodsGiffenGoodsSlide195需求規(guī)律定理1-13:正常商品自身價(jià)格的下降將導(dǎo)致需求的增加。如果自身價(jià)格下降導(dǎo)致需求減少，那么該商品必定是劣質(zhì)商品。Slide196IncomeandSubstitutioneffects:NormalGoodFood(unitspermonth)OClothing(unitspermonth)RF1SC1AU1Theincomeeffect,EF2,(fromDtoB)keepsrelativepricesconstantbutincreasespurchasingpower.IncomeEffectC2F2TU2BWhenthepriceoffoodfalls,consumptionincreasesbyF1F2

astheconsumermovesfromAtoB.ETotalEffectSubstitutionEffectDThesubstitutioneffect,F1E,(frompointAtoD),changestherelativepricesbutkeepsrealincome(satisfaction)constant.Slide197Food(unitspermonth)ORClothing(unitspermonth)F1SF2TAU1ESubstitutionEffectDTotalEffectSincefoodisaninferiorgood,theincomeeffectisnegative.However,thesubstitutioneffectislargerthantheincomeeffect.BIncomeEffectU2IncomeandSubstitutioneffects:InferiorGoodSlide1981.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)定理1-14:對(duì)稱性替代項(xiàng)e(p,u)二次連續(xù)可微Shepard引理Slide1991.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)定理1.15：負(fù)半定替代矩陣Slide2001.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)是p的凹函數(shù)負(fù)半定Slide2011.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)定理1.16：負(fù)半定對(duì)稱斯勒茨基矩陣Slide202Application定理1-10和1-16可用于對(duì)理論或?qū)嵶C模型進(jìn)行檢驗(yàn).消費(fèi)者需求滿足齊次性和預(yù)算平衡性的要求,以及斯勒茨基矩陣必須是對(duì)稱的和負(fù)半定的要求,為實(shí)際估算馬歇爾需求方程組中參數(shù)的設(shè)定規(guī)定了一系列嚴(yán)格的限制(當(dāng)然,在這種情況下,消費(fèi)者必須是理性的價(jià)格接受者).Slide2031.5.3彈性分析收入彈性價(jià)格彈性收入份額Slide204消費(fèi)者需求的加總定理1-17:設(shè)x(p,y)是消費(fèi)者的馬歇爾需求,則如下關(guān)系必須在收入份額,需求的價(jià)格彈性與收入彈性間成立:1.Engelaggregation:它表明收入份額加權(quán)的收入彈性之和為1.2.Cournotaggregation:它表明加權(quán)的自身需求價(jià)格彈性與交叉需求價(jià)格彈性總可以某種特殊方式加總.Slide205恩格爾加總Slide206古諾加總Slide207Tosumup定理1.10-1.17共同給出了一個(gè)有關(guān)效用最大化行為的邏輯含義的說明:齊次性告訴我們需求必將對(duì)等比例的價(jià)格與收入的同時(shí)變動(dòng)做出反應(yīng),預(yù)算平衡性則要求需求耗盡消費(fèi)者的收入.斯勒茨基方程告訴我們,針對(duì)一般性的價(jià)格變化,需求的變化數(shù)量和方向?qū)⒃鯓?它還考察了那些不可觀測(cè)到的需求變化是如何具體影響需求總量,從而使需求量表現(xiàn)為我們最終觀測(cè)到的實(shí)際變化).最后,加總關(guān)系提供了有關(guān)需求量如何在整個(gè)需求函數(shù)方程組中被“放到一起”的技巧.Slide208Ch2消費(fèi)者理論專題Slide210數(shù)學(xué)基礎(chǔ)超平面（hyperplane）ahyperplaneisanycodimension-1vectorsubspaceofavectorspace.Equivalently,ahyperplaneVinavectorspaceWisanysubspacesuchthatW/Visone-dimensional.Slide211歐拉定理當(dāng)且僅當(dāng)如下式子成立時(shí)，f(x)是k次齊次性的:Slide212Ch2對(duì)偶性可積性顯示偏好不確定性Slide2132.1對(duì)偶性－深入分析偏好EMPUMPSlide2142.1.1支出與偏好

它可能是、也可能不是一個(gè)支出函數(shù)。滿足什么條件時(shí)是支出函數(shù)？從消費(fèi)者的支出行為能否還原其偏好關(guān)系？在前面一章，我們的支出函數(shù)構(gòu)造思路是：效用函數(shù)→EMP→支出函數(shù)而在本章我們的思路正相反：支出函數(shù)→效用函數(shù)Slide215定理1.7：支出函數(shù)的性質(zhì)1.

