建筑力學(xué)課件第十七章

第十七章結(jié)構(gòu)位移計(jì)算第一節(jié)彈性桿件的變形與應(yīng)變能密度計(jì)算第二節(jié)變形體的虛功原理第三節(jié)結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式第四節(jié)荷載作用下的位移計(jì)算第五節(jié)圖乘法第六節(jié)溫度作用時(shí)的位移計(jì)算第七節(jié)互等定理總結(jié)與討論習(xí)題17.1彈性桿件的變形與應(yīng)變能密度計(jì)算討論彈性桿件的變形，首先要了解彈性的定義。關(guān)于彈性的含義，需要說明兩點(diǎn)。第一，彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)當(dāng)是單值函數(shù)關(guān)系，應(yīng)力值與應(yīng)變值之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，某個(gè)應(yīng)力效應(yīng)作用下，桿件所對(duì)應(yīng)的該應(yīng)變值為唯一定值。如果物體在卸載時(shí)的變形特性與加載時(shí)的不同，則應(yīng)力與應(yīng)變之間已不是單值函數(shù)關(guān)系，這種非彈性情況本教材不予考慮。第二，彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以是線性的或非線性的，前者稱為線彈性體，應(yīng)力應(yīng)變的比值是個(gè)常數(shù)，即前面已經(jīng)學(xué)到的彈性模量E，剪切模量G等。而后者稱為非線彈性體。返回17.2變形體的虛功原理前面已經(jīng)討論過質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理（或稱為虛功原理），它表述為：具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在某一位置處于平衡的充分必要條件是對(duì)于任何虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所作的虛功總和為零。所謂虛位移是指為約束條件所允許的任意微小位移。理想約束是指其約束反力在虛位移上所作的功恒等于零的約束，例如光滑鉸結(jié)、剛性鏈桿等。在剛體中，因任何兩點(diǎn)間距離均保持不變，可以認(rèn)為任何兩點(diǎn)間有剛性鏈桿相連，該剛體是屬于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系。由若干個(gè)剛體用理想約束聯(lián)結(jié)起來的體系自然也是具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系。此外，作用于體系的外力通常包括荷載（主動(dòng)力）和約束反力，而對(duì)于任何約束，當(dāng)去掉該約束而以相應(yīng)的反力代替其對(duì)體系的作用時(shí)，其反力便可當(dāng)作荷載（主動(dòng)力）來看待。因此，虛功原理應(yīng)用于剛體系時(shí)又可表述為：剛體系處于平衡的充分必要條件是，對(duì)于任何虛位移，所有外力所作虛功總和為零。下一頁(yè)返回17.2變形體的虛功原理虛功原理應(yīng)用于變形體系時(shí)，外力虛功總和則不等于零。對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)，變形體系的虛功原理可表述為，變形體系處于平衡的充分必要條件是，對(duì)于任何虛位移，外力所作虛功總和等于各微段上的內(nèi)力在其變形上所作的虛功總和，或者簡(jiǎn)單地說，外力虛功等于變形虛功。為說明上述原理的正確性，這里著重從物理概念上來論證其必要性。圖17-1（a）表示桿系結(jié)構(gòu)在力系作用下處于平衡狀態(tài)，圖17-1（b）表示該結(jié)構(gòu)由于別的原因而產(chǎn)生的虛位移狀態(tài)，下面分別稱這兩個(gè)狀態(tài)為結(jié)構(gòu)的力狀態(tài)和位移狀態(tài)。這里，虛位移可以是與力狀態(tài)無(wú)關(guān)的其他任何原因（例如另一組力系、溫度變化、支座移動(dòng)等）引起的，甚至是假想的。但虛位移必須是微小的，并為支撐約束條件和變形連續(xù)條件所允許，即應(yīng)是所謂協(xié)調(diào)的位移。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.2變形體的虛功原理從圖的力狀態(tài)中取出一個(gè)微段來研究，作用在微段上的力除外力q外，還有兩側(cè)截面上的內(nèi)力即軸力、彎矩和剪力（注意，這些力對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)而言是內(nèi)力，對(duì)于所取微段而言則是外力，由于習(xí)慣，同時(shí)也為了與整個(gè)結(jié)構(gòu)的外力即荷載和支座反力相區(qū)別，這里仍稱這些力為內(nèi)力）。在圖的位移狀態(tài)中此微段由ABCD移到了A′B′C′D′，于是上述作用在微段上的各力將在相應(yīng)的位移上作虛功。把所有微段的虛功總加起來，便是整個(gè)結(jié)構(gòu)的虛功。下面按兩種不同的途徑來計(jì)算虛功。（1）按外力虛功與內(nèi)力虛功來計(jì)算。設(shè)作用于微段上所有各力所作虛功總和為dW總，它可以分為兩部分：一部分是外力所作的功dW外，另一部分是截面上的內(nèi)力所作的功dW內(nèi)，即 dW總=dW外+dW內(nèi)將其沿桿段積分并將各桿段積分總和起來，得整個(gè)結(jié)構(gòu)的虛功為

