正態(tài)分布課件

8.3正態(tài)分布曲線1.兩點(diǎn)分布：3.超幾何分布：2.二項(xiàng)分布：一、復(fù)習(xí)回顧：你是否認(rèn)識它？二、創(chuàng)設(shè)情境：圖中每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間。從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間的距離的小圓玻璃球，當(dāng)小圓球向下降落過程中，碰到釘子后皆以1/2的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子。如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止。把許許多多同樣大小的小球不斷從入口處放下，只要球的數(shù)目相當(dāng)大，它們在底板將堆成近似于正態(tài)的密度函數(shù)圖形（即：中間高，兩頭低，呈左右對稱的古鐘型），其中n為釘子的層數(shù)。這是英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，稱為高爾頓釘板（或高爾頓板）。三、探究思考：1、我們也來玩一玩思考：

隨著試驗(yàn)次數(shù)和分組數(shù)的增多，頻率直方圖的形狀會呈現(xiàn)什么樣的變化？結(jié)論在上面游戲中得到的總體密度曲線就是或近似地是以下函數(shù)的圖象：1、正態(tài)曲線的定義：函數(shù)式中的實(shí)數(shù)μ、σ(σ>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，稱P（x）的圖象稱為正態(tài)曲線四、定義：思考：

2、上面的表達(dá)式有什么特點(diǎn)？3、回憶一下前面學(xué)習(xí)必修1時(shí)我們學(xué)習(xí)函數(shù)，可以從哪些方面研究它？答：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等012-1-2x-33X=μσ正態(tài)曲線歸納、總結(jié)：012-1-2x-33X=μσ正態(tài)曲線（１）曲線位于x軸上方,與x軸不相交；（２）曲線是單峰的,它關(guān)于對稱；（３）曲線在處達(dá)到峰值；（４）曲線與ｘ軸之間的面積為1；x,x（２）曲線是單峰的,它關(guān)于對稱；（３）曲線在處達(dá)到峰值；（４）曲線與ｘ軸之間的面積為1；歸納、總結(jié)：（1）思考：式子中有兩個(gè)變化的參數(shù)，我們可以看成兩個(gè)變量，但是雙變量會對我們的研究造成一定的困難，同學(xué)們有什么好的辦法嗎？針對解析式中含有兩個(gè)參數(shù)，較難獨(dú)立分析參數(shù)對曲線的影響，這里通過固定一個(gè)參數(shù)，討論另一個(gè)參數(shù)對圖象的影響，這樣的處理大大降低了難度2、觀察、歸納、總結(jié)：σ＝0.5σ＝1σ＝2Oｘμ

=-1μ

＝0μ

＝1Oｘ1、當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨μ的變化而沿x軸平移；2、當(dāng)μ一定時(shí)，σ影響了曲線的形狀．即：σ越小，則曲線越瘦高，表示總體分布越集中；σ越大，則曲線越矮胖，表示總體分布越分散．結(jié)論：xy0

ab五、正態(tài)分布：則稱X

的分布為正態(tài)分布.

正態(tài)分布由參數(shù)m、s唯一確定,m、s分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.正態(tài)分布記作N（m，s2）.其圖象稱為正態(tài)曲線.如果對于任何實(shí)數(shù)a<b,隨機(jī)變量X滿足:記作：X~N(m,s2)。（EX=mDX=s）2、定義：3、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：六、3σ原則對于正態(tài)分布，隨機(jī)變量X在μ的附近取值的概率較大，在離μ很遠(yuǎn)處取值的概率較小：七、有關(guān)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的有關(guān)概率計(jì)算：知識點(diǎn)1：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的有關(guān)概率可以通過查表（見附錄1：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）1．正態(tài)分布密度函數(shù)及正態(tài)曲線完全由變量μ和σ確定．參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；σ是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．

2．對于正態(tài)曲線的性質(zhì)，應(yīng)結(jié)合正態(tài)曲線的特點(diǎn)去理解、記憶．

[例1]