在連續(xù)2.

對(duì),是u的嚴(yán)格遞增函數(shù)，而且無上界。3.

是價(jià)格的遞增函數(shù)。4.

是價(jià)格的凹函數(shù)5.

是價(jià)格的一次齊次函數(shù)Slide216命題1：（本節(jié)所要說明的問題）如果E(p,u)滿足定理1.7：1-5性質(zhì)，那么它就是某一偏好的支出函數(shù)。換言之，與此支出函數(shù)相對(duì)應(yīng)的效用函數(shù)必然存在。等價(jià)提法：能夠構(gòu)造一個(gè)效用函數(shù)u(·)，使得E(p,u)正好是該效用函數(shù)下的支出函數(shù)。思路：構(gòu)造一個(gè)函數(shù)證明它是效用函數(shù)Slide2172.1.1支出與偏好偏好EMPUMP根據(jù)支出行為，能夠恢復(fù)其偏好關(guān)系Slide218

XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)

表示的是這樣的消費(fèi)組合集合，它在任何價(jià)格水平下都能滿足px>E(p,u0)Slide219XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)A(u1)u1A(u2)u2u*Slide220先構(gòu)造：A(u):E(p,u)的上等值集然后在A(u)基礎(chǔ)上構(gòu)造u(·)Slide221效用函數(shù)的構(gòu)造給定令超平面：Slide222效用函數(shù)的構(gòu)造—p0·x是x的連續(xù)函數(shù)A(p0,u0)是閉集—p0·x是x的線性函數(shù)所有在價(jià)格p0下能夠達(dá)到u0的消費(fèi)束都在A(p0,u0)內(nèi)，據(jù)此我們有：A(p0,u0)是凸集A(u0)A(p0,u0)Slide223效用函數(shù)的構(gòu)造存在一條未知的無差異曲線～(u0)，在價(jià)格p0下，剛好與該預(yù)算線相切.問題：如何通過A(p0,u0)

找出無差異曲線

u0？Slide224效用函數(shù)的構(gòu)造我們可以把在不同價(jià)格水平下的所有與該無差異曲線相切的預(yù)算線劃出來當(dāng)p=p1時(shí)A(u0)A(p1,u0)Slide225效用函數(shù)的構(gòu)造無差異集既在A(p0,u0)又在A(p1,u0)，即在它們的交集中。－－所有能夠至少產(chǎn)生效用水平u0的消費(fèi)組合記為式2-1A(p,u0)是閉集A(u0)是閉集Slide226效用函數(shù)的構(gòu)造E(p,u)是u的遞增函數(shù)A(u)的遞增性Slide227效用函數(shù)的構(gòu)造給定消費(fèi)組合x，其效用水平？如果那么x至少能夠達(dá)到那么x不可能達(dá)到記：Slide228定理2.1如果E(p,u)具有定理1.7的支出函數(shù)的性質(zhì)，A(u)是根據(jù)2.1式定義，那么函數(shù)是與E(p,u)相對(duì)應(yīng)的效用函數(shù),它是一個(gè)遞增、無上界的擬凹函數(shù)。Slide229證明：第二步最大值存在

B(x)是有上界非空閉集遞增、無上界、擬凹

——具有效用函數(shù)的性質(zhì)Slide230是u的連續(xù)函數(shù)最大值存在性是閉集1.1、B(x)是閉集證明：Slide231E(p,u)無上界，是u的遞增函數(shù)B(x)有上界最大值存在性使得B(x)非空存在上確界1.2、B(x)是存在上界證明Slide232最大值存在性存在上確界閉集具有良好定義Slide233

遞增性Slide234無上界假設(shè)存在上界，則一定有上確界都有即我們需要證明證明Slide235給定是P的一次齊次可微函數(shù)歐拉定理是P的凹函數(shù),根據(jù)定理A2.4無上界證明Slide236設(shè)即無上界Slide237擬凹給定記證明Slide238定理2.2如果E(p,u)具有定理1.7的支出函數(shù)的性質(zhì)，u(x)是根據(jù)定理2.1構(gòu)造的效用函數(shù)，那么Slide239定理2.2：證明給定設(shè)滿足定義給定Slide240定理2.2：證明是P的一次齊次可微函數(shù)歐拉定理是P的凹函數(shù)(根據(jù)定理A2-4)Slide241定理2.2：證明設(shè)Slide242結(jié)論定理2-1和2-2告訴我們,在任何時(shí)刻,我們可寫出滿足定理1-7性質(zhì)的關(guān)于價(jià)格與效用的函數(shù),對(duì)于滿足一般公理的偏好而言,該函數(shù)將是一個(gè)合理的支出函數(shù).我們可由一個(gè)直接效用函數(shù)出發(fā),通過求解適宜的最優(yōu)化問題以求出?？怂剐枨蠡蝰R歇爾需求函數(shù);也可由一個(gè)支出函數(shù)出發(fā),經(jīng)由相反的路線及簡(jiǎn)單積分的方法來獲得消費(fèi)者需求方程.而后者在真實(shí)世界里實(shí)用性更強(qiáng).Slide2432.1.2凸性與單調(diào)性凸性、單調(diào)性假設(shè)