W總=W外+W內(nèi)上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.2變形體的虛功原理或簡(jiǎn)寫為W總=W外+W內(nèi)這里，W外便是整個(gè)結(jié)構(gòu)的所有外力（包括荷載和支座反力）在其相應(yīng)的虛位移上所作虛功的總和，即上面簡(jiǎn)稱的外力虛功；W內(nèi)則是所有微段截面上的內(nèi)力所作虛功的總和。由于任何兩相鄰微段的相鄰截面上的內(nèi)力互為作用力與反作用力，它們大小相等方向相反；由于虛位移是協(xié)調(diào)的，滿足變形連續(xù)條件，兩微段相鄰的截面總是緊貼在一起而具有相同的位移，因此每一對(duì)相鄰截面上的內(nèi)力所作的功總是大小相等正負(fù)號(hào)相反而相互抵消。由此可見，所有微段截面上內(nèi)力所作功的總和必然為零，即W內(nèi)=0于是整個(gè)結(jié)構(gòu)的總虛功便等于外力虛功。W總=W外上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.2變形體的虛功原理（2）按剛體虛功與變形體虛功來計(jì)算。另一方面，又可以把微段的虛位移分解為兩步，先只發(fā)生剛體位移（由ABCD移到A′B′C″D″），然后再發(fā)生變形位移（截面A′B′不動(dòng)，C″D″現(xiàn)移到C′D′）。作用在微段上的所有各力在剛體位移上所作虛功為dW剛，在變形位移上所作虛功為dW變，于是微段總的虛功又可寫成dW總=dW剛+dW變由于微段處于平衡狀態(tài)，故由剛體的虛功原理可知dW剛=0于是dW總=dW變對(duì)于全結(jié)構(gòu)有W總=W變即W總=W變上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.2變形體的虛功原理dW變=Ndu+Mdφ+Qγds此外，假若此微段上還有集中荷載或力偶荷載作用時(shí)，可以認(rèn)為它們作用在截面AB上，因而當(dāng)微段變形時(shí)它們并不作功?？傊瑑H考慮微段的變形而不考慮其剛體位移時(shí)，外力不作功，只有截面上的內(nèi)力作功。對(duì)于整個(gè)結(jié)構(gòu)有W變=Ndu+Mdφ+Qγds可見，W變是所有微段兩側(cè)截面上的內(nèi)力（對(duì)段而言是外力）在微段上所作虛功的總和，稱它為變形虛功（或內(nèi)力虛功、虛應(yīng)變能）。比較兩式可得 W外=W變 （17-1）這便是要證明的結(jié)論。為了書寫更加簡(jiǎn)明，現(xiàn)將外力虛功W外改用字母T表示，將變形虛功W變用W表示，于是公式可寫為T=W上式又稱為變形體系的虛功方程。對(duì)于平面桿系結(jié)構(gòu)，有

W=Ndu+Mdφ+Qγds

上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.2變形體的虛功原理故虛功方程為T=Ndu+Mdφ+Qγds注意上面的討論過程中，并沒有涉及材料的物理性質(zhì)，因此無(wú)論對(duì)于彈性、非彈性、線性、非線性的變形體系，虛功原理都適用。上述變形體系的虛功原理對(duì)剛體系自然也適用，由于剛體系發(fā)生虛位移時(shí)，各微段不產(chǎn)生任何變形，故變形虛功W=0，此時(shí)有T=0即外力虛功為零?？梢妱傮w系的虛功原理只是變形體系虛功原理的一個(gè)特例。虛功原理在具體應(yīng)用時(shí)有兩種方式：一種是對(duì)于給定的力狀態(tài)，另虛設(shè)一個(gè)位移狀態(tài)，利用虛功方程來求解力狀態(tài)中的未知力，這時(shí)的虛功原理可稱作虛位移原理。在前面的內(nèi)容中曾詳細(xì)討論過這種應(yīng)用方式，在以后用機(jī)動(dòng)法作影響線時(shí)也要用到這一方法。虛功原理的另一種應(yīng)用方式是對(duì)于給定的位移狀態(tài)，另虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)，利用虛功方程來求解位移狀態(tài)中的位移，這時(shí)的虛功原理又可稱作虛力原理，下面就要用這種方法來求結(jié)構(gòu)的

位移。上一頁(yè)返回17.3結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式現(xiàn)以圖17-2所示剛架為例來建立平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。設(shè)剛架由于荷載、支座移動(dòng)和溫度變化等因素而發(fā)生如圖中虛線所示的變形，這是結(jié)構(gòu)的實(shí)際位移狀態(tài)?，F(xiàn)要求該狀態(tài)中結(jié)構(gòu)上K點(diǎn)沿K-K方向的位移。應(yīng)用虛力原理，虛擬一個(gè)與所求位移相對(duì)應(yīng)的虛單位荷載，即在K點(diǎn)沿K-K方向施加一個(gè)虛單位力（在力的符號(hào)上面加一杠以表示虛擬），如圖17-2（b）所示。在該虛單位荷載作用下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生虛反力和虛內(nèi)力、和，它們構(gòu)成了一個(gè)虛擬力系，這就是虛擬的力狀態(tài)。圖17-2（b）所示的虛擬力系在圖17-2（a）所示的實(shí)際位移狀態(tài)上所作的外力虛功為下一頁(yè)返回17.3結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式內(nèi)力虛功為根據(jù)式（17-1）有得

