點的復(fù)合運動

點的合成運動如何確定O1B桿的角速度？

點的合成運動如何確定AB桿的速度？如何確定車刀相對于工件的運動？

點的合成運動車刀在工件圓端面上切出的痕跡？

點的合成運動用動靜兩種參照系描述同一動點的運動，分析兩種描述間的相互關(guān)系，即運動分解與合成的規(guī)律。

－運動學(xué)的重點主要內(nèi)容：絕對運動、相對運動與牽連運動點的速度合成定理點的加速度合成定理

絕對運動、相對運動與牽連運動一運動的相對性1

對運動的觀察允許使用各種參考系；2不同的參考系對同一運動的具體描述是不同的；3如果相對于某一參考系的運動，可由相對于其它參考系的幾個運動組合而成，則稱這種運動為合成運動（復(fù)雜運動）。絕對運動、相對運動與牽連運動定參考系（絕對參照系）：固結(jié)于地面的坐標(biāo)系動參考系（相對參照系）：固結(jié)于相對地面有運動的物體上的坐標(biāo)系二動點與牽連點動點：相對于定系和動系均有運動的點，即考察運動的那一點。牽連點：某一瞬時在空間位置上與動點相重合的動坐標(biāo)系上的點稱為此瞬時動點的牽連點。定系（絕對參照系）：固結(jié)于地面的坐標(biāo)系動系（相對參照系）：固結(jié)于相對地面有運動的物體上的坐標(biāo)系在不同的瞬時，牽連點是動系上的不同點

三三種運動絕對運動：動點相對于定系的運動。

點的運動絕對軌跡絕對速度va

（absolutevelocity）

絕對加速度aa（absoluteacceleration）—動點在定系下的運動描述絕對運動、相對運動與牽連運動相對運動：動點相對于動系的運動

點的運動絕對運動、相對運動與牽連運動相對軌跡動點的相對速度vr

（relativevelocity）和相對加速度ar

（relativeacceleration）—動點在動系下的運動描述牽連運動：動系相對于定系的運動平動、定軸轉(zhuǎn)動—動系在定系下的運動描述牽連運動具有剛體運動的特點絕對運動、相對運動與牽連運動牽連速度及加速度相對于定系而言牽連點相對定系的運動速度和加速度，分別稱為為動點的牽連速度ve

（convectedvelocity）和牽連加速ae

（convectedacceleration）—牽連點在定系下的運動描述

在岸上觀察，艦以角速度作縱搖運動，飛機(jī)沿甲板飛行。若將動系固結(jié)于艦上隨艦作縱搖運動，問：當(dāng)飛機(jī)未飛出甲板時=？當(dāng)飛機(jī)已飛出甲板時=？xy思考：牽連速度：牽連點在定系下的速度牽連點：某一瞬時在空間位置上與動點相重合的動坐標(biāo)系上的點稱為此瞬時動點的牽連點。ve重物的運動分析定參考系？動參考系？絕對運動？相對運動？牽連運動？動點？牽連點？y’x’x’o’牽連點定參考系？動參考系？絕對運動？相對運動？牽連運動？動點？牽連點？定參考系？動參考系？絕對運動？相對運動？牽連運動？動點？牽連點？定參考系？動參考系？絕對運動？相對運動？牽連運動？動點？牽連點？定參考系？動參考系？絕對運動？相對運動？牽連運動？動點？牽連點？y’x’x’o’牽連點相對運動軌跡定參考系？動參考系？絕對運動？相對運動？牽連運動？動點？牽連點？定參考系？動參考系？絕對運動？相對運動？牽連運動？動點？牽連點？例1

以平面運動為例，利用坐標(biāo)變換推導(dǎo)三種運動之間的關(guān)系。解：設(shè)M為動點，取定系、動系如圖所示：絕對運動方程為：相對運動方程為：牽連運動方程為：絕對運動方程為：絕對運動、相對運動與牽連運動矩陣形式：變換矩陣：（TransformationMatrix)方向余弦矩陣：（DirectionCosineMatrix)絕對運動、相對運動與牽連運動例2

