控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及其轉換

第3章:控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及其轉換在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數(shù)學模型形式有：傳遞函數(shù)模型（系統(tǒng)的外部模型）狀態(tài)方程模型（系統(tǒng)的內(nèi)部模型）零極點增益模型（傳遞函數(shù)模型的一種）這些模型之間都有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以相互進行轉換。按系統(tǒng)性能分：線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)；連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)；定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)；確定系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)。1、線性連續(xù)系統(tǒng)：用線性微分方程式來描述，如果微分方程的系數(shù)為常數(shù)，則為定常系統(tǒng)；如果系數(shù)隨時間而變化，則為時變系統(tǒng)。今后我們所討論的系統(tǒng)主要以線性定常連續(xù)系統(tǒng)為主。2、線性定常離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)指系統(tǒng)的某處或多處的信號為脈沖序列或數(shù)碼形式。這類系統(tǒng)用差分方程來描述。3、非線性系統(tǒng)：系統(tǒng)中有一個元部件的輸入輸出特性為非線性的系統(tǒng)。下面來分析各種數(shù)學模型的MATLAB表示形式3.1系統(tǒng)的類型對線性定常系統(tǒng)，式中s的系數(shù)均為常數(shù)，且a1不等于零，這時系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數(shù)構成的兩個向量唯一地確定出來，這兩個向量分別用num和den表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它們都是按s的降冪進行排列的。3.2傳遞函數(shù)描述一、連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下：(1)遞函數(shù)的Maltab模型num=[b1,b2,…,bm,bm+1]den=[a1,a2,…,an,an+1]可用命令tf()建立一個傳遞函數(shù)模型，或?qū)⒘銟O點增益模型或狀態(tài)空間模型轉變?yōu)閭鬟f函數(shù)模型。(2)傳遞函數(shù)模型命令tf()調(diào)用格式sys=tf(num,den）sys=tf(mum,den,Ts)

％用于生成離散傳體函數(shù)，Ts為采樣時間。sys=tf(M)％用于生成靜態(tài)增益s傳遞函數(shù)，sys=tf(‘s’)%用于生成拉普拉斯變量s的有理傳遞函數(shù)tfsys=tf(sys)

sys=tf(num,den,’Property1’,Value1,……,’PropertyN’,ValueN)：用于生成傳遞函數(shù)模型，同時定義傳遞函數(shù)的屬性值。傳遞函數(shù)的屬性值可用get（sys）命令來查看

