小學奧數(shù)-加法、乘法的簡便運算

巧算與速算加法具有以下兩個運算律：加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。即

a+b=b+a，其中a，b各表示任意一數(shù)。例如5+6=6+5，一般地，多個數(shù)相加，任意改變相加的次序，其和不變。例如，

a+b+c+d=d+b+a+c=…其中a，b，c，d各表示任意一數(shù)。加法交換律和加法結合律復習加法結合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者，先把后兩個數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加，它們的和不變。即

a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，其中a，b，c各表示任意一數(shù)。例如，

4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)。

一般地，多個數(shù)(三個以上)相加，可先對其中幾個數(shù)相加，再與其它數(shù)相加。把加法交換律與加法結合律綜合起來應用，就得到加法的一些巧算方法。在進行加減運算時，為了又快又準確地算出結果，除了要熟練地掌握運算法則外，還需要掌握一些常用運算方法和技巧。在速算與巧算中常用的三大基本思想：1.湊整（目標：整十整百整千...）2.分拆（分拆后能夠湊成整十整百整千...）

3.組合(合理分組再組合)第一講加減法的巧算1.湊整法（補數(shù)法）

2.去括號添括號法則

3.帶符號搬家“+”,“-”

4.合理分組

5.基準數(shù)法（標準數(shù)）

6.公式法（等差數(shù)列...）

7.靠經驗來做題（多種方法的綜合應用）

接下來我們進行演練常見的方法

兩個數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬…，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補數(shù)”。如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，

4+6=10，5+5=10。又如：11+89=100，33＋67=100，22+78=100，

44+56=100，55+45=100， 在上面算式中， 1叫9的“補數(shù)”；89叫11的“補數(shù)”，11也叫89的“補數(shù)” 也就是說兩個數(shù)互為“補數(shù)”。1.湊整法

（補數(shù)法）把接近整十、整百、整千的數(shù)看作所接近的整數(shù)進行湊整。湊整之后，對于原數(shù)與整十、整百、整千相差的數(shù)，要根據(jù)“多加要減去，少加要再加，多減要加上，少減要再減”的原則進行處理。另外可以結合交換律、結合律進行計算。先運用交換律與結合律把加在一起為整十、整百、整千……的加數(shù)加起來，然后再與其它的數(shù)相加。計算：(1)23＋54＋18＋47＋82；例題1.1湊整法（補數(shù)法）解：＝(23＋47)＋(18＋82)＋54＝70＋100＋54

＝224；

(2)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=(1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)=20+20+20+20+20=100 325＋46-125＋54=325-125＋46+54=（325-125）+（46＋54）=200+100=300 19+12-19+3+4-12=19-19+12-12+3+4=3+4=7例題1.2帶符號搬家“+”,“-”

練一練 (1)53＋64＋136＋37＝（53＋37）＋(64＋136)＝90＋200＝290

(2)1350＋49＋68＋51＋32＋1650＝(1350＋1650)＋(49＋51)＋(68＋32)＝3000＋100＋100＝3200例2.去括號添括號法則

1.在加、減法混合運算中，去括號時：如果括號前面是“＋”號，那么去掉括號后，括號內的數(shù)的運算符號不變；如果括號前面是“-”號，那么去掉括號后，括號內的數(shù)的運算符號“＋”變?yōu)椤?”，“-”變?yōu)椤埃?/p>

a+(b+c)=a+b+c,a+(b-c)=a+b-c

a-(b+c)=a-b-c，a-(b-c)=a-b+c

如：43+(38＋45)＋(55＋62＋57) =43+38+45+55+62+57 =（43+57）+（38+62）+（45+55）

=100+100+100 =300

2.在加、減法混合運算中，添括號時：如果添加的括號前面是“＋”號，那么括號內的數(shù)的原運算符號不變；如果添加的括號前面是“-”號，那么括號內的數(shù)的原運算符號“＋”變?yōu)椤埃?，?”變?yōu)椤埃薄?/p>

a+b+c=a+(b+c)

a+b-c＝a+(b-c)

a-b+c=a-(b-c)

a-b-c＝a-(b+c)如：100-10-20-30 =100-（10+20+30） =100-60 =40練一練(1)372-（54+72）(2)523-（175+123）(3)1000-90-80-20-10例3.合理分組 (1)875-364-236=875-(364＋236)=875-600=275 (2)1847-1928＋628-136-64=1847-(1928-628)-(136＋64)=1847-1300-200＝347計算：(1)875-364-236；

