概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ch8

假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)這類問題稱作假設(shè)檢驗(yàn)問題.總體分布已知，檢驗(yàn)關(guān)于未知參數(shù)的某個(gè)假設(shè)總體分布未知時(shí)的假設(shè)檢驗(yàn)問題在本節(jié)中，我們將討論不同于參數(shù)估計(jì)的另一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問題.這就是根據(jù)樣本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個(gè)假設(shè)是否正確.一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法讓我們先看一個(gè)例子.這一章我們討論對(duì)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

.生產(chǎn)流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運(yùn).怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？把每一罐都打開倒入量杯,看看容量是否合于標(biāo)準(zhǔn).這樣做顯然不行！罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.每隔一定時(shí)間，抽查若干罐.如每隔1小時(shí)，抽查5罐，得5個(gè)容量的值X1，…，X5，根據(jù)這些值來判斷生產(chǎn)是否正常.如發(fā)現(xiàn)不正常，就應(yīng)停產(chǎn)，找出原因，排除故障，然后再生產(chǎn)；如沒有問題，就繼續(xù)按規(guī)定時(shí)間再抽樣，以此監(jiān)督生產(chǎn)，保證質(zhì)量.通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查.很明顯，不能由5罐容量的數(shù)據(jù)，在把握不大的情況下就判斷生產(chǎn)

不正常，因?yàn)橥．a(chǎn)的損失是很大的.當(dāng)然也不能總認(rèn)為正常，有了問題不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)，這也要造成損失.如何處理這兩者的關(guān)系，假設(shè)檢驗(yàn)面對(duì)的就是這種矛盾.在正常生產(chǎn)條件下，由于種種隨機(jī)因素的影響，每罐可樂的容量應(yīng)在355毫升上下波動(dòng).這些因素中沒有哪一個(gè)占有特殊重要的地位.因此，根據(jù)中心極限定理，假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的.現(xiàn)在我們就來討論這個(gè)問題.罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.它的對(duì)立假設(shè)是：稱H0為原假設(shè)（或零假設(shè)，解消假設(shè)）；稱H1為備選假設(shè)（或?qū)α⒓僭O(shè)）.在實(shí)際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設(shè).H0：（=355）H1：這樣，我們可以認(rèn)為X1,…,X5是取自正態(tài)總體

的樣本，是一個(gè)常數(shù).當(dāng)生產(chǎn)比較穩(wěn)定時(shí)，現(xiàn)在要檢驗(yàn)的假設(shè)是：那么，如何判斷原假設(shè)H0

是否成立呢？較大、較小是一個(gè)相對(duì)的概念，合理的界限在何處？應(yīng)由什么原則來確定？由于

是正態(tài)分布的期望值，它的估計(jì)量是樣本均值，因此可以根據(jù)與

的差距來判斷H0

是否成立.-

||較小時(shí)，可以認(rèn)為H0是成立的；當(dāng)-

||生產(chǎn)已不正常.當(dāng)較大時(shí)，應(yīng)認(rèn)為H0不成立，即-

||問題歸結(jié)為對(duì)差異作定量的分析，以確定其性質(zhì).差異可能是由抽樣的隨機(jī)性引起的，稱為“抽樣誤差”或隨機(jī)誤差這種誤差反映偶然、非本質(zhì)的因素所引起的隨機(jī)波動(dòng).然而，這種隨機(jī)性的波動(dòng)是有一定限度的，如果差異超過了這個(gè)限度，則我們就不能用抽樣的隨機(jī)性來解釋了.必須認(rèn)為這個(gè)差異反映了事物的本質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常.這種差異稱作“系統(tǒng)誤差”問題是，根據(jù)所觀察到的差異，如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用，還是生產(chǎn)確實(shí)不正常？即差異是“抽樣誤差”還是“系統(tǒng)誤差”所引起的？這里需要給出一個(gè)量的界限.問題是：如何給出這個(gè)量的界限？這里用到人們?cè)趯?shí)踐中普遍采用的一個(gè)原則：小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生.現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂的例中：在提出原假設(shè)H0后，如何作出接受和拒絕H0的結(jié)論呢？在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們稱這個(gè)小概率為顯著性水平，用表示.常取的選擇要根據(jù)實(shí)際情況而定。罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.一批可樂出廠前應(yīng)進(jìn)行抽樣檢查，現(xiàn)抽查了n罐，測得容量為X1,X2,…,Xn，問這一批可樂的容量是否合格？提出假設(shè)選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量~N(0,1)H0：=355