上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.3結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式式（17-2）即為平面桿系結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。它既適用于靜定結(jié)構(gòu)，也適用于超靜定結(jié)構(gòu)；既適用于彈性材料，也適用于非彈性材料；既適用于荷載作用下的位移計(jì)算，也適用于由支座移動(dòng)、溫度改變等因素影響下的位移計(jì)算。這種計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的方法通常稱為單位荷載法。式（17-2）不僅可用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的線位移，也可以用來計(jì)算結(jié)構(gòu)任何性質(zhì)的位移（例如角位移和相對(duì)位移等），只是要求所設(shè)虛單位荷載必須與所求的位移相對(duì)應(yīng)，具體說明如下，見表17-1。（1）若欲求的位移是結(jié)構(gòu)上某一點(diǎn)沿某一方向的線位移，則虛單位荷載應(yīng)該是作用于該點(diǎn)沿該方向的單位集中力。（2）若欲求的位移是結(jié)構(gòu)上某兩點(diǎn)沿指定方向的相對(duì)位移，則虛單位荷載應(yīng)該是作用于該兩點(diǎn)沿指定方向的一對(duì)反向共線的單位集中力。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.3結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式（3）若欲求的位移是結(jié)構(gòu)上某一截面的角位移，則虛單位荷載應(yīng)該是作用于此截面上的單位集中力偶。（4）若欲求的位移是結(jié)構(gòu)上某兩個(gè)截面的相對(duì)角位移，則虛單位荷載應(yīng)該是作用于這兩個(gè)截面上的一對(duì)反向單位集中力偶。（5）若欲求的位移是結(jié)構(gòu)（如桁架）中某一桿件的角位移，則應(yīng)在該桿件的兩端沿垂直于桿件方向施加一個(gè)由大小相等、方向相反的集中力所構(gòu)成的虛單位力偶，每一集中力的大小等于桿件長(zhǎng)度的倒數(shù)。總之，虛擬的單位荷載必須是與所求廣義位移相應(yīng)的廣義虛單位荷載，如表17-1所示。應(yīng)該指出，虛單位荷載的指向可任意假設(shè)，若按式計(jì)算出來的結(jié)果是正的，則表示實(shí)際位移的方向與虛單位荷載的方向相同，否則相反。上一頁(yè)返回17.4荷載作用下得位移計(jì)算如果結(jié)構(gòu)僅受荷載作用，則計(jì)算位移的一般公式可寫為 （17-3）式中、、代表虛擬狀態(tài)中由于單位力所產(chǎn)生的虛擬內(nèi)力；、、是由實(shí)際狀態(tài)相應(yīng)內(nèi)力引起的微段變形。對(duì)線彈性結(jié)構(gòu)，結(jié)合圖17-3（a），由上冊(cè)公式可知微段彎曲變形 （17-4）微段軸向變形 （17-5）微段剪切變形 （17-6）下一頁(yè)返回17.4荷載作用下得位移計(jì)算式（17-4）～（17-6）中E為材料的彈性模量，G為材料的剪切彈性模量，I和A分別為桿件截面的慣性矩和面積，k為剪應(yīng)力不均勻分布系數(shù)，對(duì)矩形截面k=1.2，圓形截面k=1.1等。將微段變形代入式（17-3），可得 （17-7）式（17-7）即是平面桿系結(jié)構(gòu)在荷載作用下位移計(jì)算的一般表達(dá)式。式等號(hào)右方三項(xiàng)分別表示結(jié)構(gòu)的彎曲變形、軸向變形和剪切變形對(duì)位移的影響。在實(shí)際計(jì)算中，根據(jù)結(jié)構(gòu)的不同類型，位移計(jì)算的一般表達(dá)式尚可進(jìn)一步簡(jiǎn)化。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.4荷載作用下得位移計(jì)算17.4.1桁架的位移計(jì)算理想桁架在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，桁架的每一根桿件只有軸力作用，沒有彎矩和剪力。同一根桿件的軸力，NP及軸向剛度EA和桿長(zhǎng)l均為常數(shù)，故桁架的位移公式可由式改寫成 （17-8）例17-1試求圖17-3（a）所示對(duì)稱桁架結(jié)點(diǎn)D的豎向線位移DDV。圖中括號(hào)內(nèi)數(shù)值表示桿件的截面積，設(shè)E=21000kN/cm2。解：欲求D點(diǎn)的豎向線位移，在D點(diǎn)加一豎向單位力如圖17-3（b）所示，用結(jié)點(diǎn)法分別求出實(shí)際狀態(tài)下和單位力狀態(tài)下各桿軸力NP，根據(jù)桁架位移計(jì)算公式，列成表格計(jì)算，詳見表17-2。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.4荷載作用下得位移計(jì)算17.4.2梁及剛架的位移計(jì)算在一般情況下，梁和剛架的位移主要是由彎矩引起的，軸力和剪力的影響較小，可以略去不計(jì)，因此，計(jì)算位移的一般公式可簡(jiǎn)化為 （17-9）例17-2試求圖17-4（a）所示懸臂梁端點(diǎn)C的豎向線位移ΔAV。解：（1）首先列出實(shí)際狀態(tài)和虛設(shè)狀態(tài)的內(nèi)力方程，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為C點(diǎn)，x以向左為正，分段列出內(nèi)力方程如下。