五邑大學工程力學第一章

課程簡介工程力學理論力學材料力學物體在力系作用下的平衡規(guī)律，運動學、動力學變形、內(nèi)力（內(nèi)效應）變形固體第一章力的基本運算與物體受力圖的繪制第一節(jié)力的概念第二節(jié)力的基本運算第三節(jié)約束與約束力

第四節(jié)物體的受力分析、受力圖小結(jié)第一節(jié)力的概念一、力的概念力的作用效應：外效應：使物體機械運動狀態(tài)發(fā)生變化；內(nèi)效應：使物體產(chǎn)生變形。綜上所述，在靜力學的范疇內(nèi)，力可定義為：

力是物體間的相互作用，這種作用將引起物體的機械運動狀態(tài)發(fā)生變化。F

實踐證明，力對物體的作用效應，是由力的大小、方向和作用點的位置所決定的，這三個因素稱為力的三要素。例如，用扳手擰螺母時，作用在扳手上的力，因大小不同，或方向不同，或作用點不同，它們產(chǎn)生的效果就不一樣。1．力的三要素

2．力的矢量表示

力是矢量常用一個帶箭頭的線段來表示，線段的長度按一定比例代表力的大小，線段的方位和箭頭表示力的方向，其起點或終點表示力的作用位置。該線段的延伸稱為力的作用線。用加粗體字母（如F）代表力矢，而并以明體字母

F表示力的大小。AF50N力的作用線F=200NB

本書采用我國法定計量單位，力的單位用N（牛［頓］）或kN（千牛［頓］）。3．力的單位

力系：

作用在物體上的一組力匯交力系——各力作用線匯交于一點。AAF1F2Fn平行力系——各力作用線相互平行。

二、力的性質(zhì)

力系：

作用在物體上的一組力

平衡力系:

作用于剛體保持平衡的力系一般力系——各力作用線既不匯交于一點，也不互相平行。

性質(zhì)1（兩力平衡公理）作用于同一剛體上的兩個力，使剛體處于平衡狀態(tài)的必要與充分條件是：此兩力必須等值、反向、共線。

AFABBFBA指向相反FAB=–FBA作用線共線作用于同一個物體上大小相等

兩力平衡公理是剛體受最簡單的力系作用時的平衡條件，如一物體僅受兩力作用而平衡，則兩力的作用線必定沿此兩力作用點的連線，這類構(gòu)件常被稱為二力構(gòu)件。ABCDGABFAFBWABDCFDFC

性質(zhì)2（加減平衡力系原理）在已知力系上，加上或減去任一的平衡力系，不會改變原力系對剛體的作用效應。

推論（力的可傳性原理）作用于剛體上的力，可沿其作用線滑移到任何位置而不改變此力對剛體的作用效應。ABF2F

推論證明

AFABF1設力F作用于剛體上A點。

在力F的作用線上任選一點B，并在B點加一組沿AB的平衡力F1和F2，且使F2＝F＝－F1。F2F1F

除去F與F1所組成的一對平衡力，剛體上只剩F2，顯然F2＝F。

力的可傳性原理說明，力是滑移矢量，它可以沿其作用線滑移，但不能任意移至作用線以外的位置。

必須指出，力的可傳性原理不適應于研究物體的內(nèi)效應。例如，一根直桿受一對平衡力F、F作用時，桿件受壓，若將兩力互沿作用線移動而易位，則桿變?yōu)槭芾?，但拉、壓是兩種不同的內(nèi)效應。因此，當研究物體的內(nèi)效應時，力應視為固定矢量。合力:一個力（FR）與一個力系（F1,F2,…,Fn)等效，則力（FR）稱為此力系的合力。F1F2FnFR

性質(zhì)3（力的平行四邊形法則）作用于物體上某點兩力的合力也作用于該點，其大小和方向可用此兩力為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對角線來表示。

有時為簡便起見，作圖時可省略AC與DC，直接將F2聯(lián)在F1的末端，通過△ABD即可求得合力FR。此法就稱為求兩匯交力合力的三角形法則。按一定比例作圖，可直接量得合力FR的近似值。FRF2F1ABCDFRF2CDF1AB

