沖擊波第一講

沖擊波理論

——研究生課程主講人：彭金華Email：pengjh@教學(xué)目的

本課程旨在比較深入、系統(tǒng)地介紹氣體中運(yùn)動(dòng)的定常、非定常沖擊波傳播及與其它間斷面的相互作用，使學(xué)生掌握基本物理概念和計(jì)算方法，以便為開展科學(xué)研究和解決有關(guān)工程技術(shù)問題奠定基礎(chǔ)。課程大綱1基本概念和方程（6學(xué)時(shí)）1.1守恒方程1.2介質(zhì)狀態(tài)方程1.3理想流體運(yùn)動(dòng)方程組1.4伯努力方程1.5不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)方程組1.6流體力學(xué)方程組的積分形式1.7間斷面及間斷關(guān)系式第一講第二講

課程大綱（續(xù)）2正沖擊波（15學(xué)時(shí)）2.1沖擊波基本概念和關(guān)系式2.2多方氣體沖擊波關(guān)系式2.3凝聚介質(zhì)沖擊波關(guān)系式2.4雨貢紐曲線及瑞利曲線2.5沖擊波基本性質(zhì)2.6沖擊波熵增及耗散過程2.7弱沖擊波的聲學(xué)近似2.8沖擊波的相互作用2.9沖擊波與稀疏波的相互作用2.10沖擊波與交界面的相互作用2.11初始間斷分解第三講第四講第五講第六講第七講課程大綱（續(xù)）3斜沖擊波（6學(xué)時(shí)）3.1斜沖擊波極曲線3.2斜沖擊波在固壁上的正規(guī)反射3.3斜沖擊波在固壁上的馬赫反射3.4斜沖擊波在自由面上的正規(guī)反射3.5斜沖擊波在物質(zhì)界面上的正規(guī)折射3.6兩沖擊波斜碰撞4非定常沖擊波傳播（3學(xué)時(shí)）4.1二維Whitham方法4.2沖擊波的繞射4.3點(diǎn)爆炸問題的自模擬解4.4球面沖擊波的聚心運(yùn)動(dòng)5沖擊波技術(shù)的應(yīng)用第八講第九講第十講教材選用1)李維新.一維不定常流與沖擊波.北京：國(guó)防工業(yè)出版社.20032）周毓麟.一維非定常流體力學(xué).北京：科學(xué)出版社.19983）王繼海.二維非定常流和激波.北京：科學(xué)出版社.1994考核上課出勤率，回答問題及聽課情況，占總成績(jī)10%；學(xué)期中，每人寫一篇讀書報(bào)告或準(zhǔn)備一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，上講臺(tái)交流，占總成績(jī)20%；學(xué)期末，開卷考試，考試時(shí)間2小時(shí)，試卷分100分，占總成績(jī)70%。第一章基本概念和方程

1.1守恒方程質(zhì)點(diǎn)：介質(zhì)的微元叫作“流體質(zhì)點(diǎn)”或“質(zhì)點(diǎn)”。當(dāng)說質(zhì)點(diǎn)速度時(shí)，指的并非各分子的速度，而是微元整體的速度，當(dāng)說到質(zhì)點(diǎn)密度、壓力等狀態(tài)量時(shí)，指的則是該微元體現(xiàn)的平衡態(tài)宏觀量。宏觀小、微觀大

守恒方程的一般形式

強(qiáng)度量：?jiǎn)挝惑w積的量，例如密度、動(dòng)量密度、能量密度、壓力等，這類量不隨體積的增加而增加；廣延量：強(qiáng)度量對(duì)體積積分的結(jié)果，例如質(zhì)量、動(dòng)量、能量、熵等，這類量對(duì)體積是可加的。設(shè)L(r，t)是所討論宏觀系統(tǒng)中介質(zhì)的某一強(qiáng)度量，它是空間坐標(biāo)r=r(x，y，z)和時(shí)間t的函數(shù)。在系統(tǒng)中任取一個(gè)體積V，則L(r，t)對(duì)應(yīng)的廣延量是當(dāng)L是一守恒量時(shí)，對(duì)于非孤立系統(tǒng)，的變化由兩項(xiàng)組成：一項(xiàng)是單位時(shí)間內(nèi)在體積V內(nèi)ψ的產(chǎn)生項(xiàng)，即源項(xiàng)，把它記作P（ψ）；另一項(xiàng)是單位時(shí)間內(nèi)通過體積V的表面積S流走ψ的流項(xiàng)，將它記作J（ψ），即（1.1）這里ψ（t）只是t的函數(shù)，故與的含義相同。對(duì)P(ψ)和J(ψ)也可用其相應(yīng)的強(qiáng)度量表出其中σ是單位時(shí)間單位體積內(nèi)ψ的源，而其中j是單位時(shí)間內(nèi)通過表面單位面積的ψ的流，這里j和面積dS都是矢量，定義表面積的外法線方向?yàn)檎?。一般形式守恒方程的積分形式（1.2）再利用格林(Green)公式把式中最后一項(xiàng)的面積分化為體積分，上式可化為（1.3）其中▽是符號(hào)算子，在直角坐標(biāo)系(x，y，z)中因(1.3)式對(duì)任意的體積V都成立，當(dāng)所有的量在V內(nèi)是連續(xù)變量時(shí)，該式就意味著積分號(hào)內(nèi)整個(gè)被積函數(shù)應(yīng)等于零，故得守恒方程的微分形式（1.4）對(duì)于孤立系統(tǒng)，不存在與外界的交換，也無源，這時(shí)ψ的守恒方程為這里和以后都用表示當(dāng)?shù)氐臅r(shí)間微商，以表示隨體微商，它們的關(guān)系是其中u=u（u，v，w）是介質(zhì)的速度矢量。質(zhì)量守恒方程

