建筑力學課件第十七章

第十七章結構位移計算第一節(jié)彈性桿件的變形與應變能密度計算第二節(jié)變形體的虛功原理第三節(jié)結構位移計算的一般公式第四節(jié)荷載作用下的位移計算第五節(jié)圖乘法第六節(jié)溫度作用時的位移計算第七節(jié)互等定理總結與討論習題17.1彈性桿件的變形與應變能密度計算討論彈性桿件的變形，首先要了解彈性的定義。關于彈性的含義，需要說明兩點。第一，彈性體的應力應變關系應當是單值函數(shù)關系，應力值與應變值之間具有一一對應關系，某個應力效應作用下，桿件所對應的該應變值為唯一定值。如果物體在卸載時的變形特性與加載時的不同，則應力與應變之間已不是單值函數(shù)關系，這種非彈性情況本教材不予考慮。第二，彈性體的應力應變關系可以是線性的或非線性的，前者稱為線彈性體，應力應變的比值是個常數(shù)，即前面已經(jīng)學到的彈性模量E，剪切模量G等。而后者稱為非線彈性體。返回17.2變形體的虛功原理前面已經(jīng)討論過質點系的虛位移原理（或稱為虛功原理），它表述為：具有理想約束的質點系在某一位置處于平衡的充分必要條件是對于任何虛位移，作用于質點系的主動力所作的虛功總和為零。所謂虛位移是指為約束條件所允許的任意微小位移。理想約束是指其約束反力在虛位移上所作的功恒等于零的約束，例如光滑鉸結、剛性鏈桿等。在剛體中，因任何兩點間距離均保持不變，可以認為任何兩點間有剛性鏈桿相連，該剛體是屬于具有理想約束的質點系。由若干個剛體用理想約束聯(lián)結起來的體系自然也是具有理想約束的質點系。此外，作用于體系的外力通常包括荷載（主動力）和約束反力，而對于任何約束，當去掉該約束而以相應的反力代替其對體系的作用時，其反力便可當作荷載（主動力）來看待。因此，虛功原理應用于剛體系時又可表述為：剛體系處于平衡的充分必要條件是，對于任何虛位移，所有外力所作虛功總和為零。下一頁返回17.2變形體的虛功原理虛功原理應用于變形體系時，外力虛功總和則不等于零。對于桿系結構，變形體系的虛功原理可表述為，變形體系處于平衡的充分必要條件是，對于任何虛位移，外力所作虛功總和等于各微段上的內力在其變形上所作的虛功總和，或者簡單地說，外力虛功等于變形虛功。為說明上述原理的正確性，這里著重從物理概念上來論證其必要性。圖17-1（a）表示桿系結構在力系作用下處于平衡狀態(tài)，圖17-1（b）表示該結構由于別的原因而產(chǎn)生的虛位移狀態(tài)，下面分別稱這兩個狀態(tài)為結構的力狀態(tài)和位移狀態(tài)。這里，虛位移可以是與力狀態(tài)無關的其他任何原因（例如另一組力系、溫度變化、支座移動等）引起的，甚至是假想的。但虛位移必須是微小的，并為支撐約束條件和變形連續(xù)條件所允許，即應是所謂協(xié)調的位移。上一頁下一頁返回17.2變形體的虛功原理從圖的力狀態(tài)中取出一個微段來研究，作用在微段上的力除外力q外，還有兩側截面上的內力即軸力、彎矩和剪力（注意，這些力對整個結構而言是內力，對于所取微段而言則是外力，由于習慣，同時也為了與整個結構的外力即荷載和支座反力相區(qū)別，這里仍稱這些力為內力）。在圖的位移狀態(tài)中此微段由ABCD移到了A′B′C′D′，于是上述作用在微段上的各力將在相應的位移上作虛功。把所有微段的虛功總加起來，便是整個結構的虛功。下面按兩種不同的途徑來計算虛功。（1）按外力虛功與內力虛功來計算。設作用于微段上所有各力所作虛功總和為dW總，它可以分為兩部分：一部分是外力所作的功dW外，另一部分是截面上的內力所作的功dW內，即 dW總=dW外+dW內將其沿桿段積分并將各桿段積分總和起來，得整個結構的虛功為

