計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)CH6-2

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)第6章

復(fù)雜數(shù)字控制算法

6.3純滯后系統(tǒng)的數(shù)字控制算法在工業(yè)過程（如熱工、化工）控制中，由于物料或能量的傳輸延遲，使得被控對(duì)象具有純滯后性質(zhì)，對(duì)象的這種純滯后性質(zhì)對(duì)控制性能極為不利。早在20世紀(jì)50年代，國外就對(duì)工業(yè)生產(chǎn)過程中的純滯后對(duì)象進(jìn)行了深入的研究。6.3.1施密斯(Smith)預(yù)估控制施密斯預(yù)估控制原理——連續(xù)系統(tǒng)圖6-10所示的單回路控制系統(tǒng)中，D(s)表示調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)，表示被控對(duì)象的傳遞函數(shù)，G(s)為被控對(duì)象中不包含純滯后部分的傳遞函數(shù)，為被控對(duì)象純滯后部分。圖6-10帶純滯后環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：

閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母中包含有純滯后環(huán)節(jié)，它降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)純滯后時(shí)間τ較大時(shí)，系統(tǒng)將不穩(wěn)定，這就是大純滯后過程難以控制的本質(zhì)。(6-19)

施密斯預(yù)估控制原理：引入一個(gè)補(bǔ)償環(huán)節(jié)與對(duì)象并聯(lián)，補(bǔ)償被控對(duì)象中的純滯后部分，該環(huán)節(jié)稱為預(yù)估器，其傳遞函數(shù)為。補(bǔ)償后系統(tǒng)框圖如圖6-11a所示（可轉(zhuǎn)換成圖6-11b的等效形式）。

圖6-11帶施密斯預(yù)估器的控制系統(tǒng)由施密斯預(yù)估控制器和調(diào)節(jié)器組成的補(bǔ)償回路稱為純滯后補(bǔ)償器，其傳遞函數(shù)為D'(s)，即(6-20)

根據(jù)圖6-11可知，補(bǔ)償后的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：

(6-21)

為對(duì)比，給出補(bǔ)償前的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：這說明，補(bǔ)償環(huán)節(jié)消除了純滯后對(duì)控制系統(tǒng)的影響，補(bǔ)償后的位于D(s)和G(s)的閉環(huán)控制回路外，不影響其穩(wěn)定性，僅將控制作用向后推移了一段時(shí)間

（圖6-12a）。等效于圖6-12b，帶純滯后補(bǔ)償?shù)目刂葡到y(tǒng)相當(dāng)于控制器D(s)和被控對(duì)象構(gòu)成的系統(tǒng)的反饋回路上引入一個(gè)傳遞函數(shù)為的超前環(huán)節(jié)。即檢測(cè)信號(hào)通過超前環(huán)節(jié)進(jìn)入控制器，從而消除了純滯后影響。形式上，純滯后補(bǔ)償可視為對(duì)輸出狀態(tài)的預(yù)估作用，故稱為施密斯預(yù)估器。6-12施密斯預(yù)估控制系統(tǒng)等效框圖具有純滯后補(bǔ)償?shù)臄?shù)字控制器帶純滯后補(bǔ)償?shù)臄?shù)字控制器由兩個(gè)部分組成：數(shù)字控制器（

如PID），施密斯預(yù)估器（圖6-13）。圖6-13具有純滯后補(bǔ)償?shù)目刂葡到y(tǒng)滯后補(bǔ)償控制算法1)

計(jì)算反饋回路的偏差e1(k)：

2)

計(jì)算純滯后補(bǔ)償器的輸出yτ(k)

。相應(yīng)的差分方程為(6-24)

3)

計(jì)算圖6-13中的偏差e2(k)：

4)

計(jì)算控制器的輸出u(k)=Z-1[D(z)E2(z)]。(6-26)

(6-27)

當(dāng)控制器采用PID控制算法時(shí)，有：

式中：K——被控對(duì)象的放大系數(shù)；

T0——被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)；

τ——純滯后時(shí)間。

(6-23)

一階慣性環(huán)節(jié)的滯后補(bǔ)償數(shù)字控制施密斯預(yù)估器的傳遞函數(shù)為 一階慣性環(huán)節(jié)的滯后補(bǔ)償控制算法1)

