窄帶隨機(jī)過程

第五章

窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程5.1窄帶隨機(jī)過程5.2信號的復(fù)信號表示5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的分布5.3窄帶隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性一、希爾伯特變換的定義假定一實(shí)函數(shù)x(t)，其希爾伯特變換為：其反變換為：5.1窄帶隨機(jī)過程即：已知符號函數(shù)的傅里葉變換根據(jù)對稱性得到則若系統(tǒng)函數(shù)為則沖激響應(yīng)一、希爾伯特變換的定義一、希爾伯特變換的定義系統(tǒng)框圖:系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)利用卷積定理

具有系統(tǒng)函數(shù)為的網(wǎng)絡(luò)是一個使相位滯后弧度的寬帶相移全通網(wǎng)絡(luò)。一、希爾伯特變換的定義同理可得到:若系統(tǒng)沖激響應(yīng)為其網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)為該系統(tǒng)框圖為輸出信號為一、希爾伯特變換的定義具有系統(tǒng)函數(shù)為的網(wǎng)絡(luò)是一個使相位滯后弧度的寬帶相移全通網(wǎng)絡(luò)。利用卷積定理一、希爾伯特變換的定義相頻特性為：幅頻特性為：正交濾波器二、希爾伯特變換的性質(zhì)（1）（2）（3）如果a(t)是低頻信號二、希爾伯特變換的性質(zhì)（5）如果，則（4）如果A(t)與ψ(t)都是低頻信號二、希爾伯特變換的性質(zhì)（7）（6）（8）表明同一時刻X(t)與其希爾伯特變換正交。一、確知信號的復(fù)信號表示5.2信號的復(fù)信號表示也稱為解析信號。復(fù)信號定義為：希爾伯特變換實(shí)的確知信號一、確知信號的復(fù)信號表示假定A(t)與ψ(t)都是低頻信號，那么是窄帶確知信號，其解析信號為其中，稱為復(fù)包絡(luò)。低頻信號窄帶確知信號一、確知信號的復(fù)信號表示對解析信號取傅里葉變換，得解析信號的頻譜在負(fù)頻率部分為0，而正頻率部分是實(shí)信號的兩倍。一、確知信號的復(fù)信號表示對于窄帶信號，由可得，解析信號的頻譜向左頻移ω0,就可以得到復(fù)包絡(luò)的頻譜。窄帶信號及其解析信號頻譜關(guān)系0000二、隨機(jī)信號的復(fù)信號表示——解析過程設(shè)X(t)為實(shí)隨機(jī)過程，其復(fù)隨機(jī)過程定義為：實(shí)隨機(jī)信號1、定義二、隨機(jī)信號的復(fù)信號表示——解析過程2、性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)為得到二、隨機(jī)信號的復(fù)信號表示——解析過程2、性質(zhì)隨機(jī)信號的復(fù)信號形式，其功率譜密度在負(fù)頻率為零，而在正頻率為隨機(jī)信號功率譜的四倍。400一、窄帶隨機(jī)過程的定義5.3窄帶隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性窄帶系統(tǒng)

窄帶噪聲

幅度隨機(jī)變化相位隨機(jī)變化窄帶系統(tǒng)窄帶系統(tǒng)

w

t白噪聲寬帶噪聲

幅度隨機(jī)變化相位隨機(jī)變化白噪聲或?qū)拵г肼曂ㄟ^窄帶系統(tǒng)X(t)Y(t)X(t)Y(t)（a）（b）（c）（d）H(w)tw05.3窄帶隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性一個實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)，若它的功率譜密度：而且?guī)挐M足，則稱此隨機(jī)過程為窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程。一.

窄帶隨機(jī)過程的定義5.3窄帶隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性1、窄帶隨機(jī)過程的萊斯(Rice)表示式任何一個實(shí)平穩(wěn)窄帶隨機(jī)過程Y(t)都可以表示為：二.

窄帶隨機(jī)過程的表示方法為窄帶濾波器的中心頻率，是另外兩個隨機(jī)過程。2、窄帶隨機(jī)過程的準(zhǔn)正弦振蕩表示二.

