第8章非線性控制系統(tǒng)

第八章非線性控制系統(tǒng)分析1自動控制原理第8章非線性控制系統(tǒng)8.1概述8.2非線性系統(tǒng)的特點8.3相平面分析法8.4描述函數(shù)分析法2自動控制原理8.1概述

非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)有著很大的差別，諸如非線性系統(tǒng)的響應(yīng)取決于輸入信號的幅值和形式，不能應(yīng)用疊加原理，目前還沒有統(tǒng)一的且普遍適用的處理方法。

3自動控制原理1.飽和特性

2.死區(qū)特性

3.間隙特性

圖8.1飽和非線性特性圖8.2死區(qū)非線性特性圖8.3間隙非線性特性8.1.1典型非線性特性

4自動控制原理4.繼電器特性

圖8.4繼電器型非線性特性5自動控制原理8.1.2非線性系統(tǒng)的運動特點

由于描述非線性系統(tǒng)運動的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，疊加原理不再適用，因此非線性系統(tǒng)的運動表現(xiàn)出以下特點：

1.穩(wěn)定性分析復(fù)雜

2.自激振蕩(極限環(huán))

3.頻率響應(yīng)發(fā)生畸變

6自動控制原理

1.穩(wěn)定性分析復(fù)雜:

線性系統(tǒng)只有一個平衡狀態(tài)(無外作用且系統(tǒng)輸出的各階導(dǎo)數(shù)等于零)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。對于線性定常系統(tǒng)，穩(wěn)定性僅取決于特征根在s平面的分布。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

a.與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān):在不同的初始條件下，運動的最終狀態(tài)可能完全不同。如有的系統(tǒng)初始值處于較小區(qū)域內(nèi)時是穩(wěn)定的，而當初始值處于較大區(qū)域內(nèi)時則變?yōu)椴环€(wěn)定。

b.系統(tǒng)存在多個平衡狀態(tài)7自動控制原理

2.

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于控制系統(tǒng)的固有結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而且與系統(tǒng)的初始條件以及外加輸入有關(guān)系。例：對于一由非線性微分方程

X=-x(1–x)(8-1).描述的非線性系統(tǒng)，顯然有兩個平衡點，即x1=0和x2=1。將上式改寫為8自動控制原理設(shè)t＝0時，系統(tǒng)的初態(tài)為x0。積分上式可得(8-2)

x(t)t10

圖8－2一階非線性系統(tǒng)

9自動控制原理

3.自激振蕩(極限環(huán)):對線性系統(tǒng)，圍繞其平衡狀態(tài)只有發(fā)散和收斂兩種運動形式。在非線性系統(tǒng)中，除了從平衡狀態(tài)發(fā)散或收斂于平衡狀態(tài)兩種運動形式外，往往即使無外作用存在，系統(tǒng)也可能產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的穩(wěn)定的等幅振蕩。稱為自激振蕩，簡稱自振蕩。10自動控制原理

4.頻率響應(yīng)發(fā)生畸變在線性系統(tǒng)中，輸入為正弦函數(shù)時，其輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，輸入和穩(wěn)態(tài)輸出之間僅在振幅和相位上有所不同，因此可以用頻率響應(yīng)來描述系統(tǒng)的固有特性。非線性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量在一般情況下并不具有與輸入相同的函數(shù)形式。除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量外，還含有高次諧波分量。11自動控制原理非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)12自動控制原理8.1.3非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性和特殊性，受數(shù)學(xué)工具限制，一般情況下難以求得非線性微分方程的解析解，通常采用工程上適用的近似方法。

（1）相平面法（2）描述函數(shù)法（3）逆系統(tǒng)法13自動控制原理

1.相平面法:

一種圖解分析方法，適用于具有嚴重非線性特性的一階、二階系統(tǒng)，該方法通過在相平面繪制相軌跡曲線，確定非線性微分方程在不同初始條件下解的運動形式。

2.描述函數(shù)法:

一種等效線性化的圖解分析方法，該方法對于滿足結(jié)構(gòu)要求的非線性系統(tǒng)，通過諧波線性化，將非線性特性近似為復(fù)變增益環(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。14自動控制原理