實(shí)際狀態(tài)如圖17-4（a）所示CB段 BA段NP=0 NP=0MP=0 MP=QP=0 QP=上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.4荷載作用下得位移計(jì)算虛設(shè)狀態(tài)CB段 BA段N=0N=0M=0 M=-xQ=0 Q=1（2）將兩個(gè)狀態(tài)內(nèi)力方程代入式（17-9），進(jìn)行分段積分。假設(shè)截面形狀為矩形，k=1.2上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.4荷載作用下得位移計(jì)算（3）討論?，F(xiàn)在計(jì)算剪切變形和彎曲變形的比值。由上述計(jì)算可知 ，設(shè) ，矩形截面A=bh，I= ，代入上式后得由此可見，剪切變形引起的位移與彎曲變形引起的位移比值將隨的平方而變化。如當(dāng)時(shí)，上例中，當(dāng)，。一般說來當(dāng)桿為細(xì)長(zhǎng)桿時(shí)，可以忽略剪切變形對(duì)位移的影響。軸向變形對(duì)結(jié)構(gòu)位移的影響也較小，或以忽略不計(jì)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.4荷載作用下得位移計(jì)算例17-3試求圖17-5（a）所示剛架C點(diǎn)的豎向位移DCV。各桿材料相同，截面I、A均為常數(shù)。解：（1）在C點(diǎn)加一豎向單位荷載作為單位力狀態(tài)，如圖17-5（b）所示，分別設(shè)各桿的坐標(biāo)如圖所示，寫出各桿的彎矩方程為CB段 BA段 （2）代入式（17-9）上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.4荷載作用下得位移計(jì)算以上討論了梁和剛架位移計(jì)算實(shí)用公式，這種直接由公式求解的方程稱為積分法，積分法的計(jì)算步驟如下。（1）分別列出實(shí)際狀態(tài)和虛設(shè)狀態(tài)下有關(guān)的內(nèi)力方程。注意坐標(biāo)原點(diǎn)的選取應(yīng)使內(nèi)力方程簡(jiǎn)單，便于積分。此外，兩個(gè)狀態(tài)中的內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)定應(yīng)一致（一般情況下可只列彎矩方程）。（2）將兩個(gè)狀態(tài)下的彎矩方程，代入位移計(jì)算實(shí)用公式中進(jìn)行積分。（3）計(jì)算結(jié)果若為正值，則實(shí)際位移方向與單位荷載的假設(shè)方向一致；若得負(fù)值，則實(shí)際位移的方向與單位荷載的假設(shè)方向相反。上一頁(yè)返回17.5圖乘法根據(jù)前面的知識(shí)，計(jì)算梁和剛架在荷載作用下的位移時(shí)，先要寫出和MP的方程式，然后代入式（17-9）。 （17-10）進(jìn)行積分運(yùn)算，這仍是比較麻煩的。但是，結(jié)構(gòu)的各桿段符合①桿軸為直線；②EI等于常數(shù)；③兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)是直線圖形，這三個(gè)條件則可用下述圖乘法來代替積分運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化計(jì)算工作。如圖17-6所示，設(shè)等截面直桿AB段上的兩個(gè)彎矩圖中，圖為一段直線，而MP圖為任意形狀。以桿軸為x軸，以圖的延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)并設(shè)置y軸，則積分式中的ds可用dx代替，EI可提到積分號(hào)外面，且因?yàn)橹本€變化，故有=tanα，且為常數(shù)，故上面的積分式（17-10）成為 （17-11）下一頁(yè)返回17.5圖乘法式中dω=MPdx，為MP圖中有陰影線的微分面積，故xdω為微分面積對(duì)y軸的靜矩。即為整個(gè)MP圖的面積對(duì)y軸的靜矩，根據(jù)合力矩定理，它應(yīng)等于MP圖的面積ω乘以其形心C到y(tǒng)軸的距離xC，即代入式（17-10）有 （17-12）這里是MP圖的形心C處所對(duì)應(yīng)的圖的豎標(biāo)。可見，上述積分式（17-11）等于一個(gè)彎矩圖的面積ω乘以其形心處所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)直線彎矩圖上的豎標(biāo)，再除以EI，這就稱為圖乘法。如果結(jié)構(gòu)上所有各桿段均可圖乘，則位移計(jì)算公式可寫為 （17-13）上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.5圖乘法根據(jù)上面的推證過程，可知在應(yīng)用圖乘法時(shí)應(yīng)注意下列各點(diǎn)。（1）必須符合上述前提條件；（2）豎標(biāo)只能取處直線圖形；（3）ω與若在桿件的同側(cè)則乘積取正號(hào)，異側(cè)則取負(fù)號(hào)?，F(xiàn)將常用的幾種簡(jiǎn)單圖形的面積及形心列入圖17-7中。在各拋物線圖形中，頂點(diǎn)是指其切線平行于底邊的點(diǎn)，而頂點(diǎn)在中點(diǎn)或端點(diǎn)者稱為標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形。當(dāng)圖形的面積或形心位置不便確定時(shí)，可以將它分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，將它們分別與另一圖形相乘，然后把所得結(jié)果疊加。