常微分方程模型

常微分方程模型簡(jiǎn)介1

目錄

1.人口模型(人口增長(zhǎng)和人口控制模型)2.作戰(zhàn)模型3.火箭發(fā)射模型

21.人口增長(zhǎng)模型人口問(wèn)題是當(dāng)今世界人們最關(guān)心的問(wèn)題之一,從我們建國(guó)以來(lái)的歷史和當(dāng)前的現(xiàn)實(shí)已經(jīng)證明.這個(gè)問(wèn)題也是我們國(guó)家必須認(rèn)真思考和慎重對(duì)待的重大問(wèn)題.過(guò)去曾認(rèn)為人多好辦事,對(duì)呼吁人口增長(zhǎng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬寅初錯(cuò)誤地開展批評(píng),結(jié)果造成人口超過(guò)13億,背上了沉重的包袱.因此要實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化,應(yīng)有效地控制人口增長(zhǎng),就必須制定正確的人口政策,為此就要建立人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型,用以描述人口增長(zhǎng)過(guò)程,通過(guò)分析對(duì)人口增長(zhǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè),制定相應(yīng)的人口政策以控制人口增長(zhǎng).3

影響人口增長(zhǎng)的因素很多,人口的多少,出生率的高低,人口男女比例的大小,人口年齡組成情況,工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平高低,各民族的風(fēng)俗習(xí)慣,自然災(zāi)害,戰(zhàn)爭(zhēng),人口遷移等等.如果一開始把眾多因素全考慮,則無(wú)從下手.我們先把問(wèn)題簡(jiǎn)化,只考慮影響人口的主要因素—增長(zhǎng)率(出生率減去死亡率),其余因素暫不考慮,建立一個(gè)較粗的數(shù)學(xué)模型.在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上逐步考慮次要因素的影響,從而建立一個(gè)與實(shí)際更加吻合的數(shù)學(xué)模型.4

初看起來(lái)人口增長(zhǎng)是按整數(shù)變化的,不是時(shí)間的可微函數(shù),是不能用微分方程來(lái)描述的.但是若人口總數(shù)很大時(shí),可以近似認(rèn)為它是時(shí)間的連續(xù)函數(shù),甚至是可微的函數(shù).所以人口增長(zhǎng)可以用微分方程來(lái)描述.(這種假設(shè),認(rèn)識(shí)是建立模型的基礎(chǔ))5設(shè),表示t時(shí)刻人口總數(shù)和增長(zhǎng)率,

只考慮增長(zhǎng)率,其它因素的影響不考慮.

則在t至t+這段時(shí)間內(nèi)人口總數(shù)增長(zhǎng)為

兩端同除以,并令,得

我們將逐步深入討論上面這個(gè)模型

6一.馬爾薩斯(malthus)模型(指數(shù)增長(zhǎng)模型)英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯(1766—1834)根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料,于1798年提出了著名的人口指數(shù)增長(zhǎng)模型.

基本假設(shè)

人口增長(zhǎng)率是常數(shù),

或者說(shuō),單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)人口成正比.

在（1）式中令=r(常數(shù))得其解:(3)7(2)式是一個(gè)線性方程,稱為馬爾薩斯人口模型,人口以為公比,按幾何級(jí)數(shù)增加.

據(jù)統(tǒng)計(jì),1961年世界人口總數(shù)為3.06,而在此之前的十來(lái)年間人口按每年2%的速率增長(zhǎng).因此

公式(4)能非常準(zhǔn)確地反映了在1700-1961年間世界估計(jì)人口總數(shù),

8但當(dāng)t=2510年,=(2萬(wàn)億),

t=2635年,=(18萬(wàn)億),

t=2670年,=(36萬(wàn)億),

顯然,這些數(shù)字說(shuō)明馬爾薩斯人口模型對(duì)長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)是不正確的.

由上可以看出,馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型對(duì)1700-1961年的人口總數(shù)是對(duì)的,但對(duì)未來(lái)的人口總數(shù)預(yù)測(cè)不正確,應(yīng)予以修正.

