2021屆安徽省皖南八校高三上學期第二次聯(lián)考數(shù)學(理)試題

皖南八?！?021屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學（理科）18所理事學校新考文化2020.12考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2?考生作答時，請將答案答在答題卡上?選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超．出．答．題．區(qū)．域．書．寫．的．答．案．無．效．，在．試．題．卷．、草．稿．紙．上．作．答．無．效．．3?做選考題時,考生須按照題目要求作答,并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.一、選擇題：本題共12小題；每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．TOC\o"1-5"\h\z1.若集合A={—2,—1,0,1},B=（xIx3+2x<則AnB=（）A.{—1}B.{—1,0}C.{—2,—1,0}D.{—1,0,1}數(shù)系的擴張過程以自然數(shù)為基礎，德國數(shù)學家克羅內克（Kronecker,1823-1891）說“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”設i為虛數(shù)單位，復數(shù)z（2—i）=4+3i，則z的共軛復數(shù)是（）A.2+iB.2—iC?1—2iD?1+2i已知雙曲線的漸近線方程是土y=0,且與橢圓x2+2y2=8有共同焦點，則雙曲線的方程為（）A.y2A.y2B.X2—T=1y2C.x2—=14y2D.x2--=14.若{a}是公比為e的正項等比數(shù)列，則{lna}是（）n3n—1A.公比為e3等比數(shù)列B.公比為3的等比數(shù)列C.公差為3e的等差數(shù)列D.公差為3的等差數(shù)列5.A（6,13）和B（12,11）是平面上圓C上兩點，過A，B兩點作圓C的切線交于x軸上同一點，則圓C的面積為（)8%A.82阮85兀43kB.2C.8D.46.如圖，四棱錐P—ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA=1.過BD作與側棱PC垂直的平面BDE，交PC于點Z則CE的長為（）D．D．7.已知正實數(shù)a,b,滿足a＞b，貝9(A.ln(a—bA.ln(a—b+1)<0B.兀a-b<3a-bC.a+1>b+1abD.a-1>b-1ab8．魏晉時期數(shù)學家劉徽在他的著作《九章算術注》中,稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”(如圖),劉徽通過計算得知正方體的內切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為兀:4.在某一球內任意取一點，則此點取自球的一個內接正方體的“牟合方蓋”的概率為()A．B．DA．B．D．9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點M(x,y)為陰影區(qū)域內的動點(不包括邊界)，這里Ix＜兀,1y＜兀，貝下列不等式恒成立的是()A.sin(x-y)>0B.sin(x-y)<0C.cos(x-y)>0D.cos(x-y)<010.設正實數(shù)a，b，c,滿足e2a=blnb=cec=2，則a，b，c的大小關系為()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

11．已知正項數(shù)列｛a11．已知正項數(shù)列｛a｝的前n項和為S,nn如果VneN*都有Sn1)+——

a丿

n數(shù)列｛b｝滿足nTOC\o"1-5"\h\zb+S=9,neN*，數(shù)列｛c｝滿足c=bbb,neN*.設T為｛c｝的前n項和，則當T取得最大nn2nnnn+1n+2nnn值時，n的值等于（）D．20A．17B．18C．1912.已知直線y=a（x—1）（a>0）與曲線f（x）=cosx（xe（—兀,兀））相切于點A、D．20若A、B兩點對應的橫坐標分別為xi，x2（xi<叮，則（1-珥皿xi二（）A.—1B.2C.1D.—2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.兀廠13.兀廠己知角a+g的終邊與單位圓交于點卩43)5'5丿，則cos(2a—76］的值為