W總=W外+W內上一頁下一頁返回17.2變形體的虛功原理或簡寫為W總=W外+W內這里，W外便是整個結構的所有外力（包括荷載和支座反力）在其相應的虛位移上所作虛功的總和，即上面簡稱的外力虛功；W內則是所有微段截面上的內力所作虛功的總和。由于任何兩相鄰微段的相鄰截面上的內力互為作用力與反作用力，它們大小相等方向相反；由于虛位移是協(xié)調的，滿足變形連續(xù)條件，兩微段相鄰的截面總是緊貼在一起而具有相同的位移，因此每一對相鄰截面上的內力所作的功總是大小相等正負號相反而相互抵消。由此可見，所有微段截面上內力所作功的總和必然為零，即W內=0于是整個結構的總虛功便等于外力虛功。W總=W外上一頁下一頁返回17.2變形體的虛功原理（2）按剛體虛功與變形體虛功來計算。另一方面，又可以把微段的虛位移分解為兩步，先只發(fā)生剛體位移（由ABCD移到A′B′C″D″），然后再發(fā)生變形位移（截面A′B′不動，C″D″現(xiàn)移到C′D′）。作用在微段上的所有各力在剛體位移上所作虛功為dW剛，在變形位移上所作虛功為dW變，于是微段總的虛功又可寫成dW總=dW剛+dW變由于微段處于平衡狀態(tài)，故由剛體的虛功原理可知dW剛=0于是dW總=dW變對于全結構有W總=W變即W總=W變上一頁下一頁返回17.2變形體的虛功原理dW變=Ndu+Mdφ+Qγds此外，假若此微段上還有集中荷載或力偶荷載作用時，可以認為它們作用在截面AB上，因而當微段變形時它們并不作功?？傊?，僅考慮微段的變形而不考慮其剛體位移時，外力不作功，只有截面上的內力作功。對于整個結構有W變=Ndu+Mdφ+Qγds可見，W變是所有微段兩側截面上的內力（對段而言是外力）在微段上所作虛功的總和，稱它為變形虛功（或內力虛功、虛應變能）。比較兩式可得 W外=W變 （17-1）這便是要證明的結論。為了書寫更加簡明，現(xiàn)將外力虛功W外改用字母T表示，將變形虛功W變用W表示，于是公式可寫為T=W上式又稱為變形體系的虛功方程。對于平面桿系結構，有

W=Ndu+Mdφ+Qγds

上一頁下一頁返回17.2變形體的虛功原理故虛功方程為T=Ndu+Mdφ+Qγds注意上面的討論過程中，并沒有涉及材料的物理性質，因此無論對于彈性、非彈性、線性、非線性的變形體系，虛功原理都適用。上述變形體系的虛功原理對剛體系自然也適用，由于剛體系發(fā)生虛位移時，各微段不產(chǎn)生任何變形，故變形虛功W=0，此時有T=0即外力虛功為零。可見剛體系的虛功原理只是變形體系虛功原理的一個特例。虛功原理在具體應用時有兩種方式：一種是對于給定的力狀態(tài)，另虛設一個位移狀態(tài)，利用虛功方程來求解力狀態(tài)中的未知力，這時的虛功原理可稱作虛位移原理。在前面的內容中曾詳細討論過這種應用方式，在以后用機動法作影響線時也要用到這一方法。虛功原理的另一種應用方式是對于給定的位移狀態(tài)，另虛設一個力狀態(tài)，利用虛功方程來求解位移狀態(tài)中的位移，這時的虛功原理又可稱作虛力原理，下面就要用這種方法來求結構的

位移。上一頁返回17.3結構位移計算的一般公式現(xiàn)以圖17-2所示剛架為例來建立平面桿件結構位移計算的一般公式。設剛架由于荷載、支座移動和溫度變化等因素而發(fā)生如圖中虛線所示的變形，這是結構的實際位移狀態(tài)?，F(xiàn)要求該狀態(tài)中結構上K點沿K-K方向的位移。應用虛力原理，虛擬一個與所求位移相對應的虛單位荷載，即在K點沿K-K方向施加一個虛單位力（在力的符號上面加一杠以表示虛擬），如圖17-2（b）所示。在該虛單位荷載作用下，結構將產(chǎn)生虛反力和虛內力、和，它們構成了一個虛擬力系，這就是虛擬的力狀態(tài)。圖17-2（b）所示的虛擬力系在圖17-2（a）所示的實際位移狀態(tài)上所作的外力虛功為下一頁返回17.3結構位移計算的一般公式內力虛功為根據(jù)式（17-1）有得