二、logistic模型(阻滯增長(zhǎng)模型)

由上面分析,馬爾薩斯人口模型對(duì)1700-1961年間人口總數(shù)的檢驗(yàn)是對(duì)的,而未來(lái)的人口總數(shù)預(yù)測(cè)又是錯(cuò)的,原因何在?

9產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是:隨著人口的增加,自然資源,環(huán)境條件等因素對(duì)人口繼續(xù)增長(zhǎng)的阻滯作用越來(lái)越顯著.如果當(dāng)人口較少時(shí)(相對(duì)于資源而言),人口增長(zhǎng)率還可以看作常數(shù)的話,那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后,增長(zhǎng)率就會(huì)隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少,許多國(guó)家人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況完全證實(shí)了這一點(diǎn).

看來(lái)為了使人口預(yù)報(bào),特別是長(zhǎng)期預(yù)報(bào)更好地符合實(shí)際情況,必須修改指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口增長(zhǎng)率是常數(shù)這個(gè)基本假設(shè).

10荷蘭生物學(xué)家Verhulst引入常數(shù),用來(lái)表示自然資源和環(huán)境條件所允許的最大人口,并假定人口增長(zhǎng)率

即人口增長(zhǎng)率隨著的增加而減少,當(dāng)時(shí)，人口增長(zhǎng)率趨于零．

其中：是根據(jù)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)確定的常數(shù);

因子體現(xiàn)了對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用.

由此得：Logistic模型

11解之得：根據(jù)(6),(7)兩式可畫出和曲線圖如圖1-a及圖1-b：

圖1-a

圖1-b12如圖1-a,是一條拋物線，他表示人口增長(zhǎng)率隨著人口數(shù)量的增加而先增后減，在處達(dá)到最大值。

如圖1-b，是一條型曲線，拐點(diǎn)在處，當(dāng)時(shí)，

本世紀(jì)初人們?cè)眠@個(gè)模型預(yù)報(bào)美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較，直到1930年計(jì)算結(jié)果都相吻合，后來(lái)的誤差越來(lái)越大，一個(gè)明顯原因是到1960年美國(guó)實(shí)際人口已突破了過(guò)去確定最大人口。

13這個(gè)模型改進(jìn)了Mslthus模型，但不易準(zhǔn)確得到，事實(shí)上，隨著生產(chǎn)力的發(fā)展和人們認(rèn)識(shí)能力的改變，也是可以改變的。

關(guān)于人口模型這方面的內(nèi)容是很豐富的，我國(guó)學(xué)者為了解決我國(guó)人口迅速增長(zhǎng)的問(wèn)題，作了大量的調(diào)查研究，建立了不少的人口模型，為我國(guó)政府指定相應(yīng)的人口政策提供依據(jù)。下面僅給一個(gè)我國(guó)的人口控制離散模型：

14三、人口控制模型：

在前面討論的兩個(gè)模型中，我們只關(guān)心人口總數(shù)，不考慮人口的年齡分布。事實(shí)上在研究人口問(wèn)題時(shí)，按年齡分布的人口結(jié)構(gòu)情況是非常重要的。兩個(gè)國(guó)家或地區(qū)，目前人口的總數(shù)一樣，如果其中之一的年輕人比例高于另一個(gè)，那么二者的人口發(fā)展?fàn)顩r將很不一樣。下面將考慮人口年齡，不同年齡的生育率及死亡率等因素來(lái)建立人口離散模型，用以預(yù)測(cè)及控制人口增長(zhǎng)及人口老化問(wèn)題。

