時集合的含義

第1章集合1.1集合的含義及其表示第1課時集合的含義1.了解集合的含義;(難點）2.理解集合中元素的三個特性，體會元素與集合間的從屬關(guān)系;（重點）3.記住常用的數(shù)集及其符號表示.（重點、易混點）“集合”是日常生活中的一個常用詞，現(xiàn)代漢語解釋為:許多的人或物聚在一起。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，集合是一種簡潔、高雅的數(shù)學(xué)語言，我們怎樣理解數(shù)學(xué)中的“集合”呢？,、這個通知的對象是全體的高一學(xué)生還是個別學(xué)生？

通知

9月1號上午8時，高一年級的學(xué)生在體育館集合進行軍訓(xùn)動員.

校長室全體高一學(xué)生解答:（1）在學(xué)習(xí)“不等式的解法”中曾提到：一個不等式的所有的解組成了這個不等式解的集合，簡稱不等式的解集.（2）圓的定義中曾提到：圓：到定點的距離等于定長的點的集合.

思考1

在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)哪些知識點時，曾提到“集合”一詞？再來觀察下面的實例：（1）小于10的質(zhì)數(shù);（2）2010年廣州亞運會中我國運動員獲得的所有金牌；（3）滿足3x－2＞x＋3的全體實數(shù)；（4）中國的直轄市；（5）高一(10)班全體男同學(xué)；（6）2012年央視春晚主持人；（7）趙本山的弟子；（8）初中我們學(xué)過的函數(shù).思考2

通過以上實例，想一想，什么是集合？解答：集合與元素的概念:

一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合.集合中的每一個對象稱為該集合的元素，簡稱元.集合通常用大寫的拉丁字母表示，如集合A、集合B等.集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……思考3

上面實例（1）、（4）中集合的元素分別是什么？解答：實例（1）中集合的元素有2，3，5，7;實例（4）中集合的元素有北京，天津，上海，重慶.解答:集合與元素之間的關(guān)系：（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A.思考4

集合與元素之間存在怎樣的關(guān)系？怎樣來描述這種關(guān)系?（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作提升總結(jié)：集合和元素是兩個不同的概念，它們之間是隸屬的關(guān)系,類似于公司與員工的關(guān)系，因此用符號“∈”與“”來表示這種關(guān)系，要注意“∈”的開口方向，不能把a∈A顛倒過來寫.此外要辯證理解集合和元素這兩個概念

,且注意“∈”與“”只能表示元素和集合之間的關(guān)系，不能用來表示集合與集合之間的關(guān)系．回答下列問題（1）“我們班的高個子同學(xué)”、“年輕人”、“接近0的數(shù)”，這些能否組成一個集合，為什么？（2）集合A中含有元素2,2,4的表述是否準(zhǔn)確?（3）集合A中含有元素太平洋，大西洋，集合B中含有元素大西洋，太平洋，則集合A與集合B是否為同一集合?解答：（1）中，身高多高就能稱為“高個子”，年齡多大為“年輕”，“接近”0的數(shù)到底有哪些，因界定的標(biāo)準(zhǔn)不明確，這些被研究的對象模棱兩可，不能確定，故三者都不能組成集合.（2）中集合的元素“2”雖然出現(xiàn)了兩次，但只能算作一個元素，實際上集合A的元素就只有2和4，應(yīng)表述為集合A中含有元素2,4.例（3）“大西洋”與“太平洋”雖同時作為集合A與B中的元素僅順序不同但無所謂相對的“順序”，因其元素相同，故A與B為同一集合.由以上問題可以看出，集合中的元素具有以下三個特性：（1）確定性：即對任意給定的對象，相對于某個集合來說，或者屬于這個集合，或者不屬于這個集合，二者必居其一;（2）互異性：對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的（或說是互異的），即同一個集合中的任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入任一個集合時，只能算作這個集合的一個元素;（3）無序性：由于集合中元素是確定且是互異的，元素完全相同的集合即是相同的集合。因此，集合中的元素與順序無關(guān).提升總結(jié)：對集合中的元素的三個特性的理解：（1）對于確定性，關(guān)鍵是理解“確定”的含義，對任意對象都能確定它是不是集合的元素，這是集合的最基本特征,沒有確定性就不能成為集合.如“很大的數(shù)”、“聰明的人”都不能構(gòu)成集合.（2）互異性是判斷是否構(gòu)成集合的另一標(biāo)準(zhǔn)，通常通過檢驗的方法看集合是否滿足互異性.如:（3）無序性最容易理解，即在同一集合里，通常不考慮元素之間的順序.思考5數(shù)學(xué)中的“數(shù)”是怎樣分類的？解答：自然數(shù)包括正整數(shù)和零，自然數(shù)和負整數(shù)構(gòu)成了整數(shù)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)構(gòu)成了有理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)構(gòu)成實數(shù)。自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實數(shù)解答：這些“數(shù)”都是數(shù)的集合，它們是數(shù)集.對于這些常見的數(shù)集，在高中我們還會經(jīng)常用到，以后為了方便表示它們，現(xiàn)對它們用統(tǒng)一的符號規(guī)定如下：思考6