I6丿（i\n14?若x2+—展開式的各項系數(shù)之和為32,則展開式中的含x4項的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）.kx丿x2y215.如圖所示，已知MN為雙曲線石-厲二1（a>0,b>0）上關于原點對稱的兩點，點M與點°關于25ME=1625ME=16MQ兀直線NE交雙曲線右支于點戶，若ZNMP=x軸對稱，16.已知a=（x，0）（x>0）,b=（1,0），若JaI2—IbI2+Jla-bI=1aIJlaI，則a=.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,每個試題考生都必須作答?第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答?一（一）必考題：共60分．且bsinA=2￡3acos217．（12分）已知三角形ABC三內角A，B，C且bsinA=2￡3acos21）求角B；,兀（2）若A=-，角B的平分線交AC于點D,CD=2，求SBCD△18.（12分）8月10日，2020年《財富》世界500強排行榜正式發(fā)布．中國大陸（含香港）公司數(shù)量達到124家，歷史上第一次超過美國（121家）．2008年中國加入世貿組織時中國大陸進入世界500強的企業(yè)12家，以后逐年增加，以下是2016——2020年（年份代碼依次為1，2，3，4，5）中國大陸進入世界500強的企業(yè)數(shù)量．12345103109111119124（1）已知可用線性回歸模型擬合尹與x的關系，求尹關于x的回歸方程.并預測2021年中國大陸進入世界500強的企業(yè)數(shù)量，結果取整；（2）2020年《財富》榜單顯示共有7家互聯(lián)網(wǎng)公司上榜，中國大陸4家、美國3家．現(xiàn)某財經(jīng)雜志計劃從這7家公司中隨機選取3家進行深度報道，記選取的3家公司中，中國大陸公司個數(shù)為求E的分布列與期望．參考公式：參考數(shù)據(jù)：壬y=566，fxy=1750.參考公式：y-y）工x-y-y-y）工x-y-nx-yb==,a=y-bx入乙x2一nx2入19．（12分）如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB//CD,AD丄CD,AB=AD=-如圖，正方形ADEFM為EC的中點.求證：BMII平面ADEF；求平面bmd與平面ABF所成銳二面角的余弦值.20．(12分)(1)已知函數(shù)f(x)二一―x+m-e-x(meR).kx丿求證：當m=0時，函數(shù)f(x)在(-g,0)內單調遞減；若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內有且只有一個極值點，求m的取值范圍.21．(12分)已知拋物線C：y2二2px(p>0)，點P為y軸左側一點,A,B為拋物線C上兩點，當直線AB過拋物線C焦點F且垂直于x軸時，AOB面積為2.求拋物線C標準方程；若直線PA,PB為拋物線C的兩條切線，設PAB的外心為M(點M不與焦點F重合)，求sinZPFM的所有可能取值.(二)選考題：共10分?請考生在第22、23題中任選一題作答?如果多做，則按所做的第一題計分.22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)x二2+2cosa已知在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為彳小?(a為參數(shù))以原點O為極點，x軸［y二2sina的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，直線l的極坐標方程為P(sin9+cosO)=1.求圓C普通方程和直線l直角坐標方程；(兀)點P極坐標為1,-，設直線l與圓C的交點為A，B兩點A，B中點為Q求線段PQ的長.k2丿23．［選修4-5：不等式選講］(10分)已知x>0,y>0,叮x+p'y=2，證明：(1)x2+y2>2；2）+y1.\!x+1y+1“皖南八校”2021屆高三第二次聯(lián)考?數(shù)學（理科）參考答案、解析及評分細則2）+y1.\!x+1y+1“皖南八校”2021屆高三第二次聯(lián)考?數(shù)學（理科）參考答案、解析及評分細則1．A因為B=(xIx2+2x<o},所以B={xI-2<x<0},因為A={—2,—1,0,1},所以AcB={—1}.2．C???z(2-i)=4+33z=守==響=1+2i，???z=1-23．Bx2y2x2y2橢圓x2+2y2=8，即瓦+T=1的焦點為（±2,0）-可設雙曲線的方程為石-厲=1（a>0,b>°）'可得a2+b2=4.由漸近線方程是\：3x±y=°，可得一=，解得a=1,b=、：3，則雙曲線的方程為a4.D令b=Inan3n-1則b=lna，所以b-bn+13n+2n+1na=ln3nI2

