梁的剛度分析專業(yè)課件

梁的剛度分析§1概述內(nèi)容§2梁的撓曲線近似微分方程用其積分§3用疊加法求梁的變形§4簡單靜不定梁的解法§5梁的剛度校核及提高梁的剛度措施§6梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能§1概述

*在上一章中，我們對各種截面梁中橫截面上的應(yīng)力，作了比較詳盡的介紹和分析，但是，對一根梁來說，它是不是只要滿足了應(yīng)力要求，即強(qiáng)度條件，就能夠使得整個構(gòu)件正常，安全的工作呢？為了回答這個問題，下面我們先看一看幾個簡單的例子：齒輪軸彎曲變形過大，就要影響齒輪的正常嚙合，加速齒輪的磨損，產(chǎn)生較大的噪音。齒輪軸彎曲吊車梁若變形過大，一方面會使吊車在行駛過程中發(fā)生較大的振動，另一方面使得吊車出現(xiàn)下坡和爬坡現(xiàn)象。吊車梁變形從上面兩個例子我們可看出：梁即使?jié)M足了強(qiáng)度條件，若變形過大的話，它仍然不能夠正常安全的工作。由此，我們可以得出：要使梁正常安全的工作，一方面梁不僅要滿足強(qiáng)度條件，另一方面梁還必須滿足一定的變形條件。只有在這兩方面同時得到滿足的條件下，整個構(gòu)件才能正常安全工作。*

第九章的內(nèi)容就告訴了我們上面所提到的梁所必須滿足的變形條件以及計(jì)算這種彎曲變形的方法，下面我們首先來看幾個基本概念：舉例：如圖所示：取梁變形前的軸線為x軸，與x軸垂直的為y

軸。彎曲變形后，在xy平面內(nèi)，AB——弧AC1B，撓曲線——平面曲線AC1B。ABFC1xyx1．撓度——梁的軸線上某一個點(diǎn)在垂直于x軸的方向（y方向）所發(fā)生的位移。2．轉(zhuǎn)角——梁上某一橫截面在梁發(fā)生變形后，繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度

，就稱為該橫截面的轉(zhuǎn)角。3．撓曲線方程——從圖中我們可以看出：梁的軸線上每一點(diǎn)的撓度y是隨著點(diǎn)的位置x的改變而變化的，因此它是x的函數(shù),即：——撓曲線方程4．轉(zhuǎn)角方程——由截面的平面假設(shè)可知：變形前垂直于軸線的橫截面，變形后仍垂直于撓曲線，故，當(dāng)我們通過撓曲線上任意一點(diǎn)C1作切線時，它與水平線的夾角點(diǎn)所在橫截面的轉(zhuǎn)角，于是：顯然等于C1任一點(diǎn)的斜率與轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系為：撓曲線：物理意義：反應(yīng)了撓度與轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，即撓曲線上任意一點(diǎn)處切線的斜率等于該點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角。由于：

極其微小——轉(zhuǎn)角方程

結(jié)論：由轉(zhuǎn)角方程我們可看出：梁上某點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角等于在該點(diǎn)處的大小。研究梁的變形的關(guān)鍵在于提出撓曲線方程撓度：向下的撓度為正，向上的撓度為負(fù)轉(zhuǎn)角：順時針的轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，逆時針的轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)5．撓度，轉(zhuǎn)角的正負(fù)號規(guī)定：目錄§2梁的撓曲線近似微分方程用其積分.撓曲線近似微分方程（的推導(dǎo)）

在上一章，討論純彎曲變形時，得出：梁純彎曲時軸線的曲率為：（a）

在橫力彎曲中，我們知道梁的橫截面上的內(nèi)力除彎矩外，還有剪力，但同時我們又知道：工程上常用的梁，由于L（跨長）遠(yuǎn)大于h（橫截面高度），剪力的影響很小，可忽略不計(jì)。故我們?nèi)钥蓪⑵洚?dāng)作純彎曲梁來處理。有(a)式來表示曲率大小。但由于在橫力彎曲中，曲率和彎矩都是x的函數(shù)。故而應(yīng)寫為：(b)又：

