計(jì)算方法與誤差理論-7

計(jì)算方法與誤差理論教師：馬英杰成都理工大學(xué)核自學(xué)院第七章常微分方程數(shù)值解法主要內(nèi)容一階常微分方程的數(shù)值解法：歐拉方法龍格-庫塔方法線性多步法——阿當(dāng)姆斯法一階方程組與高階方程常微分方程數(shù)值解法問題的提出—y’(x)=f(x,y)應(yīng)用不能給出解的解析表達(dá)式復(fù)雜，計(jì)算量太大計(jì)算機(jī)上不易實(shí)現(xiàn)數(shù)值解法尋求解在一系列離散點(diǎn)(節(jié)點(diǎn))上的近似值一階方程的初值問題常微分方程數(shù)值解法初值問題基本特點(diǎn)：求解過程順著節(jié)點(diǎn)排列次序一步步向前推進(jìn)。即按遞推公式由已知的y0,y1,…yi，求出yi+1。關(guān)鍵：如何建立這種遞推公式？常微分方程——?dú)W拉方法歐拉(Euler)方法：y’(x)=f(x,y)解初值問題的最簡單的數(shù)值方法歐拉公式：yi+1=yi+hf(xi,yi)常微分方程——?dú)W拉方法歐拉公式的幾何意義一系列折線（又稱折線法）第i條折線:在區(qū)間[xi,xi+1]上，用過點(diǎn)Pi(xi,yi)，以f(xi,yi)為斜率的直線y=yi+f(xi,yi)(x-xi)近似代替y(x)xx0x1xnOyxixi+1P0(x0,y0)P1(x1,y1)P2(x2,y2)PiPi+1Pny=y(x)常微分方程——?dú)W拉方法例：取步長h=0.1，用歐拉公式求解初值問題：xiyiy(xi)|y(xi)-yi|0.01.00001.00000.00000.1(1-0.2*0)y0=y0=1.00000.99000.0100解:(1)寫出遞推公式:(2)列表依次計(jì)算:xiyiy(xi)|y(xi)-yi|0.2(1-0.2*0.1)y1=0.98y1=0.98000.96080.01920.3(1-0.2*0.2)y2=0.96y2=0.94080.91390.02690.4(1-0.2*0.3)y3=0.94y3=0.88440.85210.03220.5(1-0.2*0.4)y4=0.92y4=0.81360.77880.03480.6(1-0.2*0.5)y5=0.9y5=0.73220.69770.03460.7(1-0.2*0.6)y6=0.88y6=0.64440.61260.03170.8(1-0.2*0.7)y7=0.86y7=0.55420.52730.02690.9(1-0.2*0.8)y8=0.84y8=0.46550.44490.02061.0(1-0.2*0.9)y9=0.82y9=0.38170.36790.0138常微分方程——?dú)W拉方法單步顯式公式在計(jì)算yi+1時(shí)只用到了前一步的值yi一般形式：增量函數(shù)：φ(x,y,h)=f(x,y)常微分方程——?dú)W拉方法定義(局部截?cái)嗾`差)：稱為單步顯示公式在xi+1處的局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差，刻畫了其逼近微分方程的精確程度歐拉公式的局部截?cái)嗾`差：常微分方程——?dú)W拉方法梯形公式—數(shù)值積分用梯形公式計(jì)算公式：局部截?cái)嗾`差：常微分方程——?dú)W拉方法單步隱式公式用上一步結(jié)果yi，不能直接得出yi+1，而需要通過其他方法(迭代法)求解一般形式：增量函數(shù)：常微分方程——?dú)W拉方法局部截?cái)嗾`差稱為單步隱式公式的局部截?cái)嗾`差梯形公式的局部截?cái)嗾`差：常微分方程——?dú)W拉方法改進(jìn)歐拉公式將歐拉公式與梯形公式聯(lián)合使用1.先用歐拉公式的y(xi+1)的一個(gè)粗糙的近似值(預(yù)測值)2.然后對預(yù)測值用梯形公式進(jìn)行校正(校正值)

公式：常微分方程——?dú)W拉方法計(jì)算機(jī)上編制程序用公式：常微分方程——?dú)W拉方法例：取步長h=0.1，用改進(jìn)歐拉公式求解初值問題：