動點M相對于動系x'oy'以勻速率v作半徑為r的圓周運動，動系相對于靜系xoy作角速度為的勻速率定軸轉(zhuǎn)動，若初始時刻動系與靜系相重合。求動點M的絕對運動軌跡。例

動點M相對于動系x'oy'以勻速率v作半徑為r的圓周運動，動系相對于靜系xoy作角速度為的勻速率定軸轉(zhuǎn)動，若初始時刻動系與靜系相重合。求動點M的絕對運動軌跡。解：相對運動方程是：牽連運動方程為：絕對運動方程為：例3

車刀切削工件端面，車刀以運動方程x=bsint沿x軸作往復(fù)運動，工件以勻角速度作逆時針轉(zhuǎn)動。求車刀在工件端面上運動產(chǎn)生的軌跡。M在動系、定系中坐標(biāo)間的關(guān)系？例3

車刀切削工件端面，車刀以運動方程x=bsint沿x軸作往復(fù)運動，工件以勻角速度作逆時針轉(zhuǎn)動。求車刀在工件端面上運動產(chǎn)生的軌跡。解：取刀尖M為動點，取工件為動系，則動點在動系與定系中的坐標(biāo)：將M點的絕對運動方程代入：消去參數(shù)t得到相對軌跡為：點的速度合成定理一點的速度合成定理：z’x’y’牽連點運動軌跡P，P1P’絕對運動軌跡相對運動軌跡

P1’剛體在定系中運動，動系固結(jié)在剛體上。P1點－動系上與動點重合的點。rr1r’動點P沿著剛體上的曲線運動。tt+Δt二速度合成定理的幾何法證明：不論牽連運動為何種運動瞬時關(guān)系絕對速度一定是速度平行四邊形的對角線不論矢量法還是解析法均只能求解兩個未知數(shù)建立了任一瞬時三個運動之間的速度關(guān)系，可避免列寫運動方程及求導(dǎo)處理，直接求得速度。例4：刨床急回機(jī)構(gòu)。曲柄長,

兩軸間距。求當(dāng)曲柄在水平位置時搖桿的角速度。解：點A為研究的動點，把動參考系固定在搖桿上也可以用矢量在軸上的投影求解。？例5

礦砂從傳送帶A落到傳送帶B如圖所示，站在地面上觀察礦砂下落的速度為v1=4m/s，下落的方向與鉛垂方向成300。已知傳送帶B的速度為v2=3m/s，求礦砂相對于傳送帶B的速度。思考：動點?定系?動系?ve600vaMvr動點:礦砂M定系:固結(jié)于地面上動系:

o’x’y’固結(jié)于傳送帶By’x’x’o’M點速度圖？例5

礦砂從傳送帶A落到傳送帶B如圖所示，站在地面上觀察礦砂下落的速度為v1=4m/s，下落的方向與鉛垂方向成300。已知傳送帶B的速度為v2=3m/s，求礦砂相對于傳送帶B的速度。解：動點:礦砂M定系:固結(jié)于地面上動系:o’x’y’固結(jié)于傳送帶By’x’x’o’vrvave600Mβ例6

如圖所示，半徑為r、偏心距為e的凸輪以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，桿AB能在鉛直槽內(nèi)滑動且桿的端點A始終與凸輪相接觸。求圖示瞬時桿AB的速度。思考：動點?定系?動系?y’x’o’動點:AB桿上A定系:固結(jié)于鉛直槽上動系:o’x’y’固結(jié)凸輪O上：A點速度圖？點的速度合成定理解：動點:AB桿上A定系:固結(jié)于鉛直槽上動系:o’x’y’固結(jié)凸輪O上：y’x’o’思考：動系:o’x’y’固結(jié)在桿AB上?

動點

?定系?