3.逆系統(tǒng)法:

運用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)造偽線性系統(tǒng)，以此為基礎(chǔ)，設(shè)計外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)，該方法直接應(yīng)用數(shù)學(xué)工具研究非線性控制問題，是非線性系統(tǒng)研究的一個發(fā)展方向。但是，這些方法主要是解決非線性系統(tǒng)的“分析”問題，且以穩(wěn)定性問題為主展開的。非線性系統(tǒng)的“綜合”方法的研究成果遠不如穩(wěn)定性問題研究所取得的成果。15自動控制原理8.3相平面分析法

相平面法是龐卡萊(H.Poincare)提出來的一種用圖解法求解一階、二階微分方程的方法，它實質(zhì)上屬于狀態(tài)空間分析法在二維空間中的應(yīng)用，該方法適合于研究給定初始狀態(tài)的二階自由運動系統(tǒng)和給定初始狀態(tài)及非周期輸入信號(如階躍、斜坡或脈沖信號等)的二階系統(tǒng)

8.3.1相平面的基本概念

8.3.2相平面圖的繪制方法

8.3.3奇點和極限環(huán)

8.3.4相平面分析舉例16自動控制原理8.3.1相平面的基本概念

考慮二階線性系統(tǒng)

(8-2)

式中

與是阻尼比和無阻尼自然振蕩頻率。設(shè)系統(tǒng)僅由初始條件激勵。這一系統(tǒng)的狀態(tài)可以用兩個變量，和來描述。若令，則方程(8-2)可化為

(8-3)(8-4)

只要給定初始條件、或、，由這兩個一階聯(lián)立微分方程便可唯一地確定系統(tǒng)的狀態(tài)。如此定義的變量和稱為相變量(或狀態(tài)變量)。圖8.9(a)繪出了初始條件為，在不同阻尼下的時間響應(yīng)曲線。17自動控制原理（a）(b)

圖8.10相平面圖圖8.9時間響應(yīng)與相軌跡18自動控制原理如果以相變量為坐標構(gòu)成平面，稱為相平面，則系統(tǒng)在某一時刻t1的狀態(tài)就成為相平面上的一個點()。在相平面上，由或以時間為參變量構(gòu)成的曲線，稱為相軌跡。圖8.9(b)對應(yīng)圖8.9(a)繪出了相應(yīng)的相軌跡。相軌跡上的箭頭表示時間參量的增大方向。若以一些初始狀態(tài)作為起始點，在相平面上做出一簇相軌跡，稱為系統(tǒng)的相平面圖，如圖8.10所示。圖中用實線表示了二階線性系統(tǒng)過阻尼時在三種不同初始條件下的相軌跡，其余用虛線表示了在其它初始條件下的相軌跡，它們共同構(gòu)成一幅相平面圖，它清晰地表明系統(tǒng)在各種初始條件下的運動過程。

19自動控制原理8.3.2相平面圖的繪制方法

設(shè)描述二階系統(tǒng)的微分方程為

(8-5)

是線性函數(shù)或非線性函數(shù)。將式(8-5)化為兩個一階微分方程

(8-6)

(8-7)

用式(8-6)去除式(8-7)，于是得到一個以x為自變量，為因變量，不顯含時間t的一階微分方程

(8-8)

式(8-8)給出了相軌跡通過點()處的切線斜率。根據(jù)此式，用解析法或圖解法即可繪出相平面圖。20自動控制原理

1.相平面圖的特點

:相平面圖的對稱性相平面圖往往是關(guān)于原點或坐標軸對稱的，故繪制時可只畫其中的一部分，而另一部分可根據(jù)對稱原理添補上。相平面圖的對稱性可以從相軌跡的斜率來判斷。若相平面圖關(guān)于軸對稱，則相軌跡曲線在和點上的斜率相等，符號相反。由式(8-8)，應(yīng)有

