統(tǒng)計(jì)學(xué)常用公式表

公式一眾數(shù)【MODE】未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計(jì)算未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。組距分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計(jì)算對(duì)于組距分組數(shù)據(jù)，先找出出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值所在組，即為眾數(shù)所在組，再根據(jù)下面的公式計(jì)算計(jì)算眾數(shù)的近似值。下限公式：式中：表示眾數(shù)；L表示眾數(shù)的下線；表示眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差；表示眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差；表示眾數(shù)組的組距。上限公式：式中：U表示眾數(shù)組的上限。2．中位數(shù)【MEDIAN】（1）未分組數(shù)據(jù)中中位數(shù)的計(jì)算根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)，要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定中位數(shù)的位置。設(shè)一組數(shù)據(jù)按從小到大排序后為，中位數(shù)，為則有：當(dāng)N為奇數(shù)當(dāng)N為偶數(shù)（2）分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算時(shí)，要先根據(jù)公式N/2確定中位數(shù)的位置，并確定中位數(shù)所在的組，然后采用下面的公式計(jì)算中位數(shù)的近似值：式中：表示中位數(shù)；L表示中位數(shù)所在組的下限；表示中位數(shù)所在組以下各組的累計(jì)次數(shù)；表示中位數(shù)所在組的次數(shù)；表示中位數(shù)所在組的組距。3．均值的計(jì)算【AVERAGE】（1）未經(jīng)分組均值的計(jì)算未經(jīng)分組數(shù)據(jù)均值的計(jì)算公式為：（2）分組數(shù)據(jù)均值計(jì)算分組數(shù)據(jù)均值的計(jì)算公式為：4．幾何平均數(shù)【GEOMEAN】幾何平均數(shù)是N個(gè)變量值乘積的N次方根，計(jì)算公式為：式中：G表示幾何平均數(shù)；表示連乘符號(hào)。5．調(diào)和平均數(shù)【HARMEAN】調(diào)和平均數(shù)是對(duì)變量的倒數(shù)求平均，然后再取倒數(shù)而得到的平均數(shù)，它有簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)與加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種計(jì)算形式。簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：加權(quán)調(diào)和平均數(shù)：式中：H表示調(diào)和平均數(shù)。6．極差【Range】極差也稱全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，即式中：R表示極差；和分別表示一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值。7．平均差【MeanDeviation】平均差是各標(biāo)志值與其平均數(shù)的絕對(duì)離差的算術(shù)平均。根據(jù)未分組資料的計(jì)算公式：根據(jù)分組資料的計(jì)算公式：式中：AD表示平均差8．方差【Variance】和標(biāo)準(zhǔn)差【StandardDeviation】方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。要求掌握方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法。未分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為：分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為：式中：表示方差。方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，其相應(yīng)的計(jì)算公式為：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：式中：表示標(biāo)準(zhǔn)差。9．離散系數(shù)離散系數(shù)通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)計(jì)算的，因此，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)。其計(jì)算公式為：式中：表示離散系數(shù)。10．偏態(tài)【SKEW】偏態(tài)是對(duì)分布偏斜方向及程度的測(cè)度。利用眾數(shù)、中位數(shù)和均值之間的關(guān)系就可以判斷分布是左偏還是右偏。顯然，判別偏態(tài)的方向并不困難，但要測(cè)度偏斜的程度就需要計(jì)算偏態(tài)系數(shù)了。EXCEL中偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式為：11．峰值【KURT】EXCEL中峰值系數(shù)的計(jì)算公式為：式中：s表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差。公式二均值估計(jì)（1）樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差，即為樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，又稱為樣本均值的抽樣平均誤差,它反映的是所有可能樣本的均值與總體均值的平均差異程度，反映了所有可能樣本的實(shí)際抽樣誤差水平。