高一數(shù)學(xué)人教A版必修3課件：幾何概型

幾何概型教學(xué)目標(biāo)：1、學(xué)生能夠正確區(qū)分幾何概型及古典概型兩者的區(qū)別；2、學(xué)生初步掌握并運(yùn)用幾何概型解決有關(guān)概率的基本

問(wèn)題；教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：幾何概型的特點(diǎn)及其幾何概型學(xué)習(xí)的思維過(guò)程；難點(diǎn)：幾何概型的判斷及其概率公式的選擇

3、掌握幾何概型的概率公式：復(fù)習(xí)提問(wèn)：1、古典概型的兩個(gè)特點(diǎn):(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.2、計(jì)算古典概型的公式：那么對(duì)于有無(wú)限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況相應(yīng)的概率應(yīng)如果求呢?創(chuàng)設(shè)情境：

2、往一個(gè)方格中投一個(gè)石子，石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)……這些試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無(wú)限多個(gè)。1、例如一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是8：00至9：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻；問(wèn)題１：下圖是臥室和書(shū)房地板的示意圖，圖中每一塊方磚除顏色外完全相同，甲殼蟲(chóng)分別在臥室和書(shū)房中自由地飛來(lái)飛去，并隨意停留在某塊方磚上，問(wèn)臥室在哪個(gè)房間里，甲殼蟲(chóng)停留在黑磚上的概率大？臥室書(shū)房問(wèn)題2:圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向黃色區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝。哪種情況下甲容易獲勝？(1)(2)

⑴甲獲勝的概率與所在扇形區(qū)域的圓弧的長(zhǎng)度有關(guān)，而與區(qū)域的位置無(wú)關(guān)。在轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)時(shí)，指針指向圓弧上哪一點(diǎn)都是等可能的。不管這些區(qū)域是相鄰，還是不相鄰，甲獲勝的概率是不變的。

⑵甲獲勝的概率與扇形區(qū)域所占比例大小有關(guān)，與圖形的大小無(wú)關(guān)。問(wèn)題:甲獲勝的概率與區(qū)域的位置有關(guān)嗎？與圖形的大小有關(guān)嗎?甲獲勝的可能性是由什么決定的？(1)(2)(3)幾何概型的定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例,則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型.幾何概型的特點(diǎn):(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè).(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.在幾何概型中,事件A的概率的計(jì)算公式如下:幾何概型的特點(diǎn):試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無(wú)限個(gè)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等古典概型與幾何概型的區(qū)別相同：兩者基本事件發(fā)生的可能性都是相等的；不同：古典概型要求基本事件有有限個(gè)，幾何概型要求基本事件有無(wú)限多個(gè)。聯(lián)系：古典概型可以看成是幾何概型的特例。古典概型的特點(diǎn):a)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).b)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.判斷下列試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概度是古典概型，還是幾何概型。（1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率；（2）有一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率分析：本題考查的幾何概型與古典概型的特點(diǎn)，古典概型具有有限性和等可能性。而幾何概型則是在試驗(yàn)中出現(xiàn)無(wú)限多個(gè)結(jié)果，且與事件的幾何尺度有關(guān)。解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；（2）游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無(wú)限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來(lái)衡量，即與幾何尺度有關(guān)，因此屬于幾何概型．探究規(guī)律：幾何概型公式（1）：例1：

某人午覺(jué)醒來(lái),發(fā)現(xiàn)表停了,他打開(kāi)收音機(jī),想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.(假設(shè)只有正點(diǎn)報(bào)時(shí))分析：假設(shè)他在0~60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻打開(kāi)收音機(jī)是等可能的，但0~60之間有無(wú)窮個(gè)時(shí)刻，不能用古典概型的公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率。我們可以通過(guò)隨機(jī)模擬的方法得到隨機(jī)事件發(fā)生的概率的近似值，也可以通過(guò)幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率。

因?yàn)殡娕_(tái)每隔1小時(shí)報(bào)時(shí)一次，他在0~60之間任何一個(gè)時(shí)刻打開(kāi)收音機(jī)是等可能的，所以他在哪個(gè)時(shí)間段打開(kāi)收音機(jī)的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，而與該時(shí)間段的位置無(wú)關(guān)，這符合幾何概型的條件。解：設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘}，事件A恰好是打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于[50，60]時(shí)間段內(nèi)，因此由幾何概型的求概率公式得P（A）=（60-50）/60=1/6“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過(guò)10分鐘”的概率為1/6探究規(guī)律：幾何概型公式（2）：例2.一海豚在水池中自由游弋，水池為長(zhǎng)30m，寬20m的長(zhǎng)方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率.解：對(duì)于幾何概型，關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率.如圖，區(qū)域Ω是長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形.