解：(1)改進(jìn)歐拉公式：（2）列表計(jì)算：xiypycyiy(xi)|y(xi)-yi|0.01.00001.00000.00000.1(1-0.2*0)y0=1.0000y0-0.2*0.1yp=0.98000.99000.99000.00000.2(1-0.2*0.1)y1=0.9702y1-0.2*0.2yp=0.95120.96070.96080.00010.3(1-0.2*0.2)y2=0.9223y2-0.2*0.3yp=0.90540.91380.91390.00010.4(1-0.2*0.3)y3=0.8590y3-0.2*0.4yp=0.84510.85200.85210.00010.5(1-0.2*0.4)y4=0.7839y4-0.2*0.5yp=0.77370.77880.77880.00000.6(1-0.2*0.5)y5=0.7009y5-0.2*0.6yp=0.69470.69780.69770.00010.7(1-0.2*0.6)y6=0.6140y6-0.2*0.7yp=0.61180.61290.61260.00030.8(1-0.2*0.7)y7=0.5271Y7-0.2*0.8yp=0.52860.52790.52730.00060.9(1-0.2*0.8)y8=0.4434Y8-0.2*0.9yp=0.44800.44570.44490.00091.0(1-0.2*0.9)y9=0.3655y9-0.2*1.0yp=0.37260.36910.36790.0012常微分方程——?dú)W拉方法改進(jìn)歐拉公式的本質(zhì)單步顯式公式局部截?cái)嗾`差：O(h3)常微分方程——?dú)W拉方法整體截?cái)嗾`差定義：設(shè)y(x1),y(x2),…,y(xn)為微分方程的解在節(jié)點(diǎn)處的值y1(h),y2(h),…,yn(h)為某數(shù)值方法求得的近似解，稱每個(gè)節(jié)點(diǎn)上誤差的最大值為該方法的整體截?cái)嗾`差。若，則稱該數(shù)值方法是收斂的常微分方程——?dú)W拉方法精度一個(gè)求解公式的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱該求解公式是p階的，或具有p階精度歐拉公式：具有一階精度梯形公式和改進(jìn)歐拉公式：具有二階精度常微分方程—龍格-庫塔方法基本思想平均斜率(k*)：f(xi+θh,y(xi+θh))稱作區(qū)間(xi,xi+1)上的平均斜率常微分方程—龍格-庫塔方法基本思想歐拉公式：僅取xi一個(gè)點(diǎn)的斜率值作為平均斜率k*的近似值改進(jìn)歐拉公式：用xi與xi+1兩個(gè)點(diǎn)的斜率值k1與k2的平均值作為平均斜率k*的近似值龍格-庫塔：設(shè)法在[xi,xi+1]上多預(yù)報(bào)幾個(gè)點(diǎn)的斜率值，然后將它們加權(quán)平均作為k*的近似值，從而提高精度。常微分方程—龍格-庫塔方法二階龍格-庫塔公式推廣改進(jìn)歐拉公式：兩點(diǎn)斜率k1和k2加權(quán)平均作為平均斜率k*的近似值。即:k*≈λ1k1+λ2k2

yi+1=yi+hk*=yi+h(λ1

k1+λ2

k2)常微分方程—龍格-庫塔方法二階龍格-庫塔公式單步顯式公式待定參數(shù)：λ1,λ2,l（3個(gè)）要使公式具有2階精度（局部截?cái)嗾`差(h0,h1,h2的系數(shù)必須為零)和泰勒展開）得：參數(shù)解不止一組，而為一簇。常微分方程—龍格-庫塔方法改進(jìn)的歐拉公式:l=1,λ1=λ2=1/2變形的歐拉公式:l=1/2,λ1=0,λ2=1常微分方程—龍格-庫塔方法構(gòu)造二階龍格-庫塔公式1.在區(qū)間[xi,xi+1]上取兩點(diǎn)，預(yù)報(bào)相應(yīng)點(diǎn)的斜率值2.對此兩斜率值加權(quán)平均作為平均斜率值的近似值3.寫出局部截?cái)嗾`差的表達(dá)式，對有關(guān)函數(shù)作泰勒展開得到關(guān)于h的冪級數(shù)。為使公式達(dá)到二階精度，h0,h1,h2的系數(shù)必須為零，從而建立有關(guān)參數(shù)所應(yīng)滿足的方程組4.解此方程組得到一族二階龍格-庫塔公式常微分方程—龍格-庫塔方法高階龍格-庫塔公式三階：在[xi,xi+1]區(qū)間上取三點(diǎn)xi,xi+l,xi+m三處的斜率值k1,k2,k3加權(quán)平均作為k*。公式：yi+1=yi+h(λ1k1+λ2k2+λ3k3)常微分方程—龍格-庫塔方法三階龍格-庫塔公式：具有三階精度未知數(shù)：λ1,λ2,λ3,l,m,μ1,μ2（7個(gè)）寫出局部截?cái)嗾`差表達(dá)式，做泰勒展開，

