自動控制原理第二章

第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型導言第一節(jié)自動控制元件運動方程的建立第二節(jié)小偏差線性化第三節(jié)線性常微分方程的解第四節(jié)傳遞函數(shù)第五節(jié)結構圖及其等效變換第六節(jié)信號流圖及梅森增益公式第七節(jié)開環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)傳遞函數(shù)校正與綜合

導言模型精度vs系統(tǒng)復雜性數(shù)學模型精確，方程階數(shù)高，對系統(tǒng)分析設計困難工程上，在滿足精度要求的前提下，盡量使數(shù)學模型簡單

(近似模型)

數(shù)學模型：是對實際物理系統(tǒng)的一種數(shù)學抽象，描述系統(tǒng)內(nèi)部（或變量）之間關系的數(shù)學表達式.在自動控制理論中，數(shù)學模型有多種形式。時域中常用的有微分方程，差分方程和狀態(tài)方程；復域中有傳遞函數(shù)，結構圖；頻域中有頻率特性等。本章主要研究微分方程，傳遞函數(shù)和結構圖等數(shù)學模型的建立和應用。

回首頁為何要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型？數(shù)學模型是分析和設計任何一個控制系統(tǒng)的依據(jù)；許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其運動規(guī)律可能完全一樣，可以用一個運動方程來表示，我們可以不單獨地去研究具體系統(tǒng)而只分析其數(shù)學表達式，即可知其變量間的關系，這種關系可代表數(shù)學表達式相同的任何系統(tǒng)，因此需建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型.

建立數(shù)學模型的方法：分析法----根據(jù)有關電學、機械、力學…有關定律，推導出輸入輸出量之間的數(shù)學關系;實驗法----利用系統(tǒng)的輸入輸出信號來建立數(shù)學模型（對系統(tǒng)不知的情況下）第一節(jié)自動控制元件運動方程的建立一.例題：

例一線性元件微分方程下圖是由電阻R，電感L，電容C組成的串聯(lián)電路，其輸入量為電壓U1，輸出量為電壓U2，試列寫其運動方程。解：設回路電流為i(t),根據(jù)基爾霍夫第二定律有

（1）

點擊此處顯示圖沿任意回路環(huán)繞一周回到出發(fā)點，電動勢的代數(shù)和等于回路各支路電阻（包括電源的內(nèi)阻在內(nèi)）和支路電流的乘積（即電壓的代數(shù)和）。用公式表示為：

∑E=∑RI

又被稱作基爾霍夫電壓定律。而電容兩端的電壓為式（2）兩端對t取導數(shù)式（3）兩端對t取導數(shù)（2）（3）（4）把式（4）、（3）代入式（1），得或式中（5）（6）二階線性微分方程例二下圖為彈簧質(zhì)量阻尼器機械系統(tǒng)位移。試列寫質(zhì)量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的運動方程。解:設質(zhì)量m相對于初始狀態(tài)的位移，速度，加速度分別為x(t),dx(t)/dt,。由牛頓運動定律有

點擊此處顯示圖點擊此處顯示受力分析

（1）

式中F1(t)=f·dx(t)/dt是阻尼器的阻尼力，其方向與運動方向相反，其大小與運動速度成比例，f是阻尼系數(shù)。

F2(t)=Kx(t)是彈簧彈性力，其方向亦與運動方向相反，其大小與位移成比例，K是彈性系數(shù)。將F1(t)與F2(t)代入式（1）中，經(jīng)整理后即得該系統(tǒng)的微分方程:相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的相似關系，便于我們使用一個簡單模型去研究與其相似的復雜系統(tǒng)，也為控制系統(tǒng)的計算機數(shù)字仿真提供了基礎。例三倒擺模型的建立倒擺穩(wěn)定系統(tǒng)如圖，系統(tǒng)的組成有小車和倒擺，M為小車的質(zhì)量，m為擺球的質(zhì)量，l為擺長。這個系統(tǒng)希望在小車的推力作用下，始終保持倒擺垂直于地面。在火箭發(fā)射過程中，要求依靠舵的控制維持它沿其推力方向飛行，因此研究倒擺穩(wěn)定系統(tǒng)是有其實際意義的。為簡化問題，只考慮擺在平面內(nèi)的運動，并忽略空氣阻力及擺桿質(zhì)量。本系統(tǒng)的輸入量是對小車的作用力f，輸出量是倒擺與鉛垂線的夾角θ，試列寫其運動方程。點擊此處顯示倒立擺解:1）擺球m水平方向運動方程為m垂直方向運動方程為Fmmgθθm倒立擺受力分析（1）（2）小車M水平運動方程為由（3）式得f(t)FMθ

M小車受力分析（3）（4）由（4）式代入（1）式得:由（3）式得:由（5）及（3）式可得:整理得（5）（6）（7）將（7）式代入（2）式得:整理得:（8）（6）（8）倒立擺的聯(lián)立方程

綜上，列寫元件微分方程的步驟可歸納如下:根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確定其輸入量和輸出量。分析元件工作中所遵循的物理規(guī)律或化學規(guī)律，列寫出相應的微分方程。消去中間變量，得到輸入量和輸出量之間的微分方程，便是元件時域的數(shù)學模型。一般情況下，應將微分方程寫為標準形式，即與輸入量有關的項寫在方程的右端，與輸出量有關的項寫在方程的左端，方程兩端變量的導數(shù)項均按降冪排列。