如圖17-8～圖17-12所示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.5圖乘法對(duì)于在均布荷載作用下的任何一段直桿，其彎矩圖均可看成一個(gè)梯形與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形的疊加。因?yàn)檫@段直桿的彎矩圖，與圖17-10所示相應(yīng)的簡(jiǎn)支梁在兩端彎矩MA、MB和均布荷載q作用下的彎矩圖是相同的。這里還需注意，所謂彎矩圖的疊加，是指其豎標(biāo)的疊加，而不是原圖形狀的簡(jiǎn)單拼合。因此，疊加后的拋物線圖形的所有豎標(biāo)仍就為豎向的，而不是垂直于MA、MB連線的。這樣，疊加后的拋物線圖形與原標(biāo)準(zhǔn)拋物線在形狀上并不相同，但兩者任一處對(duì)應(yīng)的豎標(biāo)y和微段長(zhǎng)度dx仍相等，因而對(duì)應(yīng)的每一窄條微分面積仍相等。由此可知，兩圖形總的面積大小和形心位置仍然是相同的。理解了這個(gè)道理，對(duì)于復(fù)雜的彎矩圖形是有利的。此外，在應(yīng)用圖乘法中，當(dāng)yc所屬圖形不是一段直線而是由若干段直線組成時(shí)，或當(dāng)各桿段的截面不相等時(shí)，均應(yīng)分段圖乘，再進(jìn)行疊加。例如對(duì)于圖17-11應(yīng)為上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.5圖乘法對(duì)于圖17-12應(yīng)為例17-4試求圖17-13所示剛架C、D兩點(diǎn)的距離改變。設(shè)EI=常數(shù)。解：實(shí)際狀態(tài)的MP圖如圖所示。虛擬狀態(tài)應(yīng)是在C、D兩點(diǎn)沿其連線方向加一對(duì)指向相反的單位力，圖如圖17-14所示。圖乘時(shí)需分AC、AB、BD三段計(jì)算，但其中AC、BD兩段的MP=0，故圖乘結(jié)果為零，可不必計(jì)算。AB段的MP圖為一標(biāo)準(zhǔn)拋物線，圖為一水平直線，故應(yīng)以MP圖作面積ω而在圖上取豎標(biāo)yC，可得所得正號(hào)表示相對(duì)位移與所設(shè)一對(duì)單位力的指向相同，即C、D兩點(diǎn)是相互靠攏的。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.5圖乘法例17-5試求如圖17-14所示剛架A點(diǎn)的豎向位移ΔAy，并勾繪剛架的變形曲線。解：MP圖和圖分別如圖17-14（b）和17-14（c）所示。由于各桿的圖都是直線，故可任取哪個(gè)圖形作為面積?，F(xiàn)以圖作面積ω而在MP圖上取豎標(biāo)yC，則有勾繪變形曲線時(shí)，根據(jù)實(shí)際狀態(tài)的彎矩圖MP，如17-14（b）所示，可判定桿件彎曲后的凹凸方向。例如DK段應(yīng)向右凸，KC段遇向左凸，而在彎矩為零的K點(diǎn)處有一反彎點(diǎn)；CB和AB段遇分別向上和向右凸。再根據(jù)支座處的位移邊界條件和結(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)條件，便可確定變形曲線的位置。例如K為固定端，其線位移與轉(zhuǎn)角均為零。C、B為剛結(jié)點(diǎn)，在該處各桿端的夾角應(yīng)保持為直角。再根據(jù)已求出的ΔAy系向下，以及忽略各桿的軸向變形，便可繪出變形曲線的大致輪廓如圖17-14（d）所示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.5圖乘法例17-6試求如圖17-15所示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移ΔCy。梁的EI=常數(shù)。解：MP、圖分別如圖b、c所示。BC段的MP圖是標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線；AB段的MP圖較復(fù)雜，但可將其分解為一個(gè)三角形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形。于是由圖乘法得上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.5圖乘法例17-7如圖17-16所示為一組合結(jié)構(gòu)，鏈桿CD、BD的抗拉（壓）剛度為E1A1，受彎桿件AC的抗彎剛度為E2I2，在結(jié)點(diǎn)D有集中荷載P作用，試求D點(diǎn)豎向位移ΔDy。解：計(jì)算組合結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移時(shí)，對(duì)鏈桿只有軸力影響，對(duì)受彎桿只計(jì)算彎矩影響?，F(xiàn)分別求出NP、MP及、如圖17-16所示，根據(jù)式（17-12）有上一頁(yè)返回17.6溫度作用時(shí)的位移計(jì)算對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)而言，除荷載外，其他外因溫度變化、支座移動(dòng)、制造誤差、材料收縮等，都不引起內(nèi)力。溫度變化時(shí)，靜定結(jié)構(gòu)雖然不產(chǎn)生內(nèi)力，但由于材料的熱脹冷縮，卻使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形的位移。如圖17-17（a）所示的結(jié)構(gòu)，研究其因溫度改變時(shí)的變形和位移情況。設(shè)結(jié)構(gòu)外緣溫度升高t1℃，內(nèi)緣溫度升高t2℃，且t2＞t1，由此引起結(jié)構(gòu)的變形如圖17-17（a）中虛線所示。