上一頁下一頁返回17.3結構位移計算的一般公式式（17-2）即為平面桿系結構位移計算的一般公式。它既適用于靜定結構，也適用于超靜定結構；既適用于彈性材料，也適用于非彈性材料；既適用于荷載作用下的位移計算，也適用于由支座移動、溫度改變等因素影響下的位移計算。這種計算結構位移的方法通常稱為單位荷載法。式（17-2）不僅可用于計算結構的線位移，也可以用來計算結構任何性質的位移（例如角位移和相對位移等），只是要求所設虛單位荷載必須與所求的位移相對應，具體說明如下，見表17-1。（1）若欲求的位移是結構上某一點沿某一方向的線位移，則虛單位荷載應該是作用于該點沿該方向的單位集中力。（2）若欲求的位移是結構上某兩點沿指定方向的相對位移，則虛單位荷載應該是作用于該兩點沿指定方向的一對反向共線的單位集中力。上一頁下一頁返回17.3結構位移計算的一般公式（3）若欲求的位移是結構上某一截面的角位移，則虛單位荷載應該是作用于此截面上的單位集中力偶。（4）若欲求的位移是結構上某兩個截面的相對角位移，則虛單位荷載應該是作用于這兩個截面上的一對反向單位集中力偶。（5）若欲求的位移是結構（如桁架）中某一桿件的角位移，則應在該桿件的兩端沿垂直于桿件方向施加一個由大小相等、方向相反的集中力所構成的虛單位力偶，每一集中力的大小等于桿件長度的倒數(shù)。總之，虛擬的單位荷載必須是與所求廣義位移相應的廣義虛單位荷載，如表17-1所示。應該指出，虛單位荷載的指向可任意假設，若按式計算出來的結果是正的，則表示實際位移的方向與虛單位荷載的方向相同，否則相反。上一頁返回17.4荷載作用下得位移計算如果結構僅受荷載作用，則計算位移的一般公式可寫為 （17-3）式中、、代表虛擬狀態(tài)中由于單位力所產(chǎn)生的虛擬內力；、、是由實際狀態(tài)相應內力引起的微段變形。對線彈性結構，結合圖17-3（a），由上冊公式可知微段彎曲變形 （17-4）微段軸向變形 （17-5）微段剪切變形 （17-6）下一頁返回17.4荷載作用下得位移計算式（17-4）～（17-6）中E為材料的彈性模量，G為材料的剪切彈性模量，I和A分別為桿件截面的慣性矩和面積，k為剪應力不均勻分布系數(shù)，對矩形截面k=1.2，圓形截面k=1.1等。將微段變形代入式（17-3），可得 （17-7）式（17-7）即是平面桿系結構在荷載作用下位移計算的一般表達式。式等號右方三項分別表示結構的彎曲變形、軸向變形和剪切變形對位移的影響。在實際計算中，根據(jù)結構的不同類型，位移計算的一般表達式尚可進一步簡化。上一頁下一頁返回17.4荷載作用下得位移計算17.4.1桁架的位移計算理想桁架在結點荷載作用下，桁架的每一根桿件只有軸力作用，沒有彎矩和剪力。同一根桿件的軸力，NP及軸向剛度EA和桿長l均為常數(shù)，故桁架的位移公式可由式改寫成 （17-8）例17-1試求圖17-3（a）所示對稱桁架結點D的豎向線位移DDV。圖中括號內數(shù)值表示桿件的截面積，設E=21000kN/cm2。解：欲求D點的豎向線位移，在D點加一豎向單位力如圖17-3（b）所示，用結點法分別求出實際狀態(tài)下和單位力狀態(tài)下各桿軸力NP，根據(jù)桁架位移計算公式，列成表格計算，詳見表17-2。上一頁下一頁返回17.4荷載作用下得位移計算17.4.2梁及剛架的位移計算在一般情況下，梁和剛架的位移主要是由彎矩引起的，軸力和剪力的影響較小，可以略去不計，因此，計算位移的一般公式可簡化為 （17-9）例17-2試求圖17-4（a）所示懸臂梁端點C的豎向線位移ΔAV。解：（1）首先列出實際狀態(tài)和虛設狀態(tài)的內力方程，設坐標原點為C點，x以向左為正，分段列出內力方程如下。