二.線性系統(tǒng)的特性1.定義：用線性微分方程描述的元件或系統(tǒng)。2.特性：可運用疊加原理，即具有可疊加性和均勻性（或齊次性）。設元件輸入為r（t）、r1（t）、r2（t），對應的輸出為c（t）、c1（t）、c2（t）;當r（t）=r1（t）+r2（t）時，c（t）=c1（t）+c2（t）滿足疊加性當r（t）=a·r1（t）時，c（t）=a·c1（t）滿足齊次性

滿足迭加性和齊次性的元件才是線性元件。不具有疊加性和齊次性的元件稱為非線性元件.對線性系統(tǒng)可以應用疊加性和齊次性，對研究帶來了極大的方便。疊加性的應用：欲求系統(tǒng)在幾個輸入信號和干擾信號同時作用下的總響應，只要對這幾個外作用單獨求響應，然后加起來就是總響應。線性系統(tǒng)的疊加原理是對線性系統(tǒng)進行分析和設計時有多個外作用的情況下的重要方法。齊次性表明：當外作用的數(shù)值增大若干倍時，其響應的數(shù)值也增加若干倍。這樣，我們可以采用單位典型外作用（單位階躍、單位脈沖、單位斜坡等）對系統(tǒng)進行分析

——簡化了問題。

回首頁第二節(jié)小偏差線性化線性化處理:

將非線性微分方程轉(zhuǎn)化為線性微分方程，然后用線性理論進行分析。常用的線性化方法:1、忽略弱非線性環(huán)節(jié)（元件的非線性因素較弱或不在系統(tǒng)線性工作范圍內(nèi)）2、偏微法/小偏差法/切線法/增量線性化法（研究變量在工作點附近各增量之間的運動規(guī)律）3、平均斜率法（某些輸入輸出關系不能用偏微法表示時）小偏差線性化的基本假設:

（1）系統(tǒng)中的變量在某一工作點附近作微小變化。（2）非線性特性在該工作點可導。在此條件下，非線性的特性曲線可用該工作點的切線所代替，變量的增量之間稱為線性函數(shù)關系。小偏差線性化特別適合于具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)，其實質(zhì)是在一個很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來代替。概念：基于一種假設，就是在控制系統(tǒng)的整個調(diào)節(jié)過程中，各個元件的輸入量和輸出量只是在平衡點附近作微小變化。這一假設是符合許多控制系統(tǒng)實際工作情況的，因為對閉環(huán)控制系統(tǒng)而言，一有偏差就產(chǎn)生控制作用，來減小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡點附近。因此，對于不太嚴重的非線性系統(tǒng)，可以在一定的工作范圍內(nèi)線性化處理。工程上常用的方法是將非線性函數(shù)在平衡點附近展開成泰勒級數(shù)，去掉高次項以得到線性函數(shù)。線性化方法（1）小偏差線性化法在平衡點A（x0，y0）處，當系統(tǒng)受到干擾，y只在A附近變化，則可對A處的輸出—輸入關系函數(shù)按泰勒級數(shù)展開，由數(shù)學關系可知，當很小時，可用A處的切線方程代替曲線方程（非線性），即小偏差線性化。平衡位置附近的小偏差線性化

單變量線性化的方法:

把非線性函數(shù)在工作點x0附近展成泰勒級數(shù)，略去高次項，便可以得到一個以增量為變量的線性函數(shù)，即

由于(x-x0)很小，其二次方及二次方以上各項可略去，略去之后得同理可得，多變量非線性函數(shù)在工作點(x10,x20,…xn0)附近的線性增量函數(shù)為把上述線性增量函數(shù)代入微分方程，便得系統(tǒng)線性化的增量方程。（2）平均斜率法如果一非線性元件輸入輸出關系如圖所示此時不能用偏微分法，可用平均斜率法得線性化方程為其中（死區(qū)）電機上述方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)對于某些嚴重的非線性，如

不能作線性化處理，一般用相平面法及描述函數(shù)法進行分析。

例倒擺穩(wěn)定系統(tǒng)運動方程線性化解由上節(jié)例中可得該系統(tǒng)的非線性方程組為由于系統(tǒng)工作在θ=00附近，所以有將（3）,（4）式代入（1）,（2）式，得方程（5）,（6）聯(lián)立，消去中間變量，得回首頁建立模型目的之一：用數(shù)學方法定量研究控制系統(tǒng)的工作特性.列寫出微分方程，給定輸入量和初始條件----對方程求解，得到系統(tǒng)輸出量隨時間變化的特性.第三節(jié)線性常微分方程的解系統(tǒng)分析的步驟：線性常微分方程拉普拉斯變換傳遞函數(shù)應用拉氏變換值得注意的兩點1、拉氏變換是求解微分方程的簡潔方法?？梢詫⑽⒎址匠袒癁榇鷶?shù)方程求解。2、更重要的是：將微分方程---------復數(shù)s域的數(shù)學模型---------傳遞函數(shù)。由此發(fā)展了用傳遞函數(shù)的零極點分布、頻率特性等設計系統(tǒng)的方法。下面補充有關拉氏變換的內(nèi)容

