基于matlab的數(shù)值逼近仿真設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

基于matlab的數(shù)值逼近程序設(shè)計(jì)研究意義

數(shù)值逼近的方法包括插值、擬合與逼近等，這些算法其實(shí)可以通過C，C++以及Fortran等語言編程實(shí)現(xiàn)．不過用C，C++以及Fortran等實(shí)現(xiàn)語言編寫相對(duì)于Matlab更為復(fù)雜從而使程序易錯(cuò)，而Matlab在語言環(huán)境來說更為簡(jiǎn)單，并且在內(nèi)部程序中自帶相當(dāng)多得函數(shù)，是程序的設(shè)計(jì)變得更為簡(jiǎn)單。使用Matlab對(duì)所編制的逼近程序進(jìn)行繪圖，讓得到的結(jié)果在圖形中進(jìn)行展示，是我們看到的結(jié)果更為清楚明白。2.1分段插值

我們用高次插值多項(xiàng)式是不妥當(dāng)?shù)?，從?shù)值計(jì)算上可解釋為高次插值多項(xiàng)式的計(jì)算會(huì)帶來舍入誤差的增大，從而引起計(jì)算失真。因此，實(shí)踐上作插值時(shí)一般只用一次、二次最多用三次插值多項(xiàng)式。那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一種辦法。分段線性插值方法在速度和誤差之間取得了比較好的均很，其插值函數(shù)具有連續(xù)性，但在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的斜率一般不會(huì)改變，因此不是光滑的。分段線性插值方法是matlab一維插值默認(rèn)的方法。定義

設(shè)f(x)是定義在[a,b]上的函數(shù)，在[a,b]上節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b,的函數(shù)值為y0,y1,y2,…yn-1,yn,若函數(shù)(x)滿足條件(1)(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)(x)在每個(gè)子區(qū)[xi,xi+1](i=0,1,2,…,n-1)上是次數(shù)為m的多項(xiàng)式;則稱(x)是f(x)在[a,b]上的分段m次插值多項(xiàng)式，m=1稱為分段線性插值;m=2稱為分段拋物線插值。由定義，(x)在每個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,2,…,n-1)上是一次插值多項(xiàng)式;

圖2-1分段線性插值曲線圖

2.1.2分段插值計(jì)算

例4-1：設(shè)

（-1≤x≤1）；將[-1，1]10等份，用分段線性插值近似計(jì)算f(-0.96)。解：插值節(jié)點(diǎn)為xi=-1+i/5(i=0,1,…,10),h=1/5因?yàn)?0.96∈[-1,-0.8],取此區(qū)間為線性插值區(qū)間，其上的插值函數(shù)為所以f(-0.96)

(-0.96)=0.042532.1.3基于matlab分段插值實(shí)現(xiàn)

Matlab分段插值命令：interp1功能:一維數(shù)據(jù)插值。該命令對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間計(jì)算內(nèi)插值。它找出一元函數(shù)f(x)在中間點(diǎn)的數(shù)值。其中函數(shù)f（x）由所給數(shù)據(jù)決定。格式：yi=interp1（x，y，xi）其中x，y為原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，xi，yi為插值點(diǎn)。由上面的例題基于matlab分段插值程序設(shè)計(jì)：(1)在工作空間建立名為example1.m的m文件。(2)在m文件中進(jìn)行程序設(shè)計(jì)：%對(duì)原數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行定義x=[-1:0.2:1];y=(1+25*x.^2).^-1%對(duì)插值點(diǎn)進(jìn)行定義x0=[-1:2/10:1];y0=(1+25*x0.^2).^-1y1=interp1(x,y,x0);%進(jìn)行分段插值%x1=-0.96;%計(jì)算f（-0.96）%y2=(1+25*x1.^2).^-1y2=interp1(x,y,x0)figure%畫出分段插值圖形%plot(x0,y0,'o',x0,y1,'-b');legend('原曲線','分段線性插值曲線');2.1.4小結(jié)

實(shí)際上，上面介紹的分段低次插值，雖然具有計(jì)算簡(jiǎn)便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它卻不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程技術(shù)上的要求，從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計(jì)的需要而發(fā)展起來的樣條插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領(lǐng)域顯得越來越廣泛的應(yīng)用。2.2拉格朗日插值

2.2.1線性插值

給定兩個(gè)插值點(diǎn)