質(zhì)量對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度量，即單位體積的質(zhì)量是密度ρ，現(xiàn)令L=ρ。因質(zhì)量不產(chǎn)生也不消亡，故源項(xiàng)σ=0。ρ的流只有運(yùn)流，故流項(xiàng)j=ρu，這里u是介質(zhì)的宏觀速度。于是，代人(1.4)式得（1.5）這就是熟知的質(zhì)量守恒方程，也稱為連續(xù)性方程。展開上式中的散度所以或者若在運(yùn)動(dòng)過程中介質(zhì)的ρ始終保持不變，即dρ／dt=0，則這種介質(zhì)稱為不可壓縮介質(zhì)。對(duì)不可壓縮介質(zhì)，連續(xù)性方程特別簡(jiǎn)單，為動(dòng)量守恒方程

動(dòng)量的強(qiáng)度量是動(dòng)量密度ρu，即現(xiàn)在令L=ρu。當(dāng)存在外力場(chǎng)的作用時(shí)，根據(jù)牛頓定律，外力對(duì)介質(zhì)的作用將導(dǎo)致介質(zhì)動(dòng)量增加，故外力是產(chǎn)生動(dòng)量的源。設(shè)F是作用于介質(zhì)單位質(zhì)量的外力，則ρF為作用于單位體積的外力，于是動(dòng)量密度的源σ=ρF。動(dòng)量密度本身是一個(gè)矢量，它的流則應(yīng)是個(gè)張量。其中運(yùn)流即隨質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)帶走的動(dòng)量密度流是ρuu，這里ρuu是并矢張量，例如分量ρuux就代表動(dòng)量ρu在x方向的流量。另外是擴(kuò)散流，因?yàn)榻橘|(zhì)中的應(yīng)力張量∏要導(dǎo)致動(dòng)量的擴(kuò)散，所以在所討論系統(tǒng)的表面積上將產(chǎn)生流過該面積的擴(kuò)散流－∏，這里取負(fù)號(hào)是因?yàn)閼?yīng)力朝表面積外法向?yàn)檎?，故?yīng)力給外界產(chǎn)生的動(dòng)量為正，而給本系統(tǒng)產(chǎn)生的動(dòng)量則為負(fù)。所以，動(dòng)量密度的流，j=ρuu－∏。于是，根據(jù)(1.4)式得動(dòng)量守恒方程（1.6）所以（1.7）納維—斯托克斯(Navier—Stokes)方程

粘性流體的動(dòng)量方程，其標(biāo)量形式（1.8）其中μ是粘性系數(shù)，稱為運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)歐拉(Euler)方程

對(duì)于不可壓縮粘性流體，(1.8)式化簡(jiǎn)為（1.9）對(duì)于非粘性流體，在無外力作用情況下，動(dòng)量守恒方程就化為（1.10）這個(gè)方程也叫作歐拉(Euler)方程。

能量守恒方程

單位體積的總能為ρE，即令L=ρE（1.11）總能的源有兩部分，一是介質(zhì)本身釋放的能量，二是外力F對(duì)介質(zhì)做的功，即總能的流包括：①隨介質(zhì)運(yùn)動(dòng)帶走的能量，即運(yùn)流ρEu；②因熱傳導(dǎo)而在單位時(shí)間內(nèi)流過單位面積的能量流q；③應(yīng)力單位時(shí)間內(nèi)在單位面積上所做的功。于是能量流項(xiàng)為將以上各項(xiàng)代人(1.4)式，就得到總能守恒方程為(1.12)或?qū)憺?1.13)并利用到質(zhì)量守恒方程(1.5)，則(1.12)式可化為(1.14)內(nèi)能守恒方程(1.15)常用的內(nèi)能守恒方程(1.16)也稱為內(nèi)能平衡方程。它表明，介質(zhì)內(nèi)能的增量等于如下幾項(xiàng)之和：①周圍介質(zhì)對(duì)本介質(zhì)做的壓縮功，即；②外界向介質(zhì)輸入的熱量；③介質(zhì)表面上應(yīng)力做的功；④介質(zhì)本身釋放的能量。當(dāng)無能源、無耗散應(yīng)力時(shí)，內(nèi)能守恒方程則為(1.17)這表明，外界向介質(zhì)輸入的熱量，將用于增加介質(zhì)的內(nèi)能和使介質(zhì)對(duì)外做功。這就是大家熟知的熱力學(xué)第一定律。在無能源、無熱傳導(dǎo)、無耗散作用的腈況下，內(nèi)能守恒方程非常簡(jiǎn)單，即(1.18)守恒方程小結(jié)最一般形式的流體動(dòng)力學(xué)方程組：（1.19）非守恒形式的流體動(dòng)力學(xué)方程組：（1.20）在無能源、無外力、無熱傳導(dǎo)的情況下，粘性流體動(dòng)力學(xué)方程組為（1.21）同上情況下，非粘性流體動(dòng)力學(xué)方程組是（1.22）