了解拉普拉斯變換有關內(nèi)容1復數(shù)有關概念

（1）復數(shù)、復變函數(shù)復數(shù)復變函數(shù)例1（2）模、相角模相角（3）復數(shù)的共軛

（4）解析

若F(s)在s點的各階導數(shù)都存在，則F(s)在s點解析。j2拉氏變換的定義

象函數(shù)原函數(shù)＝L-1[F(s)]3拉氏反變換的定義

設f(t)為時間t的函數(shù)，并且當t<0時，f(t)=0，以下無窮積分存在4.常用函數(shù)的拉氏變換(1)求階躍函數(shù)f(t)=A·1(t)的拉氏變換。單位階躍函數(shù)f(t)=1(t)的拉氏變換為。

(2)求單位脈沖函數(shù)f(t)=δ(t)的拉氏變換。δ(t)的篩選性質(zhì)：（3）求指數(shù)函數(shù)的拉氏變換(4)正弦函數(shù)sinωt1（t）和余弦函數(shù)cosωt1（t）的拉氏變換

幾個重要的拉氏變換f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1sinwt1(t)1/scoswtt1/(s+a)拉氏變換的性質(zhì):

線性性質(zhì)若則2.微分定理由此，還可得出兩個重要的推論（1）（2）則，f(0)是函數(shù)f(t)在t=0時的值3.積分定理由此，也可得出兩個重要的推論:式中，符號式中，符號(1)(2)若則表示f(t)的各重積分在t=0時的值.4.衰減定理（位移性質(zhì)）5.延時定理（原函數(shù)f(t)在時間上延遲a）6.初值定理

(原函數(shù)f(t)在自變量趨于0時的極限值，取決于其象函數(shù)F(s)在自變量趨于無窮大時的極限值)7.終值定理（若原函數(shù)在t->時有極限存在，則此極限稱為其終值）這里應當注意，運用終值定理的前提是存在。8.時間比例尺的改變9.時間t乘函數(shù)后的拉氏變換10.卷積分的拉氏變換其中，[f(t)*g(t)]為卷積分的數(shù)學表示，定義為令則式中，Ak----常值，即s=-pk極點處的留數(shù)，Ak可由下式求得將上式拉氏反變換，可得部分分式展開法:1.

只含不同單極點的情況2.含共軛復數(shù)極點的情況A1和A2可又由以下步驟求得：將上式兩邊乘以(s+σ+jβ)(s+σ-jβ),同時令s=-σ–jβ(或同時令s=-σ+jβ),得分別令上式兩端實虛相等，即可求得A1和A2。3.含多重極點的情況其中Ak可由以下公式求得:據(jù)此，可求出含多重極點情況的拉氏反變換式。例試求的拉氏反變換。

解：

例試求的拉氏反變換。

解：

將該式兩邊同乘，并令含共軛復根的情況，也可用第一種情況的方法。值得注意的是，此時共軛復根相應兩個分式的分子和是共軛復數(shù)，只要求出其中一個值，另一個即可得到。

例求的拉氏反變換。

解：例求的拉氏反變換。解：

解線性定常微分方程1.步驟:考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換（應用微分定理），將微分方程轉(zhuǎn)換為變量s的代數(shù)方程；由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達式；(3)對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時域表達式，即為所求微分方程的解。例題若描述系統(tǒng)輸入輸出特性的微分方程為式中y(t)為輸出量，x(t)為輸入量，并且x(t)=1(t),其初始條件為y(0￣)=-1,[y(0￣)]’=4,試求其時間解。解:對方程兩端取拉氏變換有整理得上式代入初始條件把上式分解成部分分式把上面系數(shù)代回原式，得式中式中前三項稱為零狀態(tài)響應，它表示在初始條件為零情況下，輸入信號加入后系統(tǒng)的運動規(guī)律。這個規(guī)律和輸入信號的形式有關，也和描述系統(tǒng)的微分方程有關，即和系統(tǒng)的結構參數(shù)有關。后兩項稱為零輸入響應，它表示在輸入信號加入以前，系統(tǒng)儲存的能量在信號加入以后的釋放規(guī)律，這個規(guī)律取決于系統(tǒng)的結構和參數(shù)，其大小取決于初始條件。另一方面，上式的第一項稱為受迫分量或穩(wěn)態(tài)分量，它表示在輸入信號作用下，系統(tǒng)達到平衡狀態(tài)以后的運動規(guī)律。這個規(guī)律取決于輸入信號的形式，其大小和系統(tǒng)的結構參數(shù)有關。受迫分量對應經(jīng)典解法非齊次方程的特解。同時上式第二，三項與第四，五項中的相同的函數(shù)可以合并，合并之后稱為自由分量或暫態(tài)分量，其變化規(guī)律取決于系統(tǒng)的結構和參數(shù)，其大小和輸入信號和初始條件有關。自由分量對應經(jīng)典解法齊次方程的通解?；厥醉摰谒墓?jié)傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學模型。經(jīng)典控制理論的主要研究方法—頻率法和根軌跡法都是建立在傳遞函數(shù)的基礎之上的。在以后的分析中我們可以看到，利用傳遞函數(shù)不必求解微分方程就可以研究初始條件為零的系統(tǒng)在輸入信號作用下的動態(tài)過程，利用傳遞函數(shù)還可以研究系統(tǒng)參數(shù)變化或結構變化對動態(tài)過程的影響，因而使分析系統(tǒng)的問題大為簡化，另一方面，還可以把對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對系統(tǒng)傳遞函數(shù)的要求，使綜合設計的問題易于實現(xiàn)，由于傳遞函數(shù)的重要性，我們將深入進行研究。重點定義