其中

，怎樣做通過這兩點(diǎn)的一次插值函數(shù)？過兩點(diǎn)作一條直線，這條直線就是通過這兩點(diǎn)的一次多項(xiàng)式插值函數(shù)，簡(jiǎn)稱線性插值（如圖4-2）。圖2-2拉格朗日線性插值

在初等數(shù)學(xué)中，可用兩點(diǎn)式、點(diǎn)斜式或截距式構(gòu)造通過兩點(diǎn)的一條直線。下面先用待定系數(shù)法構(gòu)造插值直線。設(shè)直線方程為

，將

分別代入直線方程

得：當(dāng)

時(shí)，因

，所以方程組有解，而且解是唯一的。這也表明，平面上兩個(gè)點(diǎn)，有且僅有一條直線通過。用待定系數(shù)法構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法簡(jiǎn)單直觀，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一個(gè)方程組才能得到插值函數(shù)的系數(shù)，因工作量較大和不便向高階推廣，故這種構(gòu)造方法通常不宜采用。當(dāng)

時(shí)，若用兩點(diǎn)式表示這條直線，則有：;這種形式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式。記；，

稱為插值基函數(shù)，計(jì)算

，

的值，易見在拉格朗日插值多項(xiàng)式中可將

看做兩條直線

，

的疊加，并可看到兩個(gè)插值點(diǎn)的作用和地位都是平等的。拉格朗日插值多項(xiàng)式型式免除了解方程組的計(jì)算，易于向高次插值多項(xiàng)式型式推廣。2.2.2二次朗格拉日插值給定三個(gè)插值點(diǎn)

，,其中

互不相等，怎樣構(gòu)造函數(shù)

的二次的（拋物線）插值多項(xiàng)式？平面上的三個(gè)點(diǎn)能確定一條次曲線，如圖2-3所示。2.2.3n次拉格朗日插值

給定平面上兩個(gè)互不相同的插值點(diǎn)

，

，有且僅有一條通過這兩點(diǎn)的直線；給定平面上三個(gè)互不相同的插值點(diǎn)

，

，有且僅有一條通過這三個(gè)點(diǎn)的二次曲線；給定平面上,個(gè)互不相同的插值點(diǎn)

，

，互不相同是指

互不相等，是否有且僅有一條不高于

次的插值多項(xiàng)式曲線，如果曲線存在，那么如何簡(jiǎn)單地作出這條

次插值多項(xiàng)式曲線？分析：

次多項(xiàng)式

，它完全由

個(gè)系數(shù)

決定。若曲線

通過給定平面上

個(gè)互不相同的插值點(diǎn)

，

，則

應(yīng)滿足

，事實(shí)上一個(gè)插值點(diǎn)就是一個(gè)插值條件。將

，

依次代入

中得到線性方程組：方程組的系數(shù)行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式：通過求解方程組得到插值多項(xiàng)式

，因其計(jì)算量太大而不可取，仿照線性以及二次插值多項(xiàng)式的拉格朗日形式，我們可構(gòu)造

次拉格朗日插值多項(xiàng)式。對(duì)于

個(gè)互不相同的插值節(jié)點(diǎn)

，由

次插值多項(xiàng)式的惟一性，可對(duì)每個(gè)插值節(jié)點(diǎn)

作出相應(yīng)的

次插值基函數(shù)

。要求

是

的零點(diǎn)，因此可設(shè)

2.2.4拉格朗日計(jì)算2.2.5基于matlab的拉格朗日程序設(shè)計(jì)由于拉格朗日在matlab中沒有進(jìn)行函數(shù)定義，所以進(jìn)行拉格朗日較其他程序的編寫稍微復(fù)雜。1)在工作空間建立Folder文件夾；2）建立M文件定義lagrange函數(shù)：%%lagrange.mfunctionf=lagrange(x,fx,inx)n=length(x);m=length(inx);fori=1:mz=inx(i);s=0.0fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j));endends=s+p*fx(k);endf(i)=s;end3）建立執(zhí)行m文件：x=[-2.000.001.002.00];y=[17.001.002.0017.00]x0=[-2:4/3:2];y0=lagrange(x,y,x0);x1=0.6;y1=lagrange(x,y,x1)sufigurebplot(1,2,1)plot(x,y,'o',x0,y0,'--r')legend('原曲線','三次拉格朗日插值')title('例題')2.2.6rung（龍格）現(xiàn)象并不是插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，插值效果就越好，精度也不一定是隨次數(shù)的提高而升高，這種現(xiàn)象在上個(gè)世紀(jì)初由Runge發(fā)現(xiàn)，故稱runge現(xiàn)象Runge現(xiàn)象在matlab中體現(xiàn)：1）建立文件名為lagrange1.m的函數(shù)functioncy=lagrange(x,y,n,cx)m=length(cx);cy=zeros(m,1);fork=1:n+1t=ones(m,1);forj=1:n+1ifj~=kt=t.*(cx-x(j))./(x(k)-x(j));endendcy=cy+y(k).*t;end2）體現(xiàn)runge現(xiàn)象：fori=1:18x=-5:10/i:5;y=1./(1+x.^2);cx=-5:0.0001:5;cy=lagrange1(x,y,i,cx');subplot(6,3,i)plot(cx,cy)axis([-5,5,-0.5,2])holdont=-5:0.0001:5;y=1./(1+t.^2);plot(t,y,'r')end2.3.4小結(jié)