即是關(guān)于x的奇函數(shù)。

若相平面圖關(guān)于x軸對稱，則相軌跡曲線和的斜率相等，符號相反，應(yīng)有

即是關(guān)于的偶函數(shù)。

21自動控制原理

若相平面圖關(guān)于原點對稱，則相軌跡曲線在和點上的斜率相等，符號相同，應(yīng)有

即有。22自動控制原理

2.繪制相平面圖的解析法

23自動控制原理例8-1

二階系統(tǒng)的微分方程為，試繪制系統(tǒng)的相平面圖。

解系統(tǒng)方程可改寫為

(8-10)方程(8-10)可用分離變量法進行積分，求得相軌跡方程為

(8-11)式中C為常量，由初始條件確定。設(shè)初始狀態(tài)為，則C=。由方程(8-11)可知，系統(tǒng)相軌跡為一組以坐標原點為中心的橢圓軌跡簇，如圖8.11所示。

圖8.11例8-1的相平面圖24自動控制原理思想：先確定相軌跡的等傾線，進而繪出相軌跡的切線方向場，然后從實始條件出發(fā)，沿方向場逐步繪制相軌跡。斜率a取不同常數(shù)，相平面上得到多條等傾線，在等傾線上各點處作斜率為a的短直線，并以箭頭表示切線方向，則構(gòu)成相軌跡的切線方向場。3.繪制相平面圖的圖解法——等傾線法25自動控制原理例8-2

試用等傾線法求下列方程的相平面圖。

(8-17)解式(8-17)是非線性微分方程,但可分解為兩個線性微分方程，(8-18),(8-19)由方程(8-17)可知,而。因此相平面圖對稱于x軸，只需繪制上半平面的相軌跡,再用對稱性確定下半平面的相軌跡。由式(8-18)可得上半平面的等傾線方程：設(shè)，求得等傾線如圖8.13實線所示，畫出等傾線上的平行短線,作為相軌跡線段的近似。適當配置短線并把它們連成曲線即相軌跡曲線，如圖8.13中虛線所示。由于圖形對稱于x軸，所以相軌跡為一組封閉的卵形圓。26自動控制原理在任何非零初始條件下，系統(tǒng)將沿相軌跡作周期運動。圖8.13例8-2相平面圖27自動控制原理

相平面圖的特點

:相平面圖上的奇點和普通點

相平面上任一點，只要不同時滿足和，則由式(8-8)確定的斜率是唯一的，通過該點的相軌跡有且僅有一條，這樣的點稱為普通點。在相平面上，同時滿足和的點，由于相軌跡的斜率不是一個確定的值，這樣的點稱為奇點，顯然奇點只分布在相平面的x軸上。經(jīng)過奇點的相軌跡有多條；而經(jīng)過普通點的相軌跡只有一條。在奇點處，系統(tǒng)運動的速度和加速度同時為零，對二階系統(tǒng)而言，系統(tǒng)不在發(fā)生運動，處于平衡狀態(tài)。28自動控制原理（3）相軌跡通過x軸的斜率

在x軸上，所有點都滿足。除奇點外相軌跡在x軸上的斜率為

所以，除了奇點外，相軌跡和x軸垂直相交。

（4）相軌跡移動的方向在相平面的上半平面，由于，則x隨著參變量時間t的加而增大，所以系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由左向右運動；反之，下半平面，則x隨著時間t的增加而減小，所以系統(tǒng)態(tài)沿相軌跡由右向左運動。相軌跡上的箭頭表示系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的移動方向。29自動控制原理8.3.3奇點和極限環(huán)

1.奇點對于二階系統(tǒng)

(8-21)

相軌跡的斜率可表示為

(8-22)

在奇點處，相軌跡的斜率不確定，即同時滿足

(8-23)