平行四邊形法則說明，力的運算可按矢量運算法則進行，但因力為滑移矢，故限制了合力作用線必須通過前兩力之匯交點，其矢量式為

FR=F1+F2

（1-4）

一個力也可以分解為兩個分力，分解也按力的平行四邊形法則來進行。顯然，由已知力對角線可作無窮多個平行四邊形，故必須附加一定條件，才可能得到確切的結(jié)果。附加條件可能為：

1）規(guī)定兩個分力的方向。2）規(guī)定其中一個分力的大小和方向等。F1FRAF2F3F4

例如，在進行直齒圓柱齒輪的受力分析時，常將齒面的法向正壓力Fn。

分解為推動齒輪旋轉(zhuǎn)的即沿齒輪分度圓圓周切線方向的分力——圓周力Ft與指向軸心的壓力——徑向力F。若已知Fn與分度圓圓周切向所形成的壓力角為，則FnFt

Ft=Fncos

F=Fnsin

F

性質(zhì)4（作用和反作用定律）若將兩物體相互作用之一稱為作用力，則另一個就稱為反作用力。兩物體間的作用力與反作用力必定等值、反向、共線，但分別同時作用于兩個相互作用的物體上。FT'PPFT等值、反向、共線、異體、且同時存在

本定律闡明了力是物體間的相互作用，其中作用與反作用的稱呼是相對的，力總是以作用與反作用的形式存在的，且以作用與反作用的方式進行傳遞。這里應該注意兩力平衡公理與作用與反作用定律之間的區(qū)別，前者敘述了作用在同一物體上兩個力的平衡條件，后者卻是描述兩物體間相互作用的關(guān)系。

有時我們考察的對象是物系，物系外的物體與物系間的作用力稱為外力，而物系內(nèi)部物體間的相互作用力稱為內(nèi)力。內(nèi)力總是成對出現(xiàn)且呈等值、反向、共線的特點，所以就物系而言，內(nèi)力的合力總是為零。因此，內(nèi)力不會改變物系的運動狀態(tài)。但內(nèi)力與外力的劃分又與所取物系的范圍有關(guān)，隨著所取對象范圍的不同，內(nèi)力與外力又是可以相互轉(zhuǎn)化的。

1)兩力匯交三角形法則一、平面匯交力系合成第二節(jié)力的基本運算1.幾何法分力矢量首尾相接次序可變合力矢量的箭頭與最后分力矢量的箭頭相連矢量表達式：FR=F1+F22)力多邊形法則——求合力矢的幾何作圖方法。1.幾何法AF2F1F4F3FRF1BF2CF3DF4EAFRF1BF2CF3DF4EA

為求合力FR，只需將各力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)4首尾相接，形成一條折線，最后聯(lián)其封閉邊，從首力F1的始端O指向末力F4的終端所形成的矢量即為合力FR的大小和方向。此法稱為力多邊形法則。2)力多邊形法則——求合力矢的幾何作圖方法。結(jié)論:平面匯交力系可以合成為一個合力，合力作用線通過匯交點，合力的大小和方向可由力多邊形的封閉邊矢量確定，即等于各分力的矢量和。矢量表達式：1.幾何法AF2F1F4F3FRF1BF2CF3DF4EAFRF1BF2CF3DF4EA

2）平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的必要和充分條件：該力系的合力等于零。即平面匯交力系平衡的必要和充分的幾何條件：該力系的力多邊形自行封閉。

正負由從力矢量起點到終點的投影指向與坐標軸是否一致確定。

力的分力是矢量；力在坐標軸上的投影是代數(shù)量。b1a1OyxBAabFFxFyFxFyab2.解析法

1）力在直角坐標軸上的投影將力F沿正交的x、y坐標軸方向分解，則所得分力Fx、F

y

的大小與力F在相應軸上的投影Fx、Fy的絕對值相等。當投影Fx、Fy已知時，則可求出力F的大小和方向：OxABy合力投影定理——合力在某一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。2）平面匯交力系合成的解析法2）平面匯交力系合成的解析法先計算出各分力在軸的投影，然后根據(jù)合力投影定理計算出合力的大小與方向余弦。