例3.1

(3)多輸入多輸出系統(tǒng)（MIMO）傳遞函數(shù)模型對多輸入多輸出系統(tǒng)，分子、分母為元胞類型向量。元胞數(shù)組：元胞數(shù)組的基本元素是元胞，元胞可以存放任何類型數(shù)據(jù)，而且同一個元胞數(shù)組的各元胞（cell）中的內(nèi)容可以不同。元胞數(shù)組的定義符是{},例：A={[01],3;‘thisisbook’,[25]}。元胞數(shù)組元素內(nèi)容的訪問用{},如：A{1,1},結果得到[01]，或者使用單下標，如A{2}，結果是“thisisbook”。例：給定一個多入多出系統(tǒng)：試生成其仿真模型解：命令如下：num={11;2[12]};den={[11],[12];1,[12]};sys=tf(num,den)注意：元素sys(i,j)表示輸入j對輸出i的傳遞函數(shù)。（4）傳遞函數(shù)模型生成方法（二）利用拉普拉斯變量因子“s”直接生成傳遞函數(shù)模型。例：已知傳遞函數(shù)模型如下，利用拉普拉斯變量因子“s”直接生成傳遞函數(shù)模型。解：命令如下：s=tf('s');%定義拉普拉斯變量ssys=(s+1)/(s*(s^2+s+2))零極點模型實際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進行分解因式處理，以獲得系統(tǒng)的零點和極點的表示形式。在MATLAB中零極點增益模型用[z,p,K]向量組表示。生成零極點增益模型的matlab函數(shù)為zpk（）：z=[z1,z2,…,zm]p=[p1,p2,...,pn]K=[k]二、零極點增益模型K為系統(tǒng)增益，zi為零點，pj為極點（1）零極點增益模型zpk函數(shù)調(diào)用格式sys＝zpk(z,p,k)％生成零極點增益模型sys＝zpk(z,p,k,Ts)sys=zpk(M)％生成靜態(tài)增益s傳統(tǒng)函數(shù)sys=zpk(s)％生成拉普拉斯因子szsys=zpk(sys)%將傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間模型轉換為零極點增益模型1）例：建立下述傳遞函數(shù)模型的matlab表示》num=[12,24,0,20];den=[24622];sys=tf(num,den)借助多項式乘法函數(shù)conv來處理：num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));sys=tf(num,den)2）3）零極點增益模型：4）零極點增益模型：z=[];p=[-1,-2,-3-4j,-3+4j];k=5;sys=zpk(z,p,k)z=[-3,0];p=[-1,50,-10];k=1;sys=zpk(z,p,k)例題3.5matlab表示給出零極點增益模型解：命令如下z={[];-0.5}p={0.3;[0.1-j,0.1+j]}k=[1;2]sys=zpk(z,p,k,[])狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達式，又稱為動態(tài)方程，經(jīng)典控制理論用傳遞函數(shù)將輸入—輸出關系表達出來，而現(xiàn)代控制理論則用狀態(tài)方程和輸出方程來表達輸入—輸出關系，揭示了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)對系統(tǒng)性能的影響。（三）狀態(tài)空間模型在MATLAB中，系統(tǒng)狀態(tài)空間用（A,B,C,D)矩陣組表示，函數(shù)為ss()。(1)狀態(tài)空間模型函數(shù)調(diào)用格式(1)Sys=ss(A,B,C,D)%生成狀態(tài)空間模型Sys=ss(A,B,C,D，Ts)%生成離散的狀態(tài)空間模型Sys_ss=ss(sys)%將其它模型轉換為狀態(tài)空間模型例3.7狀態(tài)空間模型用matlab表示例：系統(tǒng)為一個兩輸入兩輸出系統(tǒng)A=[16910;31268;47911;5121314];B=[46;24;22;10];C=[0021;8022];D=zeros(2,2);模型轉換的函數(shù)包括：[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)：狀態(tài)空間模型轉換為傳遞函數(shù)模型[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)：狀態(tài)空間模型轉換為零極點增益模型[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)：傳遞函數(shù)模型轉換為狀態(tài)空間模型[z,p,k]=tf2zp(num,den)：傳遞函數(shù)模型轉換為零極點增益模型[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)：零極點增益模型轉換為狀態(tài)空間模型[num,den]＝zp2tf(z,p,k)：零極點增益模型轉換為傳遞函數(shù)模型3.3 模型的轉換傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間、零極點模型之間轉換示意圖用法舉例：1）已知系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為：A=[01;-1-2];B=[0;1];C=[1,3];D=[1];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)％iu用來指定第n個輸入，當只有一個輸入時可忽略。[num,den]=ss2tf(A,B,C,D）》num=1.00005.00002.0000den=121[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)》z=-4.5616p=-1k=1-0.4384-12）已知一個單輸入三輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型如下，求其狀態(tài)空間模型解：num=[00-2;0-1-5;120];den=[16116];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)》A=-6-11-6B=1C=00-2D=010000-1-50010012003）系統(tǒng)的零極點增益模型如下，試求其傳遞函數(shù)模型及狀態(tài)空間模型：解：命令如下：z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;[num,den]=zp2tf(z,p,k)num=00618den=181710[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)》a=-1.000000b=12.0000-7.0000-3.1623103.162300c=001.8974d=0注意：零極點的輸入可以寫成行向量，也可以寫成列向量。3.4、系統(tǒng)模型的連接