例7

已知vAB

=v=常量，當(dāng)t=0時，

=0；求時，點C速度的大小。

v解取AB桿的A點為動點，動系固結(jié)在桿OC。當(dāng)時，

va

=ve

+vrA點速度圖？課堂討論：已知：簡諧運動機(jī)構(gòu)的求：圖示位置T形槽的速度。

va

=ve

+vr斜T型槽的速度分析還可以怎樣求圖示位置T形槽的速度？xy例7

已知：凸輪頂桿機(jī)構(gòu)中。

求：與水平成角時頂桿的速度。應(yīng)如何選取動點、動系？接觸點為時變點θθ解：選動系與頂桿固結(jié)，選C為動點。如果為任意瞬時的角度，則任意瞬時頂桿之速度為例7

已知：凸輪頂桿機(jī)構(gòu)中。

求：與水平成角時頂桿的速度。y’x’x’o’如何選取動點、動系？時變點OAcvevrva動點速度圖？y’x’x’o’y’x’o’y’x’o’例8：已知

AB=L，求圖示瞬時，小環(huán)M的速度。MABA’B’MABA’B’MABA’B’動點：小環(huán)M動系：固結(jié)桿AA’動點：小環(huán)M動系：固結(jié)桿BB’？？結(jié)論和討論第八章點的合成運動請問下面的速度分析正確嗎？如果不正確的話錯在在哪里？y’x’x’o’y’x’o’運動分析速度分析解題步驟

點的加速度合成定理一平動動系下點的加速度合成定理：牽連運動為平動！例9曲柄OA以勻角速度

繞固定軸O轉(zhuǎn)動，丁字桿BC沿水平方向往復(fù)平動，OA=r。求在圖示位置時桿BC的加速度。第八章點的合成運動牽連運動為平動時點的加速度合成定理解：動點：滑塊A動系:o’x’y’固結(jié)于BC桿由點復(fù)合運動的加速度合成定理有：y’x’o’例10

平行四連桿機(jī)構(gòu)的上連桿BC與一固定鉛直桿EF相接觸，在兩者接觸處套上一小環(huán)M，當(dāng)BC桿運動時，小環(huán)M同時在BC、EF桿上滑動。曲柄AB=CD=r，連桿BC=AD=l，若曲柄轉(zhuǎn)至圖示角位置時的角速度為，角加速度為，試求小環(huán)M的加速度。

動點：小環(huán)M解：靜系：固連在地面上動系：固連在連桿BC上y’x’向y軸投影：例11：已知滑塊在圖示瞬時的速度和加速度，求此瞬時桿上A點的速度和加速度。解：動點：動系：定系：運動分析絕對運動：相對運動：牽連運動：求：絕對速度、絕對加速度ABr桿上A點固結(jié)于滑塊地面直線運動圓周運動直線平移速度分析：x’y’作速度圖作加速度圖AB加速度分析：x’y’aOAc例12：已知圖示瞬時圓盤的角速度和角加速度，求桿上A點的速度和加速度。解：動點：動系：定系：運動分析絕對運動：相對運動：牽連運動：求：牽連速度、牽連加速度盤心C固結(jié)于桿地面圓周運動直線運動直線平移速度分析：x’y’作速度圖作加速度圖加速度分析：另一種求解方法OAc解：動點：動系：定系：運動分析絕對運動：相對運動：牽連運動：求：B點的絕對（加）速度例13：已知鉛垂搖桿在圖示瞬時的角速度為，角加速度為，求此瞬時水平AB桿的角速度和角加速度。AB桿上B點固結(jié)于半圓滑道地面圓周運動圓周運動曲線平移1、速度分析：AB=3R作速度圖作加速度圖AB加速度分析：在上投影：D第八章點的合成運動牽連運動為平動時點的加速度合成定理解：取桿上A為動點，動系:o’x’y’固結(jié)于凸輪。例14凸輪在水平面上向右做減速運動。設(shè)凸輪半徑為R，該瞬時的速度和加速度分別為v和a，求桿AB的加速度。y’x’o’作加速度圖作速度圖第八章點的合成運動牽連運動為平動時點的加速度合成定理解：取桿上A為動點，動系:o’x’y’固結(jié)于凸輪。由點合成運動的速度合成定理有：例14凸輪在水平面上向右做減速運動。設(shè)凸輪半徑為R，該瞬時的速度和加速度分別為v和a，求桿AB的加速度。y’x’o’第八章點的合成運動牽連運動為平動時點的加速度合成定理向n軸投影：由點復(fù)合運動的加速度合成定理有：若以P為動點，動系固結(jié)于圓盤，驗證牽連運動為平移時所得到的加速度合成定理是否成立。以圖示的以等角速度繞軸O轉(zhuǎn)動的圓盤為例。圓盤半徑為R。在鄰近其邊緣的上方，靜止地懸掛一個小球P。P點的運動分析絕對運動：靜止，故絕對加速度牽連運動：繞O軸作定軸轉(zhuǎn)動相對運動：以點O為圓心、R為半徑，與盤上重合點反向的等速圓周運動。牽連加速度的大小相對加速度的大小動點的絕對加速度方向指向圓盤中心O