人口發(fā)展方程：

時(shí)間以年為單位，年齡按周歲計(jì)算，

設(shè)最大年齡為m歲，

15記為第t年歲（滿周歲而不到周歲）的人數(shù)，

只考慮由于生育、老化和死亡引起的人口演變，而不記遷移等社會(huì)因素的影響。

記為第t年歲人口的死亡率，即

于是：

16記為第t年歲女性生育率，即每位女性平均生育嬰兒數(shù)，

[]為育齡區(qū)間,

為第t年歲人口的女性比，

則第t年的出生人數(shù)為：

記為第t年嬰兒死亡率，

即第t年出生但未活到人口統(tǒng)計(jì)時(shí)刻的嬰兒比例

17于是

對(duì)于,將（9）、（10）代入（8）得

將分解為：,其中是生育模式，

用以調(diào)整育齡婦女在不同年齡時(shí)生育率的高低，滿足：

18利用（13）式對(duì)（12）式的求和得到可知表示第t年每個(gè)育齡婦女平均生育的嬰兒數(shù)，

若設(shè)在t年后的一個(gè)育齡時(shí)期內(nèi)各個(gè)年齡的女性生育率都不變，

那么又可表示為

即是第t年歲的每位婦女一生平均生育的嬰兒數(shù)，稱總和生育率，或生育胎次，它是控制人口數(shù)量的主要參數(shù)。19將（12）式代入（11）式，并記：

則（11）式寫作：

制訂生育政策就是確定和，通過(guò)控制生育多少，通過(guò)可以控制生育的早晚和疏密。

引入向量、矩陣記號(hào)：

2021那么（17）式和（8）式（）可以寫作

這個(gè)向量形式的一階差分方程就是人口發(fā)展方程。

說(shuō)明：

(1)當(dāng)初始人口分布已知時(shí)，又由統(tǒng)計(jì)資料確定A(t)及B(t)，并且給定了總和生育率以后，用這個(gè)方程就可以預(yù)測(cè)發(fā)展過(guò)程。

(2)在控制論中，稱狀態(tài)變量，

作為控制變量。

(3)在穩(wěn)定的社會(huì)環(huán)境下，可以認(rèn)為死亡率、生育模式和女性比不隨時(shí)間變化，于是A(t),B(t)為常數(shù)矩陣，

22（21）式化為：

雖然全面地反映了人口的年齡結(jié)構(gòu)及其發(fā)展過(guò)程，但是為了更簡(jiǎn)明地描述人口的特征，還需要一些指標(biāo)，稱為人口指數(shù)，主要有：

人口指數(shù)：

人口總數(shù)

平均年齡

23平均壽命（經(jīng)過(guò)復(fù)雜計(jì)算可得）

其含義是：第t年出生的人不論活到哪一年,死亡率都用第t年的死亡率計(jì)算時(shí),這些人的平均存活時(shí)間.我國(guó)人口的平均壽命在本世紀(jì)三十年代是35歲左右,解放初期為50歲左右(1950年北京地區(qū)),到1978年達(dá)到68.3歲.

老年化指數(shù)24它是反映人口老年化程度的指標(biāo).平均年齡R(t)越大，越大;對(duì)于R(t)相同的兩個(gè)國(guó)家和地區(qū)，平均壽命S(t)大時(shí)，表示健康水平高，一個(gè)人能工作的時(shí)間在一生中占的比例大，所以老齡化指數(shù)小。<0.5時(shí)屬于青壯年型社會(huì)，我國(guó)=0.3835(1978年)

.

依賴性指數(shù)其中25這里和分別是男性和女性勞動(dòng)力的年齡區(qū)間，是有勞動(dòng)力的人口數(shù)，于是表示每個(gè)勞動(dòng)力需供養(yǎng)的人口數(shù)。我國(guó)(1978年)，世界平均水平為（1981年）。我國(guó)人口數(shù)的預(yù)測(cè)用模型（3.9-21）根據(jù)1978年的統(tǒng)計(jì)資料對(duì)我國(guó)人口總數(shù)作的預(yù)測(cè)如下，死亡率用下列公式外推：

26生育模式取分布的離散值：

性別比取統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的平均值0.487，在不同的總和生育率下得到1980--2080年一系列結(jié)果：1)若（七十年代中期水平），則2000年將達(dá)14.2億，2080年達(dá)43.1億，近于當(dāng)前全世界人口總和；