現(xiàn)在要求計(jì)算該結(jié)構(gòu)上任一點(diǎn)沿任何方向的位移，例如求點(diǎn)i的豎向位移Δit。這仍然用虛功原理來求解，實(shí)際變形狀態(tài)和虛設(shè)力狀態(tài)分別如圖17-17（a）、（b）所示。先研究實(shí)際變形狀態(tài)的溫度引起的變形情況。從結(jié)構(gòu)中截取長(zhǎng)度為ds的微段，其上、下邊緣分別伸長(zhǎng)at1ds、at2ds。a表示材料的線膨脹系數(shù)（即溫度升高1℃時(shí)的線應(yīng)變值）。為簡(jiǎn)化計(jì)算，假定溫度沿桿件截面高度是按直線規(guī)律變化，這樣截面在溫度變化過程中仍保持為平面。下一頁(yè)返回17.6溫度作用時(shí)的位移計(jì)算當(dāng)桿件截面對(duì)稱于形心軸時(shí)，即h1=h2=，則形心軸處的溫度為式中，t0為平均溫度。當(dāng)桿件截面不對(duì)稱于形心軸時(shí)，即h1≠h2，則由幾何關(guān)系求得微段ds在軸線處的溫度為從圖17-17（a）可求得溫度變化時(shí)微段的變形，它可以看作是一個(gè)均勻的伸長(zhǎng)dut和截面的轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為dφt的疊加，其中微段的均勻伸長(zhǎng)可由桿軸處的溫度計(jì)算得到dut=αt0ds微段兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為dφt=上式中，Δt=t2-t1，為桿件上下邊緣溫度變化之差。另外，在溫度變化時(shí)并不引起微段的剪切變形，即dVt=0。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.6溫度作用時(shí)的位移計(jì)算下面計(jì)算結(jié)構(gòu)i點(diǎn)處的豎向位移，取虛設(shè)力狀態(tài)如圖（b）所示，截取微段ds兩側(cè)有內(nèi)力，它們?cè)趯?shí)際狀態(tài)的相應(yīng)微段上作內(nèi)力虛功，根據(jù)虛功原理得到即

（17-14）式中，為圖的面積，為圖的面積。式（17-14）就是溫度變化引起結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算公式。應(yīng)用時(shí)等式中的正負(fù)號(hào)（±）的確定，可按下述辦法來確定，即比較桿件由溫度產(chǎn)生的實(shí)際變形與所加的虛設(shè)單位荷載引起的變形，若兩者變形方向相同，則取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.6溫度作用時(shí)的位移計(jì)算對(duì)于梁和剛架，在計(jì)算溫度變化所引起的位移時(shí)，一般不能略去軸向變形的影響。對(duì)于桁架，在溫度變化時(shí)，其位移計(jì)算公式可簡(jiǎn)化為桁架因制造誤差所引起的位移計(jì)算與溫度變化時(shí)的計(jì)算相似。設(shè)桁架中某些桿件長(zhǎng)度有制造誤差，則其位移計(jì)算公式為例17-8如圖17-18（a）所示剛架外側(cè)溫度升高10℃，內(nèi)側(cè)升高20℃，試求C點(diǎn)的豎向位移ΔCVt各桿均為20a，工字鋼l=2m，α=1×10-5。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.6溫度作用時(shí)的位移計(jì)算解：在剛架C點(diǎn)加一豎向單位荷載（如圖17-18（b）所示），分別繪出虛設(shè)力狀態(tài)的圖和圖如圖17-18（c）、17-18（d）所示。圖中的虛線分別為實(shí)際狀態(tài)和虛設(shè)力狀態(tài)的變形?！?，℃將上述數(shù)據(jù)代入式（17-14）。其中，關(guān)于正負(fù)號(hào)選取方法如下，如對(duì)AB標(biāo)明而言，t0因?yàn)檎?，使桿件伸長(zhǎng)，而引起桿件為壓力，使桿件縮短，故兩者的變形相反，則式中取負(fù)號(hào)；從彎曲變形來講，因t2＞t1，溫度引起桿件彎曲向內(nèi)側(cè)凸，而引起的彎矩，使桿件外側(cè)受拉，變形凸向外側(cè)，兩者也不一致，故式中也應(yīng)取負(fù)號(hào)。 （17-15）已知，α=1×10-5，l=200cm，h=20cm，將其代入式（17-14）。計(jì)算結(jié)構(gòu)為負(fù)值，表明C點(diǎn)的豎向位移與虛設(shè)單位荷載方向相反，即位移向上。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.6溫度作用時(shí)的位移計(jì)算例17-9如圖17-19（a）所示桁架的AB桿制造時(shí)比設(shè)計(jì)長(zhǎng)度短了0.5cm，試求由此引起C點(diǎn)的豎向位移ΔCV。解：在實(shí)際狀態(tài)中只有AB桿做短Δl=-0.5cm，其余各桿件Δl=0（如圖17-19（a）所示）。虛設(shè)力狀態(tài)在C點(diǎn)加一豎向單位荷載作用下各桿的內(nèi)力如圖17-19（a）所示。因此內(nèi)力虛功只有AB桿一項(xiàng)。于是由式（17-13）得計(jì)算結(jié)構(gòu)為負(fù)值，表明C點(diǎn)的豎向位移與虛設(shè)單位荷載方向相反，即位移向上。上一頁(yè)返回17.7互等定理本節(jié)介紹線彈性結(jié)構(gòu)常用的三個(gè)普遍定理——功的互等定理、位移互等定理和反力互等定理。其中最基本的是功的互等定理，位移互等定理和反力互等定理都可以由功的互等定理導(dǎo)出。在以后超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算中，要引用這些互等定理。