(9-3)——撓曲線近似微分方程注:上式之所以稱為梁的撓曲線近似微分方程，主要是略去了剪力的影響和項(xiàng)的結(jié)果。9、人的價(jià)值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2023/2/32023/2/3Friday,February3,202310、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2023/2/32023/2/32023/2/32/3/20234:39:35PM11、人總是珍惜為得到。2023/2/32023/2/32023/2/3Feb-2303-Feb-2312、人亂于心，不寬余請。2023/2/32023/2/32023/2/3Friday,February3,202313、生氣是拿別人做錯的事來懲罰自己。2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/32/3/202314、抱最大的希望，作最大的努力。03二月20232023/2/32023/2/32023/2/315、一個人炫耀什么，說明他內(nèi)心缺少什么。。二月232023/2/32023/2/32023/2/32/3/202316、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2023/2/32023/2/303February202317、一個人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/3二.討論：

從（9-3）式可看到：在等式的右邊有一個+號。到底是取正號還是取負(fù)呢？

我們大家都知道，梁變形后的形狀，不外乎<a><b>兩種。我們現(xiàn)在分別討論：9、人的價(jià)值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2023/2/32023/2/3Friday,February3,202310、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2023/2/32023/2/32023/2/32/3/20234:39:35PM11、人總是珍惜為得到。2023/2/32023/2/32023/2/3Feb-2303-Feb-2312、人亂于心，不寬余請。2023/2/32023/2/32023/2/3Friday,February3,202313、生氣是拿別人做錯的事來懲罰自己。2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/32/3/202314、抱最大的希望，作最大的努力。03二月20232023/2/32023/2/32023/2/315、一個人炫耀什么，說明他內(nèi)心缺少什么。。二月232023/2/32023/2/32023/2/32/3/202316、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2023/2/32023/2/303February202317、一個人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/3<a>:在如圖所示的坐標(biāo)系中，顯然（因?yàn)闀r，函數(shù)出現(xiàn)極小值）而此時：M<0故，等式的右邊應(yīng)取“—”號，即：<b>：在如圖所示的坐標(biāo)系中，顯然，此時函數(shù)出現(xiàn)了極大值而此時：M>0故等式的右邊應(yīng)取“—”號，即：綜上所述，得出：

——撓曲線的近似微分方程

三.積分：對等截面梁來說：

故（9-3）可寫成：（9-4）

積分得：下面我們還要對C、D進(jìn)行確定：

由此我們可看出：根據(jù)（9-4）（9-5）就可以把某點(diǎn)處截面的轉(zhuǎn)角和撓度求出來。但由（9-4）（9-5）我們還看到，有兩個積分常數(shù)C、D。如果這兩個常數(shù)不知道的話，我們還是無從求出和y。（9-5）四.積分常數(shù)的確定：

一般情況下，積分常數(shù)可通過梁的支座處的變形條件（稱為邊界條件或支承條件）或梁的撓曲線的變形連續(xù)性條件來確定。變形條件：所謂變形條件，一般是指梁的支承處的變形特點(diǎn)，如鉸支座及連桿支座處的撓度為零。固定端處的撓度為零。見下圖：ABAB2.連續(xù)性條件：指梁被載荷分成幾段時，我們將分段列出彎矩方程，由于梁的撓曲線是一光滑連續(xù)曲線，所以段與段之間連接處的撓度，轉(zhuǎn)角在兩段上的數(shù)值必須相等。例如：<b>中c點(diǎn)為AC段與CB段的連接點(diǎn)，則AC段上C點(diǎn)的撓度，轉(zhuǎn)角應(yīng)該與CB段上C點(diǎn)的撓度，相等，即：轉(zhuǎn)角五.舉例：

例1.圖示簡支梁受均布載荷作用，載荷集度為q，梁的跨長為L，求梁跨中點(diǎn)C處的撓度與支座A點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角。根據(jù)對稱性，可得：

（1）求支反力：解：直接積分法：對式進(jìn)行積分求梁的變形方法。分別或同時利用上述兩種條件就可以將積分常數(shù)確定出來。AB（2）建立撓曲線微分方程

以梁的左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系如圖，則：——（1）——（2）

（3）利用邊界條件確定積分常數(shù)C、D將C、D代入（1）（2）得：x=0,

得：D=0x=L,

得：（3）（4）

（4）時，（將代入（4）式得）將x=0代入（3）得：（5）討論：如若我們將x=0代入（1）（2），即可得到、分別為：（5）

（6）

即：一次常數(shù)C表示原點(diǎn)的轉(zhuǎn)角與抗彎剛度的乘積

二次常數(shù)D表示原點(diǎn)的撓度與抗彎剛度的乘積從上面可看出：把原點(diǎn)取在簡支梁的鉸支座上時，二次積分常數(shù)