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述:式中，c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，ai(i=1,2,···,n)和bj(j=1,2,···,m)是與系統(tǒng)結構與參數(shù)有關的常系數(shù)。設r(t)和c(t)及其各階導數(shù)在t=0時的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，并令C(s)=￡[c(t)],R(s)=￡[r(t)],可得s的代數(shù)方程為于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù):（m≤n且所有系數(shù)均為實數(shù)）注:

傳遞函數(shù)是在零初始狀態(tài)下定義的?？刂葡到y(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義:

一、是指輸入量是在t≥0時才作用于系統(tǒng)，因此，在t=0￣時，輸入量及各階導數(shù)均為零；二、是指輸入量加入系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即輸出量及其各階導數(shù)在t=0￣時的值也為零，現(xiàn)實的工程控制系統(tǒng)多屬于此類情況。為何要規(guī)定零初始條件？分析系統(tǒng)性能時，需要在統(tǒng)一條件下考查系統(tǒng)： 輸入：都用階躍輸入.初條件：都規(guī)定為零——為確定一個系統(tǒng)的起跑線而定.則系統(tǒng)的性能只取決于系統(tǒng)本身的特性(結構參數(shù))為何可以規(guī)定為零初始條件？我們研究系統(tǒng)的響應，都是從研究它的瞬時才把信號加上去的；絕大多數(shù)系統(tǒng)，當輸入為0時，都處于相對靜止狀態(tài)；因此，傳遞函數(shù)可表征控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，并用以求出在給定輸入量時系統(tǒng)的零初始條件響應二.傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)(m≤n)

，具有復變函數(shù)的所有性質(zhì)。？實際系統(tǒng)都存在慣性，從微分方程上反映出來，即C(s)的階次比R(s)階次高.反映到G(s)上即有分母階次n≥分子階次m.(2)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結構和參數(shù)，與輸入量無關，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。(3)傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，即傳遞函數(shù)中的s與微分方程中的d/dt有相通性。(4)傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應g(t),傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。R(s)=L[(t)]=1,g(t)=L-1[C(s)]=L-1[G(s)R(s)]=L-1[G(s)](5)傳遞函數(shù)G(s)與系統(tǒng)相應的零極點分布圖對應.G(s)系統(tǒng)零極點分布圖系統(tǒng)性能傳函的優(yōu)點：若掌握了零極點分布與系統(tǒng)性能之間的規(guī)律性，當某個元部件的參數(shù)改變時，零極點位置變化，系統(tǒng)性能的變化規(guī)律就能掌握了，可以有目的地改變某些參數(shù)，改善系統(tǒng)的性能，且無需解微分方程。傳遞函數(shù)的局限：只適用于單輸入，單輸出系統(tǒng)。只適用于線性定常系統(tǒng)——由于拉氏變換是一種線性變換。三.例題例1.試求如圖所示無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)，該電路的輸入量是u1，輸出量是u2。

解:應用回路電流法對電路列寫下面回路電壓方程:消去中間變量可得式中對以上三式兩端取拉氏變換，并令初始條件為零，得例2試求如圖機械系統(tǒng)的傳函。mKBxf(t)四、傳遞函數(shù)的極點與零點對于線性常微分方程所描述的系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可寫成為了進一步對復雜系統(tǒng)的研究，把上式的分子與分母分解成因子相乘積的形式，即式中z1,z2,??????zm稱為G(s)的零點；p1,p2,??????pn稱為G(s)的極點。零點zi-----使G(s)=0的s值；極點pj-----使G(s)=的s值由于(1)式中的系數(shù)a0,a1,???,an和b0,b1,???,bm是實數(shù)，所以G(s)的零點和極點為實數(shù)或共軛復數(shù)。以上n+m+1個常數(shù)完全確定了傳遞函數(shù)G(s)，所以傳遞函數(shù)緊湊地包含了一個動態(tài)對象的全部動態(tài)性質(zhì)。傳遞函數(shù)的分子與分母不含可以相消的因子，則傳函的極點由對象的極點（分母）多項式?jīng)Q定。自由運動的形態(tài)(模態(tài))取決于傳函的分母多項式。傳函的極點（微分方程的特征根）自由運動的模態(tài)設某對象的傳遞函數(shù)為兩個極點為：-1，-2，一個零點為：-3；自由運動的模態(tài)為e-t和e-2t。當輸入量為：可求得系統(tǒng)的零初始條件響應為即傳遞函數(shù)極點對輸出的影響由此求得輸出量為式中，前兩項具有與輸入函數(shù)相同的模態(tài)，是由輸入量直接產(chǎn)生的“強迫運動”（或理解為受輸入量直接“控制”的運動）后兩項函數(shù)則在輸入量r(t)中并不存在，它們包含了與對象的傳遞函數(shù)G(s)的極點-1和-2相對應的自由運動模態(tài)。這是系統(tǒng)的固有成分，但是其系數(shù)卻與輸入函數(shù)有關(含有c1和c2)，可認為這兩項是受輸入函數(shù)激發(fā)而形成的。傳函極點：可以受輸入函數(shù)的激發(fā)在輸出響應中形成自由運動的模態(tài)。傳遞函數(shù)零點對輸出的影響設具有相同極點而零點不同的兩個傳遞函數(shù)為在零初始條件下，它們的單位階躍響應是這表明，輸出量c1(t)和c2(t)所含的函數(shù)類型是一樣的，但各函數(shù)的幅度不同。即傳遞函數(shù)的零點：是調(diào)節(jié)對象的各個自由運動模態(tài)在輸出量中的“比重”。工程上：不能認為一個對象的動態(tài)性質(zhì)唯一地/主要地決定于傳遞函數(shù)的極點，必須注意到零點的作用。傳遞函數(shù)零點還能“阻斷”輸入量中某一成分的傳遞。設某對象傳遞函數(shù)為上式右端第1項是對象的自由運動，第2項是由輸入量造成的強迫運動（或說第2項是由輸入量“傳遞”過來的運動）其中a是極點，b是零點，且設輸入為即其中則零初始條件下的輸出量為現(xiàn)設傳函的零點與輸入量象函數(shù)R(s)的極點相重合，即b=c，則有輸入量中的成分被傳函的零點阻斷而不能傳遞到輸出端綜上：傳遞函數(shù)極點生成輸出量中的某些成分；傳遞函數(shù)零點阻斷輸入量中的某些成分。五.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)：將具有某種確定信息傳遞的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)。具有相同傳遞函數(shù)的元件的分類。一個傳遞函數(shù)可以分解為若干個基本因子的乘積，每個基本因子就稱為典型環(huán)節(jié)。（1）比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）特點：輸出量按一定比例復現(xiàn)輸入量，無滯后、失真現(xiàn)象。傳遞函數(shù)：例1:

如圖所示的運算放大器,其中

ui(t)—

輸入電壓

u0(t)—

輸出電壓

R1,R2—

電阻R1R2ui(t)u0(t)能把輸入訊號的電壓或功率放大的裝置，由電子管或晶體管、電源變壓器和其他電器元件組成，用于通訊、廣播、雷達、自控等裝置。

例2：齒輪系

輸入：n1(t)——轉(zhuǎn)速Z1——主動輪的齒數(shù)

輸出：n2(t)——轉(zhuǎn)速Z2——從動輪的齒數(shù)運動方程：傳遞函數(shù)：傳動比的定義實例：用杠桿傳遞的位移或力；兩個嚙合齒輪的轉(zhuǎn)速比；電阻上的電壓與電流；閥門的開度與流量；閥門前后的壓差與流量；電子放大器輸入與輸出電信號。（2）一階慣性環(huán)節(jié)

G(s)=1/(Ts+1)

在時間域里，如果輸入、輸出函數(shù)可表達為如下一階微分方程特點：此環(huán)節(jié)中含有一個獨立的儲能元件，以致對突變的輸入來說，輸出不能立即復現(xiàn)，存在時間上的延遲。實例：RC網(wǎng)絡、汽車的剎車制動（踩剎車后汽車的速度只能逐漸下降）、流出側(cè)裝設閥門的水箱。T稱為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。

例3:如下圖所示無源濾波電路，其中

ui(t)—輸入電壓；u0(t)—輸出電壓；

R—電阻；C—電容。u0(t)ui(t)CRi(t)無源濾波網(wǎng)絡例4:如下圖所示彈簧—阻尼系統(tǒng)，其中

xi(t)—輸入位移；x0(t)

—輸出位移；

k—彈簧剛度；f—阻尼系數(shù)。xi(t)x0(t)fk彈簧阻尼系統(tǒng)例5:

右圖所示永磁式直流發(fā)電機其中θi(t)—輸入轉(zhuǎn)角；u0(t)—輸出電壓。Θi(t)u0(t)永磁式直流電動機特點：動態(tài)過程中，輸出量正比于輸入量的變化速度，能預示輸入信號的變化趨勢。也等于給系統(tǒng)以有關輸入變化趨勢的預告。因而，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。

實例：測速發(fā)電機

。K是微分時間常數(shù)微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的微分，當輸入為單位階躍函數(shù)時，輸出就是脈沖函數(shù)，這在實際中是不可能的。因此，理想的微分環(huán)節(jié)難以實現(xiàn)，它總是與其它環(huán)節(jié)同時出現(xiàn)，常遇到的是下述的近似微分環(huán)節(jié)。

例6:

如下圖無源微分網(wǎng)絡，其中

R—

電阻；C—

電容；

ui(t)—

輸入電壓；

u0(t)—

輸出電壓。Ui(t)U0(t)CRi(t)無源微分網(wǎng)絡單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)對時間的導數(shù)特點：受到階躍擾動，輸出先產(chǎn)生起始跳變，隨時間逐漸恢復到原狀態(tài)。

實例：

RC網(wǎng)絡，速度熱電偶。由于電路元器件都具有一定的慣性，實際的微分環(huán)節(jié)是帶有慣性環(huán)節(jié)的微分環(huán)節(jié)。（4）積分環(huán)節(jié)

G(s)=K/s(其中k為常數(shù))特點：輸出量的變化速度和輸入量成正比，受到擾動自身無法達到穩(wěn)定，沒有靜態(tài)過程，調(diào)節(jié)難度最大。階躍響應式為：

例7:

如下圖所示機械積分器，A盤作恒速轉(zhuǎn)動并帶動B盤轉(zhuǎn)動，B盤和I軸間用滑鍵連接，同軸轉(zhuǎn)動，B盤(或 I軸)與A盤的轉(zhuǎn)速關系取決于距離ei，其關系為:n(t)=Kei(t)式中ei(t)—