鑒于高次插值不收斂又不穩(wěn)定的特點(diǎn)，低次插值既具有收斂性又具有穩(wěn)定性，因此低次值更具有實(shí)用價(jià)值，但是低次插值的光滑性較差，比如分段線性插值多項(xiàng)式在插值區(qū)間中僅具有連續(xù)性，在插值節(jié)點(diǎn)處有棱角，一階導(dǎo)數(shù)不存在；分段三次Hermite插值多項(xiàng)式在插值區(qū)間中僅具有一階導(dǎo)數(shù)即一階光滑性但不具備二階光滑性，不能滿足某些實(shí)際應(yīng)用比如汽車、輪船、飛機(jī)等的外形中流線形設(shè)計(jì)。樣條是在二十世紀(jì)初期經(jīng)常用于圖樣設(shè)計(jì)的一種富有彈性的細(xì)長(zhǎng)條，多個(gè)樣條互相彎曲連接后沿其邊緣畫出的曲線就是三次樣條曲線。后來數(shù)學(xué)上對(duì)其進(jìn)行了抽象，定義了m次樣條函數(shù)，并成為數(shù)值逼近的重要研究分枝，進(jìn)一步擴(kuò)大了樣條函數(shù)的應(yīng)用范圍。結(jié)

論本課題利用各類算法，以matlab為平臺(tái)，設(shè)計(jì)了分段插值，三次樣條，曲線擬合以及拉格朗日插值幾種逼近方式，并且對(duì)幾種逼近方式的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了對(duì)比。使用matlab設(shè)計(jì)上面的幾種方法可以有效快速地解決在科學(xué)研究與工程分析學(xué)上的實(shí)際問題，雖然這些算法都可以通過C,C++以及Fortran等語言編寫程序?qū)崿F(xiàn),但是相對(duì)于matlab計(jì)算過程都比較復(fù)雜。Matlab提供了強(qiáng)大的矩陣處理和繪圖功能,給出了一個(gè)融合計(jì)算、可視化和程序設(shè)計(jì)的交互環(huán)境,操作簡(jiǎn)便,能高效求解各種復(fù)雜工程問題并實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果的可視化。Matlab本身已經(jīng)包含了一些插值和擬合的函數(shù),能夠方便地實(shí)現(xiàn)函數(shù)逼近。本文設(shè)計(jì)的基于matlab的數(shù)值逼近主要實(shí)現(xiàn)了以下功能：使用擬合的方式在matlab7中實(shí)現(xiàn)數(shù)值逼近，其中擬合分為線性擬合和曲線擬合，本設(shè)計(jì)以曲線擬合為主。使用插值的方式在matlab7中實(shí)現(xiàn)數(shù)值逼近，其中采用了三種插值方式——分段插值，三次樣條插值和拉格朗日插值。其中特別說明了拉格朗日高次插值的龍格現(xiàn)象。使用上述的兩種方式進(jìn)行應(yīng)用，表明了基于matlab的數(shù)值逼近在科學(xué)研究與工程分析學(xué)的重要意義。上述的幾種方法都是實(shí)現(xiàn)函數(shù)逼近的有效處理法，這里就其Matlab的實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行了研究，給出了Matlab實(shí)現(xiàn)的源程序，并得出了仿真結(jié)果。采用Matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，克服了計(jì)算機(jī)高級(jí)語言編程復(fù)雜的問題，調(diào)試方便，運(yùn)行效率比較高，還能夠快捷地得到圖文并茂的處理結(jié)果，這在工程分析和科學(xué)研究中會(huì)越來越重要的作用。

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