經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念與性質(zhì)

引言正如有限中包含著無窮級(jí)數(shù),而無限中呈現(xiàn)極限一樣,無限之靈魂居于細(xì)微之處,而最緊密地趨近極限卻并無止境.區(qū)分無窮大之中的細(xì)節(jié)令人喜小中見大,多么偉大的神力.------雅克.伯努利無窮級(jí)數(shù)是數(shù)與函數(shù)的一種重要表達(dá)形式,也是微積分理論研究無窮級(jí)數(shù)在表達(dá)函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)、計(jì)算函數(shù)值以及求解微分方程等方面悅!與實(shí)際應(yīng)用中極其有力的工具.都有著重要的應(yīng)用.的另一種形式,但無論在研究極限的存在性還是在計(jì)算這種極限的時(shí)候,這種形式都顯示出很大的優(yōu)本章先介紹無窮級(jí)數(shù)的一些基本內(nèi)容,然后再討論常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),并著重討論如何將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的問題.越性.研究無窮級(jí)數(shù)及其和,可以說是研究數(shù)列及其極限一、問題的提出二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念三、等比級(jí)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用四、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)五、小結(jié)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、問題的提出我們?cè)谇懊嫠鶎W(xué)的定積分，所表達(dá)的是一類和式極限。有限和的極限實(shí)際上是無窮多個(gè)數(shù)相加之和，所謂和式極限存在是指無窮多項(xiàng)相加之和是一個(gè)有限數(shù)。下面我們將專門研究無窮和的問題，并把無窮多個(gè)數(shù)相加的式子稱為無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。

“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把每天截取的棒長(zhǎng)相加，到第n天所得之棒長(zhǎng)之和為：

此時(shí)上式中的加項(xiàng)無窮增多，成為無窮多個(gè)數(shù)相加的式子，這就是級(jí)數(shù)。計(jì)算棒長(zhǎng)顯然總的棒長(zhǎng)小于1，并且n的值愈大，其數(shù)值愈接近于1；當(dāng)時(shí)，的極限為1。二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)有無窮數(shù)列稱和式(1)為(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù).其中稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).級(jí)數(shù)(1)的前項(xiàng)的和(2)稱為級(jí)數(shù)(1)的前項(xiàng)部分和.時(shí),當(dāng)依次取它們構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列即數(shù)列稱為部分和數(shù)列.例1寫出級(jí)數(shù)一般項(xiàng).解分母是偶數(shù)的連乘積，而且第一項(xiàng)為偶數(shù)，二項(xiàng)是兩個(gè)偶數(shù)之積，第三項(xiàng)是三個(gè)偶數(shù)之積，，第項(xiàng)是個(gè)偶數(shù)之積，故可寫成而分子為奇數(shù)，故第項(xiàng)為于是該級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為的第例2已知級(jí)數(shù)的前項(xiàng)的部分和求這個(gè)級(jí)數(shù).解因?yàn)樗詮亩仕蠹?jí)數(shù)為.2.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散定義如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列存在極限即則稱無窮級(jí)數(shù)收斂,極限稱為級(jí)數(shù)的和,并寫成如果沒有極限,則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,如果級(jí)數(shù)收斂于則部分和們之間的差(3)稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).顯然有而是用近似代替所產(chǎn)生的誤差.注:按定義,級(jí)數(shù)與數(shù)列同時(shí)收斂或同時(shí)它例3討論級(jí)數(shù)的收斂性.解所以即題設(shè)級(jí)數(shù)收斂，其和為1.解故所給算術(shù)級(jí)數(shù)是發(fā)散的

例6證明一反證法證明二三、等比級(jí)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用1.等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）定義

其中叫做公比.

2.等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）斂散性定理

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上解已知級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，四、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng),不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.證這里只證明“改變級(jí)數(shù)的前面有限項(xiàng)不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性”,其它兩種情況容易由此結(jié)果設(shè)有級(jí)數(shù)(1)得到一個(gè)新的級(jí)數(shù)(2)推出.若改變它的前個(gè)有限項(xiàng),設(shè)級(jí)數(shù)(1)的前項(xiàng)和為則設(shè)級(jí)數(shù)(2)的前項(xiàng)和為則于是,數(shù)列與具有相同的收斂性,即級(jí)數(shù)(1)與(2)具有相同的收斂性.性質(zhì)2如果級(jí)數(shù)分別收斂于和則對(duì)任意常數(shù)級(jí)數(shù)收斂,且證設(shè)級(jí)數(shù)及的部分和分別為及則于是因此收斂,且結(jié)論:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.問題:1.級(jí)數(shù)一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散能否得出肯定結(jié)論？2.兩個(gè)級(jí)數(shù)都發(fā)散能否得出肯定結(jié)論？（1.發(fā)散；2.不一定.)設(shè)級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散，證明：發(fā)散.證用反證法,已知收斂,假定收斂,由收斂,這與題設(shè)矛盾,所以級(jí)數(shù)發(fā)散.與級(jí)數(shù)性質(zhì)得知例如:1.級(jí)數(shù)2.級(jí)數(shù)發(fā)散解例9解例10證明注意1.收斂級(jí)數(shù)可以加括弧，但收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)加括弧與去括弧均不影響其斂散性.證明注意1.