實際狀態(tài)如圖17-4（a）所示CB段 BA段NP=0 NP=0MP=0 MP=QP=0 QP=上一頁下一頁返回17.4荷載作用下得位移計算虛設狀態(tài)CB段 BA段N=0N=0M=0 M=-xQ=0 Q=1（2）將兩個狀態(tài)內力方程代入式（17-9），進行分段積分。假設截面形狀為矩形，k=1.2上一頁下一頁返回17.4荷載作用下得位移計算（3）討論?，F(xiàn)在計算剪切變形和彎曲變形的比值。由上述計算可知 ，設 ，矩形截面A=bh，I= ，代入上式后得由此可見，剪切變形引起的位移與彎曲變形引起的位移比值將隨的平方而變化。如當時，上例中，當，。一般說來當桿為細長桿時，可以忽略剪切變形對位移的影響。軸向變形對結構位移的影響也較小，或以忽略不計。上一頁下一頁返回17.4荷載作用下得位移計算例17-3試求圖17-5（a）所示剛架C點的豎向位移DCV。各桿材料相同，截面I、A均為常數(shù)。解：（1）在C點加一豎向單位荷載作為單位力狀態(tài)，如圖17-5（b）所示，分別設各桿的坐標如圖所示，寫出各桿的彎矩方程為CB段 BA段 （2）代入式（17-9）上一頁下一頁返回17.4荷載作用下得位移計算以上討論了梁和剛架位移計算實用公式，這種直接由公式求解的方程稱為積分法，積分法的計算步驟如下。（1）分別列出實際狀態(tài)和虛設狀態(tài)下有關的內力方程。注意坐標原點的選取應使內力方程簡單，便于積分。此外，兩個狀態(tài)中的內力正負號規(guī)定應一致（一般情況下可只列彎矩方程）。（2）將兩個狀態(tài)下的彎矩方程，代入位移計算實用公式中進行積分。（3）計算結果若為正值，則實際位移方向與單位荷載的假設方向一致；若得負值，則實際位移的方向與單位荷載的假設方向相反。上一頁返回17.5圖乘法根據(jù)前面的知識，計算梁和剛架在荷載作用下的位移時，先要寫出和MP的方程式，然后代入式（17-9）。 （17-10）進行積分運算，這仍是比較麻煩的。但是，結構的各桿段符合①桿軸為直線；②EI等于常數(shù)；③兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形，這三個條件則可用下述圖乘法來代替積分運算，從而簡化計算工作。如圖17-6所示，設等截面直桿AB段上的兩個彎矩圖中，圖為一段直線，而MP圖為任意形狀。以桿軸為x軸，以圖的延長線與x軸的交點為原點并設置y軸，則積分式中的ds可用dx代替，EI可提到積分號外面，且因為直線變化，故有=tanα，且為常數(shù)，故上面的積分式（17-10）成為 （17-11）下一頁返回17.5圖乘法式中dω=MPdx，為MP圖中有陰影線的微分面積，故xdω為微分面積對y軸的靜矩。即為整個MP圖的面積對y軸的靜矩，根據(jù)合力矩定理，它應等于MP圖的面積ω乘以其形心C到y(tǒng)軸的距離xC，即代入式（17-10）有 （17-12）這里是MP圖的形心C處所對應的圖的豎標?？梢姡鲜龇e分式（17-11）等于一個彎矩圖的面積ω乘以其形心處所對應的另一個直線彎矩圖上的豎標，再除以EI，這就稱為圖乘法。如果結構上所有各桿段均可圖乘，則位移計算公式可寫為 （17-13）上一頁下一頁返回17.5圖乘法根據(jù)上面的推證過程，可知在應用圖乘法時應注意下列各點。（1）必須符合上述前提條件；（2）豎標只能取處直線圖形；（3）ω與若在桿件的同側則乘積取正號，異側則取負號?，F(xiàn)將常用的幾種簡單圖形的面積及形心列入圖17-7中。在各拋物線圖形中，頂點是指其切線平行于底邊的點，而頂點在中點或端點者稱為標準拋物線圖形。當圖形的面積或形心位置不便確定時，可以將它分解為幾個簡單的圖形，將它們分別與另一圖形相乘，然后把所得結果疊加。如圖17-8～圖17-12所示。