通信原理-抽樣定理

《通信原理》

抽樣定理周文炯學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解模擬信號(hào)數(shù)字化傳輸系統(tǒng)的過(guò)程2.掌握理想低通抽樣定理

重點(diǎn)：理想低通抽樣定理難點(diǎn)：由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)2模擬信號(hào)的數(shù)字傳輸數(shù)字通信系統(tǒng)具有許多優(yōu)點(diǎn)而成為當(dāng)今通信的發(fā)展方向自然界的許多信息經(jīng)各種傳感器感知后都是模擬量，例如電話、電視等通信業(yè)務(wù)，其信源輸出的消息都是模擬信號(hào)。若要利用數(shù)字通信系統(tǒng)傳輸模擬信號(hào)，一般需要三個(gè)步驟：（1）把模擬信號(hào)數(shù)字化，即模數(shù)轉(zhuǎn)換（A/D）（2）進(jìn)行數(shù)字方式傳輸（3）把數(shù)字信號(hào)還原為模擬信號(hào)，即數(shù)模轉(zhuǎn)換（D/A）3模擬信號(hào)的數(shù)字傳輸A/D轉(zhuǎn)換中有三個(gè)基本過(guò)程：抽樣、量化、編碼。4模擬信號(hào)數(shù)字化傳輸?shù)南到y(tǒng)框圖

抽樣、量化、編碼

數(shù)字通信系統(tǒng)

譯碼和低通濾波

模擬信息源模擬隨機(jī)信號(hào)數(shù)字隨機(jī)序列數(shù)字隨機(jī)序列模擬隨機(jī)信號(hào)5抽樣量化編碼量化等級(jí)

量化電平二進(jìn)制編碼實(shí)際抽樣值00V00000.01V10.2V00010.21V20.4V00100.42V30.6V00110.59V40.8V01000.80V51.0V01010.99V61.2V01101.18V71.4V011181.6V100091.8V1001A/D轉(zhuǎn)換步驟示意圖抽樣定理抽樣是把時(shí)間上連續(xù)的模擬信號(hào)變成一系列時(shí)間上離散的抽樣值的過(guò)程。抽樣定理的大意是，如果對(duì)一個(gè)頻帶有限的時(shí)間連續(xù)的模擬信號(hào)進(jìn)行抽樣，當(dāng)抽樣速率達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，那么根據(jù)它的抽樣值就能重建原信號(hào)。也就是說(shuō)，若要傳輸模擬信號(hào)，不一定要傳輸模擬信號(hào)本身，而只需傳輸按抽樣定理得到的抽樣值即可。抽樣定理是模擬信號(hào)數(shù)字化的理論依據(jù)。能否由樣值序列重建原信號(hào),是抽樣定理要回答的問(wèn)題。6抽樣定理舉一個(gè)放電影的例子,自然界中連續(xù)運(yùn)動(dòng)的物體,經(jīng)過(guò)攝像機(jī)的拍攝(抽樣)后變?yōu)橐粡垙垺半x散”的膠片在放映時(shí)由于人眼的暫留效應(yīng)對(duì)光線的變化就有低通特性(人眼對(duì)緩慢變化的光線可以察覺(jué)到,而對(duì)迅速變化的光線則無(wú)法察覺(jué))。光線的暫時(shí)中斷被人眼自動(dòng)連接上了。所以在屏幕上看到的畫(huà)面就是一個(gè)連續(xù)動(dòng)作的圖像。要使“離散”的圖像被人眼平滑成連續(xù)的圖像,要求攝影機(jī)在單位時(shí)間內(nèi)能拍攝出足夠多的畫(huà)面(即采樣頻率要足夠高)。如果攝像機(jī)在單位時(shí)間內(nèi)拍攝的畫(huà)面數(shù)不夠,在放映時(shí)看到的動(dòng)作就有跳動(dòng)的感覺(jué),而不是連續(xù)的感覺(jué),這時(shí)就產(chǎn)生了畫(huà)面的失真。7抽樣定理對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行抽樣和拍電影一樣,當(dāng)抽樣頻率足夠高時(shí),模擬信號(hào)迅速變化的部分都采集到了,接收端利用一個(gè)低通濾波器進(jìn)行平化處理,可恢復(fù)出原信號(hào)。而抽樣頻率不夠高時(shí),模擬信號(hào)迅速變化的部分沒(méi)有都采集到,低通濾波器平滑輸出的波形就會(huì)產(chǎn)生失真。結(jié)論：抽樣后的樣值序列含有原模擬信號(hào)的信息,如果要把樣點(diǎn)恢復(fù)成原模擬信號(hào),在抽樣時(shí)一定要滿(mǎn)足一定的條件——抽樣定理。抽樣定理告訴我們,究竟需要多高的采樣頻率,在收端可以用低通濾波器不失真地恢復(fù)出原信號(hào)。8抽樣定理9根據(jù)信號(hào)m(t)是低通型信號(hào)還是帶通型信號(hào),抽樣定理可分為低通型信號(hào)抽樣定理和帶通型信號(hào)抽樣定理。根據(jù)抽樣脈沖δT(t)是時(shí)間上等間隔序列還是非等間隔序列,抽樣定理可分為均勻抽樣定理和非均勻抽樣定理。抽樣器m(t)δT(t)ms(t)抽樣定時(shí)脈沖根據(jù)δT(t)是沖激序列還是非沖激序列,抽樣定理可分為理想抽樣定理和非理想抽樣定理。時(shí)間上連續(xù)的模擬信號(hào)抽樣信號(hào)抽樣過(guò)程可看成是m(t)與δT(t)相乘：6.1.1低通抽樣定理低通抽樣定理:一個(gè)頻帶限制在(0,fH)Hz內(nèi)的時(shí)間連續(xù)信號(hào)m(t),如果以1/(2fH)秒的間隔對(duì)它進(jìn)行等間隔抽樣,則m(t)將被所得到的抽樣值完全確定。2fH—奈奎斯特速率；1/(2fH)—奈奎斯特間隔。10