方向也指向圓盤中心O

牽連加速度與相對加速度的矢量和

牽連運動為平移時所得到的加速度合成定理，對于牽連運動為轉(zhuǎn)動的情形，不再成立。

二定軸轉(zhuǎn)動動系下點的加速度合成定理：相對加速度反映由于牽連運動（轉(zhuǎn)動）引起vr方向之變化點的加速度合成定理－牽連加速度反映相對運動引起的ve大小改變科氏加速度：一半體現(xiàn)相對運動對牽連運動的影響，另一半體現(xiàn)牽連運動對相對運動的影響。P179~180點的加速度合成定理牽連運動為任意運動！圓盤以不同方向的角速度旋轉(zhuǎn)時，皮帶會如何變形？結(jié)論和討論請分析地球表面一點由于考慮地球的自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的科氏加速度。在什么方向？有什么意義？在你周圍能夠看到它的效應(yīng)嗎？第八章點的合成運動傅科擺結(jié)論和討論請分析地球表面一點由于考慮地球的自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的科氏加速度。在什么方向？有什么意義？在你周圍能夠看到它的效應(yīng)嗎？第八章點的合成運動傅科擺右岸的沖刷信風(fēng)、季風(fēng)旋渦的方向結(jié)論和討論第八章點的合成運動科氏加速度:(Coriolisacceleration)

牽連運動為平動時：aC=0;牽連運動含有轉(zhuǎn)動（如定軸轉(zhuǎn)動）時：考慮aC;瞬時關(guān)系；宜用解析法求解，可求解兩個未知數(shù)。例15

離心泵工作葉輪以勻轉(zhuǎn)速n=200r/min順時針轉(zhuǎn)動。設(shè)流體質(zhì)點A在葉輪出口處的絕對速度的徑向分量vax=3m/s。在葉輪的出口處，質(zhì)點相對切向加速度大小為24m/s2，方向如圖所示。已知葉輪的導(dǎo)流曲線在出口處的曲率半徑為ρ=0.2m，且出口處切線與半徑成450角。葉輪半徑r=0.15m。試求流體質(zhì)點在出口處的絕對加速度。點的加速度合成定理aeararnacaaxyAy1x1vax分析：取葉輪出口處流體質(zhì)點A為動點，作定系Oxy，動系Ox1y1固結(jié)在葉輪上：vay例15

離心泵工作葉輪以勻轉(zhuǎn)速n=200r/min順時針轉(zhuǎn)動。設(shè)流體質(zhì)點A在葉輪出口處的絕對速度的徑向分量vax=3m/s。在葉輪的出口處，質(zhì)點相對切向加速度大小為24m/s2，方向如圖所示。已知葉輪的導(dǎo)流曲線在出口處的曲率半徑為ρ=0.2m，且出口處切線與半徑成450角。葉輪半徑r=0.15m。試求流體質(zhì)點在出口處的絕對加速度。解：取葉輪出口處流體質(zhì)點A為動點，作定系Oxy，動系Ox1y1固結(jié)在葉輪上，由速度合成定理有：向徑向作投影有：點的加速度合成定理vaxvay將加速度合成定理分別向x和y軸作投影有：點的加速度合成定理xyarAaearnacaavaxvay解題注意：點的加速度合成定理一般可寫成如下形式：

