空間解析幾何第四講-平面及其方程

朱立永北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院空間解析幾何答疑時間：星期二下午19:00－20:30(收發(fā)作業(yè)）星期四下午19:00－20:30答疑地點：J4-105公共郵箱：linear_algebra2015@163.com密碼：beihang2015§1向量及其線性運算§2向量的內(nèi)積、外積、混合積§3曲面及其方程§4空間曲線及其方程§5平面及其方程

解析幾何的主要內(nèi)容§6空間直線方程前面內(nèi)容小結設1.向量運算加減:數(shù)乘:點積(數(shù)量):叉積(向量):混合積:2.向量關系:第五節(jié)一、平面的點法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角平面及其方程①一、平面的點法式方程設一平面通過已知點且垂直于非零向稱①式為平面的點法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故**例1求過三點即解:

取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點法式得平面的方程此平面的三點式方程也可寫成一般情況:過三點的平面方程為說明:*特別,當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程.**時,平面方程為分析:利用三點式按第一行展開得即用平面的一般式方程導出平面的截距式方程.設平面為將三點坐標代入得解設平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解化簡得令代入體積式所求平面方程為二、平面的一般方程設有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點法式方程等價,

②**的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.特殊情形**?

當

D=0時,Ax+By+Cz=0表示

通過原點的平面;?當

A=0時,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.例4

求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通過

x軸,設所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程三、兩平面的夾角設平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.*平面的位置關系：**例5研究以下各組里兩平面的位置關系：解兩平面相交，夾角兩平面平行兩平面平行但不重合．兩平面平行兩平面重合.因此有例6一平面通過兩點垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且取法向量化簡得所求平面方程為解設平面為由平面過原點知所求平面方程為解外一點,求例9

設解:設平面法向量為在平面上取一點是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點到平面的距離公式)空間一向量在軸上的投影已知向量

rr,OMr=r的終點M在軸u上的投影為M,那么向量M′O稱為向量rr

在軸u上的分向量.設eOMrl=,則數(shù)l稱為向量rr在軸u上的投影,記作rjurPr或ur)(r.

或記作向量的投影性