H1：

≠355由于已知，它能衡量差異大小且分布已知.對(duì)給定的顯著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位點(diǎn)的值，使故我們可以取拒絕域?yàn)椋阂簿褪钦f,“”是一個(gè)小概率事件.W：如果由樣本值算得該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入?yún)^(qū)域W，則拒絕H0

；否則，不能拒絕H0.如果H0

是對(duì)的，那么衡量差異大小的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量落入?yún)^(qū)域W(拒絕域)是個(gè)小概率事件.如果該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入W，也就是說，H0成立下的小概率事件發(fā)生了，那么就認(rèn)為H0不可信而否定它.否則我們就不能否定H0

（只好接受它）.這里所依據(jù)的邏輯是：不否定H0并不是肯定H0一定對(duì)，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達(dá)到足以否定H0的程度.所以假設(shè)檢驗(yàn)又叫“顯著性檢驗(yàn)”如果顯著性水平

取得很小，則拒絕域也會(huì)比較小.其產(chǎn)生的后果是：H0難于被拒絕.如果在很小的情況下H0仍被拒絕了，則說明實(shí)際情況很可能與之有顯著差異.基于這個(gè)理由，人們常把時(shí)拒絕H0稱為是顯著的，而把在時(shí)拒絕H0稱為是高度顯著的.在上面的例子的敘述中，我們已經(jīng)初步介紹了假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法.下面，我們?cè)俳Y(jié)合另一個(gè)例子，進(jìn)一步說明假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟.二、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟

例2

某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標(biāo)準(zhǔn)要求長度是32.5毫米.實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度X假定服從正態(tài)分布未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問這批產(chǎn)品是否合格?…分析：這批產(chǎn)品(螺釘長度)的全體組成問題的總體X.現(xiàn)在要檢驗(yàn)E(X)是否為32.5.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)第一步：已知

X~未知.第二步：能衡量差異大小且分布已知取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布第三步：即“

”是一個(gè)小概率事件.小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生.對(duì)給定的顯著性水平=0.01，查表確定臨界值,使得否定域W:|t|>4.0322得否定域

W:|t|>4.0322故不能拒絕H0.第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量t的實(shí)測值,|t|=2.997<4.0322沒有落入拒絕域

這并不意味著H0一定對(duì)，只是差異還不夠顯著,不足以否定H0.假設(shè)檢驗(yàn)會(huì)不會(huì)犯錯(cuò)誤呢？由于作出結(jié)論的依據(jù)是下述小概率原理小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生.不是一定不發(fā)生三、假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤如果H0成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入否定域，從而作出否定H0的結(jié)論，那就犯了“以真為假”的錯(cuò)誤.如果H0不成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值未落入否定域，從而沒有作出否定H0的結(jié)論，即接受了錯(cuò)誤的H0，那就犯了“以假為真”的錯(cuò)誤.請(qǐng)看下表

假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤H0為真實(shí)際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯(cuò)誤正確正確第二類錯(cuò)誤

P{拒絕H0|H0為真}=,

P{接受H0|H0不真}=.

犯兩類錯(cuò)誤的概率:顯著性水平為犯第一類錯(cuò)誤的概率.

兩類錯(cuò)誤的概率的關(guān)系兩類錯(cuò)誤是互相關(guān)聯(lián)的，當(dāng)樣本容量固定時(shí)，一類錯(cuò)誤概率的減少導(dǎo)致另一類錯(cuò)誤概率的增加.要同時(shí)降低兩類錯(cuò)誤的概率或者要在不變的條件下降低，需要增加樣本容量.請(qǐng)看演示假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)的關(guān)系請(qǐng)看演示假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)單、雙側(cè)檢驗(yàn)前面一例的檢驗(yàn)，拒絕域取在兩側(cè)，稱為雙側(cè)檢驗(yàn).下面看一個(gè)單側(cè)檢驗(yàn)的例子.想了解單雙側(cè)檢驗(yàn)的區(qū)別，請(qǐng)看演示.單雙側(cè)檢驗(yàn)例3

某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進(jìn)器的燃燒率服從正態(tài)分布現(xiàn)在用新方法生產(chǎn)了一批推進(jìn)器。從中隨機(jī)取

n=25只，測得燃燒率的樣本均值為

設(shè)在新方法下總體均方差仍為2cm/s，問這批推進(jìn)器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進(jìn)器的燃燒率有顯著的提高？取顯著性水平

代入=2,n=25，并由樣本值計(jì)算得統(tǒng)計(jì)量U的實(shí)測值U=3.125>1.645故拒絕H0

，即認(rèn)為這批推進(jìn)器的燃料率較以往生產(chǎn)的有顯著的提高。落入否定域解:提出假設(shè):取統(tǒng)計(jì)量否定域?yàn)?/p>