例求圖示作用在O點之共點力系的合力。FRx=Fx=-400+250cos45-200×4/5=-383.2NFRy=Fy=250cos45-500+200×3/5=-203.2N解：取坐標如圖。合力在坐標軸上的投影為：35445F3=500NF4=200NyxOF2=250NF1=400NFR合力為：=433.7N;=arctg(203.2/383.2)=27.9

在第三象限，如圖所示。二、力偶的概念及其運算法則1力偶的定義

在日常生活及生產(chǎn)實踐中，常見到物體受一對大小相等、方向相反但不在同一作用線上平行力作用。例如圖示的開門鎖，轉(zhuǎn)動駕駛盤及擰水龍頭等。FF'FF'力偶對物體不產(chǎn)生移動效應，只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應，既它可以也只能改變物體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。xFF′d力偶臂力偶作用面

其轉(zhuǎn)動效應——力偶矩，即用力偶中的兩個力對其作用面內(nèi)任一點之矩的代數(shù)和來度量?；颉?力偶矩的單位為N·m或N·mm。

力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應取決于下列三要素：

1）力偶矩的大小。2）力偶的轉(zhuǎn)向。3）力偶作用面——它的方位表征作用面在空間的位置及旋轉(zhuǎn)軸的方向；作用面方位由垂直于作用面的垂線指向來表征。凡空間相互平行的平面，它們的方位均相同。凡三要素相同的力偶則彼此等效，即它們可以相互置換。二、力偶的三要素60N0.4m0.4m60N0.6m40NM=24N.m因此，以后可用力偶的轉(zhuǎn)向箭頭來代替力偶。FF'dOxAB

性質(zhì)1力偶對其作用面內(nèi)任意點的力矩恒等于此力偶的力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)。

4、力偶的性質(zhì)

性質(zhì)2力偶在任意坐標軸上的投影之和為零，故力偶無合力，一個力偶不能與一個力等效，也不能用一個力來平衡。推論1

力偶可以在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移而不改變它對剛體的轉(zhuǎn)動效應兩個重要推論：如下圖(a)、(b)所示。()()推論2

在保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任意改變力偶中力和力偶臂的大小而不改變力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應如下圖(a)、(b)所示。()()其中BAd5、平面力偶系的合成

F1=F'1=M1/dF2=F'2=M2/dF2BAF'1F'2F1M1M2dFRF'R

M=FRd=(F1-F2)d=M1+M2

若在剛體上有若干力偶作用，采用上述方法疊加，可得合力偶矩為M＝M1+M2+…+Mn=∑M（1-11）

平面力偶系可合成為一合力偶，合力偶矩為各分力偶矩的代數(shù)和。

三、力的平移定理力的平移定理：

作用于剛體上的力,可以平行地移動到剛體上任一指定點，為使該力對剛體的作用效果不變，必須同時附加一力偶,其力偶矩等于原力對該指定點的力矩。（c）OA·OA·（c）

應該指出，力的平移定理的逆定理同樣成立，即在剛體上同平面的力F和力偶M可合成為一合力FR。唯合力FR與力F的作用位置不同而已。

FOA·

力的平移定理表明了力對繞力作用線外的中心轉(zhuǎn)動的物體有兩種作用，一是平移力的作用，二是附加力偶對物體產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)作用。

F′（a）

圓周力F作用于轉(zhuǎn)軸的齒輪上，為觀察力F的作用效應，將力F平移至軸心O點，則有平移力F'作用于軸上，同時有附加力偶M使齒輪繞軸旋轉(zhuǎn)。再以削乒乓球為例，分析力F對球的作用效應，將力F平移至球心，得平移力F'與附加力偶M，平移力F'決定球心的軌跡，而附加力偶則使球產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)。（b）OA·F′M力對點之矩1、力矩的概念