此定理告訴我們：若m(t)的頻譜在某一頻率fH以上為零，則m(t)中的全部信息完全包含在其間隔不大于1/(2fH)秒的均勻抽樣序列里。換句話說(shuō)，在信號(hào)最高頻率分量的每一個(gè)周期內(nèi)起碼應(yīng)抽樣兩次。或者說(shuō)，抽樣速率fs（每秒內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù)）應(yīng)不小于2fH

，若抽樣速率fs＜2fH

，則會(huì)產(chǎn)生失真，這種失真叫混疊失真。抽樣定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式

下面我們從頻域角度來(lái)證明這個(gè)定理m(t)為低通信號(hào),頻譜在0~fH范圍抽樣函數(shù)為周期性沖激函數(shù)：11抽樣后輸出信號(hào)為ms(t)抽樣信號(hào)的頻譜抽樣信號(hào)的頻譜12所以，理想抽樣后信號(hào)的頻譜Ms(w)由無(wú)限多個(gè)間隔為ws的M(ω)相疊加而成，這意味著抽樣后的信號(hào)ms(t)包含了信號(hào)m(t)的全部信息。n=0時(shí)就是本身，所以通過(guò)一個(gè)低通濾波器就可以恢復(fù)信號(hào)m(t)。低通抽樣定理13tms(t)-2Ts-Ts0Ts2Ts低通信號(hào)沖激抽樣過(guò)程的時(shí)間函數(shù)及對(duì)應(yīng)頻譜-2ws-ws0

ws2ws……m(t)t0…δT(t)t-2Ts-Ts0Ts2Ts……

-wH

0wHM(w)wδT(w)w……-2ws-ws-wH0wH

ws2wsMs(w)w低通抽樣定理14抽樣頻率fs對(duì)頻譜M(f)的影響

-wH

0wHM'(w)wMs(w)-2ws-ws0ws2ws……w

-wH

0wHM(w)w-2ws-ws-wH0wH

ws2wsM(w)……w

-wH

0wHM(w)w-2ws-ws

-wH0wH

ws2wsM(w)…w低通信號(hào)的抽樣定理：

一個(gè)頻帶限制在0~fH內(nèi)的低通信號(hào)m(t)，如果抽樣頻率fs≥2fH，則可以由抽樣序列無(wú)失真地重建恢復(fù)原始信號(hào)m(t)。s≥2Hs-ms+ms<2Hs-Hs+Hs=2H頻譜重疊信號(hào)恢復(fù)15低通濾波器ms(t)如何由樣值序列恢復(fù)原始基帶信號(hào)？由抽樣頻譜圖可知,樣值序列通過(guò)一適當(dāng)?shù)牡屯V波器即可恢復(fù)原始信號(hào)。

根據(jù)時(shí)域卷積定理，得到：信號(hào)恢復(fù)16

該式是重建信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式，稱(chēng)為內(nèi)插公式。它說(shuō)明以奈奎斯特速率抽樣的帶限信號(hào)m(t)可以由其樣值利用內(nèi)插公式重建。這等效為將抽樣后信號(hào)通過(guò)一個(gè)沖激響應(yīng)為的理想低通濾波器來(lái)重建m(t)。由圖可見(jiàn)，以每個(gè)樣值為峰值畫(huà)一個(gè)Sa函數(shù)的波形，則合成的波形就是m(t)。由于Sa函數(shù)和抽樣后信號(hào)的恢復(fù)有密切的聯(lián)系，所以Sa函數(shù)又稱(chēng)為抽樣函數(shù)。低通抽樣定理在實(shí)際中,邊界陡峭的理想濾波器無(wú)法制作,當(dāng)fs=2fH時(shí),雖然M(f)的頻譜不會(huì)出現(xiàn)重疊現(xiàn)象,但通過(guò)非理想濾波器得到的頻譜仍然有失真。所以實(shí)際應(yīng)用中