2)若（約1980年水平），則2000年將達(dá)12.9億，2080年為21.2億；

3)若（大約是保持人口長(zhǎng)期穩(wěn)定的水平），則2000年為12.2億，72年后達(dá)到最大值，此后略有下降；

274)若，則在2007年達(dá)到最大值，到2080年將降至7.8億(1968年的水平)；

5)若，即全國(guó)嚴(yán)格執(zhí)行一對(duì)夫婦只生一個(gè)孩子的政策，則在2004年達(dá)到最大值10.6億，50年后降至9.5億（1978年水平）。

282.作戰(zhàn)模型問(wèn)題：兩軍對(duì)陣，現(xiàn)甲軍有個(gè)士兵，乙軍有個(gè)士兵，試討論戰(zhàn)斗過(guò)程中雙方的傷亡情況以及最后的結(jié)局。

一、正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型令表示t時(shí)刻甲軍人數(shù)，

表示t時(shí)刻乙軍人數(shù)。

在以上假設(shè)下，顯然甲軍人數(shù)越多，乙軍傷亡越大，反之亦然，所以有甲軍人數(shù)的減員率與乙軍人數(shù)成正比；

乙軍人數(shù)的減員率與甲軍人數(shù)成正比。

29所以正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型為其中均為常數(shù)，

a(或b)越大，表示乙軍（或甲軍）戰(zhàn)斗力越強(qiáng)。

記E＝稱為甲軍與乙軍的交換比，

聯(lián)立方程(10-1)求解得分離變量并積分得

30若初始條件為

(3)式就是“蘭徹斯特平方定律”，它在xoy平面上是一族雙曲線，如圖

31圖上箭頭表示兵力隨時(shí)間而變化的方向。

由圖可知若，乙軍勝，且當(dāng)y減少到時(shí)，x將為零；

若，平局，且當(dāng)y減少到零時(shí)，x也減少到零；

若，甲軍勝，且當(dāng)x減少到時(shí)，y將為零。

32對(duì)于乙軍來(lái)說(shuō)，為了保持取勝的戰(zhàn)斗態(tài)勢(shì)，當(dāng)然希望，即

所以要想取勝，要么士兵多，要么增加士兵的戰(zhàn)斗力；因此，如果士兵的戰(zhàn)斗力強(qiáng)，當(dāng)然可以以少勝多。另一方面，(5)式可寫成(6)式說(shuō)明雙方初始兵力之比以平方關(guān)系影響著戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局。

33例如，若乙方兵力增加到原來(lái)的兩倍（甲方不變），則影響戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局的能力增加到4倍；或者說(shuō)，若甲方的戰(zhàn)斗力增加到原來(lái)的4倍，那么為了與此相抗衡，乙方只需將初始兵力增加到原來(lái)的2倍，由于這個(gè)原因，正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型又稱為平方律模型。

例如：如果戰(zhàn)爭(zhēng)開始時(shí)甲軍為6000人，乙軍為3000人。當(dāng)交換比E＝1時(shí)，即兩軍的裝備和戰(zhàn)斗力差不多時(shí)，由(10-4)式可確定從而得微分方程特解

由于交換比為1，而甲軍人數(shù)占優(yōu)勢(shì)，故乙軍失敗。

34當(dāng)乙軍被消滅光時(shí)，即y＝0

甲軍還剩下的人數(shù)

即甲軍損失人數(shù)為6000－5200＝800人可見(jiàn)，中國(guó)古代憑戰(zhàn)爭(zhēng)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出來(lái)的“殺人三千，自損八百”確實(shí)存在數(shù)學(xué)上的理論根據(jù)。