D=0,這正是因?yàn)樵c(diǎn)是鉸支座，而鉸支座處的撓度為零。注：這一點(diǎn)可作為一個標(biāo)準(zhǔn)來檢驗(yàn)上面積分常數(shù)的正確與否，并且對其它類型的梁也成立。例2.圖示一懸臂梁，自由端受一集中力P作用，求自由端B處的撓度和轉(zhuǎn)角。解：建立坐標(biāo)系如圖：（1）求支反力（2）建立撓曲線微分方程（3）利用邊界條件確定積分常數(shù)C、D(4)將X=L代入（c）(d)式得：——（a）——（b）由x=0,時

D=0C=0——（c）——（d）（5）討論：由上面可看到：由于固定端處的轉(zhuǎn)角和撓度都為零，故C=D=0，即：它也滿足例1中得出的結(jié)論。例3.圖示一簡支梁，在梁跨度中點(diǎn)C處作用一個集中力P。求該跨中點(diǎn)C的撓度及支座A點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角。AB解：[分析]象這樣類型習(xí)題的傳統(tǒng)解法是：以A點(diǎn)為原點(diǎn),建立坐標(biāo)系，分AC段，CB段分別列出彎矩方程及撓曲線方程，然后根據(jù)變形條件和連續(xù)條件確定積分方程。從而求解，我們的書中用的就是這種解法，但是，我們只要稍微注意一下，就可發(fā)現(xiàn)，此梁為一對稱結(jié)構(gòu)，因此，我們只需取其一半結(jié)構(gòu)即可得出結(jié)果。(1)求支反力：由對稱性可得：取AC段為研究對象：（2）建立撓曲線微分方程

——（1）——（2）

（3）利用邊界條件確定積分常數(shù)C、D將C、D代入（1）（2）得：（4）求結(jié)果：x=0時，

x=L/2時，

由x=0,得：D=0由對稱性可得：x=L/2,

，得：

圖示一簡支梁，在梁中點(diǎn)處作用一個集中力偶Me，求梁跨中點(diǎn)C處的撓度與鉸支座A點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角及連桿支座B點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角。并求梁上最大撓度值。AB思考題：目錄§3用疊加法求梁的變形.概述：

我們上面所講的直接積分法是求梁變形的基本方法，但在載荷復(fù)雜的情況下，要列多段彎矩方程，從而產(chǎn)生很多的積分常數(shù)。運(yùn)算非常復(fù)雜?，F(xiàn)在我們將要介紹的疊加法，基本上克服了這一缺點(diǎn)，為工程上常采用的較方便的計(jì)算方法之一。我們在本門課的一開始就曾講過，材料力學(xué)所研究的范圍是線彈性范圍，變形是小變形，梁的撓度和轉(zhuǎn)角與作用在梁上的載荷成線性關(guān)系。故而當(dāng)梁同時受幾個載荷作用而使梁產(chǎn)生的變形，就等于每一個載荷單獨(dú)作用下梁產(chǎn)生的變形的代數(shù)和。這種用每一個載荷單獨(dú)作用下梁產(chǎn)生的變形的代數(shù)和來代替梁同時受幾個載荷共同作用下產(chǎn)生的總變形的方法，我們就稱其為疊加法。在用疊加法求梁的變形時，每一個載荷單獨(dú)作用下產(chǎn)生變形可從本書附錄中查到。二.舉例：例4.圖示一簡支梁受均布載荷及集中力偶作用，試用疊加法求梁跨中點(diǎn)處的撓度和支座處的轉(zhuǎn)角。AB（1）首先將梁上的載荷分成兩種，如下圖，并由附錄中查得它們單獨(dú)作用下，跨中處的撓度和支座處的轉(zhuǎn)角為：解：ABAB(2).進(jìn)行代數(shù)相加，求得：例5.圖示，一受載荷的懸臂梁，求自由端A點(diǎn)處的撓度和轉(zhuǎn)角解：在分析這種梁的時候，我們把它分成兩段來考慮：由附錄中，我們可查得：