a3n-1=lne3=3.在ACD中，AD=p(6—5)2+(13—0)2=\!70,AE=罟DE*(9-5)2+(12-0)2=4帀,CADsAEDCADsAED，故CDADAEED亠AD-AE^/i7085kr幺CA—，故圓C面積為-.ED48D依題意，PB丄BC,PC丄BE，所以BC2=CExCP，易知PB=邁,CP仝，則CE的長為<3T*D對A，取a=3,b=2，則ln（a一b+1）=ln2>0，故錯誤；對B，取a=3,b=2，則兀1>31，故11511711錯誤；對C，取a=石,b=，則2+=怎<4+=，故錯誤；對D，由a>b>0可知〒>一，由42244ba同向不等式相加的性質可得a+b>b+丄，可得a—->b—baab8.C設球的直徑為J3a，則球的內接正方體的棱長為q，正方體的內切球的半徑r=2,???正方體的內切球的體積V???正方體的內切球的體積V內接球又由已知“內接球=—V4牟合方蓋V牟合方蓋?此點取自球的內接正方體的“牟合方蓋”的概率為V牟合方蓋?此點取自球的內接正方體的“牟合方蓋”的概率為U3]——a〔2丿4/39兀9.A由于IxIv兀,1ylv兀，則Ix—ylv2兀.設與y=x相平行的直線的方程為x—y=m，當直線x—y=m過點（—兀，兀）時，m=—2兀；當直線x—y=m過點（—兀,0）和（0,兀）時，m=—兀；直線x—y=m過點（0,—k）和（兀,0）時，m=兀.則由圖中陰影部分可得一2兀vx—yV—兀或0vx—y<兀，這里—兀Vx<兀，—兀vyV兀.則一定有sin（x-y）>0.2丿10.B設f(x)=xex(x>0)，易得f(x)在(0,+8)單調遞增，xe-,1時，f(x)2丿c，所以ce￡,1，blnb=lnb?einb=cec，故lnb=c，即b=ece(J7,e)，而a=ln-2V丄，所以avcvb.^2c，11-D當n二1時，Si=11-D當n二1時，Si=ai=2，整理得a2=1，因為a>0，所以a二1,1n1當n2時，Sn=2r1)S—S+Inn-1S-S丿nn-1,可得S+S=,所以S2-S2=1,即數(shù)列(2}nn-1S—Snn-1nnn-1是一個以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以S2=1+(n-1)=n，由a>0，可得S>0，故S=喬,nnnn92r2丁]92當1n20時，b>0；當n21時，b<0，nn故聲芒18時,c>0n當n故聲芒18時,c>0n當n二19時,c<0；當n二20時,19c>0,當n21時,20c<0，n又c+cW=1920丿'2—<21丿(9-押-J22)>0，故當n二20時,T取得最大值.n12.C如圖直線l與f(x)=cosx相切于點力，則A(x,cosx),f(x)=-sinx，直線過定點(1，0)，則111=一sinx,.?.(1一x)tanx1=一sinx,.?.(1一x)tanx=1.x-1111則24253sina+—二一,cosa+—=I6J5L6丿45(兀)[r兀)兀r兀)r兀)cos2a——=cos2a+—=2sina+—cosa+——L6丿1L6丿2_L6丿L6丿13由題意242514.10由展開式的各項系數(shù)之和為32,則2n=32,n=5,Tr+1=Cr(x2)-r5x-r=Crx10-3r.令10—3廠=45解得r二2，所以展開式中的含x4項的系數(shù)為10.525181丿15.丁設M(x,y),P(x,y),則N(—x,-y),Q(x,-y).由MEMQ，得Ex,—二y從4181丿MPy1而有S'=hkPN=仁=-撲，又ANMP=%，kMN=十，所以MPy11。1MNxPN1x2-1--斗=1a2b2x2~^r-里=1a2b2又由MNxPN1x2-1--斗=1a2b2x2~^r-里=1a2b2又由<b2b2x從而得到k?k=所以k-k=-fPMPNy1PMPNa2<nA9y——、16x丿11+冬b2b2x從而得到k?k=所以k-k=-fPMPNy1PMPNa2<nA9y——、16x丿11+冬=5a2416=—，所以e=16a2如圖，構造三角形DC一1,SIaI2一|bI2+a-b丨=1a丨JaI等價于x2-1+Jx-1=xv'x,ABC,AD為BC邊上的高且AD=1,其中AB=x,AC=，則BD=^x2-1,=1AB-AC-sinABAC=ABC22AD-Be,△即—x、jxsinABAC=—22則sinABAC=1，故AB2+AC2=BC2,x2-1+二(Xjx)2,貝yx2+x=化簡得x2-x-1=0，又x>0，解得x二耳上1，故17.解：（1）因為bsinA=2<3acos2，由正弦定理可得sinBsinA=2V3sinAcos2[-—=2V3sinAsin2—,2分B(兀、b因為0vAv兀,0<Bv兀，所以sinC>0,—g0,—,sin—>0,2y2丿2BBB貝y2sincos=2.3sin2一,2^2^2^4分故tan|=￡，所以B=才.6分⑵由⑴可知zabd=zcBBB貝y2sincos=2.3sin2一,2^2^2^4分故tan|=￡，所以B=才.6分⑵由⑴可知zabd=zcbd=彳，又A=冷；斤以zadb=巻zcdb=12，可得ZBCD=善所以BC=BD,8分CDBD在BCD中，由正弦定理可得一=sin6.5兀