如果把相變量x視為位移，于是和可以理解為速度和加速度。在奇點處，由于系統(tǒng)的速度和加速度均為零，因此奇點就是系統(tǒng)的平衡點。30自動控制原理2、線性二階系統(tǒng)奇點的類型線性二階系統(tǒng)的齊次微分方程為：相平面圖是在平面中，繪制隨時間t變化的軌跡，稱為相軌跡。相軌跡的起點是。奇點是指的點。根據(jù)奇點附近相軌跡的特征，奇點有不同名稱，據(jù)此可判斷系統(tǒng)運動的性質(zhì)。31自動控制原理1、無阻尼運動二階系統(tǒng)的極點分布和相平面圖如下無阻尼運動時，二階系統(tǒng)的相平面圖是一族同心橢圓，每個橢圓代表一個簡諧運動。這樣的奇點稱為中心點。32自動控制原理2、欠阻尼運動系統(tǒng)的自由運動是衰減振蕩。相軌跡是向心螺旋線，收斂于原點。奇點稱為穩(wěn)定焦點。33自動控制原理3、過阻尼運動系統(tǒng)的自由運動是非周期地趨向于原點。相軌跡是趨于原點的拋物線，原點是奇點，稱為穩(wěn)定節(jié)點。34自動控制原理4、系統(tǒng)的自由運動是發(fā)散振蕩。相軌跡是以原點出發(fā)的螺旋線，原點處的奇點稱為不穩(wěn)定焦點。35自動控制原理5、系統(tǒng)的運動是非周期發(fā)散運動。相軌跡是由原點出發(fā)的發(fā)散型拋物線。原點處的奇點稱為不穩(wěn)定節(jié)點。36自動控制原理6、是對稱于原點的實軸系統(tǒng)的自由運動是發(fā)散運動，原點處的奇點稱為鞍點。以上6種奇點，類似的奇點在非線性系統(tǒng)中也常見到。37自動控制原理根與相軌跡j0j0j0穩(wěn)定節(jié)點穩(wěn)定焦點中心不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定焦點鞍點λ1j0λ2j0λ2λ1j0λ1λ238自動控制原理奇線：是特殊的相軌跡，將相平面劃分成具有不同運動特點的各個區(qū)域。最常見的奇線是極限環(huán)。極限環(huán)：相平面圖上如果存在一條孤立的封閉相軌跡，而且它附近的其他相軌跡都無限的趨向或離開這個封閉的相軌跡，則這條封閉相軌跡稱為極限環(huán)。

39自動控制原理極限環(huán)：是非線性系統(tǒng)特有現(xiàn)象。極限環(huán)本身作為一條相軌跡，既不存在平衡點，也不趨向無窮遠，而是一個無首無尾的環(huán)圈。極限環(huán)把相平面的某個區(qū)域劃分為內(nèi)部平面和外部平面兩部分，任何一條相軌跡都不能從內(nèi)部穿過極限環(huán)進入外部平面；也不能從外部平面進入內(nèi)部平面。附近的相軌跡都漸進地趨向這條封閉的曲線，或者從這條封閉的曲線離開。任何極限環(huán)的鄰近都不可能有其他的極限環(huán)。‘極限環(huán)產(chǎn)生的原因：由于非線性特性的作用，使得系統(tǒng)能從非周期性的能源中獲取能量，從而維持周期運動形式。40自動控制原理極限環(huán)的種類（根據(jù)極限環(huán)鄰近的運動特點）穩(wěn)定的極限環(huán)：對狀態(tài)的微小擾動具有穩(wěn)定性；穩(wěn)定的極限環(huán)系統(tǒng)沿極限環(huán)的運動即為自激振蕩。不穩(wěn)定的極限環(huán)：對狀態(tài)的微小擾動不具有穩(wěn)定性；狀態(tài)的微小擾動都將使得系統(tǒng)的運動偏離閉合曲線，并將永遠不能回到該閉合曲線；半穩(wěn)定的極限環(huán)41自動控制原理42自動控制原理2．極限環(huán)

（1）穩(wěn)定極限環(huán)（2）不穩(wěn)定極限環(huán)（3）半穩(wěn)定極限環(huán)圖8.16極限環(huán)示意圖一般情況下，極限環(huán)使系統(tǒng)性能變壞，或是產(chǎn)生自激振蕩，或是穩(wěn)定范圍減小。在系統(tǒng)設(shè)計中應(yīng)避免產(chǎn)生極限環(huán)。若極限環(huán)不可避免，則應(yīng)盡可能使穩(wěn)定極限環(huán)縮小，使自激振蕩的幅度在允許范圍之內(nèi)；或者應(yīng)盡可能使不穩(wěn)定極限環(huán)加大，以擴大系統(tǒng)穩(wěn)定范圍。在某些特殊情況下，可以利用系統(tǒng)的自激振蕩(信號發(fā)生器)產(chǎn)生周期性運動。43自動控制原理解由求得系統(tǒng)的奇點為根據(jù)式(8.25)在奇點處進行線性化來確定奇點的性質(zhì)。在(xi,0)奇點附近，系統(tǒng)的線性化方程為