計(jì)算反饋回路的偏差e1(k)：

2)

計(jì)算純滯后補(bǔ)償器的輸出yτ(k)

。步驟相應(yīng)的差分方程為(6-24)

圖6-14施密斯預(yù)估器方框圖

施密斯預(yù)估器的數(shù)字實(shí)現(xiàn)：數(shù)字施密斯預(yù)估器的輸出可按圖6-14來實(shí)現(xiàn)。具體方法如下：

A、PID控制器的輸出u(k)作為預(yù)估器的輸入，圖中的滯后環(huán)節(jié)由緩存來實(shí)現(xiàn)，在內(nèi)存中設(shè)置N個(gè)單元存放信號(hào)m(k)的歷史數(shù)據(jù)。（取整）

τ——純滯后時(shí)間；

T——采樣周期。B、每個(gè)采樣（控制）周期，把緩存中的數(shù)據(jù)逐位前移一格，第N-1個(gè)單元移入第N個(gè)單元，第N-2個(gè)單元移入第N-1個(gè)單元，以此類推，直到把第1個(gè)單元移入第2個(gè)單元，然后將m(k)存入第1個(gè)單元。從單元N輸出的信號(hào)是滯后N個(gè)周期的信號(hào)m(k-N)。C、施密斯補(bǔ)償器的輸出=m(k)-m(k-N)。6.3.2達(dá)林算法設(shè)被控對(duì)象G(s)為帶有純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)：

或達(dá)林算法的設(shè)計(jì)目標(biāo)：設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)等價(jià)于純滯后環(huán)節(jié)和一階慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)如圖6-1所示，考慮帶有零階保持器的廣義對(duì)象Φ(s)

，其所對(duì)應(yīng)的期望閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

則

圖6-1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)框圖(6-31)

(6-32)

1）被控對(duì)象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)大林算法：求脈沖傳遞函數(shù)為：

將式(6-33)代入式(6-32)得到大林算法的數(shù)字控制器

(6-33)

(6-34)

2)

被控對(duì)象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)時(shí)的大林算法：求其脈沖傳遞函數(shù)為

其中

將式(6-35)代入式(6-32)得大林算法的數(shù)字控制器

(6-35)

(6-36)

(6-37)

2、振鈴現(xiàn)象及其消除 所謂振鈴（Ringing）現(xiàn)象，是指數(shù)字控制器的輸出u(k)以1/2采樣頻率（2T采樣周期）大幅度上下擺動(dòng)。振鈴現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)的輸出幾乎無影響，但會(huì)增加執(zhí)行機(jī)構(gòu)的磨損，并影響多參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例：被控對(duì)象傳遞函數(shù)為：

采樣周期T為1s，則廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為

按達(dá)林算法選取Φ(z)，純滯后時(shí)間為2s，時(shí)間常數(shù)選為2s。則：誤差(綠)與控制(藍(lán))輸出給定(藍(lán))與系統(tǒng)響應(yīng)(綠)（1）振鈴現(xiàn)象的分析系統(tǒng)的輸出Y(z)和數(shù)字控制器的輸出U(z)間有下列關(guān)系： Y(z)=U(z)G(z)系統(tǒng)的輸出Y(z)和輸入函數(shù)的R(z)之間有下列關(guān)系： Y(z)=Ф(z)R(z)則數(shù)字控制器的輸出U(z)與輸入函數(shù)的R(z)之間的關(guān)系：其中，表達(dá)了數(shù)字控制器的輸出與輸入函數(shù)在閉環(huán)時(shí)的關(guān)系，是分析振鈴現(xiàn)象的基礎(chǔ)。 對(duì)于單位階躍輸入信號(hào)含有極點(diǎn)z=1。 如果φu(z)的極點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸上，且與z=-1接近，則數(shù)字控制器的輸出序列u(k)中將含有這兩個(gè)極點(diǎn)造成的瞬態(tài)項(xiàng)，且瞬態(tài)項(xiàng)的符號(hào)在不同時(shí)刻不相同，可能疊加也可能抵消（當(dāng)兩瞬態(tài)項(xiàng)符號(hào)相同時(shí)，數(shù)字控制器的輸出控制作用加強(qiáng)；符號(hào)相反時(shí)，控制作用減弱），從而造成數(shù)字控制器的輸出序列大幅度波動(dòng)。