用扳手擰緊螺母時，若作用力F，轉(zhuǎn)動中心O（稱為矩心）到力作用線的垂直距離為d（稱為力臂），由經(jīng)驗可知，扳動螺母的轉(zhuǎn)動效應不僅與F的大小和方向有關(guān)，且與力臂d的大小有關(guān)，故力F對物體轉(zhuǎn)動效應的大小可用兩者的乘積F·d來度量。當然，若力F對物體的轉(zhuǎn)動方向不同，其效果也不下相同。表示力使物體繞某點轉(zhuǎn)動效應的量稱為力對點之矩（簡稱力矩）。

dFO

一、力矩的概念

由大量實例可歸納出力對點之矩的定義：力對點之矩為一代數(shù)量，它的大小為力F的大小與力臂d的乘積，它的正負號表示力矩在平面上的轉(zhuǎn)向。

MO(F)=±F·d

（1-8）dFO

一般規(guī)定力使物體繞矩心逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針為負。并記作

MO(F)=±F·d

（1-8）dFO

一般規(guī)定力使物體繞矩心逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針為負。并記作

由力矩的定義和式（1-8）可知：

當力的作用線通過矩心時，力臂值為零，力矩值也必定為零。

力沿其作用線滑移時，不會改變力對點之矩的值，因為此時并未改變力、力臂的大小及力矩的轉(zhuǎn)向。力矩的單位為N·m（?！っ祝?。二、合力矩定理

合力矩定理平面力系的合力對平面上任一點之矩，等于所有各分力對同一點力矩的代數(shù)和。由于合力與原力系對物體的作用等效，故有MO(FR)=∑MO(F)（1-9）

上述合力矩定理不僅適用于平面力系，對于空間力系也都同樣成立。在計算力矩時，有時力臂值未在圖上直接標出，計算亦較繁。應用這個定理，可將力沿圖上標注尺寸的方向作正交分解，分別計算各分力的力矩，然后相加得出原力對該點之矩。

解：①直接用定義求

[例]

已知：D=160mm，②應用合力矩定理

解1按力對點之矩的定義有

圖示圓柱直齒輪的齒面受一嚙合角=20的法向壓力Fn=1kN的作用，齒面分度圓直徑d=60mm。試計算力對軸心的力矩。FndOrh

MO(Fn)=

Fnh=Fnrcos=Fn(d/2)cos=28.2N·m

解2將Fn沿半徑的方向分解成一組正交的圓周力Ft=Fncos與徑向力F=Fnsin，按合力矩定理有

FFtMO(Fn)=MO(Ft)+MO(F)=

Ftr+0=

Fncos(d/2)=28.2N·mABFdO幾個結(jié)論：1、若F=0或d=0，則：Mo(F)=02、當力F沿其作用線滑動時，力對同一點的矩Mo(F)不變。3、同一個力對不同點的矩不同，即：力對點的矩與矩心的選擇有關(guān)。4、Mo(F)=±Fd=±2OAB面積注意：平面力系中力對點的矩是一代數(shù)量。一物體的運動受到周圍的物體限制時，這種限制稱為約束。約束限制了物體本來可能產(chǎn)生的某種運動，約束作用于物體的力，稱為約束力。

第三節(jié)約束與約束力

列車是受限制的物體鐵軌是約束鐵軌作用在車輪上的力為約束力約束力特點：GGFN1FN2①大小常常是未知的；②方向總是與約束限制的物體的運動或運動趨勢方向相反；③作用點在物體與約束相接觸的那一點。G

繩索，皮帶，鏈條等所形成的約束為柔性約束。這類約束只能限制物體沿著柔索伸長方向的運動，因此它對物體只有沿柔索方向的拉力，常用代號為FT。一、柔性約束GFT約束反力是作用在接觸點，方向沿柔性體軸線，背離被約束物體。是離點而去的力。GFTF'TFT1FT2下一頁上一頁返回首頁FT1

當柔索繞過輪子時，常假想在柔索的直線部分處截開柔索，將與輪接觸的柔索和輪子一起作為考察對象。這樣處理，就可以不考慮柔索與輪子間的內(nèi)力，此時作用于輪子的柔索拉力即沿輪緣的切線方向。F'T1FT2F'T2G

當兩物體直接接觸并可忽略接觸處的摩擦時，約束只能限制物體在接觸點沿接觸面的公法線方向的運動，不能限制物體沿接觸面切線方向的運動，故約束力必過接觸點沿接觸面法向并指向被約束物體，簡稱法向反力，通常用符號FN表示此類約束力。二、光滑面約束GFN取桿為研究對象，并將其單獨畫出。再將作用在梁上的全部荷載畫上。在A、B、D為光滑面約束，約束力FNA、FNB、FND與接觸面垂直通過接觸點指向研究對象。FNDFNAGACBDFNB直桿與方槽在A、B、D三點接觸