如果交換比E=得

甲軍勝當(dāng)y＝0時(shí)，

所以甲軍損失：

356000－3000＝3000人，

即殺人3000自損3000。如果交換比E＝

所以當(dāng)乙軍被消滅,即y＝0時(shí)，x＝0，即雙方“同歸于盡”。

如果交換比E＝得

乙軍勝當(dāng)x＝0時(shí)，

這說(shuō)明雖然乙軍人少，但能以一當(dāng)五最后戰(zhàn)勝甲軍，而只損失了1660人。

36可見(jiàn)，戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)的決定性的因素是“交換比”，即裝備和戰(zhàn)斗力（包括將帥的指揮和官兵的素質(zhì)及勇氣），而不僅是人數(shù)，人數(shù)只是我們決定戰(zhàn)斗的形式，例如人多勢(shì)大可以用來(lái)分割圍攻、打進(jìn)攻戰(zhàn)；人少勢(shì)弱只能回避銳利、打防守戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)。總之，在未來(lái)的戰(zhàn)爭(zhēng)中，要想取勝，不能抱著人多勢(shì)重的思想，而應(yīng)大力進(jìn)行國(guó)防現(xiàn)代化的建設(shè)，以提高我軍對(duì)敵作戰(zhàn)的交換比。37問(wèn)題：如果兩軍作戰(zhàn)時(shí)有增援，其作戰(zhàn)模型如何？令f(t)和g(t)分別表示甲軍和乙軍t時(shí)刻的增援率，

則正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型為

J.H.Engel用二次大戰(zhàn)末期美日硫黃島戰(zhàn)役中的美軍戰(zhàn)地記錄，對(duì)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)模型結(jié)果于實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得很好。38

硫黃島位于東京以南660英里的海面上，是日軍的重要空軍基地，美軍在1945年2月19日開始進(jìn)攻，激烈的戰(zhàn)斗持續(xù)了一個(gè)月，雙方傷亡慘重，日軍守軍21500人全部陣亡或被浮，美軍投入兵力73000人，傷亡20265人，戰(zhàn)斗進(jìn)行到28天時(shí)美軍宣布占領(lǐng)該島，實(shí)際戰(zhàn)斗到36天才停止。美軍的戰(zhàn)地記錄有按天統(tǒng)計(jì)的戰(zhàn)斗減員和增援情況，日軍沒(méi)有后援。根據(jù)實(shí)際戰(zhàn)地記錄，由正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型得到的美軍傷亡的理論曲線與實(shí)際傷亡曲線相當(dāng)吻合。

39二、混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型記表示t時(shí)刻游擊隊(duì)人數(shù)；

表示t時(shí)刻正規(guī)軍人數(shù)。

假設(shè)：

(1)游擊隊(duì)的戰(zhàn)斗減員率與及的乘積成正比，因?yàn)樵酱螅繕?biāo)越大，被敵方子彈命中的可能性越大，另一方面，越大，火力越強(qiáng)，的傷亡人數(shù)也就越大。(2)正規(guī)軍的戰(zhàn)斗減員率與游擊隊(duì)人數(shù)成正比。

(3)游擊隊(duì)和正規(guī)軍的增援率分別為f(t),g(t)。

40則混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型：

其中為常數(shù)。

稱為正規(guī)軍的戰(zhàn)斗有效系數(shù)；稱為游擊隊(duì)的戰(zhàn)斗有效系數(shù)；

戰(zhàn)斗中，若雙方都無(wú)增援，即f(t)＝g(t)＝0，

則(10-7)變?yōu)?1由(10-8)得積分

若初始條件為

(10-9)式在xoy平面上是一族拋物線，如圖

42圖中箭頭表示兵力隨時(shí)間而變化的方向。

由圖知：

若M>0，乙軍勝，且當(dāng)y減少到時(shí)，x將為零；

若M＝0，平局，且當(dāng)y減少到零時(shí)，x也將為零；

若M<0，甲軍勝，且當(dāng)x減少到時(shí)，y將為零。

43因此對(duì)于正規(guī)軍來(lái)說(shuō)，為了保證取勝的戰(zhàn)斗態(tài)勢(shì)，必須M>0，即所以正規(guī)軍取勝的條件：由于分別表示正規(guī)軍與游擊隊(duì)的戰(zhàn)斗有效系數(shù)，所以可將它們表示為其中是正規(guī)軍的射擊率（每個(gè)士兵單位時(shí)間射擊次數(shù)），