若把這組方程寫為隨體微商，即拉格朗日(Lagrange)時(shí)間微商的形式則為

（1.23）

以上得到的流體動(dòng)力學(xué)方程組，其方程個(gè)數(shù)是五個(gè)(其中動(dòng)量方程是三個(gè))，而方程中待求物理量為ρ、p、e、u（u，v，w）共六個(gè)，比方程的個(gè)數(shù)多一個(gè)。一維運(yùn)動(dòng)情況也如此，方程是三個(gè)，待求量共四個(gè)。為了對(duì)問題求解．還需再補(bǔ)充一個(gè)方程，這就要給出一個(gè)表達(dá)狀態(tài)量ρ、p和e之間關(guān)系的方程，即狀態(tài)方程。所以，求解流體動(dòng)力學(xué)問題，除流體動(dòng)力學(xué)方程組外，還需再加一個(gè)狀態(tài)方程，才能構(gòu)成封閉方程組。1.2介質(zhì)狀態(tài)方程四個(gè)熱力學(xué)關(guān)系式是

（1.24）

第一式是熱力學(xué)第一定律，其余各式是由第一式及如下定義導(dǎo)出的。（1.25）hpτepτFTsGTs狀態(tài)方程是涉及介質(zhì)具體性質(zhì)的熱力學(xué)量之間的關(guān)系式，通常是指介質(zhì)的p，τ，T之間的關(guān)系式，并常用τ，T或p，T為自變量，即或有時(shí)也把內(nèi)能函數(shù)視為狀態(tài)方程。在英文文獻(xiàn)中狀態(tài)方程equationofstate（EOS）一詞通常指p=p(τ,T)，有時(shí)也稱它為溫態(tài)方程thermalEOS,e=e(τ,T)稱為能態(tài)方程caloricEOS。根據(jù)熱力學(xué)理論，有了以上兩個(gè)方程，介質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)就全部知道了。在流體動(dòng)力學(xué)中通常多采用p、ρ、e之間關(guān)系的狀態(tài)方程，即或一般流體(氣體)的性質(zhì)

（1）熵不變時(shí)，壓力總是隨密度的增加(比容的減小)而增加。（1.26）當(dāng)ρ=0時(shí)，=0。所以永遠(yuǎn)為正，于是可以定義一個(gè)如下的恒正的量：（1.27）c稱為聲速，是一個(gè)很重要的量。(2)熵不變時(shí)，聲速將隨密度的增加而增加。即有（1.28）(3)比容不變時(shí)，壓力隨熵的增加而增加。即有（1.29）(4)對(duì)于氣體，其密度可趨近于零，再作以下假定：當(dāng)ρ→0時(shí)（1.30）

理想氣體

pτ=RT（1.31）式中R是常數(shù)．它等于氣體普適常數(shù)除以氣體的摩爾質(zhì)量。理想氣體有時(shí)也叫作完全氣體。（1.32）（1.33）（1.33）（1.34）（1.33）多方氣體

當(dāng)理想氣體的比定容熱容cV為常數(shù)時(shí)，則由(1.32)式積分可得（1.35）由熱力學(xué)第一定律對(duì)多方氣體得常用的多方氣體的狀態(tài)方程（1.36）對(duì)于等熵過程，A(S)為常數(shù)，故多方氣體的等熵狀態(tài)方程為（1.37）指數(shù)γ是比熱比，也稱為多方指數(shù)或絕熱指數(shù)。從γ的定義(1.34)看到，總有γ>1，根據(jù)統(tǒng)計(jì)力學(xué)和熱力學(xué)得知，其中l(wèi)是氣體粒子的內(nèi)部自由度。對(duì)于單原子氣體(如氫、氖)，內(nèi)部自由度l=0，故γ=5／3；對(duì)雙原子氣體(如氧、氮、空氣等)，在溫度不高時(shí)有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，l=2，故γ=7／5，當(dāng)溫度較高時(shí)，振動(dòng)自由度被激發(fā)，自由度增加到l=4，這時(shí)γ=9／7。對(duì)多方氣體．還容易得到(1.38)(1.39)(1.40)凝聚介質(zhì)

通?？砂涯劢橘|(zhì)的壓力和內(nèi)能分別表示為如下一般形式(1.41)(1.42)式中pc和ec，分別是冷壓和冷能，它們只是比容的函數(shù)，pT和eT是熱壓和熱能，它們同時(shí)依賴于比容和溫度。

格留納森