上一頁下一頁返回17.5圖乘法對于在均布荷載作用下的任何一段直桿，其彎矩圖均可看成一個梯形與一個標準拋物線圖形的疊加。因為這段直桿的彎矩圖，與圖17-10所示相應的簡支梁在兩端彎矩MA、MB和均布荷載q作用下的彎矩圖是相同的。這里還需注意，所謂彎矩圖的疊加，是指其豎標的疊加，而不是原圖形狀的簡單拼合。因此，疊加后的拋物線圖形的所有豎標仍就為豎向的，而不是垂直于MA、MB連線的。這樣，疊加后的拋物線圖形與原標準拋物線在形狀上并不相同，但兩者任一處對應的豎標y和微段長度dx仍相等，因而對應的每一窄條微分面積仍相等。由此可知，兩圖形總的面積大小和形心位置仍然是相同的。理解了這個道理，對于復雜的彎矩圖形是有利的。此外，在應用圖乘法中，當yc所屬圖形不是一段直線而是由若干段直線組成時，或當各桿段的截面不相等時，均應分段圖乘，再進行疊加。例如對于圖17-11應為上一頁下一頁返回17.5圖乘法對于圖17-12應為例17-4試求圖17-13所示剛架C、D兩點的距離改變。設EI=常數(shù)。解：實際狀態(tài)的MP圖如圖所示。虛擬狀態(tài)應是在C、D兩點沿其連線方向加一對指向相反的單位力，圖如圖17-14所示。圖乘時需分AC、AB、BD三段計算，但其中AC、BD兩段的MP=0，故圖乘結果為零，可不必計算。AB段的MP圖為一標準拋物線，圖為一水平直線，故應以MP圖作面積ω而在圖上取豎標yC，可得所得正號表示相對位移與所設一對單位力的指向相同，即C、D兩點是相互靠攏的。上一頁下一頁返回17.5圖乘法例17-5試求如圖17-14所示剛架A點的豎向位移ΔAy，并勾繪剛架的變形曲線。解：MP圖和圖分別如圖17-14（b）和17-14（c）所示。由于各桿的圖都是直線，故可任取哪個圖形作為面積。現(xiàn)以圖作面積ω而在MP圖上取豎標yC，則有勾繪變形曲線時，根據(jù)實際狀態(tài)的彎矩圖MP，如17-14（b）所示，可判定桿件彎曲后的凹凸方向。例如DK段應向右凸，KC段遇向左凸，而在彎矩為零的K點處有一反彎點；CB和AB段遇分別向上和向右凸。再根據(jù)支座處的位移邊界條件和結點處的位移連續(xù)條件，便可確定變形曲線的位置。例如K為固定端，其線位移與轉角均為零。C、B為剛結點，在該處各桿端的夾角應保持為直角。再根據(jù)已求出的ΔAy系向下，以及忽略各桿的軸向變形，便可繪出變形曲線的大致輪廓如圖17-14（d）所示。上一頁下一頁返回17.5圖乘法例17-6試求如圖17-15所示外伸梁C點的豎向位移ΔCy。梁的EI=常數(shù)。解：MP、圖分別如圖b、c所示。BC段的MP圖是標準二次拋物線；AB段的MP圖較復雜，但可將其分解為一個三角形和一個標準二次拋物線圖形。于是由圖乘法得上一頁下一頁返回17.5圖乘法例17-7如圖17-16所示為一組合結構，鏈桿CD、BD的抗拉（壓）剛度為E1A1，受彎桿件AC的抗彎剛度為E2I2，在結點D有集中荷載P作用，試求D點豎向位移ΔDy。解：計算組合結構在荷載作用下的位移時，對鏈桿只有軸力影響，對受彎桿只計算彎矩影響?，F(xiàn)分別求出NP、MP及、如圖17-16所示，根據(jù)式（17-12）有上一頁返回17.6溫度作用時的位移計算對于靜定結構而言，除荷載外，其他外因溫度變化、支座移動、制造誤差、材料收縮等，都不引起內力。溫度變化時，靜定結構雖然不產(chǎn)生內力，但由于材料的熱脹冷縮，卻使結構產(chǎn)生變形的位移。如圖17-17（a）所示的結構，研究其因溫度改變時的變形和位移情況。設結構外緣溫度升高t1℃，內緣溫度升高t2℃，且t2＞t1，由此引起結構的變形如圖17-17（a）中虛線所示。現(xiàn)在要求計算該結構上任一點沿任何方向的位移，例如求點i的豎向位移Δit。這仍然用虛功原理來求解，實際變形狀態(tài)和虛設力狀態(tài)分別如圖17-17（a）、（b）所示。