ACBDACBDGFNDFNAFNBFN光滑面約束三、鉸鏈約束

兩構(gòu)件采用圓柱銷所形成的聯(lián)接為鉸鏈聯(lián)接。圓柱銷只限制兩構(gòu)件的相對移動，而不限制兩構(gòu)件的相對轉(zhuǎn)動，若相聯(lián)的構(gòu)件有一個固定，則稱為固定鉸鏈；若均不固定，則稱為中間鉸鏈。鉸鏈簡稱為鉸。固定鉸鏈簡圖ABC中間鉸鏈ABCABC簡化表示銷釘A中間鉸鏈FNCKCFCxFCyCCF'CxF'Cy

中間鉸鏈約束力作用在垂直于銷釘軸線的平面內(nèi)，通過圓孔中心，方向待定。

通常用兩個正交分力FCx，和FCy來表示鉸鏈約束反力，兩分力的指向是假定的。FCxFCy兩物體在鉸鏈處的約束力構(gòu)成作用力與反作用力關(guān)系，即大小相等，方向相反，在同一直線上。

用鉸鏈連接的兩個構(gòu)件中，其中一個構(gòu)件是固定在基礎(chǔ)上的支座(圖a)。圖b～e是幾種簡化表示。固定鉸鏈約束反力與鉸的情形相同(圖f)。（a）

通常用兩個正交分力Fx，和Fy來表示鉸支座約束反力，兩分力的指向是假定的。

固定鉸鏈約束反力，通過圓孔中心，方向待定。固定鉸鏈構(gòu)件銷釘支座FxFy（b）（c）（d）（e）（f）FN

如屬于下列情況，固定鉸鏈及中間鉸鏈的約束力方向是可以確定的：1）鉸鏈聯(lián)接的構(gòu)件中，有一個是二力構(gòu)件。2）活動鉸鏈支座。鉸鏈支座常用于橋梁、屋架等結(jié)構(gòu)中，支座在滾子上可任意左右移動的鉸鏈支座，稱為活動鉸鏈支座。ABAACFPBAFAF'CBFBCFCBBCACFPACFP

由于構(gòu)件上只在兩端作用了兩個約束力，而構(gòu)件是平衡的，因此這兩個力必然大小相等，方向相反，在同一直線上。所以，鏈桿約束的約束力是沿著兩端銷釘圓心連線，指向待定。二力構(gòu)件（a）

如果在支座與支承面之間裝上幾個滾子，使支座可沿支承面移動，就成為活動鉸鏈支座，簡稱活動鉸。

圖b～d是它的幾種簡化表示。構(gòu)件銷釘支座輥軸FN（c）（d）（e）（b）

活動鉸鏈支座約束反力垂直于支承面，通過鉸鏈中心，指向待定?；顒鱼q鏈支座

如果支承面是光滑的，這種支座不限制構(gòu)件沿支承面移動和繞銷釘軸線的轉(zhuǎn)動，只限制構(gòu)件沿支承面法線方向的移動。BAFM

一曲梁如圖所示，A為固定鉸，B為活動鉸。已知載荷有集中力F和力偶M。試分析曲梁的受力情況。

解1)A為固定鉸，畫一組正交約束力FNAx與FNAy，B為活動鉸，畫一個與約束面垂直之反力FNB。FNBFNAxFNAyBAFM

工程中還有一種常見的基本約束，如建筑物上的陽臺以及以焊、鉚接和用螺栓聯(lián)接的結(jié)構(gòu)：刀、夾具的錐柄以及車床主軸的錐孔配合等，這些約束均稱為固定端約束。AB四、固定端約束力

以上這些工程實例均可歸結(jié)為一桿插入固定面的力學模型。

對固定端約束，可按約束作用畫其約束力。固定端既限制被約束構(gòu)件的垂直與水平位移，又限制了被約束構(gòu)件的轉(zhuǎn)動，故固定端在一般情況下，有一組正交的約束力與一個約束力偶。FAxFAyMAAB四、固定端約束力AA