大??？r2

2v

例16

已知圓環(huán)以等角速度繞軸O轉(zhuǎn)動，液體在環(huán)內(nèi)沿逆時針方向流動的相對速度v=常量；求1、2兩點處液體的絕對加速度的大小。

方向？皆如圖示解：分別取液滴1、2為動點，動系在固結(jié)圓環(huán)；對動點1：作液滴1、2加速度圖

例16已知圓環(huán)以等角速度繞軸O轉(zhuǎn)動，液體在環(huán)內(nèi)沿逆時針方向流動的相對速度v=常量；求1、2兩點處液體的絕對加速度的大小。解：分別取液滴1、2為動點，動系在固結(jié)圓環(huán)；對動點2：大小 ？r2

2v

方向 ？皆如圖示向x、y軸投影：例17：已知滑塊以勻速u平移，求在圖示位置時，桿的角速度和角加速度。解：動點：動系：定系：

運動分析絕對運動：相對運動：牽連運動：求：牽連速度和牽連加速度板上與桿的接觸點B固結(jié)于OA桿地面/機(jī)座oAB直線運動直線運動定軸轉(zhuǎn)動速度分析：oB加速度分析：oAB例18

刨床急回機(jī)構(gòu)曲柄OA的一端A用鉸鏈與滑塊相連接，當(dāng)OA以固定角速度作定軸轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿O1A上滑動，帶動搖桿O1B繞固定軸O1擺動。設(shè)曲柄長OA＝r，兩軸間的距離OO1＝l，求當(dāng)曲柄在水平位置時搖桿的角速度1及角加速度1

。分析：動點：曲柄端點A動系：固定在搖桿上，并與O1B一起繞軸O1擺動。作速度圖

、加速度圖例18

刨床急回機(jī)構(gòu)曲柄OA的一端A用鉸鏈與滑塊相連接，當(dāng)OA以固定角速度作定軸轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿O1A上滑動，帶動搖桿O1B繞固定軸O1擺動。設(shè)曲柄長OA＝r，兩軸間的距離OO1＝l，求當(dāng)曲柄在水平位置時搖桿的角速度1及角加速度1

。分別向x'和y'軸作投影：點的速度合成定理解：動點：曲柄端點A動系：固定在搖桿上，并與O1B一起繞軸O1擺動。點的加速度合成定理例19

已知半圓形凸輪半徑為r，圖示瞬時θ=300，凸輪以vB和aB平動。OA桿靠在凸輪上。試分析此瞬時桿的角速度ω和角加速度ε。解法1：

取凸輪圓心B為動點，動系固結(jié)于OA桿上。aeBaraenacaaxB作速度圖

、加速度圖例19

已知半圓形凸輪半徑為r，圖示瞬時θ=300，凸輪以vB和aB平動。OA桿靠在凸輪上。試分析此瞬時桿的角速度ω和角加速度ε。解法1：取凸輪圓心B為動點，動系固結(jié)于OA桿上。（1）分析速度（2）分析加速度向x軸投影：aeBaraenacaax解法2：虛設(shè)用小環(huán)M套住桿OA和凸輪輪緣取M為動點，第一動系O1x1y1固結(jié)于OA桿。第二動系為Ox2y2。向軸投影：思考：能否用這種方法求ε？vr2ve2ve1vr1M解：1.運動分析動點：桿O1A上A點；動系：固連于O2B桿；絕對運動：以O(shè)1為圓心的圓周運動；相對運動：與O2B平行的直線運動；牽連運動：繞O2軸定軸轉(zhuǎn)動。2.速度分析

x′y′vevavr例題20圖示之機(jī)構(gòu)，O1A桿以勻角速度1轉(zhuǎn)動，輪A半徑為r，與O1A在A處鉸接。O1A=2r，O2B始終與輪A接觸。圖示瞬時，=60，=30。求:圖示瞬時O2B的角速度2、角加速度2。作速度圖