h0,h1,h2,h3的系數(shù)必須為零。常微分方程—龍格-庫塔方法三階龍格-庫塔公式常微分方程—龍格-庫塔方法三階庫塔公式常微分方程—龍格-庫塔方法經(jīng)典(四階)龍格-庫塔公式：4階精度4個(gè)點(diǎn)處的斜率加權(quán)平均作為k*的近似值常微分方程—龍格-庫塔方法Gill公式：常微分方程—龍格-庫塔方法理論上，可以構(gòu)造任意高階的龍格-庫塔公式，但精度的階數(shù)與計(jì)算函數(shù)值的次數(shù)之間的關(guān)系不是等量增加的。四階龍格-庫塔公式是兼顧了精度及計(jì)算量的較理想的計(jì)算公式。注意：龍格-庫塔方法要求所求的解具有較好的光滑性質(zhì)，否則精度不如改進(jìn)歐拉公式。常微分方程—線性多步法線性多步法基本思想：充分利用第i+1步前面已求得的多步信息來預(yù)測yi+1，從而獲得較高的精度線性r步公式：αj、βj為常數(shù)，|αr-1|+|βr-1|≠0β-1=0時(shí)，為顯式公式；β-1≠0時(shí)，為隱式公式常微分方程—線性多步法基本思想方程y’=f(x,y)的解：用左矩形公式作數(shù)值積分：得歐拉公式用梯形公式作數(shù)值積分：得梯形公式提高精度：對積分用更精確的求積方法，即用更高次的插值多項(xiàng)式。選取不同的插值節(jié)點(diǎn)，得不同的數(shù)值解法常微分方程—線性多步法阿當(dāng)姆斯方法阿當(dāng)姆斯內(nèi)插公式：高次插值多項(xiàng)式，除用xi,xi+1點(diǎn)外，還可取其他點(diǎn)。最好是區(qū)間[xi,xi+1]之間的點(diǎn)，但往往是未知的所以取區(qū)間[xi,xi+1]外的點(diǎn)，如：xi-1,xi-2等等常微分方程—線性多步法阿當(dāng)姆斯方法阿當(dāng)姆斯內(nèi)插公式：局部截?cái)嗾`差：常微分方程—線性多步法阿當(dāng)姆斯方法—阿當(dāng)姆斯內(nèi)插公式隱式公式四階公式三步方法：由xi,xi-1,xi-2求xi+1需提供三個(gè)初值y0,y1,y2，通常由經(jīng)典龍格-庫塔公式提供常微分方程—線性多步法阿當(dāng)姆斯方法阿當(dāng)姆斯外推公式：高次插值多項(xiàng)式，阿當(dāng)姆斯內(nèi)插公式為隱式公式為避免成為隱式公式，不取xi+1，而用xi-3代替，即取xi,xi-1,xi-2,xi-3作插值節(jié)點(diǎn)常微分方程—線性多步法阿當(dāng)姆斯方法阿當(dāng)姆斯外推公式：局部截?cái)嗾`差：常微分方程—線性多步法阿當(dāng)姆斯方法—阿當(dāng)姆斯外推公式顯示公式四階公式四步方法：由xi,xi-1,xi-2,xi-3求xi+1需提供四個(gè)初值y0,y1,y2,y3，通常由經(jīng)典龍格-庫塔公式提供常微分方程—線性多步法阿當(dāng)姆斯方法阿當(dāng)姆斯預(yù)測校正公式計(jì)算角度來看：外推法：顯式公式，計(jì)算方便；內(nèi)插法：隱式公式，需迭代求解，計(jì)算麻煩內(nèi)插有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：1）內(nèi)插