17-7-1功的互等定理如圖17-20（a）、（b）所示為同一結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)，分別作用兩組外力F1和F2。在狀態(tài)Ⅰ中，設(shè)由F1引起的內(nèi)力為FN1、FS1、M1，由F1引起的F2作用點(diǎn)沿F2方向的位移為Δ21；在狀態(tài)Ⅱ中，設(shè)由F2引起的內(nèi)力為FN2、FS2、M2，由F2引起的F1作用點(diǎn)沿F1方向的位移為Δ12。若以表示狀態(tài)Ⅰ的外力在狀態(tài)Ⅱ的相應(yīng)位移上所作的虛功，則根據(jù)虛功原理可寫出虛功方程同理，若以若表示狀態(tài)Ⅱ的外力在狀態(tài)Ⅰ的相應(yīng)位移上所作的虛功，可寫出虛功方程下一頁(yè)返回17.7互等定理以上兩式的右邊完全相同，故有 = 或?qū)憺檫@就是功的互等定理，即第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的虛功總和，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的虛功總和。這里，表示全部外力所作的虛功；位移Δij有兩個(gè)下標(biāo)，第一個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生位移的地點(diǎn)，第二個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生位移的原因。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.7互等定理7.7.2位移互等定理位移互等定理是功的互等定理的一個(gè)特殊情形，即在兩種狀態(tài)中分別作用單位力時(shí)，在單位力的作用點(diǎn)沿單位力方向的位移之間的互等關(guān)系。在圖所示的兩種狀態(tài)中，結(jié)構(gòu)都只受一個(gè)單位力F1=F2=1的作用。設(shè)用δ12表示F2=1引起的F1作用點(diǎn)沿F1方向的位移；用δ21表示由F1=1引起的F2作用點(diǎn)沿F2方向的位移，由功的互等定理可得F1δ12=F2δ21因F1=F2=1，故有 δ12=δ21這就量位移互等定理，即在第一狀態(tài)中由第一個(gè)單位力引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿第二個(gè)單位力方向的位移δ12，等于第二狀態(tài)中由第二個(gè)單位力引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿第一個(gè)單位力方向的位移δ21。這里，單位力可以是廣義力，而位移則是相應(yīng)的廣義位移。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.7互等定理7.7.3反力互等定理反力互等定理是功的互等定理的另一個(gè)特殊情形，它表示超靜定結(jié)構(gòu)在兩個(gè)支座分別產(chǎn)生單位位移時(shí)，在兩種狀態(tài)中反力之間的互等關(guān)系。如圖17-24所示為同一超靜定結(jié)構(gòu)的兩個(gè)支座分別發(fā)生單位位移的兩種狀態(tài)。如圖17-24（a）所示表示支座1發(fā)生單位位移Δ1=1，在支座2處引起的反力r21；如圖17-24（b）所示表示支座2發(fā)生單位位移Δ2=1，在支座1處引起的反力為r12。其他支座反力未在圖中繪出，因?yàn)樗鼈兯鶎?duì)應(yīng)的另一狀態(tài)的位移為零，不作虛功。根據(jù)功的互等定理可得R12=r21這就是反力互等定理，即對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)，在第一狀態(tài)中由支座1的單位位移引起的支座2處的反力r21，等于第二狀態(tài)中由支座2的單位位移引起的支座1處的反力r21。這里，反力rij有兩個(gè)下標(biāo)，第一個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生反力的地點(diǎn)，第二個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生反力的原因。上一頁(yè)下一頁(yè)返回17.7互等定理同樣，這里的支座可以換成別的約束，支座位移可以換成該約束相應(yīng)的廣義位移，支座反力可以換成該約束相應(yīng)的廣義力。如圖17-25所示為反力互等的例子。這里，反力r12和反力矩r21在數(shù)值上是相等的。上一頁(yè)返回總結(jié)與討論結(jié)構(gòu)位移計(jì)算方法歸納起來有兩類，一是幾何物理方法，它是以桿件變形關(guān)系為基礎(chǔ)，例如計(jì)算簡(jiǎn)支梁撓度、轉(zhuǎn)角的積分法；另一類是以功能原理為基礎(chǔ)，例如以虛功原理為基礎(chǔ)導(dǎo)出的單位荷載法。本章學(xué)習(xí)的是后者，前者在上冊(cè)中已作了詳細(xì)的介紹。結(jié)構(gòu)在荷載作用下，或者是支座移動(dòng)、溫度變化、材料收縮和制造安裝誤差等其他因素下，要產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，從而導(dǎo)致桿件尺寸和形狀的改變，也就是發(fā)生了變形。變形能使結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的位置發(fā)生相應(yīng)的改變，這種由于在外荷載作用下所引起的結(jié)構(gòu)各點(diǎn)位置的改變就是結(jié)構(gòu)的位移。