先研究實際變形狀態(tài)的溫度引起的變形情況。從結構中截取長度為ds的微段，其上、下邊緣分別伸長at1ds、at2ds。a表示材料的線膨脹系數(shù)（即溫度升高1℃時的線應變值）。為簡化計算，假定溫度沿桿件截面高度是按直線規(guī)律變化，這樣截面在溫度變化過程中仍保持為平面。下一頁返回17.6溫度作用時的位移計算當桿件截面對稱于形心軸時，即h1=h2=，則形心軸處的溫度為式中，t0為平均溫度。當桿件截面不對稱于形心軸時，即h1≠h2，則由幾何關系求得微段ds在軸線處的溫度為從圖17-17（a）可求得溫度變化時微段的變形，它可以看作是一個均勻的伸長dut和截面的轉動，轉角為dφt的疊加，其中微段的均勻伸長可由桿軸處的溫度計算得到dut=αt0ds微段兩側截面的相對轉角為dφt=上式中，Δt=t2-t1，為桿件上下邊緣溫度變化之差。另外，在溫度變化時并不引起微段的剪切變形，即dVt=0。上一頁下一頁返回17.6溫度作用時的位移計算下面計算結構i點處的豎向位移，取虛設力狀態(tài)如圖（b）所示，截取微段ds兩側有內力，它們在實際狀態(tài)的相應微段上作內力虛功，根據(jù)虛功原理得到即

（17-14）式中，為圖的面積，為圖的面積。式（17-14）就是溫度變化引起結構位移的計算公式。應用時等式中的正負號（±）的確定，可按下述辦法來確定，即比較桿件由溫度產(chǎn)生的實際變形與所加的虛設單位荷載引起的變形，若兩者變形方向相同，則取正號，反之取負號。上一頁下一頁返回17.6溫度作用時的位移計算對于梁和剛架，在計算溫度變化所引起的位移時，一般不能略去軸向變形的影響。對于桁架，在溫度變化時，其位移計算公式可簡化為桁架因制造誤差所引起的位移計算與溫度變化時的計算相似。設桁架中某些桿件長度有制造誤差，則其位移計算公式為例17-8如圖17-18（a）所示剛架外側溫度升高10℃，內側升高20℃，試求C點的豎向位移ΔCVt各桿均為20a，工字鋼l=2m，α=1×10-5。上一頁下一頁返回17.6溫度作用時的位移計算解：在剛架C點加一豎向單位荷載（如圖17-18（b）所示），分別繪出虛設力狀態(tài)的圖和圖如圖17-18（c）、17-18（d）所示。圖中的虛線分別為實際狀態(tài)和虛設力狀態(tài)的變形。℃，℃將上述數(shù)據(jù)代入式（17-14）。其中，關于正負號選取方法如下，如對AB標明而言，t0因為正值，使桿件伸長，而引起桿件為壓力，使桿件縮短，故兩者的變形相反，則式中取負號；從彎曲變形來講，因t2＞t1，溫度引起桿件彎曲向內側凸，而引起的彎矩，使桿件外側受拉，變形凸向外側，兩者也不一致，故式中也應取負號。 （17-15）已知，α=1×10-5，l=200cm，h=20cm，將其代入式（17-14）。計算結構為負值，表明C點的豎向位移與虛設單位荷載方向相反，即位移向上。上一頁下一頁返回17.6溫度作用時的位移計算例17-9如圖17-19（a）所示桁架的AB桿制造時比設計長度短了0.5cm，試求由此引起C點的豎向位移ΔCV。解：在實際狀態(tài)中只有AB桿做短Δl=-0.5cm，其余各桿件Δl=0（如圖17-19（a）所示）。虛設力狀態(tài)在C點加一豎向單位荷載作用下各桿的內力如圖17-19（a）所示。因此內力虛功只有AB桿一項。于是由式（17-13）得計算結構為負值，表明C點的豎向位移與虛設單位荷載方向相反，即位移向上。上一頁返回17.7互等定理本節(jié)介紹線彈性結構常用的三個普遍定理——功的互等定理、位移互等定理和反力互等定理。其中最基本的是功的互等定理，位移互等定理和反力互等定理都可以由功的互等定理導出。在以后超靜定結構的計算中，要引用這些互等定理。17-7-1功的互等定理如圖17-20（a）、（b）所示為同一結構的兩種狀態(tài)，分別作用兩組外力F1和F2。