第三章流體運動學

第三章流體運動學

在連續(xù)介質假設下，從幾何學的角度研究流體的運動參數(shù)(如速度、加速度等)隨空間位置和時間的變化規(guī)律。第一節(jié)研究流體運動的兩種方法第二節(jié)基本概念第三節(jié)連續(xù)性方程第四節(jié)流體微團的運動分解第五節(jié)勢函數(shù)和流函數(shù)第六節(jié)平面勢流及疊加1第一節(jié)研究流體運動的兩種方法

流場：充滿運動流體的空間。研究流體運動的方法：拉格朗日法和歐拉法。一、拉格朗日法拉格朗日法是著眼于流體質點，先跟蹤個別流體質點，研究其位移、速度、加速度等隨時間的變化，然后將流場中所有質點的運動情況綜合起來，就得到所有流體質點的運動。xyz用t0時刻該流體質點的空間坐標x0、y0、z0標識該流體質點，并記為a、b、c，稱為拉格朗日變數(shù)。a、b、c是確定的數(shù)，是不變的。2第一節(jié)研究流體運動的兩種方法

一、拉格朗日法在直角坐標系中，流體質點在x、y、z方向的坐標可描寫成

x=x(a，b，c，t)ux=dx/dt=x′(a，b，c，t)

y=y(a，b，c，t)uy=dy/dt=y′(a，b，c，t)

z=z(a，b，c，t)uz

=dz/dt=z′(a，b，c，t)用t0時刻該流體質點的空間坐標x0、y0、z0標識該流體質點，并記為a、b、c，稱為拉格朗日變數(shù)。a、b、c是確定的數(shù)，是不變的。3

二、歐拉法歐拉法著眼于流場中的空間點，研究流體質點經過這些空間點時，運動參數(shù)隨時間的變化，并用同一時刻所有點上的運動情況來描述流體質點的運動。第一節(jié)研究流體運動的兩種方法

xyz在該直角坐標系中，該空間點的坐標是用x、y、z。在t時刻某流體質點占據(jù)了該空間點。所以該流體質點的速度可表述為同時把它賦給該空間點，所以說該空間點的速度也是對流體質點來說x、y、z是t的函數(shù)，而對空間點來說x、y、z不是t的函數(shù)，而是固定值。4

二、歐拉法

第一節(jié)研究流體運動的兩種方法

xyz問題：該空點的速度是求：占據(jù)該空間點的流體質點的速度？對流體質點來說x、y、z是t的函數(shù)，而對空間點來說x、y、z不是t的函數(shù)，而是固定值。5

二、歐拉法第一節(jié)研究流體運動的兩種方法

流體質點的速度流體質點的加速度6第一節(jié)研究流體運動的兩種方法

質

點

加

速

度時變加速度由流速

不恒定

性引起位變

加速度由流速不均勻性引起7拉格朗日法

歐拉法

著眼于流體質點，跟蹤質點描述其運動歷程著眼于空間點，研究質點流經空間各固定點的運動特性布哨跟蹤第一節(jié)研究流體運動的兩種方法

8例題已知拉格朗日描述x=aet，y=be-t

求速度及加速度的歐拉描述。解：速度及加速度的拉格朗日描述速度及加速度的歐拉描述空間點流體質點9例題已知歐拉描述ux=x，uy=-y，求速度的拉格朗日描述。解：空間點的速度流體質點的速度設：t=0時，x=a，y=b，則c1=a，c2=b10第二節(jié)基本概念一、定常流動和非定常流動流場中各點的流動參數(shù)與時間無關的流動稱為定常流動。u=u(x，y，z)，p=p(x，y，z)例如，恒定流的流速場：恒定流的時變加速度為零，但位變加速度可以不為零。11第二節(jié)基本概念二、跡線與流線

1.跡線跡線就是流體質點的運動軌跡。跡線只與流體質點有關，對不同的質點，跡線的形狀可能不同。但對一確定的質點而言，其跡線的形狀不隨時間變化。x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)12