在奇點(0，0)處，xi=x1=0，則系統(tǒng)的線性化方程為式中阻尼比0＜

＜1，因此奇點(0，0)為穩(wěn)定焦點。在奇點(-2，0)處，xi=x2=-2，代入前式得線性化方程為由奇點類型可知，奇點(-2，0)為鞍點，是不穩(wěn)定奇點。例8-3某系統(tǒng)方程如下，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性44自動控制原理利用等傾線法可求得相平面圖，如圖8.17所示?？梢钥吹酵ㄟ^鞍點的一條分界線，把相平面分為兩個區(qū)域。在陰影區(qū)域內(nèi)，所有相軌跡都收斂于穩(wěn)定焦點(0，0)，是穩(wěn)定區(qū)域。在此范圍外，則所有相軌跡都將趨于無窮，是不穩(wěn)定區(qū)域。這證實了非線性系統(tǒng)的重要特點：系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件有關(guān)。圖8.17例8-3的相平面圖45自動控制原理含有分段線性的非線性系統(tǒng)由于不滿足解析條件，不能采用小擾動線性化，根據(jù)分段特性，將相平面分成若干區(qū)域，使非線性微分方程在各個區(qū)域表現(xiàn)為線性微分方程，再應(yīng)用線性系統(tǒng)的相平面法分析。8.3.4非線性系統(tǒng)的相平面分析相平面區(qū)域的分界線，稱為開關(guān)線。（非線性特性的轉(zhuǎn)折點）46自動控制原理8.3.4相平面分析舉例1.繼電型控制系統(tǒng)的分析:（1）理想繼電器特性

圖8.18理想繼電器型非線性系統(tǒng)設(shè)繼電型控制系統(tǒng)如圖8.18(a)所示,試分析在階躍信號作用下系統(tǒng)的性能。繼電型特性為：當e＞0時，m=M；當e＜0時，m=-M。因此開關(guān)線為直線e=0。它把相平面分成兩個線性區(qū)域Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)。如圖8.18(b)所示。在階躍輸入r(t)=1(t)作用下，根據(jù)e=r-c及線性部分的傳遞函數(shù)K/[s(Ts+1)]可求得各線性區(qū)內(nèi)系統(tǒng)的微分方程。47自動控制原理在區(qū)域Ⅰ內(nèi)，e＞0，m=M，系統(tǒng)方程為

(8-26)

由(8-26)式可得等傾線方程

等傾線是平行于e軸的直線，其中有一條特殊的等傾線，即當a=0時的等傾線，此時，相軌跡的斜率與相應(yīng)的等傾線斜率相等，全部相軌跡曲線都趨近于該直線。相軌跡曲線簇Ⅰ如圖8.18(b)右半平面所示。

在區(qū)域Ⅱ內(nèi)，e＜0，m=-M，系統(tǒng)方程為

(8-27)

比較方程(8-26)、(8-27)可知，其相平面圖對稱于原點。利用對稱性求得相軌跡曲線簇Ⅱ如圖8.18(b)左半面所示。48自動控制原理

在階躍輸入作用下，系統(tǒng)狀態(tài)運動軌跡如圖8.18(b)中實線所示。在區(qū)域Ⅰ內(nèi)，系統(tǒng)由初始點A0沿相軌跡曲線Ⅰ運動到分界線上的銜接點A1，再沿以點A1為起點的相軌跡曲線Ⅱ移動到分界線上的A2點，然后再進入?yún)^(qū)域Ⅰ。經(jīng)過幾次往返運動，逐漸收斂于原點。

49自動控制原理(3)死區(qū)繼電特性:圖:8.18所示的非線性系統(tǒng)中，若繼電元件具有如圖8.20(a)所示的死區(qū)特性，則可用以下方程描述當e＞