在狀態(tài)Ⅰ中，設由F1引起的內力為FN1、FS1、M1，由F1引起的F2作用點沿F2方向的位移為Δ21；在狀態(tài)Ⅱ中，設由F2引起的內力為FN2、FS2、M2，由F2引起的F1作用點沿F1方向的位移為Δ12。若以表示狀態(tài)Ⅰ的外力在狀態(tài)Ⅱ的相應位移上所作的虛功，則根據(jù)虛功原理可寫出虛功方程同理，若以若表示狀態(tài)Ⅱ的外力在狀態(tài)Ⅰ的相應位移上所作的虛功，可寫出虛功方程下一頁返回17.7互等定理以上兩式的右邊完全相同，故有 = 或寫為這就是功的互等定理，即第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的相應位移上所作的虛功總和，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的相應位移上所作的虛功總和。這里，表示全部外力所作的虛功；位移Δij有兩個下標，第一個下標表示產(chǎn)生位移的地點，第二個下標表示產(chǎn)生位移的原因。上一頁下一頁返回17.7互等定理7.7.2位移互等定理位移互等定理是功的互等定理的一個特殊情形，即在兩種狀態(tài)中分別作用單位力時，在單位力的作用點沿單位力方向的位移之間的互等關系。在圖所示的兩種狀態(tài)中，結構都只受一個單位力F1=F2=1的作用。設用δ12表示F2=1引起的F1作用點沿F1方向的位移；用δ21表示由F1=1引起的F2作用點沿F2方向的位移，由功的互等定理可得F1δ12=F2δ21因F1=F2=1，故有 δ12=δ21這就量位移互等定理，即在第一狀態(tài)中由第一個單位力引起的第二個單位力作用點沿第二個單位力方向的位移δ12，等于第二狀態(tài)中由第二個單位力引起的第一個單位力作用點沿第一個單位力方向的位移δ21。這里，單位力可以是廣義力，而位移則是相應的廣義位移。上一頁下一頁返回17.7互等定理7.7.3反力互等定理反力互等定理是功的互等定理的另一個特殊情形，它表示超靜定結構在兩個支座分別產(chǎn)生單位位移時，在兩種狀態(tài)中反力之間的互等關系。如圖17-24所示為同一超靜定結構的兩個支座分別發(fā)生單位位移的兩種狀態(tài)。如圖17-24（a）所示表示支座1發(fā)生單位位移Δ1=1，在支座2處引起的反力r21；如圖17-24（b）所示表示支座2發(fā)生單位位移Δ2=1，在支座1處引起的反力為r12。其他支座反力未在圖中繪出，因為它們所對應的另一狀態(tài)的位移為零，不作虛功。根據(jù)功的互等定理可得R12=r21這就是反力互等定理，即對超靜定結構，在第一狀態(tài)中由支座1的單位位移引起的支座2處的反力r21，等于第二狀態(tài)中由支座2的單位位移引起的支座1處的反力r21。這里，反力rij有兩個下標，第一個下標表示產(chǎn)生反力的地點，第二個下標表示產(chǎn)生反力的原因。上一頁下一頁返回17.7互等定理同樣，這里的支座可以換成別的約束，支座位移可以換成該約束相應的廣義位移，支座反力可以換成該約束相應的廣義力。如圖17-25所示為反力互等的例子。這里，反力r12和反力矩r21在數(shù)值上是相等的。上一頁返回總結與討論結構位移計算方法歸納起來有兩類，一是幾何物理方法，它是以桿件變形關系為基礎，例如計算簡支梁撓度、轉角的積分法；另一類是以功能原理為基礎，例如以虛功原理為基礎導出的單位荷載法。本章學習的是后者，前者在上冊中已作了詳細的介紹。結構在荷載作用下，或者是支座移動、溫度變化、材料收縮和制造安裝誤差等其他因素下，要產(chǎn)生應力和應變，從而導致桿件尺寸和形狀的改變，也就是發(fā)生了變形。