2.流線

流線是同一時刻流場中連續(xù)各點的速度方向線。

第二節(jié)基本概念t是參數(shù)13

2.流線流線具有以下兩個特點：

①非定常流動時，流線的形狀

隨時間改變；定常流動時，其形狀

不隨時間改變。此時，流線與跡線

重合，流體質點沿流線運動。

②流線是一條光滑曲線。流線之間不能相交。如果相交，交點的速度必為零。否則，同一時刻在交點上將出現(xiàn)兩個速度，這顯然是不可能的。第二節(jié)基本概念14第二節(jié)基本概念

流線是流速場的矢量線，是某瞬時對應的流場中的一條曲線，該瞬時位于流線上的流體質點之速度矢量都和流線相切。流線是與歐拉觀點相對應的概念。有了流線，流場的空間分布情況就得到了形象化的描繪。15例題已知直角坐標系中的速度場ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,試求t=0時過M(-1,-1)

點的流線。解：ux=x+t；uy=-y+t；uz=0(x+t)(-y+t)=Ct=0時過M(-1,-1)：C=-1

xy=1由流線的微分方程：t=0時過M(-1,-1)點的流線16例題t=0時過M(-1,-1)：C1=C2=0

已知直角坐標系中的速度場的歐拉描述ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,試求t=0時過M(-1,-1)

點的跡線。解：x+y=-2由跡線的微分方程：x=-t-1

y=t-1消去t，得跡線方程：17例題跡線流線xyot=0時過M(-1,-1)點的流線和跡線示意圖M(-1,-1)18三、流管、流束及總流1.流管在流場中作一條與流線不重合的封閉曲線，則通過該曲線上所有點的流線組成的管狀表面就稱為流管。當流管的斷面很小時稱為微小流管。在流管的側面沒有流體出入。流線L流管19三、流管、流束及總流2.流束流管中的所有流體稱為流束。當流束的斷面很小時稱為微小流束。3.總流流動邊界內所有流束的總和稱為總流。在微小流束的截面上可以認為所有的參數(shù)是均勻分布的。20四、過流斷面和水力直徑

1.過流斷面與總流或流束中的流線

處處垂直的斷面稱為過流斷

面(或過流截面)。

2.濕周、水力半徑、水力直徑總流的過流斷面上，流體與固體接觸的長度稱為濕周，用χ表示?？偭鬟^流斷面的面積A與濕周χ之比稱為水力半徑R，水力半徑的4倍稱為水力直徑。di=4A/χ=4R21五、流量及平均速度通過流場中某曲面A的流速通量稱為質量流量，記為Qm，單位為kg/s.流量計算

公式中，曲面A的法線指向應予明確，指向相反，流量將反號。閉曲面的法向一般指所圍區(qū)域的外法向。稱為流量，記為Q，它的物理意義是單位時間穿過該曲面的流體體積，所以也稱為體積流量，單位為m3/s.dAuAn22五、流量及平均速度總流過流斷面上的流速與法向一致，所以穿過過流斷面A的流量大小

為，其中u

為流速的大小。定義體積流量與斷面面積

之比為斷面平均流速，它是過水斷面上不均勻流速u的一個平均值，假設過水斷面上各點流速大小均等于v，方向與實際流動方向相同，則通過的流量與實際流量相等。23六、一元流動、二元流動和三元流動流量及平均速度

一維流動二維流動三維流動平面流動軸對稱流動任何實際流動從本質上講都是在三維空間內發(fā)生的，二維和一維流動是在一些特定情況下對實際流動的簡化和抽象，以便分析處理。24六、一元流動、二元流動和三元流動流量及平均速度例如，以下的流動uxazyxo25六、一元流動、二元流動和三元流動流量及平均速度直角系中的平面流動：流場與某一空間坐標變量無關，且沿該坐標方向無速度分量的流動。xyoxyzou0u0大展弦比機翼繞流

二維流動26六、一元流動、二元流動和三元流動流量及平均速度柱坐標系中的軸對稱流動：zro液體在圓截面管道中的流動子午面27七、系統(tǒng)和控制體眾多流體質點的集合稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)一經確定，它所包含的流體質點都將確定。系統(tǒng)的大小、位置和形狀是可以變化的。系統(tǒng)控制體是指流場中某一確定的空間。這一空間的邊界稱為控制面?？刂企w一經選定，它在某坐標系中的大小、位置和形狀都不再變化。控制體28第三節(jié)連續(xù)性方程