，m=+M

當e＜-，m=-M

當-＜e＜

，m=0

分界線為e=+和e=-，它們將相平面分為三個區(qū)域，如圖8.20(b)所示。在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ中，系統(tǒng)方程分別用式(8-26)、(8-27)描述，相軌跡分別為曲線族Ⅰ、Ⅱ。在區(qū)域Ⅲ中，m=0，系統(tǒng)的誤差方程為可求得相軌跡的斜率為常數(shù)，即其相軌跡是一組斜率為的直線。由上式還可得到：當時,必有。因此在區(qū)域Ⅲ內(nèi)，直線上所有點都是奇點(又稱奇線或平衡線)。系統(tǒng)的相平面圖如8.20(b)所示。由圖可知系統(tǒng)可能穩(wěn)定在奇線上任一點。50自動控制原理

為了縮短調(diào)節(jié)時間，減少振蕩次數(shù)，繼電控制系統(tǒng)可采用速度反饋校正，如圖8.21(a)所示。繼電元件的輸入信號為，當系統(tǒng)在階躍信號r(t)=1(t)作用下，由e=r-c可得繼電元件輸入信號，因此當則當則分界線由方程確定，這是一條通過原點，斜率為-1/Kt的直線。它將相平面分為Ⅰ、Ⅱ兩個區(qū)域，分別由方程(8-26)、(8-27)描述。圖8.21(b)中給出了分界線及其相軌跡曲線Ⅰ、Ⅱ。51自動控制原理圖8.21繼電型非線性系統(tǒng)的速度反饋校正52自動控制原理8.4描述函數(shù)分析法相平面法適用于一階或二階非線性系統(tǒng)的分析，但對于高于二階的系統(tǒng)，需要討論變量空間中的曲面結(jié)構(gòu)，從而大大增加了工程使用的困難。描述函數(shù)法是一種近似方法，相當于線性理論中頻率法的推廣。描述函數(shù)法不受系統(tǒng)階次的限制，且所得結(jié)果也比較符合實際，故在非線性系統(tǒng)分析中得到了廣泛的應(yīng)用。8.4.1

描述函數(shù)的基本概念8.4.2

典型非線性特性的描述函數(shù)8.4.3

用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)53自動控制原理

描述函數(shù)法的基本原理：當系統(tǒng)滿足一定條件時，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，表達形式上類似于線性理論中的幅相頻率特性。

1.諧波線性化

系統(tǒng)中常見的非線性特性，當輸入為正弦函數(shù)時，其輸出一般為同周期的非正弦函數(shù)。例如對理想繼電特性加以正弦輸入信號，則輸出y(t)為與輸入同周期的方波，見圖8.30。圖8.30理想繼電特性在正弦輸入時的輸出波形

8.4.1描述函數(shù)的基本概念54自動控制原理將輸出信號用傅里葉級數(shù)表示，即為設(shè)非線性環(huán)節(jié)描述為非線性特性的輸入信號為如圖8.30方波輸出信號可以表示為傅氏級數(shù)形式式中若非線性特性具有奇對稱特性，則A0=0，如果略去輸出高次諧波分量，僅以基波分量近似地代替整個輸出，則有55自動控制原理式中2．描述函數(shù)非線性特性在進行諧波線性化后，參照幅相頻率特性的定義，建立非線性特性的等效幅相特性，即描述函數(shù)。把非線性元件輸出信號y(t)中的一次諧波分量y1(t)與正弦輸入信號x(t)的復(fù)數(shù)比，稱為非線性元件的描述函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達式為式中A為非線性元件正弦輸入信號的振幅為非線性元件輸出信號中一次諧波分量的振幅；為非線性元件輸出信號中一次諧波分量的相位移。56自動控制原理8.4.2典型非線性特性的描述函數(shù)1.飽和特性飽和特性以及它對正弦輸入的輸出波形如圖8.31(8-46)圖8.31飽和非線性及其輸入、輸出波形57自動控制原理飽和特性的描述函數(shù)為(8-48)2.死區(qū)特性死區(qū)特性以及它對正弦輸入的輸出波形如圖8.32所示于是死區(qū)特性的描述函數(shù)為(8-49)

(8-51)58自動控制原理圖8.32死區(qū)非線性及其輸入、輸出波形59自動控制原理于是間隙特性描述函數(shù)為(8-53)