變形能使結構各點的位置發(fā)生相應的改變，這種由于在外荷載作用下所引起的結構各點位置的改變就是結構的位移。結構的位移包括線位移和角位移兩種情形。下一頁返回總結與討論結構位移計算具有重要的意義，它的主要體現(xiàn)在以下作用有幾個方面，掌握結構位移的計算原理和計算方法，是本課程學習的重點之一。結構位移計算的結論可以用來校核結構的剛度。為保證結構在使用過程中不致發(fā)生過大的變形而影響結構的正常使用。例如建筑結構中樓面主梁的最大撓度一般不可超過其跨度的1/400；工業(yè)廠房中的吊車梁的最大撓度不可超過跨度的1/600～1/500。又如，當火車通過橋梁時，假如橋梁撓度太大，將會導致鐵路軌道不平順，引起較大的沖擊和振動，甚至影響列車運行。按規(guī)定，在靜荷載作用下橋梁的最大撓度不可超過其跨度的1/900～1/700。上一頁下一頁返回總結與討論結構位移計算的作用之一是指導結構的制作和施工安裝架設。某些結構在制作、施工安裝架設等過程中需要預先知道結構可能發(fā)生的位移，以便采用必要的防范和加固措施，在模板工程和鋼筋工程、混凝土工程中預先設好預拱度。例如圖17-26（a）所示桁架，在屋蓋自重作用下，其下弦各結點將產(chǎn)生虛線所示的豎向位移，結點C的豎向位移最大。為了減少桁架在使用時下弦各結點的豎向位移，在制作時要將下弦部分按“建筑起拱”的做法下料制作，（如圖17-26（b）所示），當拼裝后結點C′恰好落在C點的水平位置上。確定“建筑起拱”必須計算桁架下弦結點C的豎向位移，以便確定起拱的高度。因為超靜定結構的內力計算單憑靜力平衡條件是不能完全確定的，還必須考慮變形協(xié)調條件才能求解，建立變形協(xié)調條件方程就需要進行結構位移的計算，在下一章的學習中就會用到這一點。另外，在結構動力計算和穩(wěn)定性計算均要用到結構位移的計算。所以，結構位移計算在結構分析和實踐上都具有重要的意義。上一頁返回習題17-1試用積分法求如習題17-1圖所示剛架B點的水平位移。EI=常數(shù)。17-2如習題17-2圖所示曲梁為圓弧形，EI=常數(shù)。試求B點的水平位移。17-3如習題17-3圖所示曲梁為圓弧形，EI=常數(shù)。試求B點的水平位移。17-4如習題17-4圖所示桁架各桿截面均為A=2×10-3m2，E=210GPa，F(xiàn)=40kN，d=2m。試求：（1）C點的豎向位移；（2）角ADC的改變量。17-5下列各圖如習題17-5圖所示圖乘法是否正確？如不正確應如何改正？17-6試用圖乘法求指定位移（求最大撓度）。17-7試用圖乘法求指定位移（求ΔCY）。17-8試用圖乘法求指定位移（求ΔB）。下一頁返回習題17-9試用圖乘法求指定位移（求ΔCy）。17-10試用圖乘法求指定位移（求C、D兩點的距離改變）。17-11試用圖乘法求指定位移（求、、DD，并勾繪變形曲線）。17-12試用圖乘法求指定位移（求鉸C左右兩截面相對轉角及CD兩點距離改變，并勾繪變形曲線）。17-13試用圖乘法求指定位移（求AB兩點相對水平位移，并勾繪變形曲線）。17-14如習題17-14圖所示梁EI=常數(shù)，在荷載F作用下，已測得截面A的角位移為0.001rad（逆時針）。試求C點的豎向線位移。17-15如習題17-15圖所示組合結構橫梁AD為20b工字鋼，I=2500cm4，拉桿BC為直徑20mm的圓鋼，材料的彈性模量E=210GPa，q=5kN/m，a=2m。試求D點豎向的位移。上一頁下一頁返回習題17-16結構的溫度改變如習題17-16圖所示，試求C點的豎向位移。各桿截面相同且對稱于形心軸，其厚度為h=l/10，材料的線膨脹系數(shù)為α。17-17如習題17-17圖所示等截面簡支梁上邊溫度降低t，下邊溫度升高t，同時兩端有一對力偶M作用。若欲使梁端轉角為零，M應為多少？17-18在如習題17-1