連續(xù)性方程的物理學本質：質量不滅定律在流體力學中的反映。在拉格朗日方法體系中有：

在歐拉方法體系中有：29第三節(jié)連續(xù)性方程

一、定?？偭鬟B續(xù)性方程在歐拉方法體系中有：定常流動時有ρ=C30第三節(jié)連續(xù)性方程在有分流匯入及流出的情況下，連續(xù)方程只須作相應變化。質量的總流入=質量的總流出。一、定?？偭鬟B續(xù)性方程ρ=C31第三節(jié)連續(xù)性方程

二、直角坐標系中的連續(xù)性方程xyzodxdydzuxabcda’b’c’d’凈流入前后這一對表面的流體質量為在時間段dt

里，從abcd

面流入微元體的流體質量為從a’b’c’d’面流出的流體質量為32第三節(jié)連續(xù)性方程xyzodxdydzuzabcda’b’c’d’和uy

二、直角坐標系中的連續(xù)性方程同理可知，在時間段dt

里，沿著y方向和z方向凈流入左右和上下兩對表面的流體質量分別為33第三節(jié)連續(xù)性方程三維流動的連續(xù)性微分方程在時間段dt

里，微元控制體內流體質量的增加根據(jù)質量不滅定律簡化34第三節(jié)連續(xù)性方程

二、直角坐標系中的連續(xù)性方程ρ=C定常ρ=C35第三節(jié)連續(xù)性方程習題3-9

直徑D=1.2m的水箱通過d=30mm的小孔泄流。今測得水箱的液面在1s內下降了0.8mm。求泄流量Q和小孔處的平均速度v。解：36第三節(jié)連續(xù)性方程習題3-11

大管d1=150mm和小管d2=100mm之間用一變徑接頭連接。若小管中的速度v2=3m/s，求流量Q和大管中的平均速度v1。解：設流體不可壓，根據(jù)連續(xù)方程，有37第三節(jié)連續(xù)性方程習題3-15判斷流動ux=xy；uy=-xy

是否滿足不可壓縮流動的連續(xù)性條件。解：因為

ux=xy；uy=-xy

與時間無關，所以流動定常，根據(jù)定常不可壓微分形式連續(xù)方程，有因為（y－x）≠0，所以流動不滿足不可壓流動的連續(xù)條件。38第三節(jié)流體微團的運動分析考察和分析流體質點之間的相對位移和相對運動。談及相對運動就必須把討論問題的尺度從流體質點擴大到流體微團。給出在同一時刻流體微團中任意兩點速度之間的關系。分析流體微團的運動形式。39第三節(jié)流體微團的運動分析dr40ABxyodxdyt

CD以oxy平面上的運動為例，分析流體微團的運動。A’B’C’D’第三節(jié)流體微團的運動分析t+dtA’B’C’D’41ABxyodxdyt

CD以oxy平面上的運動為例，分析流體微團的運動。第三節(jié)流體微團的運動分析42A’B’C’D’第三節(jié)流體微團的運動分析－線變形43第三節(jié)流體微團的運動分析－旋轉和角變形44第三節(jié)流體微團的運動分析－旋轉和角變形ABxyodxdyt

CD45第三節(jié)流體微團的運動分析－旋轉和角變形46第三節(jié)流體微團的運動分析－有旋和無旋唯一的標準是看流速場是否滿足，寫成分量形式為：

判別：

有旋流動和無旋流動

無旋流動有旋流動這個分類是

很重要的47第一節(jié)研究流體運動的兩種方法

一、拉格朗日法在直角坐標系中，流體質點在x、y、z方向的坐標可描寫成

x=x(a，b，c，t)ux=dx/dt=x′(a，b，c，t)

y=y(a，b，c，t)uy=dy/dt=y′(a，b，c，t)

z=z(a，b，c，t)uz

=dz/dt=z′(a，b，c，t)48上次課主要內容回顧

二、歐拉法第一節(jié)研究流體運動的兩種方法

49上次課主要內容回顧第一節(jié)研究流體運動的兩種方法

質

點

加

速

度時變加速度由流速

不恒定

性引起位變

加速度由流速不均勻性引起50上次課主要內容回顧第二節(jié)基本概念一、定常流動和非定常流動流場中各點的流動參數(shù)與時間無關的流動稱為定常流動。u=u(x，y，z)，p=p(x，y，z)51上次課主要內容回顧第二節(jié)基本概念二、跡線與流線