圖中陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m”，問(wèn)題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率.

由于區(qū)域Ω的面積為30×20=600(m2)，陰影A的面積為30×20－26×16=184(m2).∴P（A）=幾何概型公式（3）：探究規(guī)律：例3：

有一杯1升的水，其中含有1個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率.分析：細(xì)菌在這升水中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得0.1升水可作為事件的區(qū)域。解：取出0.1升中“含有這個(gè)細(xì)菌”這一事件記為A,則幾何概型公式（4）：探究規(guī)律：例4.如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，∠x(chóng)oT=600，任作一條射線OA，求射線OA落在∠XOT內(nèi)的概率.探究規(guī)律：公式（3）：公式（2）：公式（1）：公式（4）：1、一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒。當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，看見(jiàn)下列三種情況的概率各是多少？（1）紅燈；（2）黃燈；（3）不是紅燈。練習(xí)：2．在500ml的水中有一個(gè)草履蟲(chóng)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率是（）A．0.5B．0.4C．0.004D．不能確定3.取一根長(zhǎng)為3米的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長(zhǎng)都不少于1米的概率有多大?解：如上圖，記“剪得兩段繩子長(zhǎng)都不小于1m”為事件A，把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件A發(fā)生。由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩子長(zhǎng)的三分之一，所以事件A發(fā)生的概率P（A）=1/3。3m1m1m4、射箭比賽的箭靶是涂有五個(gè)彩色的分環(huán).從外向內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心是金色,金色靶心叫“黃心”。奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm.運(yùn)動(dòng)員在70m外射箭,假設(shè)每箭都能中靶,那么射中黃心的概率是多少?5：公共汽車(chē)在0~5分鐘內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)車(chē)站，求汽車(chē)在1~3分鐘之間到達(dá)的概率。分析：將0~5分鐘這段時(shí)間看作是一段長(zhǎng)度為5個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，則1~3分鐘是這一線段中的2個(gè)單位長(zhǎng)度。解：設(shè)“汽車(chē)在1~3分鐘之間到達(dá)”為事件A，則所以“汽車(chē)在1~3分鐘之間到達(dá)”的概率為對(duì)于復(fù)雜的幾何概型實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要建立概率模型，找出隨機(jī)事件與所有基本事件相對(duì)應(yīng)的幾何度量，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問(wèn)題，利用幾何概型公式求解。解題方法小結(jié)：解.以兩班車(chē)出發(fā)間隔(0，10)區(qū)間作為樣本空間

S，乘客隨機(jī)地到達(dá)，即在這個(gè)長(zhǎng)度是

10的區(qū)間里任何一個(gè)點(diǎn)都是等可能地發(fā)生，因此是幾何概率問(wèn)題。6、假設(shè)車(chē)站每隔10分鐘發(fā)一班車(chē)，隨機(jī)到達(dá)車(chē)站，問(wèn)等車(chē)時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率？

要使得等車(chē)的時(shí)間不超過(guò)

3分鐘，即到達(dá)的時(shí)刻應(yīng)該是圖中

A

包含的樣本點(diǎn)，0←S→10p(A)=—————=——=0.3。

A的長(zhǎng)度

S的長(zhǎng)度310解.以7點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，小時(shí)為單位。x，y

分別表示兩人到達(dá)的時(shí)間，(

x，y

)構(gòu)成邊長(zhǎng)為

60的正方形S，顯然這是一個(gè)幾何概率問(wèn)題。

延伸：兩人相約于

7時(shí)到

8時(shí)在公園見(jiàn)面，先到者等候

20分鐘就可離去，求兩人能夠見(jiàn)面的概率。

6060

o

x

yS2020他們能見(jiàn)面應(yīng)滿足

|

x–

y|≤20，因此，

A

x

–

y=–