窄帶隨機(jī)過程的表示方法任何一個實(shí)平穩(wěn)窄帶隨機(jī)過程Y(t)都可以表示為：其中都是慢變化的隨機(jī)過程。萊斯(Rice)表示：同相分量正交分量慢變化過程3、窄帶隨機(jī)信號的相關(guān)函數(shù)令相關(guān)函數(shù)也具有振蕩形式得到相關(guān)函數(shù)分析當(dāng)具有對稱的功率譜時相關(guān)函數(shù)分析3、窄帶隨機(jī)信號的相關(guān)函數(shù)Ac(t)與As(t)的表示自相關(guān)函數(shù)：4、同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性得到同理即4、同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性說明和各自平穩(wěn)，且存在利用如下關(guān)系互相關(guān)函數(shù)分析利用如下關(guān)系4、同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性得到互相關(guān)函數(shù)分析可以證明,是奇函數(shù)Ac(t)與As(t)在同一時刻是相互正交的4、同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性當(dāng)具有對稱的功率譜時Rcs()=0，Ac(t)與As(t)是相互正交的5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的分布高頻窄帶系統(tǒng)包絡(luò)檢波器理想帶通限幅器低通網(wǎng)絡(luò)相位檢波器寬帶隨機(jī)過程在許多實(shí)際電子系統(tǒng)或電路中，經(jīng)常遇到這樣的情況，用一個寬帶隨機(jī)過程激勵一個高頻窄帶線性系統(tǒng)（或簡稱窄帶濾波器），如圖所示。5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的分布一維分布推導(dǎo)過程：首先確定、的聯(lián)合分布，后利用雅可比變換求得包絡(luò)與相位的聯(lián)合分布，最后，利用邊沿分布求包絡(luò)與相位的一維分布。1.

窄帶正態(tài)噪聲的包絡(luò)和相位的分布已知零均值、方差為2的窄帶正態(tài)噪聲5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的分布一維分布已知零均值、方差為2的窄帶正態(tài)噪聲在同一時刻互不相關(guān)，且相互獨(dú)立，則其聯(lián)合概率密度為

5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的分布一維分布式中J為雅可比因子窄帶正態(tài)過程的一維概率密度函數(shù)為：5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的分布包絡(luò)的一維概率密度：瑞利(Rayleigh)分布示意圖包絡(luò)為瑞利分布5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的分布相位的一維概率密度：表明包絡(luò)及相位在同一時刻是相互獨(dú)立的。相位為均勻分布且存在：5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的分布2、窄帶正態(tài)噪聲加正弦信號的包絡(luò)和相位的分布信號：噪聲：低頻限帶隨機(jī)過程，其變換相對于cosω0t要緩慢得多。且正態(tài)分布，相互獨(dú)立。5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的分布2、窄帶正態(tài)噪聲加正弦信號的包絡(luò)和相位的分布

隨機(jī)過程和

相對于和

來講，多了一個隨機(jī)相位

的影響。設(shè)

和

分別表示在給定

的情況下，和

在時間

的采樣。下面我們來討論、的特性。均值：方差：5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的分布2、窄帶正態(tài)噪聲加正弦信號的包絡(luò)和相位的分布和的聯(lián)合概率密度為：可推得X(t)的包絡(luò)與相位的聯(lián)合概率密度為：2、窄帶正態(tài)噪聲加正弦信號的包絡(luò)和相位的分布

根據(jù)邊沿概率密度的求法，可以獲得的條件概率密度為:包絡(luò)分析稱為廣義瑞利概率密度，也稱為萊斯(Rice)概率密度。其中為第一類零階修正貝塞爾函數(shù)，當(dāng)x<<1時：當(dāng)x>>1時，2、窄帶正態(tài)噪聲加正弦信號的包絡(luò)和相位的分布包絡(luò)分析當(dāng)信噪比很大時趨近正態(tài)分布。當(dāng)信噪比很小時，即時趨近瑞利分布；2、窄帶正態(tài)噪聲加正弦信號的包絡(luò)和相位的分布包絡(luò)分析包絡(luò)分布密度曲線0246800.20.40.60/=sa1235s/tA)/(stAA’f2、窄帶正態(tài)噪聲加正弦信號的包絡(luò)和相位的分布相位分析當(dāng)信噪比很小時，相位趨近均勻分布當(dāng)信噪比很大時，相位趨近正態(tài)分布2/p-0tjq-00.511.5282/2=r4212/p信號加噪聲的相位分布密度)/(qjftf2、窄帶正態(tài)噪聲加正弦信號的包絡(luò)和相位的分布例1、已知隨機(jī)相位正弦波其中為【0，2】內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，白噪聲N(t)的功率譜密度為N0/2，噪聲與隨機(jī)相位信號不相關(guān)，濾波器特性如圖，求：1）A點(diǎn)波形的功率譜及自相關(guān)函數(shù)；

2）B點(diǎn)波形一維概率密度。帶通濾波器包絡(luò)檢波器AB1帶通濾波器包絡(luò)檢波器AB13.