由CA段上無載荷，CA段又是自由端，所以CA段梁變形后仍保持直桿，如圖所示，由桿件的變形連續(xù)條件可知：

圖示，一懸臂梁受集中力作用，試用疊加法求自由端A點(diǎn)處的撓度和轉(zhuǎn)角思考題目錄§4簡單靜不定梁的解法

.概述

對于靜不定梁，一般的解決辦法有三種：疊加法，能量法，力法，其中的能量法和力法我們將在以后的幾章中介紹，現(xiàn)在我們就用疊加法來解靜不定梁。二.方法：(2).根據(jù)解除約束處的原來約束性質(zhì)，即變形特點(diǎn)，列出變形關(guān)系。(1).首先將多余約束解除，代之以支座反力，從而使靜不定結(jié)構(gòu)成為靜定結(jié)構(gòu)。(3).利用物理關(guān)系得出補(bǔ)充方程(4).聯(lián)立求解補(bǔ)充方程與靜力平衡關(guān)系三.舉例：例10.圖示超靜定梁上作用均布載荷，集度為q，試求其支座反力并繪出該梁的內(nèi)力圖。(1).由附表可查得：

(2).變形相容條件：得：

(a)(b)(c)(3).將(a)(b)代入(c)得：

目錄§5梁的剛度校核及提高梁的剛度措施.剛度條件：土建工程：以強(qiáng)度為主，一般強(qiáng)度條件滿足了，剛度要求也就滿足了，因此剛度校核在土建工程中處于從屬地位。機(jī)械工程：對二者的要求一般是平等的，在剛度方面對撓度和轉(zhuǎn)角都有一定的限制，如機(jī)床中的主軸，撓度過大影響加工精度，軸端轉(zhuǎn)角過大，會使軸承嚴(yán)重磨損。橋梁工程：撓度過大，機(jī)車通過時將會產(chǎn)生很大的振動。綜上所述：在工程設(shè)計(jì)中，我們有必要對梁的撓度和轉(zhuǎn)角進(jìn)行限制，對梁的撓度的限制，通常以梁的撓度與跨長的比值

作為標(biāo)準(zhǔn)。對梁轉(zhuǎn)角的限制，就以梁的容許轉(zhuǎn)角為標(biāo)準(zhǔn)。土建工程：

一般要求不大機(jī)械工程：

由以上的分析：可建立剛度條件如下：二.舉例例6.圖示一矩形截面的懸臂梁，載荷集度q=10KN/m,L=3m。容許單位跨度內(nèi)的撓度值，材料的容許正應(yīng)力，彈性模量截面尺寸比：求截面尺寸h、b。矩形橫截面解：[分析]：今后大家一定要注意：在材料力學(xué)中，凡是遇到確定截面的問題，決不會超出兩個方面，一個是強(qiáng)度條件，另一個是剛度條件，如果已知條件中給了強(qiáng)度容許值，只需要按強(qiáng)度條件來確定就行了，反之只需要按剛度條件確定就行了，若兩方面的容許值都給出了，那就必須分別確定，然后進(jìn)行比較選擇.(2).按剛度條件設(shè)計(jì)：由附錄查得：代入剛度條件得：（其中：）(1).按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)：

綜上所述，截面尺寸應(yīng)按強(qiáng)度條件計(jì)算時，剛度條件一定滿足。

從附錄2的變形計(jì)算式中可看出：梁的變形不僅與梁的支承和載荷有關(guān)，而且還與梁的材料，截面形狀和跨長有關(guān)，總的來說，可用下式表示：三.提高梁的剛度的措施

從上式可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)承受的載荷一定時，要想提高梁的彎曲剛度，必須從抗彎剛度和跨長兩方面來考慮：1.增加梁的抗彎剛度：(1).增加E：對鋼材來說，E的變化不大，故不常采用。(2).增加Iz：盡量采用工字鋼等型鋼，組合截面空心截面。2．減小梁的跨長：(1).采用外伸梁，從而縮短跨長。(2).增加支座，從而縮短跨長。目錄§6梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能AB∵又∵∴

圖(a)為一橫向力作用的梁，我們現(xiàn)在從中取出一微段(b)進(jìn)行研究：由于該梁的跨長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于截面高度，故兩邊的剪力可略去不計(jì)，又由于為一階微量，相應(yīng)于來說，也所做的功為：非常微小，故也可略去，故在線彈性范圍內(nèi)，注：（1）當(dāng)彎矩方程式在梁的各段中不相同，或抗彎剛度

在梁的各段中不相同時，則上式積分必須分段進(jìn)行。（2）注意對稱結(jié)構(gòu)。例7.已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在均布載q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和vmax。解：由邊界條件：得：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：例8：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和vmax。解：由邊界條件：得：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：例9：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在集中力P

作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和vmax。解：由邊界條件：得：得：由對稱條件：AC段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：例10：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和vmax。解：由對稱性，只考慮半跨梁ACD