距離，輸入量；θ0(t)—I軸轉(zhuǎn)角，輸出量；

n(t)—I軸轉(zhuǎn)速。eiAIBn圖

氣體貯罐

例8

分析流入貯罐的氣體流量與貯罐內(nèi)氣體壓力的關系。

解：

設氣體流量為Q，貯罐內(nèi)氣體壓力為P，氣罐容積為V,R為氣體常數(shù)，T為氣體的絕對溫度，則有其傳遞函數(shù)為式中

。運動方程

:零初始條件下，拉氏變換為

傳遞函數(shù)為

（5）延遲環(huán)節(jié)特點：輸出量能準確復現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時間間隔

。實例：在熱工過程、化工過程和能源動力設備中，工質(zhì)、燃料、物料從傳輸管道進口到出口之間，就可以用延時環(huán)節(jié)表示。給粉機通過輸粉管道向鍋爐爐膛輸送煤粉、給水通過省煤器進入汽包等。（6）二階振蕩環(huán)節(jié)特點：包含兩個獨立的儲能元件，當輸入量發(fā)生變化時，兩個儲能元件的能量進行交換，使輸出帶有振蕩的性質(zhì)。多用于調(diào)節(jié)系統(tǒng)的分析。

例9:

如下圖所示無源R—C—L網(wǎng)絡，其中

ui(t)—

輸入電壓；

u0(t)—

輸出電壓；

L—

電感；

R—

電阻；

C—

電容。LCRi(t)無源R—L—C網(wǎng)絡例10:

如下圖所示質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)，其中

Fi(t)—

輸入外力；

y0(t)—

輸出外力；

M—

質(zhì)量；

k—

彈簧剛度；

f—

粘性阻尼系數(shù)。Fi(t)y0(t)kf質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)應注意，具有相同數(shù)學模型的不同物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。外力引起的系統(tǒng)運動與外電壓引起的系統(tǒng)運動這一相似系統(tǒng)又可稱為力—電壓相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)中占據(jù)相似位置的物理量稱為相似量?？刂葡到y(tǒng)的大多數(shù)環(huán)節(jié)，都可以用這6種典型環(huán)節(jié)表示。實際上的控制系統(tǒng)，就是典型環(huán)節(jié)按一定的方法組合而成的。

回首頁第五節(jié)結構圖及其等效變換結構圖的基本組成1.信號線:由帶箭頭的直線表示，箭頭方向表示信號的傳遞方向，在直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。2.方框:表示對信號進行的數(shù)學變換。方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如圖所示。方框的輸出變量等于方框的輸入變量與傳遞函數(shù)的乘積。X(s),x(t)

G(s)X1(s)X2(s)X2(s)=G(s)X1(s)3.比較點(綜合點):

表示對兩個以上的信號進行加減運算，“+”號表示相加，“-”號表示相減，“+”號可省略不寫，如圖所示，其信號關系為4.引出點(分支點):

表示信號引出或測量的位置。從同一點引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同，符號如圖所示。X1(s)X3(s)X2(s)±X3(s)=X1(s)±X2(s)X(s)X(s)二.結構圖的繪制例1:試畫出所示π型濾波器的結構圖，其中u1為輸入量，u2為輸出量。R1R2C1C2U1U3U2i1i2i3解:根據(jù)歐姆定律及克希荷夫定律，可得如下方程:對上述方程兩端進行拉氏變換，并令初始條件為零，得根據(jù)(1)—(5)式畫出每個方程的結構圖如下:I1(s)U1(s)U2(s)-1/R1U2(s)U3(s)I3(s)-1/R21/C1sI2(s)U2(s)1/C2sI3(s)U3(s)I1(s)I3(s)-I2(s)按照信號傳遞順序把上頁圖中各部分連接起來，得π型濾波器的結構圖如下:1/C2sU1I1I2U2I3U3---1/R11/C1s1/R2結構圖繪制說明:

繪制系統(tǒng)結構圖時，首先考慮負載效應分別列寫各元件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框圖表示；然后，根據(jù)各元件的信號流向，用信號線依次將各方框連接便得到系統(tǒng)的結構圖。

因此，系統(tǒng)結構圖實質(zhì)上是系統(tǒng)原理圖與數(shù)學方程兩者的結合，即補充了原理圖所缺少的定量描述，又避免了純數(shù)學的抽象運算，從結構圖上可以用方框圖進行數(shù)學運算，也可以直觀了解各元件的相互關系及其在系統(tǒng)中所起的作用，更重要的是從系統(tǒng)結構圖可以方便地求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所以，系統(tǒng)結構圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。目的：簡化系統(tǒng)傳遞函數(shù)的計算。思路：在保證總體動態(tài)關系不變的條件下，設法將原結構逐步地進行歸并和簡化，最終變換為輸入量對輸出量的一個方框。簡化原理：因為傳遞函數(shù)是以復數(shù)s為變量的代數(shù)方程，所以這些變換和計算是簡單的代數(shù)運算。等效變換原則：變換前后各變量之間的傳遞函數(shù)保持不變。三.結構圖等效變換G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串聯(lián)結構圖的等效變換:G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)?G2(s)R(s)C(s)結論：多個環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于每個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s)G1(s)G2(s)X0X1X2Gn(s)Xn·············G1(s)G2(s)·········Gn(s)X0Xn2.并聯(lián)結構圖的等效變換:G(s)=G1(s)+G2(s)+······+Gn(s)兩個方框并聯(lián)連接的等效方框，等于各個方框傳遞函數(shù)之代數(shù)和，這個結論可以推廣到n個并聯(lián)方框的情況。X1G1(s)G2(s)Gn(s)·