是對(duì)個(gè)人偏好很強(qiáng)的假設(shè)，如果需求理論需要依賴很強(qiáng)的假設(shè)，那么無疑會(huì)限制該理論的應(yīng)用?！墙?jīng)濟(jì)學(xué)的一塊心病Slide2442.1.2凸性與單調(diào)性只是技術(shù)性假設(shè)，理論的預(yù)測(cè)并不會(huì)因?yàn)橐脒@兩個(gè)假設(shè)而改變。即：非凸、非單調(diào)性偏好下的最優(yōu)選擇一定也是單調(diào)、凸偏好下的最優(yōu)選擇。Slide245構(gòu)造的凸化和單調(diào)化偏好連續(xù)具有良好定義,而且連續(xù)——遞增、擬凹（定理2.1的證明）根據(jù)構(gòu)造函數(shù):Slide246與關(guān)系

Slide247（擬凹）:凸集

與關(guān)系

Slide248I、如果是遞增的擬凹函數(shù)是閉凸集——無差異曲線上的任意消費(fèi)束，都存在一個(gè)正的價(jià)格向量，使其成為成本最小化選擇Slide249I、如果是遞增的擬凹函數(shù)支撐超平面定理（分離超平面定理）是閉凸集使得都有：Slide250I、如果遞增的擬凹函數(shù)是u的遞增函數(shù)任何大于u的值都不屬于B(x0)Slide251I、如果遞增的擬凹函數(shù)Slide252II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)無差異曲線上，x0~x1,以及x2~x3,上的消費(fèi)束都存在嚴(yán)格為正的價(jià)格，使其成為成本最小化的最優(yōu)選擇。x3x0x2x1而且對(duì)于x1,x2Slide253II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)不是擬凹函數(shù)即有(e(p,u)遞增性)因?yàn)镾lide254x2x1II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)xtx0x3Slide255x2x1II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)xtx0非遞增性x3Slide256II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)2.1.2凸性與單調(diào)性Slide2572.1.3間接效用與偏好偏好EMPUMP從間接效用函數(shù)能夠恢復(fù)其偏好關(guān)系Slide258直接效用函數(shù)的構(gòu)造如果有Slide259定理2.3

在上擬凹而且可微，一階偏導(dǎo)嚴(yán)格為正，那么間接效用函數(shù)在上取得最小值，并且有：（T1）Slide260定理2.3:證明令給定

Slide2612.1.3間接效用與偏好如果函數(shù)滿足定理1.6中的性質(zhì)，那么該函數(shù)就是一個(gè)間接效用函數(shù)，而且根據(jù)（T1）所構(gòu)造的函數(shù)就是產(chǎn)生該間接效用函數(shù)的直接效用函數(shù)。Slide2622.1.3間接效用與偏好0次齊次其中Slide263例Slide264反需求函數(shù)定理2.4設(shè)u(x)是消費(fèi)者的效用函數(shù)，那么商品i的反需求函數(shù)為Slide265證明包絡(luò)定理：Slide266例：求反需求函數(shù)Ch2消費(fèi)者理論專題Lecture2可積性與顯示偏好Slide2682.2可積性如何從可觀察的需求行為恢復(fù)產(chǎn)生該需求的效用函數(shù)？Slide2692.2可積性偏好EMPUMP270由需求逆推支出函數(shù)