作加速度圖3.加速度分析

應(yīng)用加速度合成定理

x′y′圖示之機(jī)構(gòu)，O1A桿以勻角速度1轉(zhuǎn)動，輪A半徑為r，與O1A在A處鉸接。O1A=2r，O2B始終與輪A接觸。圖示瞬時，=60，=30。

4.討論

是否可以選輪A與O2B桿接觸點為動點？例21

半徑為r的圓輪以等角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動，從而帶動靠在輪上的桿O1A繞O1軸擺動。已知OO1＝3r，試求圖示位置O1A桿的角速度與角加速度。解：選C為動點，O1A桿上固結(jié)動系vrvave向O1y1軸投影acaeaenCaaarO作速度圖

作加速度圖例22：OA桿勻角速轉(zhuǎn)動，求圖示瞬時桿

AB上中點

D

的速度和加速度。OABD1:取AB桿上的D為動點，動系固結(jié)于套筒解：求速度2:取A點為動點動系固結(jié)于套筒AB桿相對運動為平移OABDOABDD點加速度分析研究A點加速度？？再由（1）式，可求得D點的加速度?例23.圓形凸輪繞O1軸轉(zhuǎn)動，帶動直角桿AOD繞O軸轉(zhuǎn)動，通過套筒B帶動BC桿沿鉛垂線運動。已知：r=2cm，l1=4cm，l2=3cm。在圖示位置時，=600，O1E處于水平位置，=2rad/s，=0，A點恰在凸輪的鉛垂直徑上。試求該瞬時：（1）A點相對于凸輪的加速度；（2）BC桿的速度和加速度。解：動點：AOD上A點，動系：凸輪，牽連轉(zhuǎn)動

解：動點：AOD上A點，動系：凸輪，牽連轉(zhuǎn)動

000動點:BC上B點，動系：AOD，牽連轉(zhuǎn)動

00機(jī)電2011級機(jī)電2011級

小結(jié):1．各類問題的共同點是正確選取動點和動系；分析三個運動和三個速度及相關(guān)加速度；應(yīng)用速度合成定理及加速度合成定理建立各物理量之間的關(guān)系。2．要充分利用約束條件使相對軌跡直觀、明顯。常見的相對運動軌跡形狀為直線或圓周線。3．計算時則先列寫出矢量式，再用投影式完成各物理量的定量計算。并把計算結(jié)果特別是相應(yīng)物理量的方向（轉(zhuǎn)向）標(biāo)示在圖上。1．兩個獨立運動的物體，研究兩者的相對運動原則：動點和動系分別屬于兩個物體。動點和動系的選擇2．運動物體（載體）上有一動點作相對運動原則：動系固結(jié)于載體上，動點取有相對運動的點。動點和動系的選擇3．機(jī)構(gòu)傳動一主動件與從動件的連接處存在持續(xù)連接點動點和動系的選擇原則：（1）動點和動系應(yīng)分別屬于兩個物體；（2）通常取持續(xù)連接點為動點；（3）常見的相對運動軌跡形狀為直線或圓周線。動點和動系的選擇二主動件與從動件的連接點是時變點（即隨時間改變）動點和動系選擇原則：（1）動點和動系分別屬于兩個物體；（2）動點一般不是連接點。（3）常見的相對運動軌跡形狀為直線或圓周線。參考書理論力學(xué)思考題集

哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室編高教出版社理論力學(xué)自我檢測謝傳峰北京航空學(xué)院出版社理論力學(xué)重點、難點及典型題精解周紀(jì)卿韓省亮何望云西安交通大學(xué)出版社本章習(xí)題2-1～3、4～12習(xí)題要求1）要抄題，畫原圖；2）運動狀態(tài)參量求得后要在圖上畫明；3）動點、動系要寫清楚；書上習(xí)題討論課課堂練習(xí)1—曲柄滑桿機(jī)構(gòu)已知曲柄角速度w、角加速度，曲柄O