如圖所示是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差．[思路點(diǎn)撥]給出了一個(gè)正態(tài)曲線，就給出了該曲線的對稱軸和最大值，從而就能求出總體隨機(jī)變量的期望、標(biāo)準(zhǔn)差及解析式．[一點(diǎn)通]利用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù)μ，σ，具體方法如下：

(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱，由此性質(zhì)結(jié)合圖象求μ.(2)正態(tài)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值，由此性質(zhì)結(jié)合圖象可求σ.答案：B解析：由σ的意義可知，圖象越瘦高，數(shù)據(jù)越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.答案：A[例2]在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1,4)，求正態(tài)總體X在(－1,1)內(nèi)取值的概率．

[思路點(diǎn)撥]

解答本題可先求出X在(－1,3)內(nèi)取值的概率，然后由正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對稱知，X在(－1,1)內(nèi)取值的概率就等于在(－1,3)內(nèi)取值的概率的一半．[一點(diǎn)通]

解答此類問題的關(guān)鍵在于充分利用正態(tài)曲線的對稱性，把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在此過程中注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．3．若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________.4．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，則c＝________.答案：25．若X～N(5,1)，求P(5<X<7)．[例3]

(10分)據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，某市高二學(xué)生中男生的身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(174,9)．若該市共有高二男生3000人，試估計(jì)該市高二男生身高在(174,180)范圍內(nèi)的人數(shù)．

[思路點(diǎn)撥]因?yàn)棣蹋?74，σ＝3，所以可利用正態(tài)分布的性質(zhì)可以求解．[精解詳析]因?yàn)樯砀遆～N(174,9)，所以μ＝174，σ＝3，

(2分)所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在(168,180]范圍內(nèi)的概率為0.9544.(6分)又因?yàn)棣蹋?74.所以身高在(168,174)和(174,180)范圍內(nèi)的概率相等，均為0.4772，故該市高二男生身高在(174,180)范圍內(nèi)的人數(shù)是3000×0.4772≈1432(人)．

(10分)[一點(diǎn)通]

解決此類問題一定要靈活把握3σ原則，將所求概率向P(μ－σ<X<μ＋σ)，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用特定值求出相應(yīng)的概率．同時(shí)要充分利用好曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這一特殊性質(zhì)．1、已知X~N(0,1)，則X在區(qū)間內(nèi)取值的概率

A、0.9544B、0.0456C、0.9772D、0.02282、設(shè)離散型隨機(jī)變量X~N(0,1),則=

,=

.D0.50.95443、若已知正態(tài)總體落在區(qū)間的概率為0.5，則相應(yīng)的正態(tài)曲線在x=

時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)。0.34、已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在（-3,-1）里的概率和落在（3,5）里的概率相等，那么這個(gè)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望是

。1

練一練：因?yàn)镻(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，所以正態(tài)總體X幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，這是一個(gè)小概率事件，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生．這是統(tǒng)計(jì)中常用的假設(shè)檢驗(yàn)基本思想．1．正態(tài)曲線態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝e

，x∈R，其中參數(shù)μ為正態(tài)分布變量的

，μ∈(

)；σ為正態(tài)分布變量的

,σ∈

．正態(tài)變量的概率密度函數(shù)(即f(x))的

叫做正態(tài)曲線．期望為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布通常記作

，μ＝0，σ＝1的正態(tài)分布叫

．?dāng)?shù)學(xué)期望－∞，＋∞標(biāo)準(zhǔn)差(0，＋∞)圖象N(μ，σ2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布2．正態(tài)曲線的性質(zhì)

(1)曲線在x軸的

，并且關(guān)于直線

對稱；

(2)曲線在

時(shí)處于最高點(diǎn)，并由此處向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸

，呈現(xiàn)“

”的形狀；

(3)曲線的形狀由參數(shù)σ確定，σ越

，曲線“矮胖”；σ越

，曲線越“高瘦”．上方x＝μx＝μ降低中間高，兩邊低大小3．正態(tài)分布的3σ原則

P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；

P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝

；

P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝

.正態(tài)變量的取值幾乎都在距x＝μ三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3σ原則．95.4%99.7%歸納小結(jié)