在靜力學中，畫研究對象時，只需示出力的作用位置和約束類型，構(gòu)件可用簡單線條組成的簡圖來表示。

在簡圖上除去約束，使對象成為自由體，添上代表約束作用的約束力，稱為解除約束原理。解除約束后的自由體稱為分離體，在分離體上畫上它所受的全部主動力與約束力，就稱為該物體的受力圖。畫受力圖的一般步驟為：①畫出分析對象的分離體簡圖；②在簡圖上標上已知的主動力；③在簡圖上解除約束處畫上約束力。

第四節(jié)物體的受力分析、受力圖例：畫出AB桿的受力圖。(b)CBAD(a)ABCD支架上有A點的約束力FNAx、FNAy，B點水平方向的約束力FNB，滑車滾輪的壓力F'R1、F'R2和支架自重W。BACW吊鉤受繩索約束，沿各繩上畫拉力F'T1、F'T2、FT3。

例1-7

圖示為一起重機支架，已知重力W、吊重G。試畫出支架、滑車、吊鉤與重物以及物系整體的受力圖（滑車、吊鉤、繩索的質(zhì)量不計）。解GG

重物上作用有重力G和吊鉤沿繩索的拉力FT1、FT2。FT1FT2F'T1F'T2WFT3滾輪上有鋼梁的約束力FR1、FR2。F'T3FR2FR1BACF'R1F'R2FNAyFNAxFNB整個物系作用有外力G、W、FNAx、FNAy，其余為內(nèi)力，均不顯示。FNAyFNAxFNB例：畫出滑輪、CD桿、AB桿和整體受力圖。WWWABCD1、研究滑輪2、研究CD桿不計桿件和滑輪自重ABC3、研究AB桿4、研究整體WABCDWWWWCAB注意：研究整體時，不畫物體間的內(nèi)力。解分別取滑塊、推桿為分離體，畫出它們的主動力和約束力。畫出圖a、b兩圖中滑塊及推桿的受力圖，并進行比較。圖a是曲桿滑塊機構(gòu)，圖b是凸輪機構(gòu)。a）FRFNFOABMCDBABFMFDBb）FNDFNBFR滑塊上作用的F和FR的交點在滑塊與滑道接觸長度以內(nèi)，其合力使滑塊單面靠緊滑道，故產(chǎn)生一個與約束面相垂直的反力FN，F(xiàn)、FR、FN三力匯交。推桿上的F與FR的交點在滑道之外，其合力使推桿傾斜而導致B、D兩點接觸，故有約束力FNB、FND。BFAB例1-9有一傳動支架，如圖所示。試畫出電動機支架與傳動支架的受力圖。

解分別在兩固定端A、B畫出正交約束力與約束力偶。F'T1F'T2FNAxFNAyMAFNAxFNAyMAFT1FT2畫受力圖應注意的問題接觸處必有力，力的方向由約束類型而定。⒉不要多畫力對于受力體所受的每一個力，都應能明確地⒈不要漏畫力除重力、電磁力外，物體之間只有通過接觸才有相互機械作用力，要分清研究對象（受力體）都與周圍哪些物體（施力體）相接觸，指出它是哪一個施力體施加的。要注意力是物體之間的相互機械作用。因此不要把箭頭方向畫錯。⒊不要畫錯力的方向⒋受力圖上不能再帶約束。

即受力圖一定要畫在分離體上。約束反力的方向必須嚴格地按照約束的類型來畫，不能單憑直觀或根據(jù)主動力的方向來簡單推想。在分析兩物體之間的作用力與反作用力時，要注意，作用力的方向一旦確定，反作用力的方向一定要與之相反，內(nèi)力，就成為新研究對象的外力。部或單個物體的受力圖上要與之保持一致。

⒌

受力圖上只畫外力，不畫內(nèi)力。

⒍同一系統(tǒng)各研究對象的受力圖必須整體與局部一致，相互協(xié)調(diào)，不能相互矛盾。⒎正確判斷二力構(gòu)件。一個力，屬于外力還是內(nèi)力，因研究對象的不同，有