系統(tǒng)模型之間的并聯(lián)分SISO系統(tǒng)模型的并聯(lián)和MIMO系統(tǒng)模型的并聯(lián)1、并聯(lián)：parallelsys=parallel(sys1,sys2)：兩個SISO系統(tǒng)模型的并聯(lián)sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)：生成兩個MIMO系統(tǒng)的并聯(lián)模型，并聯(lián)輸入端口由向量in1和in2定義，并聯(lián)的輸出端口由向量out1和out2定義。in1和out1對應sys1用于并聯(lián)的輸入、輸出端口向量，in2和out2對應sys2用于并聯(lián)的輸入、輸出端口向量。MALTAB提供了求取子系統(tǒng)模型并聯(lián)的函數(shù)parallel（），其調(diào)用格式如下：[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2)[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)

此外，parallel還有如下調(diào)用格式：【例】在上圖所示的SISO系統(tǒng)并聯(lián)模型結構中，已知sys1、sys2的傳遞函數(shù)分別為：

s=tf('s');%定義拉普拉斯變量ssys1=(s+1)/(s*(s^2+s+2));%定義SISO系統(tǒng)sys1的傳遞函數(shù)模型sys2=5/(5*s+1);%定義SISO系統(tǒng)的sys2的傳遞函數(shù)模型disp('并聯(lián)系統(tǒng)模型為')sys=parallel(sys1,sys2)%生成sys1與sys2的并聯(lián)模型執(zhí)行上述命令后在CommandWindows得如下結果：并聯(lián)系統(tǒng)模型為Transferfunction:5s^3+10s^2+16s+1----------------------------5s^4+6s^3+11s^2+2s2、串聯(lián)：series子系統(tǒng)之間的串連分SISO系統(tǒng)模型的串連和MIMO系統(tǒng)模型的串連函數(shù)調(diào)用格式：sys=series(sys1,sys2)：求SISO系統(tǒng)sys1和sys2的串連模型sys=series(sys1,sys2,outputs1,inputs2):求MIMO系統(tǒng)的串連，其中outputs1為sys1的輸出端口數(shù)，inputs2為sys2的輸入端口數(shù)。若MIMO系統(tǒng)有多個連接，在outputs1和inputs2為同維數(shù)向量。2、串聯(lián)：seriesseries函數(shù)也可以采用如下調(diào)用格式：[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)：串聯(lián)連接兩個狀態(tài)空間系統(tǒng)。[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,output1,input2)[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)[num,den]=series(num1,den1,num2,den2,output1,input2)3、反饋：feedback系統(tǒng)模型的反饋連接分SISO系統(tǒng)模型反饋連接和MIMO系統(tǒng)模型反饋連接sys=feedback(sys1,sys2,sign)：生SISO系統(tǒng)sys1與sys2構成的反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型，sys2為反饋通道傳遞函數(shù)模型，反饋類型由sign指定，當sign=1為正反饋，當sign=-1為負反饋，此時sign可省略。sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)：生成MIMO系統(tǒng)的部分反饋模型，feedin指定sys1中連入反饋回路的輸入端口向量。Feedout指定sys1中連入反恐回路中的輸出端口向量。feedback（）調(diào)用格式此外，feedback還有如下調(diào)用格式：[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1)[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)

注意：（1）在很多書籍中依然提到用cloop命令來生成閉環(huán)系統(tǒng)模型，在MATLAB7.0以后的版本中，已經(jīng)廢除cloop命令，其功能完全可以由feedback命令來代替。（2）有關模型混合連接，建議采用Simulink仿真。3.5模型實現(xiàn)Matlab提供的狀態(tài)空間模型實現(xiàn)函數(shù)有：sysT=ss2ss(sys,T)——相似變換[csys,T]=canon(sys,’type’)——狀態(tài)空間的正則變換[Abar,Bbar,Cbar,T,k]=ctrbf(A,B,C)——可控階梯形函數(shù)[Abar,Bbar,Cbar,T,k]=obsvf(A,B,C)——可觀階梯形函數(shù)Csys=canon(sys,’type’)—