sin-12.5?！鱯in故BD=CD?―12=、6+%■'2

.兀

sin610分S=--CB-BD-sinZCBD=1BD2?sin，=73+2BCD22612分△18.解：(1)由題意可知x=3，y=113.2，f(x-x)2=10,ii=1為(x-x)(y-y)=工xy-X工y=1750-3x566=52,ii=1ii=1ii2分i=1b上(xi-x)(yi-y)工(x-x)2ii=15210=5?2，a=y-bx=1132-52x3=97?6'所以尹關于x的回歸方程為y=97.6+5.2X.5分將X=6代入，得y=128.8129，故預計2021年中國大陸進入世界500強的企業(yè)數(shù)量大約129家.(2)由題意知E的所有可能取值為0，1，2，3,8分噲0)=C3=￡噲1)=晉=1277噲2噲2)=晉=筍噲3)=晉7743510分所以E10分0i23P1121843535353511218412Eg=0x—+1x—+2x—+3x—二一12分353535357°19．（1）證明：設N為DE中點，連接MN,AN（如圖），因為M為EC的中點，所以MN為CDE中位線,1所以MN//CD，且MN二-CD.21又因為AB//CD，且AB二-CD,所以AB//MN，且AB二MN.所以四邊形ABMN為平行四邊形，TOC\o"1-5"\h\z所以BM//AN.2分因為ANu平面ADEF,BM匸平面ADEF，所以BM//平面ADEF.4分（2）解：由已知，平面ADEF丄平面ABCD，且四邊形ADEF為正方形，所以DE丄AD.又平面ADEFn平面ABCD=AD，所以DE丄平面ABCD，又DCu平面ABCD所以DE丄DC.又因為AD丄CD,DE丄DA，所以DA,DC,DE兩兩互相垂直.如圖，以D為坐標原點，以DA,DC,DE所在的直線分別為x軸、尹軸、之軸，建立空間直角坐標系.6分(1、因為M為EC的中點，所以M0丄2.于是DB=(1丄0),DMV2丿設平面BDM的法向量為設平面BDM的法向量為n=(x,y,z)，則n-DB=0,n?DM=0.所以x+y=0,y+2z=0-令x=1，則n=(1,一1,2)二8分易知平面ABF的法向量為DA=(1,0,0)8分設平面BMD與平面ABF所成銳二面角為0,則cos0=|cos〈n,DA〉1=n^DAmi-1dai=丄衛(wèi)<66所以平面bmd與^abf所成銳二面角的余弦值為*-12分20.(1)證明：函數(shù)f(x)的定義域為(一8,0)U(0,+◎.1分x3-x2-x-1當m=0時，f(x)=e-x--x22分設g(x)=x3-x2-x-1，貝yg'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1).則當xe(1\―叫―3時，g'(x)>0，函數(shù)g(x)單調遞增;V3丿(1A當xe-3,0時g'(x)<0，函數(shù)g(x)單調遞減.4分k3丿(1A22所以在(—a),0)內，函數(shù)g(x)的最大值為g—3=—27?k3丿27即在(—8,0)內，函數(shù)g(x)<0.由于e-x>0,x2>0，所以在(—8,0)上,f'(x)<0.5分所以函數(shù)f(x)在(—8,0)上單調遞減.6分2)解：x2)解：x3—(m+1)x2—x—1x27分設g(x)二x3—(m+1)x2—x—1,g'(x)二3x2—2(m+1)x—1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內有且只有一個極值點，則函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,2)上有且只有一個零點，且g(x)在這個零點兩側異號．設x,x(x<x)是函數(shù)g'(x)的兩個零點1212(A二4(m+1)2+12>0，方程g'(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根).則函數(shù)g(x)在(—8,x)內單調遞增，在(x,x)內單調遞減，在(x,+8)內單調遞增.由于x,x(x<x)11221212是方程3x2-2(m+1)x-1-0的兩根，且x1-x2=—9分<g(1)<0!g⑵>0則x<0,9分<g(1)<0!g⑵>0122若函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,2)上有且只有一個零點x0，則1解得—2<m<4.10分當xe(1,x)時，g(x)<0,xe(x,2)時，g(x)>0，所以g(x)在這個零點兩側異號，即f(x)在這個零00點兩側異號．11分當m<—2時，g(1)=—m—20.又g'⑴>0,g'(x)>0在(1,2)內成立，所以g(x)在(1，2)內單調遞增，故f(x)無極值點.

當m4時，g(2)0,g(0)<0'易得xe(1,2)時，g(x)<0，故f(x)無極值點.><亠所以當函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內有且只有一個極值點時，m的取值范圍是-2,二?12p21?解：(1)當直線AB過拋物線焦點F且垂直于x軸時當m4時，g(2)0,g(0)<0'易得xe(1,2)時，g(x)<0，故f(x)無極值點.><亠所以當函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內有且只有一個極值點時，m的取值范圍是-2,二?12p21?解：