1.跡線跡線就是流體質點的運動軌跡。跡線只與流體質點有關，對不同的質點，跡線的形狀可能不同。但對一確定的質點而言，其跡線的形狀不隨時間變化。x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)52上次課主要內容回顧

2.流線

流線是同一時刻流場中連續(xù)各點的速度方向線。

第二節(jié)基本概念t是參數(shù)53上次課主要內容回顧

2.流線流線具有以下兩個特點：

①非定常流動時，流線的形狀

隨時間改變；定常流動時，其形狀

不隨時間改變。此時，流線與跡線

重合，流體質點沿流線運動。

②流線是一條光滑曲線。流線之間不能相交。如果相交，交點的速度必為零。否則，同一時刻在交點上將出現(xiàn)兩個速度，這顯然是不可能的。第二節(jié)基本概念54上次課主要內容回顧三、流管、流束及總流1.流管流線L流管55上次課主要內容回顧三、流管、流束及總流2.流束

3.總流流動邊界內所有流束的總和稱為總流。56上次課主要內容回顧四、過流斷面和水力直徑

1.過流斷面與總流或流束中的流線

處處垂直的斷面稱為過流斷

面(或過流截面)。

2.濕周、水力半徑、水力直徑總流的過流斷面上，流體與固體接觸的長度稱為濕周，用χ表示?？偭鬟^流斷面的面積A與濕周χ之比稱為水力半徑R，水力半徑的4倍稱為水力直徑。di=4A/χ=4R57上次課主要內容回顧五、流量及平均速度dAuAn58上次課主要內容回顧七、系統(tǒng)和控制體眾多流體質點的集合稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)一經確定，它所包含的流體質點都將確定。系統(tǒng)的大小、位置和形狀是可以變化的。系統(tǒng)控制體是指流場中某一確定的空間。這一空間的邊界稱為控制面?？刂企w一經選定，它在某坐標系中的大小、位置和形狀都不再變化?？刂企w59上次課主要內容回顧第三節(jié)連續(xù)性方程

連續(xù)性方程的物理學本質：質量不滅定律在流體力學中的反映。在拉格朗日方法體系中有：在歐拉方法體系中有：60上次課主要內容回顧第三節(jié)連續(xù)性方程一、定?？偭鬟B續(xù)性方程ρ=C61上次課主要內容回顧第三節(jié)連續(xù)性方程

二、直角坐標系中的連續(xù)性方程ρ=C定常ρ=C62上次課主要內容回顧第三節(jié)流體微團的運動分析dr63上次課主要內容回顧ABxyodxdyt

CDA’B’C’D’第三節(jié)流體微團的運動分析t+dtA’B’C’D’64上次課主要內容回顧第三節(jié)流體微團的運動分析－線變形65上次課主要內容回顧第三節(jié)流體微團的運動分析－旋轉和角變形66上次課主要內容回顧第三節(jié)流體微團的運動分析－有旋和無旋唯一的標準是看流速場是否滿足，寫成分量形式為：

判別：

有旋流動和無旋流動

無旋流動有旋流動這個分類是

很重要的67上次課主要內容回顧第五節(jié)勢函數(shù)和流函數(shù)可以證明：當流動為無旋(即有勢)時，函數(shù)φ(x，y，z)必存在，且上式一定成立。一、勢函數(shù)68第五節(jié)勢函數(shù)和流函數(shù)二、流函數(shù)等流函數(shù)ψ(x，y)＝C是流線?？梢宰C明：當流動為不可壓時，函數(shù)ψ(x,y)必存在，且上式一定成立。69第六節(jié)平面勢流及其迭加一、幾種簡單的平面勢流

1.平行流

oαxyψ2ψ1ψ4φ2ψ3ψ5φ3φ4φ5φ170第六節(jié)平面勢流及其迭加一、幾種簡單的平面勢流

2.點源和點匯設平面上有一涌出流體的源泉點O(稱為源點)。單位時間內流出體積為Q的流體。如果流體只在相