·

·

·

·

·X0X2XnXn+1X1(s)=G1(s)·X0(s)X2(s)=G2(s)·X0(s)·

·

·

·

·

Xn(s)=Gn(s)·X0(s)G1(s)+G2(s)+······+Gn(s)3.消去反饋法則:R(s)B(s)H(s)Y(s)E1(s)G(s)±R(s)Y(s)式中“+”號對應負反饋情況，“-”號對應正反饋情況。結論：具有負反饋結構環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)除以1加（若正反饋為減）前向通道與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。原則:換位前后的輸入/輸出信號間關系不變?移動前：移動后：相加點移動示意圖4.比較點（加減點）移動法則:?移動前：移動后：G(s)G(s)X1X2X3X1X3X2G(s)X2X1X3G(s)G(s)X1X2X3G(s)1/G(s)比較點的移動：5.引出點移動法則:G(s)X1X2X3X1X2X3G(s)X1X2X3G(s)G(s)X1X2X3G(s)1/G(s)?問題：要保持原來的信號傳遞關系不變，

？等于什么。？G(s)1/G分支點移動示意圖復雜結構圖的簡化：1、通過比較點和引出點的移動，消除交叉反饋，把結構圖變?yōu)榭芍苯討?種基本連接方法的簡單結構圖；2、若簡單結構圖含有內(nèi)部反饋回路，則由內(nèi)向外逐步簡化反饋回路；3、最后求出閉環(huán)傳遞函數(shù)。注：動態(tài)結構圖的化簡方法不是唯一的，人們應充分地利用各種變換技巧，選擇最簡捷的路徑。

復習：結構圖等效變換的基本規(guī)則：串聯(lián)等效并聯(lián)等效反饋等效交換或合并比較點閉環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)相鄰比較點可以隨意變換位置。比較點和引出點的移動交換引出點若干個相鄰引出點，表明同一個信號輸出到不同的地方去。引出點之間相互交換位置，不會改變引出信號的性質(zhì)。注：交換比較點和引出點，結構圖變得更復雜。一般不采用。簡化結構圖的步驟：（1）確定輸入量與輸出量，（輸入量有多個，對每一個輸入量，求各自的傳遞函數(shù)）；（2）若結構圖有交叉連接，利用移動規(guī)則，首先將交叉消除，簡化成無交叉的結構圖；（3）對多回路結構圖，由里向外進行交換直至變換成一個單回路結構圖或一個方框圖；（4）最后寫出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。例1：無交錯的多回路系統(tǒng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)本題特點：具有引出點、綜合交叉點的多回路結構。解題思路：消除交叉連接，由內(nèi)向外逐步化簡。例2:系統(tǒng)動態(tài)結構圖如下圖所示，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。步驟1：將比較點2后移，然后與比較點3交換。步驟2:步驟3步驟4：內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換步驟5步驟6：串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換步驟7：內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換等效變換化簡結果G1G2G3G4方法2：將比較點③前移，然后與比較點②交換。方法3：引出點A后移方法4：引出點B前移G1G2G3G4可否不經(jīng)過任何結構變換，一步寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？例3

試利用結構圖等效變換法則求圖中u3對u1的傳遞函數(shù)。解分別應用結構圖等效變換法3、4、5對圖進行等效變換，其過程如下1/C2sU1I1I2U2I3U3---1/R11/C1s1/R21/C2sU1I1I2U2I3U3---1/R11/C1s1/R2U11/C2sI2U2I3U3--1/R11/C1s1/R2C2sR1-U1U2U3---U1U3-U1U3-U1U3最后得π型濾波器的傳遞函數(shù)為回首頁第六節(jié)信號流圖及梅森增益公式

一.信號流圖的基本概念

導入:信號流圖與結構圖很相似，它是以圖形的形式表示一組代數(shù)方程所描述的系統(tǒng)變量之間的關系。若代數(shù)方程組為xi和xj用小圓圈“○”表示，稱為節(jié)點。在節(jié)點xi和xj之間用曲線連接起來，這條曲線稱為支路。在支路上畫上箭頭，表示信號的傳遞方向；在支路的一側(cè)注上系數(shù)aij,表示變量xj和xi的影響，aij稱為支路系數(shù)或增益。這樣，就可以把方程組(1)用信號流圖表示出來。圖中是有兩個節(jié)點和一條支路的信號流圖，其中兩個節(jié)點分別代表電流I和電壓U，支路增益是R。該圖表明，電流I沿支路傳遞并增大R倍而得到電壓U，即U=IR，這正是眾所周知的歐姆定律。IURUIR

(1)、信號流圖的組成單元

A、節(jié)點：即變量，用小圓圈表示，為流向該節(jié)點的信號的代數(shù)和，從同一節(jié)點流向各支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。

B、支路：定向線段，標支路增益，相當于乘法器，表因果關系。

(2)、信號流圖的性質(zhì)

A、節(jié)點標志系統(tǒng)的變量；

B、支路相當于乘法器；

C、信號沿箭頭單向傳遞；

D、系統(tǒng)的信號流圖不是惟一的。例如代數(shù)方程組為其信號流圖如圖所示。x1x3x2x4x5abcdefgh

信號流圖常用術語的定義:1.輸出節(jié)點（阱節(jié)點）:只有輸出支路的節(jié)點，代表系統(tǒng)的輸入變量，如圖中x1。2.