φu(z)極點(diǎn)距離z=-1越近，振鈴現(xiàn)象越嚴(yán)重。假設(shè)φu(z)含有1/(z-a)因子（a<0），即φu(z)有z=a極點(diǎn)。則輸出序列u(k)必有分量：

因?yàn)閍<0，當(dāng)k-1為奇數(shù)時(shí)，u(k)為負(fù)，使控制作用減弱；當(dāng)k-1為偶數(shù)時(shí)，u(k)為正，使控制作用加強(qiáng)。這就是輸出的控制量兩倍采樣周期振蕩的原因。也說明振零現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是φu(z)有負(fù)實(shí)軸上接近z=-1的極點(diǎn)。

①帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié) 被控對(duì)象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)時(shí) 求得極點(diǎn) 顯然是大于零的。故在帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)中，數(shù)字控制器輸出對(duì)輸入的脈沖傳遞函數(shù)不存在負(fù)實(shí)軸上的極點(diǎn)，這種系統(tǒng)不存在振鈴現(xiàn)象。 ②帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié) 被控制對(duì)象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)時(shí)， 有兩個(gè)極點(diǎn)，第一個(gè)極點(diǎn)在 不會(huì)引起振鈴現(xiàn)象。 第二個(gè)極點(diǎn)在 在T→0時(shí)，有 說明會(huì)出現(xiàn)左半平面與z=-1相近的極點(diǎn)，這一極點(diǎn)將引起振鈴現(xiàn)象。(2)振鈴幅度RA

振鈴幅度RA用來衡量振鈴強(qiáng)烈的程度。常用單位階躍作用下數(shù)字控制器第0次輸出量與第一次輸出量的差值來衡量振鈴現(xiàn)象強(qiáng)烈的程度。 數(shù)字控制器D(z)可以寫成： 控制器輸出幅值取決于Q(z)。單位階躍輸入下Q(z)輸出

因此

對(duì)于帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)，其振鈴幅度

例：若數(shù)字控制器為D(z)=1/(1+z-1)，

求振鈴幅度RA。 解：

則：RA=1-0=1(2)振鈴現(xiàn)象的消除

方法1：找出D(z)中引起振鈴的因子(z=-1附近的極點(diǎn))，令其中的z=1。根據(jù)終值定理，這樣處理不影響輸出量的穩(wěn)態(tài)值但瞬態(tài)特性會(huì)變化，數(shù)字控制器的動(dòng)態(tài)性能也會(huì)影響。

例如上例中， 顯然z=-0.718是一個(gè)接近z=-1的極點(diǎn)，它是引起振鈴現(xiàn)象的主要原因。在因子(1+0.718z-1)中令z=1，得到新的D(z)為：

因此

誤差(黑)與控制(藍(lán))輸出給定(藍(lán))與系統(tǒng)響應(yīng)(黑)

方法2：從保證閉環(huán)系統(tǒng)的特性出發(fā)，選擇合適的采樣周期T及系統(tǒng)閉環(huán)時(shí)間常數(shù)Tτ，使系統(tǒng)振鈴幅度抑制在最低限度內(nèi)，數(shù)字控制器的輸出避免產(chǎn)生強(qiáng)烈的振鈴現(xiàn)象。上例1中極點(diǎn)z=-0.718來源與系統(tǒng)廣義脈沖傳遞函數(shù)G(z)的零點(diǎn),適當(dāng)選擇采樣周期T及系統(tǒng)閉環(huán)時(shí)間常數(shù)Tτ能改變系統(tǒng)振鈴幅度。3.

大林算法的設(shè)計(jì)步驟用直接設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)具有純滯后系統(tǒng)的數(shù)字控制器，主要考慮的性能指標(biāo)是控制系統(tǒng)無超調(diào)或超調(diào)很小，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，允許有較長的調(diào)節(jié)時(shí)間。設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的問題是振鈴現(xiàn)象。

考慮振鈴現(xiàn)象影響時(shí)設(shè)