44是正規(guī)軍每次射擊的命中率；

是游擊隊(duì)的射擊率（每個(gè)士兵單位時(shí)間射擊次數(shù)），

是游擊隊(duì)每次射擊的命中率。

但在戰(zhàn)斗過(guò)程中，可假定正規(guī)軍在游擊隊(duì)的火力之內(nèi)且游擊隊(duì)每次射擊是有目標(biāo)的，而游擊隊(duì)雖然在正規(guī)軍的火力之內(nèi)，但活動(dòng)范圍大且是隱蔽的，所以正規(guī)軍每次命中率與游擊隊(duì)活動(dòng)范圍及每次射擊的打擊面有關(guān)，

因此又可表示為表示游擊隊(duì)的活動(dòng)范圍；

表示正規(guī)軍每次射擊有效面積。45所以將(10-12)代入(10-11)得正規(guī)軍取勝的條件：

假定正規(guī)軍的作戰(zhàn)火力比游擊隊(duì)作戰(zhàn)火力強(qiáng)，

不妨設(shè)；

游擊隊(duì)的作戰(zhàn)兵力＝100人，

命中率＝0.1，

46活動(dòng)范圍＝0.1平方千米，

正規(guī)軍每次射擊的有效面積＝1平方米，

則由(6-13)式，正規(guī)軍取勝的條件為即正規(guī)軍必須10倍于游擊隊(duì)的兵力才能取勝。

47

美國(guó)人曾用這個(gè)模型分析越南戰(zhàn)爭(zhēng)（甲方為越南，乙方為美國(guó)）。根據(jù)類似于上面的計(jì)算以及四五十年代發(fā)生在馬來(lái)西亞、菲律賓、印尼、老撾等地的混合戰(zhàn)爭(zhēng)的實(shí)際情況估計(jì)出，正規(guī)軍一方要想取勝必須至少投入8倍于游擊隊(duì)一方的兵力。而美國(guó)最多只能派出6倍于越南的兵力。越南戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局是美國(guó)不得不接受和談并撤軍，越南人民取得最后勝利。

三、游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型483.發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級(jí)火箭一、為什么不能用一級(jí)火箭發(fā)射衛(wèi)星？1、衛(wèi)星進(jìn)入軌道，火箭所需的最低速度。將問(wèn)題理想化，假設(shè):

(a)、衛(wèi)星軌道為過(guò)地球中心某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上以地球引力作為向心力繞

地球作平面圓周運(yùn)動(dòng)（如圖)49(b)、地球是固定于空間的均勻球體，其他星球?qū)πl(wèi)星的引力忽略不計(jì)。設(shè)地球半徑為R，中心為O，地球質(zhì)量看成集中于球心（根據(jù)地球?yàn)榫鶆蚯蝮w的假設(shè)），曲線C為地球表面，為衛(wèi)星軌道，其半徑為r，衛(wèi)星質(zhì)量為m，

根據(jù)牛頓定理，地球?qū)πl(wèi)星的引力為其中G為引力常數(shù)，可由衛(wèi)星在地面的重量算出，即

50

代入(11-1)式得

由假設(shè)(a)，衛(wèi)星所受到的引力既它作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故又有

故有從而速度為

51取g=9.81m/,R=6400km,可算出衛(wèi)星離地面高度為h公里處的速度如下表

離地面高度h(km)1002004006008001000衛(wèi)星速度v(km/s)7.867.807.697.587.477.37

2、火箭推進(jìn)力及速度的分析假設(shè)火箭在噴氣推動(dòng)下作直線運(yùn)動(dòng)，火箭重力及空氣阻力不計(jì)。

52設(shè)在t時(shí)刻火箭質(zhì)量為m(t)，速度為v(t)，均為t的連續(xù)可微函數(shù)。

由泰勒展式有在t到t+時(shí)間內(nèi)火箭的質(zhì)量減少量為這個(gè)質(zhì)量的減少，是由于燃料燃燒噴出氣體所致。

設(shè)噴出氣體相對(duì)于火箭的速度為u(就一種燃料而言為常數(shù))，則氣體相對(duì)于地球運(yùn)動(dòng)速度為v(t).