樣本均值的抽樣平均誤差計(jì)算公式為：重復(fù)抽樣方式：不重復(fù)抽樣方式：通常情況下，當(dāng)N很大時(shí)，（N-1）幾乎等于N，樣本均值的抽樣平均誤差的計(jì)算公式也可簡(jiǎn)化為：在公式中，是總體標(biāo)準(zhǔn)差。但實(shí)際計(jì)算時(shí)，所研究總體的標(biāo)準(zhǔn)差通常是未知的，在大樣本的情況下，通常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替。（2）大樣本均值的極限誤差（3）大樣本下總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的置信度為（）的置信區(qū)間：即（4）總體方差未知，小樣本正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的置信度為（）的置信區(qū)間：即2．比例估計(jì)（1）樣本比例的抽樣平均誤差樣本比例的抽樣平均誤差為：重復(fù)抽樣下：上式中，p應(yīng)為總體比例，實(shí)際計(jì)算時(shí)通常用樣本比例p代替。不重復(fù)抽樣下：（2）樣本比例的抽樣極限誤差（3）總體比率的區(qū)間估計(jì)總體比例P的置信度為（）的置信區(qū)間為：即總體均值檢驗(yàn)單一總體均值檢驗(yàn)=1\*GB3①正態(tài)總體（總體方差已知）或大樣本均值檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z為：=2\*GB3②正態(tài)總體（總體方差未知）小樣本均值檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t為：兩個(gè)總體的均值檢驗(yàn)=1\*GB3①兩個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)——兩個(gè)總體方差已知或大樣本Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：大樣本下對(duì)兩個(gè)總體均值進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不變。=2\*GB3②兩個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)（小樣本）——兩個(gè)總體方差未知但相等T檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：其中：；總體比例檢驗(yàn)單一總體的比例檢驗(yàn)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：兩個(gè)總體比例的檢驗(yàn)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：其中：，為當(dāng)時(shí)和的聯(lián)合估計(jì)值。總體方差假設(shè)檢驗(yàn)單一正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：其中：為的估計(jì)量。兩個(gè)正態(tài)總體的方差假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：其中：；。公式三1.單因素方差分析設(shè)總體共分為k種處理進(jìn)行觀察，第j種處理試驗(yàn)了容量為的樣本。計(jì)算各項(xiàng)離差平方和在單因素方差分析中，需要計(jì)算的離差平方和有3個(gè)，它們分別是總離差平方和，誤差項(xiàng)離差平方和以及水平項(xiàng)離差平方和?？傠x差平方和，用SST（SumofSquaresforTotal）代表：式中：表示全部樣本觀測(cè)值的總均值。其計(jì)算公式為：誤差離差平方和，用SSE（SumofSquaresforError）代表：式中：表示第j種水平的樣本均值，水平項(xiàng)離差平方和。為了后面敘述方便，可以把單因素方差分析中的因素稱為A。于是水平項(xiàng)離差平方和可以用SSA（SumofSquaresforFactorA）表示。SSA的計(jì)算公式為：計(jì)算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和（MeanSquare）。對(duì)SST來(lái)說(shuō)，其自由度為（n-1）；對(duì)SSA來(lái)說(shuō)，其自由度為（r-1），這里r表示水平的個(gè)數(shù)；對(duì)SSE來(lái)說(shuō)，其自由度為（n-r）。與離差平方和一樣，SST、SSA、SSE之間的自由度也存在著如下的關(guān)系：n-1=（r-1）+（n-r）對(duì)于SSA，其平均平方MSA（組間均方差）為：對(duì)于SSE，其平均平方MSE（組內(nèi)均方差）為：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F2．兩因素方差分析設(shè)兩個(gè)因素A、B分別有k個(gè)水平和n個(gè)水平，共進(jìn)行nk次試驗(yàn)。計(jì)算各項(xiàng)離差平方和在兩因素方差分析中，需要計(jì)算的離差平方和有4個(gè)，它們分別是總離差平方和，誤差項(xiàng)離差平方和以及水平A、B項(xiàng)離差平方和?？傠x差平方和，用SST（SumofSquaresforTotal）代表：式中：表示全部樣本觀察值的總均值，其計(jì)算公式為：水平項(xiàng)離差平方和可以分別用SSA（SumofSquaresforFactorA）和SSB（SumofSquaresforFactorB）表示。SSA的計(jì)算公式為：式中：SSB的計(jì)算公式為：式中：誤差離差平方和，用SSE（SumofSquaresforError）代表：計(jì)算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和（MeanSquare）。對(duì)SST來(lái)說(shuō)，其自由度為（nk-1）；對(duì)SSA來(lái)說(shuō)，其自由度為（k-1），這里k表示水平A的個(gè)數(shù)；對(duì)SSB來(lái)說(shuō)，其自由度為（n-1