結(jié)構(gòu)的位移包括線位移和角位移兩種情形。下一頁(yè)返回總結(jié)與討論結(jié)構(gòu)位移計(jì)算具有重要的意義，它的主要體現(xiàn)在以下作用有幾個(gè)方面，掌握結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算原理和計(jì)算方法，是本課程學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一。結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的結(jié)論可以用來校核結(jié)構(gòu)的剛度。為保證結(jié)構(gòu)在使用過程中不致發(fā)生過大的變形而影響結(jié)構(gòu)的正常使用。例如建筑結(jié)構(gòu)中樓面主梁的最大撓度一般不可超過其跨度的1/400；工業(yè)廠房中的吊車梁的最大撓度不可超過跨度的1/600～1/500。又如，當(dāng)火車通過橋梁時(shí)，假如橋梁撓度太大，將會(huì)導(dǎo)致鐵路軌道不平順，引起較大的沖擊和振動(dòng)，甚至影響列車運(yùn)行。按規(guī)定，在靜荷載作用下橋梁的最大撓度不可超過其跨度的1/900～1/700。上一頁(yè)下一頁(yè)返回總結(jié)與討論結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的作用之一是指導(dǎo)結(jié)構(gòu)的制作和施工安裝架設(shè)。某些結(jié)構(gòu)在制作、施工安裝架設(shè)等過程中需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)可能發(fā)生的位移，以便采用必要的防范和加固措施，在模板工程和鋼筋工程、混凝土工程中預(yù)先設(shè)好預(yù)拱度。例如圖17-26（a）所示桁架，在屋蓋自重作用下，其下弦各結(jié)點(diǎn)將產(chǎn)生虛線所示的豎向位移，結(jié)點(diǎn)C的豎向位移最大。為了減少桁架在使用時(shí)下弦各結(jié)點(diǎn)的豎向位移，在制作時(shí)要將下弦部分按“建筑起拱”的做法下料制作，（如圖17-26（b）所示），當(dāng)拼裝后結(jié)點(diǎn)C′恰好落在C點(diǎn)的水平位置上。確定“建筑起拱”必須計(jì)算桁架下弦結(jié)點(diǎn)C的豎向位移，以便確定起拱的高度。因?yàn)槌o定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算單憑靜力平衡條件是不能完全確定的，還必須考慮變形協(xié)調(diào)條件才能求解，建立變形協(xié)調(diào)條件方程就需要進(jìn)行結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算，在下一章的學(xué)習(xí)中就會(huì)用到這一點(diǎn)。另外，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算和穩(wěn)定性計(jì)算均要用到結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算。所以，結(jié)構(gòu)位移計(jì)算在結(jié)構(gòu)分析和實(shí)踐上都具有重要的意義。上一頁(yè)返回習(xí)題17-1試用積分法求如習(xí)題17-1圖所示剛架B點(diǎn)的水平位移。EI=常數(shù)。17-2如習(xí)題17-2圖所示曲梁為圓弧形，EI=常數(shù)。試求B點(diǎn)的水平位移。17-3如習(xí)題17-3圖所示曲梁為圓弧形，EI=常數(shù)。試求B點(diǎn)的水平位移。17-4如習(xí)題17-4圖所示桁架各桿截面均為A=2×10-3m2，E=210GPa，F(xiàn)=40kN，d=2m。試求：（1）C點(diǎn)的豎向位移；（2）角ADC的改變量。17-5下列各圖如習(xí)題17-5圖所示圖乘法是否正確？如不正確應(yīng)如何改正？17-6試用圖乘法求指定位移（求最大撓度）。17-7試用圖乘法求指定位移（求ΔCY）。17-8試用圖乘法求指定位移（求ΔB）。下一頁(yè)返回習(xí)題17-9試用圖乘法求指定位移（求ΔCy）。17-10試用圖乘法求指定位移（求C、D兩點(diǎn)的距離改變）。17-11試用圖乘法求指定位移（求、、DD，并勾繪變形曲線）。17-12試用圖乘法求指定位移（求鉸C左右兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角及CD兩點(diǎn)距離改變，并勾繪變形曲線）。17-13試用圖乘法求指定位移（求AB兩點(diǎn)相對(duì)水平位移，并勾繪變形曲線）。17-14如習(xí)題17-14圖所示梁EI=常數(shù)，在荷載F作用下，已測(cè)得截面A的角位移為0.001rad（逆時(shí)針）。試求C點(diǎn)的豎向線位移。17-15如習(xí)題17-15圖所示組合結(jié)構(gòu)橫梁AD為20b工字鋼，I=2500cm4，拉桿BC為直徑20mm的圓鋼，材料的彈性模量E=210GPa，q=5kN/m，a=2m。試求D點(diǎn)豎向的位移。上一頁(yè)下一頁(yè)返回習(xí)題17-16結(jié)構(gòu)的溫度改變?nèi)缌?xí)題17-16圖所示，試求C點(diǎn)的豎向位移。各桿截面相同且對(duì)稱于形心軸，其厚度為h=l/10，材料的線膨脹系數(shù)為α。17-17如習(xí)題17-17圖所示等截面簡(jiǎn)支梁上邊溫度降低t，下邊溫度升高t，同時(shí)兩端有一對(duì)力偶M作用。若欲使梁端轉(zhuǎn)角為零，M應(yīng)為多少？17-18在如習(xí)題17-1