這些“數(shù)”與我們現(xiàn)在學(xué)的集合有什么聯(lián)系？常見數(shù)集的專用符號：N：非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)(全體非負整數(shù)的集合)N*或：正整數(shù)集（非負整數(shù)集N內(nèi)排除0的集合）Ｚ：整數(shù)集（全體整數(shù)的集合）Q：有理數(shù)集（全體有理數(shù)的集合）R：實數(shù)集（全體實數(shù)的集合）：空集（不含任何元素的集合）[例1]下列說法正確的有哪幾個？（1）地球周圍的行星能確定一個集合；（2）實數(shù)中不是有理數(shù)的所有數(shù)的全體能確定一個集合；（3）由1，，，∣-∣，0.5這些數(shù)組成的集合有5個元素；（4）{1，2，3}與{1，3，2}是不同集合.分析：這類題目主要考查對集合概念的理解，解決這類問題的關(guān)鍵是以集合中元素的確定性、互異性、無序性為標(biāo)準(zhǔn)作出判斷．解：(1)是錯誤的，因為“周圍”是個模糊的概念，隨便找一顆行星無法判斷是否屬于地球的周圍，因此它不滿足集合中元素的確定性．(2)是正確的，雖然滿足條件的數(shù)有無數(shù)多個，但任何一個元素都能判斷出來是否屬于這個集合．(3)是錯誤的，＝，∣－∣＝0.5，因此，由1，，，∣－∣，0.5這些數(shù)組成的集合為｛1，，0.5｝共有3個元素．(4)是錯誤的，因為集合中元素是無序的．技巧點撥:任何集合中的元素都不能違背確定性、互異性、無序性.判斷下列說法正確的有哪幾個？（1）世紀(jì)金榜書業(yè)銷量很好的圖書能構(gòu)成一個集合；（2）若集合M中含有的三個元素a,b,c恰是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是等腰三角形；（3）“祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進步”中的漢字構(gòu)成的集合有8個元素.【解析】（1）何謂“銷量很好”，沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，故銷量很好的圖書構(gòu)不成一個集合；（2）根據(jù)集合元素的互異性知a,b,c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；（3）“祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進步”中有兩個“學(xué)”字，根據(jù)元素互異性可知，這只能算作一個元素，故由這一句話的漢字構(gòu)成的集合只有7個元素。正確理解元素與集合之間的“屬于”關(guān)系.【解析】根據(jù)分析可知①②正確，③④錯誤.2你都判斷對了嗎？分析：說明集合A中或者

可分類討論求解.技巧點撥：求解集合問題時,要用逐個驗證的方法,看是否滿足互異性.解：由題意可知，或當(dāng)時，x=-1,把x=-1代入集合A中，此時集合A為{-3,-3,12}不滿足互異性當(dāng)時，x=或x=-1把x=代入集合A中，滿足集合元素的互異性故x=1.對于自然數(shù)集N，若a∈N,b∈N,則a+b_____N,ab____N.【解析】∵兩個自然數(shù)的和、積仍是自然數(shù)，∴a+b∈N,ab∈N.答案：∈∈3.下列各組對象能構(gòu)成集合的序號是：_______.(1)數(shù)學(xué)必修1課本中的所有難題；(2)與1非常接近的數(shù)；(3)不等式2x+3＞0的解集；(4)正三角形的全體.答案：（3）（4）4.已知集合A中含有三個元素1,a,b,集合B中含有三個元素a,a2,ab，若集合A與B相等，求實數(shù)a，b的值.【解析】因為集合A與B相等.故a2=1或ab=1且a≠1,