輸入節(jié)點（源節(jié)點）:只有輸入支路的節(jié)點，代表系統(tǒng)的輸出變量，如圖中x5。3.

混合節(jié)點:

既有輸入支路也有輸出支路的節(jié)點，如圖中的x2，x3，x4。4.前向通路:從輸出節(jié)點開始終于輸入節(jié)點，且與任何節(jié)點相交不多于一次的通路，如圖中的eg,ecdh,adh,adfg。x1x3x2x4x5abcdefgh5.通路增益:通路通過所有支路的支路系數(shù)的乘積。

6.

反饋回路(簡稱回路):

從一個節(jié)點開始，又終于同一節(jié)點，且信號通過每一個節(jié)點不多于一次的閉合通路，如圖中的b,dfc。

7.回路增益:形成反饋回路各支路系數(shù)的乘積。

8.不接觸回路:互相沒有公共節(jié)點的回路。x1x3x2x4x5abcdefgh

二.信號流圖的簡化:1.串聯(lián)支路的總增益等于各支路增益之積，圖a。

2.并聯(lián)支路的總增益等于各支路增益之和，圖b。

3.消去混合點，圖c。

4.消去反饋，圖d,e。x1x2x4x3abcx1x4abcx1x2abx1x2a+bx1x2x3x4abcx1x2x4acbc[a][b][c]x1x211abx1x2a/(1-ab)[d]x1x2bx1x2a/(1-b)[e]ax3x4信號流圖的繪制:

信號流圖可以根據(jù)微分方程繪制，也可以從系統(tǒng)結構圖按照對應關系得到。(1)由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖通過拉氏變換，將微分方程變換為s的代數(shù)方程；對系統(tǒng)的每個變量指定一個節(jié)點，并按照系統(tǒng)中變量的因果關系，從左到右順序排列；用標明支路增益的支路，按照數(shù)學方程式將各節(jié)點變量正確連接。(2)由系統(tǒng)結構圖繪制信號流圖結構圖的信號線變成小圓圈標志變量，得到節(jié)點；用標有增益的線段代替結構圖中的方框，便得到支路；例1.試繪制如圖無源網(wǎng)絡的信號流圖，該電路的輸入量是ui，輸出量是u0。解:應用回路電流法對電路列寫下面回路電壓方程:對以上三式兩端取拉氏變換，并令初始條件為零，得uiu0對變量Ui(s)，Ui(s)-U0(s)，I1(s)，I2(s)，I(s)，U0(s)分別設置6個節(jié)點；用相應增益的支路將個節(jié)點連接起來，得到信號流圖。例2試繪制系統(tǒng)結構圖對應的信號流圖。解:首先，在系統(tǒng)結構圖的信號線上，用小圓圈標注各變量對于對應的節(jié)點，如圖（a）所示。其次，將各節(jié)點按原來順序自左向右排列，連接個節(jié)點的支路與結構圖中的方框相對應，便得系統(tǒng)的信號流圖，如圖（b）所示.

(1)梅森增益公式的來源A、克萊姆規(guī)則求解線性方程組B、傳遞函數(shù)分子分母多項式分析三.梅森(S.J.Mason)增益公式應用梅森公式，可以不用簡化信號流圖，而直接寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)。經(jīng)整理后得由克萊姆規(guī)則，方程式組的系數(shù)行列式為

=

因此，，即有

對上述傳遞函數(shù)的分母多項式和分子多項式進行分析表示信號流圖中所有單獨回路的回路增益之和項表示信號流圖中每兩個互不接觸的回路增益之乘積的和項

是第條前向通路的總增益為與第條前向通路不接觸回路的回路增益令，則是與第條前向通路對應的余因子式，它等于系數(shù)行列式中，去掉與第條前向通路接觸的所有回路的回路增益項后的余項式。

（2）梅森增益公式梅森增益公式前向通路（有幾條，各自的增益是什么）回路（有幾條，各自的增益是什么）找準互不相交的回路帶入到公式中=系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例1:

試求圖中所示各信號流圖中的輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的增益G。解:1)對于圖(a),運用梅森公式，有所以x1x2abcd(a)2)對于圖(b)，運用梅森增益公式，有所以x1x2abcdefg(b)對于圖(c)，運用梅森增益公式，有所以，x1x3abcdefghij(c)

例2:試畫出圖示T型網(wǎng)絡的信號流圖，并用梅森公式求輸出電壓u1對輸入電壓u2的傳遞函數(shù)。解:1)根據(jù)歐姆定律和克希荷夫第一定律列寫象函數(shù)如下:U1U2U3i1i2i3C2C1RR2)根據(jù)(2)式畫出信號流圖如圖示。U1U3I1I2I3U21/R111/(C1s)1/R1/(C2s)-1-1/R-1/R3)求傳遞函數(shù):

根據(jù)信號流圖，應用梅森公式有U1U3I1I2I3U21/R111/(C1s)1/R1/(C2s)-1-1/R-1/R例3試求信號流圖中的傳遞函數(shù)解單獨回路有四個，即兩個互不接觸的回路有四組，即三個互不接觸的回路有一組，即信號流圖特征式

從源節(jié)點R到阱節(jié)點C的前向通路共有四條

因此，由梅森公式求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

=第七節(jié)開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)經(jīng)過等效變換后，典型的反饋控制系統(tǒng)的結構圖常如下所示:圖中，R(s)和N(s)都是施加于系統(tǒng)的外作用，R(s)是有用輸入作用，簡稱輸入信號，N(s