（一）基本思路

謝伯特定理表明了?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)之間存在如下關(guān)系：

所以，由希克斯需求函數(shù)求解支出函數(shù)，實(shí)際上是求解一個(gè)以p為自變量、以e為因變量的微分方程。也即：

由于效用函數(shù)又分為直接效用和間接效用，所以由需求逆推支出函數(shù)又分為直接逆推法和由間接效用函數(shù)逆推法。271272273274Slide2752.2可積性需求函數(shù)應(yīng)該滿足那些條件？-零次齊次性、預(yù)算平衡性、對(duì)稱性與負(fù)半定性，以及相伴隨的古諾加總和恩格爾加總。-根據(jù)定理1-17，加總結(jié)論直接來自預(yù)算平衡性。-零次齊次性可由預(yù)算平衡性與對(duì)稱性所蘊(yùn)涵。Slide276定理2-5定理2-5：如果x(p,y)滿足預(yù)算平衡性并且其斯勒斯基矩陣是對(duì)稱的,那么它對(duì)p與y就是零次齊次的。證明：略Slide277總結(jié)如果x(p,y)是需求函數(shù)的一個(gè)效用最大化的方程組,那么,我們可以對(duì)已發(fā)現(xiàn)的可觀察行為含義做如下總結(jié):預(yù)算平衡性:p?x(p,y)=y負(fù)半定性:相關(guān)的斯勒斯基矩陣s(p,y)是負(fù)半定的.對(duì)稱性:s(p,y)是對(duì)稱的.Slide278定理2.6可積性定理定理2.6:一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)當(dāng)其滿足預(yù)算平衡性、對(duì)稱性和負(fù)半定性時(shí)，它就是由一些遞增、擬凹的效用函數(shù)產(chǎn)生的需求函數(shù)。該結(jié)論并且只在效用是連續(xù)的、嚴(yán)格遞增的且嚴(yán)格擬凹的條件下成立。證明：略一個(gè)有用的引理:對(duì)偶性+ShepardlemmaSlide279例題2-3存在三種物品并設(shè)消費(fèi)者的需求行為由如下函數(shù)表達(dá)，求其支出函數(shù)。Slide280首先，檢查x(p,y)滿足預(yù)算平衡性、對(duì)稱性與負(fù)半定性,依據(jù)定理2-6，x(p,y)必是由效用函數(shù)生成的.根據(jù)定理2-6的引理（P.1）我們的任務(wù)在于尋找出,它求解出以下偏微分方程組:Slide281注意到上式可被改寫為:于是有:Slide282進(jìn)一步,于是,由于必須確保e(p,y)關(guān)于u是嚴(yán)格遞增的,只要我們能保證c(u)嚴(yán)格遞增,所得函數(shù)就是我們要求的支出函數(shù),可以方便地設(shè)c(u)=u.我們的最終解就是Slide283Slide2842.3顯示偏好分析的思路對(duì)偏好進(jìn)行公理化假設(shè)最大化行為消費(fèi)者行為觀察和預(yù)測(cè)(前面各章節(jié)的思路)可觀察的選擇出發(fā)分析消費(fèi)行為Samuelson（1947）消費(fèi)者選擇消費(fèi)束A而非B,說明消費(fèi)者更偏好于A,消費(fèi)者的實(shí)際選擇行為傳遞著關(guān)于消費(fèi)者偏好的信息.Slide285直接顯示偏好設(shè)是消費(fèi)者在收入為m的條件下根據(jù)價(jià)格所能購買的任意商品束,是其實(shí)際購買的商品束,如果該消費(fèi)者滿足預(yù)算平衡性,顯然有:于是有如果與是不同的消費(fèi)束,此時(shí)我們說是的直接顯示偏好.Slide286顯示偏好原理設(shè)是價(jià)格在時(shí)被選擇的商品束,是使得成立的另一個(gè)商品束.在這種情況下,如消費(fèi)者總是在他能夠購買的商品束中選擇他最偏好的商品束,則我們有Slide287間接顯示偏好與顯示偏好如需求束本身恰好又是另一商品束

的顯示偏好,即根據(jù)傳遞性假設(shè),我們有,在這種情況下,我們稱是的間接顯示偏好.如果一個(gè)商品束既是另一個(gè)商品束的直接顯示偏好,又是它的間接顯示偏好,那么我們就說第一個(gè)商品束是第二個(gè)商品束的顯示偏好.Slide288AmountofExercise(hours)AnexampleOtherRecreationalActivities($)025507520406080100l1Cl2U2BTheratechangesto$1/hr+$30/wkNewbudgetlineI2&combinationBRevealpreferenceofBtoAU1AScenarioRoberta’srecreationbudget=$100/wkPriceofexercise=$4/hr/weekExercises10hrs/wkatAgivenU1&I1Slide289恢復(fù)偏好通過觀察消費(fèi)者所作的選擇,我們可以獲知他的偏好,當(dāng)我們觀察的選擇越多時(shí),我們就能對(duì)消費(fèi)者的偏好作出越加準(zhǔn)確的估計(jì).充分利用顯示偏好的概念及關(guān)于偏好的若干前提假設(shè),則我們能準(zhǔn)確地畫出無差異曲線.Slide290DRevealedPreferences--TwoBudgetLinesl1l2BAI1:ChoseAoverBAisrevealedpreferredtoBl2:ChooseBoverDBisrevealedpreferredtoDFood(unitspermonth)Clothing(unitspermonth)Slide291AispreferredtoallmarketbasketsinthegreenareaRevealedPreferences--TwoBudgetLinesl2Bl1DAAllmarketbasketsinthepinkshadedareaarepreferredtoA.Food(unitspermonth)Clothing(unitspermonth)Slide292AllmarketbasketsinthepinkareapreferredtoAFood(unitspermonth)RevealedPreferences--fourBudgetLinesClothing(unitspermonth)l1l2l3l4A:preferredtoallmarketbasketsinthegreenareaEBAGI3:ErevealedpreferredtoA