窄帶正態(tài)過程包絡(luò)平方的分布當(dāng)窄帶隨機(jī)過程為一具有零均值、方差為的平穩(wěn)高斯噪聲時，其包絡(luò)A(t)的一維概率密度為瑞利密度函數(shù)令雅可比因子為：高頻窄帶系統(tǒng)平方律檢波器3.

窄帶正態(tài)過程包絡(luò)平方的分布于是U(t)的概率密度為指數(shù)分布！當(dāng)這一特殊條件時，有4、正弦信號加窄帶正態(tài)噪聲包絡(luò)平方的分布信號加噪聲為：該窄帶過程包絡(luò)的概率密度為：設(shè)包絡(luò)平方為：于是窄帶過程包絡(luò)平方的概率密度為：5.5通信系統(tǒng)的抗噪性能分析一、通信系統(tǒng)信號傳輸信號：確定的或是具有各態(tài)歷經(jīng)性過程傳輸：調(diào)制+解調(diào)調(diào)制類型：連續(xù)波調(diào)制、脈沖調(diào)制分類：線性調(diào)制：幅度A(t)與調(diào)制信號呈現(xiàn)線性關(guān)系；角度調(diào)制：如果(t)或(t)對時間t的微分與調(diào)制信號之間呈現(xiàn)線性關(guān)系

5.5通信系統(tǒng)的抗噪性能分析二.

幾種常見的調(diào)制解調(diào)技術(shù)1、雙邊帶調(diào)制(DSB)與解調(diào)Accos2fctDSB調(diào)制系統(tǒng)

m(t)s(t)

頻譜關(guān)系：f-

B

B

0

M(f)-

B

B

0

-

f

c

-

B

B+f

c

f

c

-

f

c

-

B

-

f

c

+B

-

f

c

0

S(f)ff

c

-

c

c

-f

c

-

-

c

-

c

0

低通濾波器sD(t)2cos2fctd(t)s(t)+n(t)DSB解調(diào)系統(tǒng)窄帶中放s(t)+n’(t)5.5通信系統(tǒng)的抗噪性能分析sD(t)=相干解調(diào)1、雙邊帶調(diào)制(DSB)與解調(diào)

低通濾波器sD(t)d(t)s(t)+n(t)DSB解調(diào)系統(tǒng)窄帶中放s(t)+n’(t)5.5通信系統(tǒng)的抗噪性能分析解調(diào)中相位誤差的影響經(jīng)低通后：1、雙邊帶調(diào)制(DSB)與解調(diào)5.5通信系統(tǒng)的抗噪性能分析二.

幾種常見的調(diào)制解調(diào)技術(shù)2、單邊帶調(diào)制(SSB)與解調(diào)5.5通信系統(tǒng)的抗噪性能分析二.

幾種常見的調(diào)制解調(diào)技術(shù)2、單邊帶調(diào)制(SSB)與解調(diào)

低通濾波器sD(t)d(t)s(t)+n(t)LSB解調(diào)系統(tǒng)窄帶中放s(t)+n’(t)5.5通信系統(tǒng)的抗噪性能分析：包絡(luò)檢波器、平方律檢波器二.

幾種常見的調(diào)制解調(diào)技術(shù)3、幅度調(diào)制(AM)與解調(diào)5.5通信系統(tǒng)的抗噪性能分析二.

幾種常見的調(diào)制解調(diào)技術(shù)3、幅度調(diào)制(AM)與解調(diào)

包絡(luò)檢波器Y(t)X(t)s(t)+n(t)窄帶中放包絡(luò)檢波5.5通信系統(tǒng)的抗噪性能分析

平方律檢波器Y(t)X(t)s(t)+n(t)窄帶中放低通濾波Z(t)二.

幾種常見的調(diào)制解調(diào)技術(shù)3、幅度調(diào)制(AM)與解調(diào)平方律檢波5.4通信系統(tǒng)的抗噪性能分析三.

解調(diào)系統(tǒng)的抗噪性能分析信噪比：信號平均功率與噪聲平均功率之比，記作 SNR或S/N。

信號平均功率：噪聲平均功率：5.5通信系統(tǒng)