W:=1.645

某織物強(qiáng)力指標(biāo)X的均值=21公斤.改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批織物，今從中取30件，測得=21.55公斤.假設(shè)強(qiáng)力指標(biāo)服從正態(tài)分布且已知=1.2公斤，問在顯著性水平=0.01下，新生產(chǎn)織物比過去的織物強(qiáng)力是否有提高?四、課堂練習(xí)代入

=1.2,n=30，并由樣本值計(jì)算得統(tǒng)計(jì)量U的實(shí)測值U=2.51>2.33故拒絕原假設(shè)H0

，即新生產(chǎn)織物比過去的織物的強(qiáng)力有提高。落入否定域解:提出假設(shè):

取統(tǒng)計(jì)量否定域?yàn)?/p>

W:=2.33

提出假設(shè)

根據(jù)統(tǒng)計(jì)調(diào)查的目的,提出原假設(shè)H0

和備選假設(shè)H1作出決策抽取樣本檢驗(yàn)假設(shè)

對(duì)差異進(jìn)行定量的分析，確定其性質(zhì)(是隨機(jī)誤差還是系統(tǒng)誤差.為給出兩者界限，找一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T，在H0成立下其分布已知.）拒絕還是不能拒絕H0顯著性水平P(TW)=-----犯第一類錯(cuò)誤的概率，W為拒絕域五、小結(jié)六、布置作業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)(七)單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)小結(jié)布置作業(yè)第二節(jié)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

1.已知，關(guān)于的檢驗(yàn)（u檢驗(yàn)）在上一小節(jié)中已討論過正態(tài)總體,當(dāng)已知時(shí)關(guān)于的檢驗(yàn)問題.在這些檢驗(yàn)問題中，我們都是利用在為真時(shí)服從分布的統(tǒng)計(jì)量來確定拒絕域。這種檢驗(yàn)法常稱為u檢驗(yàn)法。一、單個(gè)總體均值的檢驗(yàn)下面還將給出一個(gè)有用的結(jié)果:我們看到，如將例2中需要檢驗(yàn)的問題寫成以下的形式，看來更為合理：取顯著性水平為，現(xiàn)在來求這個(gè)問題的拒絕域.因?yàn)橹械娜慷急戎械囊?從直觀上看,較合理的檢驗(yàn)法應(yīng)是：若觀測值與的差過分大，即,則我們拒絕而接受，因此拒絕域的形式為（k待定）.由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的單調(diào)性得到P{拒絕為真}即即得，從而得檢驗(yàn)問題(1.7）的拒絕域?yàn)樗砸刂芇{拒絕為真}，只需令這與上節(jié)得到的檢驗(yàn)問題（1.3）的拒絕域（1.5）是一致的。比較正態(tài)總體在方差已知時(shí)，對(duì)均值的兩種檢驗(yàn)問題

和我們看到盡管兩者原假設(shè)的形式不同，實(shí)際意義也不一樣，但對(duì)于相同的顯著性水平它們的拒絕域是相同的。因此遇到形如（1.7）的檢驗(yàn)問題，可歸結(jié)為（1.3）來討論。對(duì)于下面將要討論的有關(guān)正態(tài)總體的參數(shù)的檢驗(yàn)也有類似的結(jié)果。

2.未知，關(guān)于的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）設(shè)總體，其中未知，我們來求檢驗(yàn)問題的拒絕域（顯著性水平為）。設(shè)是來自正態(tài)總體X的樣本，由于未知，現(xiàn)在不能利用來確定拒絕域了。注意到是的無偏估計(jì)，我們用s

來代替，采用作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)過分大時(shí)就拒絕,拒絕域的形式為已知當(dāng)為真時(shí)，，故由P{拒絕為真}＝，得，即拒絕域?yàn)?/p>

對(duì)于正態(tài)總體，當(dāng)未知時(shí)，關(guān)于的單邊檢驗(yàn)得拒絕域在課本附表中已給出。上述利用t

統(tǒng)計(jì)量得出得檢驗(yàn)法稱為t

檢驗(yàn)法。在實(shí)際中，正態(tài)總體的方差常為未知，所以我們常用t檢驗(yàn)法來檢驗(yàn)關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)問題。例1某種電子元件的壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從正態(tài)分布，均未知?，F(xiàn)測得16只元件的壽命如下：

