定積分與微積分基本定理

..定積分與微積分基本定理適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級高二適用區(qū)域通用課時時長〔分鐘60知識點(diǎn)定積分的概念與幾何意義；微積分基本定理求定積分；定積分的簡單應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1．了解定積分的實(shí)際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念．2．了解微積分基本定理的含義．教學(xué)重點(diǎn)微積分基本定理求定積分教學(xué)難點(diǎn)微積分基本定理教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入問題：什么是定積分？定積分與微積分基本定理是什么？二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1．被積函數(shù)若含有絕對值號,應(yīng)先去絕對值號,再分段積分．2．若積分式子中有幾個不同的參數(shù),則必須先分清誰是被積變量．3．定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限．4．5．將要求面積的圖形進(jìn)行科學(xué)而準(zhǔn)確的劃分,可使面積的求解變得簡捷．三、知識講解考點(diǎn)1定積分的概念設(shè)函數(shù)y＝f<x>定義在區(qū)間[a,b]上用分點(diǎn)a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b.把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,其長度依次為Δxi＝xi＋1－xi,i＝0,1,2,…,n－1.記λ為這些小區(qū)間長度的最大值,當(dāng)λ趨近于0時,所有的小區(qū)間長度都趨近于0,在每個小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)ξi,作和式In＝eq\o<∑,\s\up6<n－1>,\s\do4<i＝0>>f<ξi>Δxi.當(dāng)λ→0時,如果和式的極限存在,把和式In的極限叫做函數(shù)f<x>在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作?eq\o\al<b,a>f<x>dx,即?eq\o\al<b,a>f<x>dx＝eq\o<lim,\s\do4<λ→0>>eq\o<∑,\s\up6<n－1>,\s\do4<i＝0>>f<ξi>Δxi,其中f<x>叫做被積函數(shù),f<x>dx叫做被積式,a為積分下限,b為積分上限．考點(diǎn)2定積分的運(yùn)算性質(zhì)<1>?eq\o\al<b,a>kf<x>dx＝k?eq\o\al<b,a>f<x>dx<k為常數(shù)>．<2>?eq\o\al<b,a>[f<x>±g<x>]dx＝?eq\o\al<b,a>f<x>dx±?eq\o\al<b,a>g<x>dx.<3>?eq\o\al<b,a>f<x>dx＝?eq\o\al<c,a>f<x>dx＋?eq\o\al<b,c>f<x>dx<a<c<b>．考點(diǎn)3微積分基本定理如果F′<x>＝f<x>,且f<x>在[a,b]上可積,則?eq\o\al<b,a>f<x>dx＝F<b>－F<a>．其中F<x>叫做f<x>的一個原函數(shù)．四、例題精析考點(diǎn)一定積分的計(jì)算例1若定積分?eq\o\al<m,－2>eq\r<－x2－2x>dx＝eq\f<π,4>,則m等于<>A．－1B．0C．1D．2[規(guī)范解答]根據(jù)定積分的幾何意義知,定積分?eq\o\al<m,－2>eq\r<－x2－2x>dx的值就是函數(shù)y＝eq\r<－x2－2x>的圖象與x軸及直線x＝－2,x＝m所圍成圖形的面積,y＝eq\r<－x2－2x>是一個半徑為1的半圓,其面積等于eq\f<π,2>,而?eq\o\al<m,－2>eq\r<－x2－2x>dx＝eq\f<π,4>,即在區(qū)間[－2,m]上該函數(shù)圖象應(yīng)為eq\f<1,4>個圓,于是得m＝－1,故選A.[總結(jié)與反思]<1>計(jì)算定積分要先將被積函數(shù)化簡后利用運(yùn)算性質(zhì)分解成幾個簡單函數(shù)的定積分,再利用微積分基本定理求解；<2>對函數(shù)圖象和圓有關(guān)的定積分可以利用定積分的幾何意義求解．考點(diǎn)二利用定積分求曲邊梯形的面積例2如圖所示,求由拋物線y＝－x2＋4x－3及其在點(diǎn)A<0,－3>和點(diǎn)B<3,0>處的切線所圍成的圖形的面積．[規(guī)范解答]由題意,知拋物線y＝－x2＋4x－3在點(diǎn)A處的切線斜率是k1＝y(tǒng)′|x＝0＝4,在點(diǎn)B處的切線斜率是k2＝y(tǒng)′|x＝3＝－2.因此,拋物線過點(diǎn)A的切線方程為y＝4x－3,過點(diǎn)B的切線方程為y＝－2x＋6.設(shè)兩切線相交于點(diǎn)M,由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y＝4x－3,,y＝－2x＋6>>消去y,得x＝eq\f<3,2>,即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為eq\f<3,2>.在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<3,2>>>上,曲線y＝4x－3在曲線y＝－x2＋4x－3的上方；在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<3,2>,3>>上,曲線y＝－2x＋6在曲線y＝－x2＋4x－3的上方．因此,所求的圖形的面積是[總結(jié)與反思]對于求平面圖形的面積問題,應(yīng)首先畫出平面圖形的大致圖形,然后根據(jù)圖形特點(diǎn),選擇相應(yīng)的積分變量及被積函數(shù),并確定被積區(qū)間．考點(diǎn)三定積分在物理中的應(yīng)用例3一物體做變速直線運(yùn)動,其v－t曲線如圖所示,則該物體在eq\f<1,2>s～6s間的運(yùn)動路程為__________．[規(guī)范解答]由題圖可知,v<t>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2t0≤t≤1,21≤t≤3,\f<1,3>t＋13≤t≤6>>,因此該物體在eq\f<1,2>s～6s間運(yùn)動的路程為[總結(jié)與反思]定積分在物理方面的應(yīng)用主要包括：①求變速直線運(yùn)動的路程；②求變力所做的功．課程小結(jié)1．用微積分基本定理求定積分,關(guān)鍵是找到滿足F′<x>＝f<x>的函數(shù)F<x>,即找被積函數(shù)的原函數(shù),利用求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)