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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則()A. B. C.7 D.22.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.3.如圖,已知三棱錐中,平面平面,記二面角的平面角為,直線與平面所成角為,直線與平面所成角為,則()A. B. C. D.4.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.5.已知直線:與圓:交于,兩點(diǎn),與平行的直線與圓交于,兩點(diǎn),且與的面積相等,給出下列直線:①,②,③,④.其中滿(mǎn)足條件的所有直線的編號(hào)有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④6.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對(duì)于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為87.如圖是正方體截去一個(gè)四棱錐后的得到的幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.8.已知函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn),則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的充要條件是()A. B.C. D.9.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則()A.4 B.3 C.2 D.110.如果直線與圓相交,則點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系是()A.點(diǎn)M在圓C上 B.點(diǎn)M在圓C外C.點(diǎn)M在圓C內(nèi) D.上述三種情況都有可能11.復(fù)數(shù),是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是A. B.的共軛復(fù)數(shù)為C.的實(shí)部與虛部之和為1 D.在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限12.若,則的虛部是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是______cm2,體積是_____14.在等比數(shù)列中,,則________.15.已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,則實(shí)數(shù)的范圍為_(kāi)_____.16.在中,,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),則__________,________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:的離心率為,左、右頂點(diǎn)分別為、,過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)(異于、兩點(diǎn)),當(dāng)直線垂直于軸時(shí),四邊形的面積為1.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線、的交點(diǎn)為;試問(wèn)的橫坐標(biāo)是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(12分)已知橢圓的焦距為,斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),若線段的中點(diǎn)為,且直線的斜率為.(1)求橢圓的方程;(2)若過(guò)左焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),且滿(mǎn)足,問(wèn):是否為定值?若是,求出此定值,若不是,說(shuō)明理由.19.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m).(1)當(dāng)m=7時(shí),求函數(shù)f(x)的定義域;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,證明.21.(12分)第7屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng),329個(gè)小項(xiàng).共有來(lái)自100多個(gè)國(guó)家的近萬(wàn)名現(xiàn)役軍人同臺(tái)競(jìng)技.前期為迎接軍運(yùn)會(huì)順利召開(kāi),武漢市很多單位和部門(mén)都開(kāi)展了豐富多彩的宣傳和教育活動(dòng),努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識(shí),并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對(duì)軍運(yùn)會(huì)知識(shí)的知曉情況,在全市開(kāi)展了網(wǎng)上問(wèn)卷調(diào)查,民眾參與度極高,現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者,他們得分(滿(mǎn)分100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:組別頻數(shù)5304050452010(1)若此次問(wèn)卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來(lái)估計(jì)總體,設(shè),分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表),求,的值(,的值四舍五入取整數(shù)),并計(jì)算;(2)在(1)的條件下,為感謝大家參與這次活動(dòng),市體育局還對(duì)參加問(wèn)卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:得分低于的可以獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),得分不低于的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),在一次抽獎(jiǎng)中,抽中價(jià)值為15元的紀(jì)念品A的概率為,抽中價(jià)值為30元的紀(jì)念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問(wèn)卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者,記Y為他參加活動(dòng)獲得紀(jì)念品的總價(jià)值,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望,并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.(參考數(shù)據(jù):;;.)22.(10分)在平面四邊形(圖①)中,與均為直角三角形且有公共斜邊,設(shè),∠,∠,將沿折起,構(gòu)成如圖②所示的三棱錐,且使=.(1)求證:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出,再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】
解出集合,利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?,又,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算,同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】
作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因?yàn)槠矫嫫矫?平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因?yàn)?故.故,當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取等號(hào).又直線與平面所成角為,且為直線與平面內(nèi)的直線所成角,故,當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)取等號(hào).故.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系,同時(shí)運(yùn)用線面角的最小性進(jìn)行判定.屬于中檔題.4.C【解析】
根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,判斷出最小時(shí)的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項(xiàng)和中,前項(xiàng)的和最小,且.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
求出圓心到直線的距離為:,得出,根據(jù)條件得出到直線的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件,即可得出答案.【詳解】解:由已知可得:圓:的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線的距離為:,∴,而,與的面積相等,∴或,即到直線的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件,根據(jù)點(diǎn)到直線距離可知,①②④滿(mǎn)足條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及點(diǎn)到直線的距離公式.6.D【解析】