159280101212224379179264222362168250149260485170問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225（小時(shí)）？解：按題意需檢驗(yàn)取。由表8.1知檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)楝F(xiàn)在n=16,又算得即得t不落在拒絕域，故接受，即認(rèn)為元件的平均壽命不大于225小時(shí)。二.兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）我們還可以用t檢驗(yàn)法檢驗(yàn)具有相同方差的兩個(gè)正態(tài)總體均值差的假設(shè)。設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，是來自正態(tài)總體的樣本且設(shè)兩樣本獨(dú)立。又分別記它們的樣本均值為，記樣本方差為。設(shè)均為未知，要特別引起注意的是，在這里假設(shè)兩總體的方差是相等的?，F(xiàn)在來求檢驗(yàn)問題：（為已知常數(shù)）的拒絕域，取顯著性水平為引用下述t統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：其中當(dāng)為真時(shí)，已知與單個(gè)總體的t

檢驗(yàn)法相仿，其拒絕域的形式為

P{拒絕為真}

＝可得于是得拒絕域?yàn)殛P(guān)于均值差的其它兩個(gè)檢驗(yàn)問題的拒絕域在書附表中給出。常用的是的情況。當(dāng)兩種正態(tài)總體的方差均為已知時(shí)，我們可用u檢驗(yàn)法來檢驗(yàn)兩正態(tài)總體均值差的假設(shè)問題。例2在平爐進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)以確定改變操作方法的建議是否會(huì)增加鋼的得率，試驗(yàn)是在同一只平爐上進(jìn)行的。每煉一爐鋼時(shí)除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同。先用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，以后交替進(jìn)行，各煉了10爐，其得率分別為標(biāo)準(zhǔn)方法78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3

新方法79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1設(shè)這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，且分別來自正態(tài)總體和,均未知。問建議的新操作方法能否提高得率？（取）解：需要檢驗(yàn)假設(shè)分別求出標(biāo)準(zhǔn)方法和新方法的樣本均值和樣本方差如下：又，故拒絕域?yàn)楝F(xiàn)在由于樣本觀察值t＝-4.295<-1.7341,所以拒絕，即認(rèn)為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu)。三、小結(jié)在這一節(jié)中我們學(xué)習(xí)了正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)法,有以下兩種:單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)以及兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn).四、布置作業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)(七)單個(gè)總體的情況兩個(gè)總體的情況課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)第三節(jié)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)一、單個(gè)總體的情況設(shè)總體均屬未知，是來自X的樣本，要求檢驗(yàn)假設(shè)（顯著性水平為）：

為已知常數(shù)。由于是的無偏估計(jì)，當(dāng)為真時(shí)，比值一般來說應(yīng)在1附近擺動(dòng)，而不應(yīng)過分大于1或過分小于1。由于當(dāng)為真時(shí),

我們?nèi)∽鳛闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，如上所說知道上述檢驗(yàn)問題的拒絕域具有以下的形式：或或此處的值由下式確定：

P{拒絕為真}

＝為計(jì)算方便起見，習(xí)慣上取（3.1）

故得

于是得拒絕域?yàn)榛蛏鲜鰴z驗(yàn)法為檢驗(yàn)法。關(guān)于方差的單邊檢驗(yàn)法得拒絕域已在附表中給出。例3某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池，其壽命長期以來服從方差(小時(shí))的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來看，壽命的波動(dòng)性有所改變，現(xiàn)隨機(jī)取26只電池，測出其壽命的樣本方差小時(shí)）。問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化（?。?？或

由觀察值得所以拒絕，認(rèn)為這批電池壽命波動(dòng)性較以往的有顯著的變化。二、兩個(gè)總體的情況設(shè)來自總體的樣本，是來自總體的樣本，且兩樣本獨(dú)立。其樣本方差分別為。且設(shè)均為未知，現(xiàn)在需要檢驗(yàn)假設(shè):由于的獨(dú)立性及得知故當(dāng)為真時(shí)，即當(dāng)時(shí)有（3.2）我們?nèi)∽鳛闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)為真時(shí)，而當(dāng)為真時(shí)

由于，故有偏大的趨勢，因此拒絕域的形式為（3.3）k由下式確定：P{拒絕為真}＝即有于是拒絕域?yàn)?/p>

上述檢驗(yàn)法稱為F檢驗(yàn)法。關(guān)于的另外兩個(gè)檢驗(yàn)問題的拒絕域在附表中給出。(3.4)例4試對(duì)例2中的數(shù)據(jù)作方差的假設(shè)檢驗(yàn)（?。┙猓捍颂帲芙^域?yàn)榛颥F(xiàn)在即有

故接受，認(rèn)為兩總體方差相等。例5研究機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑，隨機(jī)抽取機(jī)器A生產(chǎn)的管子18只，測得樣本方差；抽取機(jī)器