53根據(jù)動(dòng)量守恒定律知

t時(shí)刻火箭動(dòng)量=（t+t)時(shí)刻火箭動(dòng)量

+（t+t)時(shí)刻轉(zhuǎn)換到氣體的能量

所以從而有上式兩端同除以，并令得54(11-2)式又端表示火箭所受的推力，由此解得此處

(11-2)式表明火箭所受的推力等于燃料消耗速度與氣體相對(duì)于火箭運(yùn)動(dòng)速度的乘積

(11-3)式表明,在和一定的條件下,v(t)由噴發(fā)速度(相對(duì)于火箭)u及質(zhì)量比決定.

這為提高火箭速度找到了正確的途徑:提高u(從燃料上想法),減少m(t)(從結(jié)構(gòu)上想法).完全合乎實(shí)際.

553、一級(jí)火箭末速度上限(目前技術(shù)條件下)火箭—衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量可分為三部分:

(有效負(fù)載,如衛(wèi)星),

,(燃料質(zhì)量),

(結(jié)構(gòu)質(zhì)量,如外殼,燃料容器及推進(jìn)器).在發(fā)射一級(jí)火箭運(yùn)載衛(wèi)星時(shí),最終(燃料耗盡)質(zhì)量為,

由式(3)知末速度為一般來(lái)說(shuō),結(jié)構(gòu)質(zhì)量在中應(yīng)占一定的比例,

56在現(xiàn)有的技術(shù)條件下,要使燃料倉(cāng)和發(fā)動(dòng)機(jī)的質(zhì)量之和小于所載燃料的或是很難做到的.

其中為常數(shù),

為初始總質(zhì)量,即結(jié)構(gòu)質(zhì)量為燃料和結(jié)構(gòu)質(zhì)量和的倍,

代入(4)式得

由此可以得出一個(gè)重要結(jié)論:57對(duì)于給定的u值,當(dāng)凈栽質(zhì)量時(shí)(即假設(shè)火箭不攜帶任何東西).火箭所能達(dá)到的最大速度為我們已知目前的火箭燃料其u=3km/s,如果取則上式可得前面已推出,即使要把衛(wèi)星送入600公里高的圓形軌道,火箭的末速度應(yīng)為7.58km/s,而剛才我們推導(dǎo)火箭速度是在假定忽略空氣阻力,重力,不攜帶任何東西的情況下，最大速度才達(dá)7km/s.由此得出,如上的單級(jí)火箭是不能用于發(fā)射衛(wèi)星的.

58我們回過(guò)頭來(lái)檢查上面的設(shè)計(jì)中有那些地方不合理,以便加以改進(jìn).我們發(fā)現(xiàn),火箭的推進(jìn)力在加速著整個(gè)火箭,其實(shí)際效率越來(lái)越低,最后幾乎是在加速著最終毫無(wú)用處的結(jié)構(gòu)質(zhì)量(包括空油箱).所以應(yīng)改進(jìn)火箭的設(shè)計(jì).

二、理想的火箭模型理想的火箭模型應(yīng)該是隨著燃料燃燒隨時(shí)拋棄無(wú)用的結(jié)構(gòu)。

假設(shè)在t到時(shí)間內(nèi)，丟掉的總質(zhì)量為1個(gè)單位（包括結(jié)構(gòu)質(zhì)量和燃料燃燒質(zhì)量），其中丟掉結(jié)構(gòu)質(zhì)量為<<1），燒掉的質(zhì)量為1。

59當(dāng)然，不可能制造這樣的理想火箭，但是我們把實(shí)際情況理想化以后，使得問(wèn)題變得比較簡(jiǎn)單，在此基礎(chǔ)上建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而可獲得一些我們需要的信息，通過(guò)一些修正，我們就可以把理想過(guò)程還原到實(shí)際過(guò)程。建模由動(dòng)量守恒定律：

代入上式得

60化簡(jiǎn)整理，令，可得解得比較(11-5)、(11-6)兩式可知，理想火箭與一級(jí)火箭的最大區(qū)別在于：

當(dāng)燃料燃燒完，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也被逐漸拋掉，僅僅剩下（衛(wèi)星），即，

61從而最終速度為(11-7)式表明：當(dāng)足夠大便可使衛(wèi)