(8-54)

3.間隙特性間隙特性以及它對正弦輸入的輸出波形如圖8.33所示

60自動控制原理圖8.33間隙非線性及其輸入、輸出波形

61自動控制原理(8-55)式中4.繼電器特性

（1）具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器其輸出量y(t)的方程為具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器特性以及它對正弦輸入的輸出波形如圖8.34所示。62自動控制原理圖8.34具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電特性及其輸入、輸出波形63自動控制原理于是，具有死區(qū)和滯環(huán)繼電器的描述函數(shù)為(8-56)（2）雙位繼電器

雙位繼電器非線性的描述函數(shù)

(8-57)

圖8.35雙位繼電器非線性

64自動控制原理（4）具有滯環(huán)的繼電器

三位繼電器特性的描述函數(shù)

(8-58)

圖8.36三位繼電器非線性

具有滯環(huán)繼電器非線性的描述函數(shù)(8-59)

圖8.37滯環(huán)繼電器非線性（3）三位繼電器65自動控制原理8.4.3用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)1.描述函數(shù)法的應(yīng)用條件（1）非線性系統(tǒng)能簡化成一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分且閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式，如圖8.38所示，其中G(s)代表系統(tǒng)的線性部分。圖8.38非線性控制系統(tǒng)（2）非線性環(huán)節(jié)輸入輸出特性y(x)應(yīng)是x的奇函數(shù)，即以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常值分量，即

（3）系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。當非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號時，實際輸出必定含有高次諧波分量，但經(jīng)線性部分傳遞之后，由于低通濾波的作用，高次諧波分量將被大大削弱，從而保證描述函數(shù)法所分析的結(jié)果比較準確。66自動控制原理

非線性系統(tǒng)經(jīng)過簡化后，具有圖8.38所示的典型結(jié)構(gòu)形式，且非線性環(huán)節(jié)與線性部分滿足描述函數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性系統(tǒng)經(jīng)過諧波線性化后變成一個等效的線性系統(tǒng)，可以應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻域穩(wěn)定判據(jù)來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

當非線性特性采用描述函數(shù)近似等效時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為1+N(A)G(jw)=0或N(A)G(jw

)=-1(8-60)即G(jw

)=-1/N(A)(8-61)-1/N(A)稱為非線性環(huán)節(jié)的負倒描述函數(shù)。由線性控制系統(tǒng)理論知，線性系統(tǒng)的特征方程為G(jw

)=-1(8-62)

根據(jù)復(fù)平面內(nèi)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jw

)曲線與臨界點(-1，j0)的相對位置，應(yīng)用奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)，可以分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。將方程(8-61)與(8-62)對照，顯然可以把奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，推廣應(yīng)用于諧波線性化的非線性系統(tǒng)，需要修改的僅僅是將復(fù)平面內(nèi)的臨界點(-1，j0)擴展為臨界曲線，即-1/N(A)曲線。根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，如果-1/N(A)曲線不被G(jw

)曲線包圍(8.39(a))則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

67自動控制原理如果-1/N(A)曲線被G(jw

)曲線全部包圍(圖8.39(b))，則系統(tǒng)狀態(tài)在干擾作用下，不能回到平衡狀態(tài)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果-1/N(A)曲線與線性部分頻率特性G(jw

)曲線相交(圖8.39(c))，交點處的參數(shù)，即振幅Ai和頻率wi使方程(8-60)或(8-61)成立，非線性系統(tǒng)可能產(chǎn)生的自激振蕩.圖8.39非線性系統(tǒng)零平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性3．描述函數(shù)分析舉例

例8-4

雙位繼電器非線性系統(tǒng)（圖8.40）線性部分的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的參考輸入r(t)=0，系統(tǒng)開始處于靜止狀態(tài)。(1)分析非線性系統(tǒng)零平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性和自激振蕩的穩(wěn)定性；68自動控制原理(2)如果系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩，確定自激振蕩的參數(shù)A和w。

解由式(8-57)求得-1/N(A)曲線在復(fù)平面內(nèi)與負實軸重合。線性部分的頻率特性G(jw

)為(8-63)