I4:GrevealedpreferredtoASlide293顯示偏好的弱公理（WARP）如果對(duì)于每一對(duì)不同的消費(fèi)束與，消費(fèi)者在價(jià)格為時(shí)選擇,在價(jià)格為時(shí)選擇，那么，這個(gè)消費(fèi)者的選擇行為會(huì)滿足顯示偏好弱公理：換言之，當(dāng)是的顯示偏好，且從來不是的顯示偏好，那么，WARP成立。Slide294一種更容易理解的表述WARP：如果是的直接顯示偏好，且和不同，那么，就不可能是的直接顯示偏好。還原到現(xiàn)實(shí)世界就是：如果在購買商品束X時(shí)有能力購買商品束Y，那么在購買商品束Y時(shí)，商品束X就肯定是無力購買的商品束。Slide295顯示偏好弱公理x1x1x0x0Slide296選擇函數(shù)選擇函數(shù)（choicefunction）假設(shè)1：稱x1

直接顯示偏好于x2，如果有記為：Slide2970次齊次設(shè)（預(yù)算平衡）（WARP）ifSlide298斯勒茨基補(bǔ)償當(dāng)價(jià)格變化后，調(diào)整收入，使其剛好買得起原來的消費(fèi)束。（WARP）（2-5）Slide299如果那么等式成立。如果，那么，在可被支付時(shí)被選擇，WARP意味著每當(dāng)被選擇時(shí)都是支付不起的，因此上式不等號(hào)是嚴(yán)格的。根據(jù)預(yù)算平衡有：（2-6）（2-6）-（2-5）得（2-7）：Slide300令Slide301斯勒茨基補(bǔ)償需求Slide302斯勒茨基補(bǔ)償需求Slide303斯勒茨基補(bǔ)償需求都成立負(fù)半定Slide304總結(jié)至此我們已證明，一旦選擇函數(shù)滿足WARP和預(yù)算平衡性，那么它必定滿足由效用最大化所蘊(yùn)涵的兩個(gè)特性，即零次齊次性與斯勒斯基矩陣的負(fù)半定性。如果我們能進(jìn)一步證明選擇函數(shù)的斯勒司基矩陣是對(duì)稱的，那么，依據(jù)可積分性結(jié)論，選擇函數(shù)實(shí)際上就是需求函數(shù)，由此即可構(gòu)建產(chǎn)生該需求函數(shù)的效用函數(shù)。Slide305兩物品情況我們已證，滿足WARP和預(yù)算平衡的選擇函數(shù)具有：0次齊次負(fù)半定替代矩陣兩物品的條件下，0次齊次和負(fù)半定性就意味著對(duì)稱性，因此，此時(shí)選擇函數(shù)必定是由效用最大化產(chǎn)生的。Slide306兩物品情況反過來看，從效用最大化得到的需求函數(shù)一定滿足WARP。設(shè)效用最大化的消費(fèi)者具備了嚴(yán)格單調(diào)且嚴(yán)格凸的偏好，那么，在每一個(gè)價(jià)格集上將存在唯一的需求束，該需求束正好用盡消費(fèi)者的收入。在價(jià)格為時(shí)令最大化其效用，價(jià)格為時(shí)最大化其效用，并設(shè)。由于是可支付但沒被選擇的消費(fèi)束，因此必定有。因此，當(dāng)在價(jià)格為時(shí)被選擇，此時(shí)必定是不可獲得的：因此，，WARP于是得到滿足。Slide307兩物品以上情況超過兩物品的情況，由于WARP與預(yù)算平衡性不意味著斯勒斯