(2)1847-1928＋628-136-64；(3)1348-234-76＋2234-48-24。練一練解：(1)875-364-236

=875-(364＋236)

=875-600=275；(2)1847-1928＋628-136-64

=1847-(1928-628)-(136＋64)

=1847-1300-200＝347；(3)1348-234-76＋2234-48-24

=(1348-48)+(2234-234)-(76＋24)

=1300＋2000-100＝3200。計算:

(1)512-382(2)6854-876-97

例4.加補湊整法=(500＋12)-(400-18)=500+12-400+18=(500-400)＋(12＋18)=100＋30=130=6854-(1000-124)-(100-3)=6854-1000＋124-100＋3=5854+24+3=5881；練一練(1)397-146＋288-339(2)402+503-387-98=397＋3-3-146＋288＋12-12-339=(397＋3)＋(288＋12)-(146＋3＋12＋339)=400＋300-500=200=(400+500-400-100)+(2+3+3+2）=410有些題目直觀上湊整不明顯，這時可“借數(shù)”湊整。例如，計算976＋85，可在85中借出24，即把85拆分成24＋61，這樣就可以先用976加上24，“湊”成1000，然后再加61。計算(1)57＋64＋238＋46

(2)4993＋3996＋5997＋848

例4.借數(shù)湊整法

＝57＋(62＋2)＋238＋(43＋3)＝(57＋43)＋(62＋238)＋2＋3＝100＋300＋2＋3

＝405=4993＋3996＋5997＋(7＋4＋3＋834)=(4993＋7)＋(3996＋4)＋(5997＋3)＋834=5000＋4000＋6000＋834＝15834。幾個比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準數(shù)”。 78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85=80×8-2-4+3+2-3-1+5=640 102+105+99+101+98=100×5+2+5-1+1-2=500+5=505例5.基準數(shù)法（標準數(shù)）練一練（1）999+98+37+6（2）99-1+98-2+97-3+96-4=（999+1）+（98+2）+（37+3）=1000+100+40=1140=100×4-（1+2+3+4）×2=400-20=380

這時老師笑瞇瞇地說：“平時我們計算多位數(shù)乘法時，都想熊寶寶一樣，要一位一位地去乘，運算起來比較麻煩。而當一些數(shù)為特殊數(shù)時我們可以用簡便方法計算，下面我們就來研究“乘法的巧算”第二講乘法的巧算速算巧算方法一：

1、兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的要先乘2×5=1025×4=1008×125=100016×625=10000

牢記左面四個特殊的等式

例1：巧算下面各題：

25×13×125×4×8

=（25×4）×（125×8）×13

=100×1000×13=1300000乘積是整數(shù)的先乘

1、27×125×8

=27×（125×8）

=27×1000=270002、25×4×16×625

=（25×4）×（16×125）

=100×10000=1000000

練一練

例2：巧算下面各題：

25×48×125×2=25×4×4×3×125×2

=(25×4)×(4×125×2)×3

=100×1000×3=300000分解因數(shù)，湊整先乘

1、25×64×19×125

=25×（4×2×8）×125×19

=（25×4）×（8×125）×2×19=100×1000×2×19=3800000練一練

例3：巧算下面各題：

25×29分解質數(shù)，湊整先乘=25×（4×7+1）

=（25×4×7）+25×1

=700+25=725

1、41×25

=(4×10+1)×25

=4×10×25

+1×25=1000+25=1025練一練速算巧算方法二：

2、應用乘法分配率兩個數(shù)相加(或相減)再乘另一個數(shù),等于把這個數(shù)分別同兩個加數(shù)（減數(shù)）相乘,再把兩個積相加（相減）,得數(shù)不變。

用字母表示：

（a+b）x

c=axc+bxc

還有一種表示法：

ax(b+c)=ab+ac123×101=123×（100+1）

=

123×100+123×1

=12300+123=12423應用乘法分配率

例4：巧算下面各題：

1、77×102

=(100+2)×77

=100×77

+2×77=7700+154=7854速算巧算方法三：

3、幾種特殊因數(shù)的巧算一個數(shù)×9，數(shù)后添0，再減此數(shù)一個數(shù)×99，數(shù)后添00，再減此數(shù)一個數(shù)×999，數(shù)后添000，再減此數(shù)……例5如：12×9=120-12=108如：12×99=1200-12=1188如：12×999=12000-12=11988例6一個偶數(shù)乘以5，可以除以2，添上0如：12×5=60如：16×5=80如：116×5=580

1、34×5

=170

2