由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.7.C【解析】
根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖,結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示:由圖可知,該幾何體是在棱長(zhǎng)為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體,該幾何體的體積為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用三視圖計(jì)算幾何體的體積,考查空間想象能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】
由題可得出的坐標(biāo)為,再利用點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),即可求出和.【詳解】根據(jù)題意,,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,又,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題和函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得,即,已知,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列的基本量的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10.B【解析】
根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿(mǎn)足的條件,利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交,圓心到直線的距離,即.也就是點(diǎn)到圓的圓心的距離大于半徑.即點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外.故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì),考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,屬于中檔題.11.D【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,求得,在根據(jù)復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,則,的共軛復(fù)數(shù)為,復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限,故選D.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的合并同類(lèi)項(xiàng),乘法法則類(lèi)似于多項(xiàng)式乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫(xiě)成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化,其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念,如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為.12.D【解析】
通過(guò)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解復(fù)數(shù)為:的形式,即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知,所以的虛部是1.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算,復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.20+45,8【解析】試題分析:由題意得,該幾何體為三棱柱,故其表面積S=2×1體積V=12×4×2×2=8,故填:20+4考點(diǎn):1.三視圖;2.空間幾何體的表面積與體積.14.1【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),在第二象限,得,且,從而求出實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,∴,且,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系,解不等式,且是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16.2【解析】
根據(jù)正弦定理直接求出,利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中,,,可得因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn),所以故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的解法,向量的數(shù)量積的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)是為定值,的橫坐標(biāo)為定值【解析】
(1)根據(jù)“直線垂直于軸時(shí),四邊形的面積為1”列方程,由此求得,結(jié)合橢圓離心率以及,求得,由此求得橢圓方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,化簡(jiǎn)后寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系.求得直線的方程,并求得兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn),求得的橫坐標(biāo)為定值.【詳解】(1)依題意可知,解得,即;而,即,結(jié)合解得,,因此橢圓方程為(2)由題意得,左焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為:,,.由消去并整理得,∴,.直線的方程為:,直線的方程為:.聯(lián)系方程,解得,又因?yàn)椋裕缘臋M坐標(biāo)為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓離心率求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查直線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.18.(1).(2)為定值.過(guò)程見(jiàn)解析.【解析】分析:(1)焦距說(shuō)明,用點(diǎn)差法可得=.這樣可解得,得橢圓方程;(2)若,這種特殊情形可直接求得,在時(shí),直線方程為,設(shè),把直線方程代入橢圓方程,后可得,然后由紡長(zhǎng)公式計(jì)算出弦長(zhǎng),同時(shí)直線方程為,代入橢圓方程可得點(diǎn)坐標(biāo),從而計(jì)算出,最后計(jì)算即可.詳解:(1)由題意可知,設(shè),代入橢圓可得:,兩式相減并整理可得,,即.又因?yàn)?,,代入上式可得?又,所以,故橢圓的方程為.(2)由題意可知,,當(dāng)為長(zhǎng)軸時(shí),為短半軸,此時(shí);否則,可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消可得,,則有:,所以設(shè)直線方程為,聯(lián)立,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,不妨得,所以.故,綜上所述,為定值.點(diǎn)睛:設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,則有,證明方法是點(diǎn)差法:即把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得,,兩式相減,結(jié)合斜率公式可得.19.(1),(2)【解析】試題分析:用零點(diǎn)分區(qū)間討論法解含絕對(duì)值的不等式,根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得出,不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R,只需m+4≤3,得出的范圍.試題解析:(1)由題設(shè)知:|x+1|+|x﹣2|>7,不等式的解集是以下不等式組解集的并集:,或,或,解得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī仭?,?)∪(4,+∞).(2)不等式f(x)≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4,∵x∈R時(shí),恒有|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3,不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R,∴m+4≤3,m的取值范圍是(﹣∞,﹣1].20.(1)若,則在定義域內(nèi)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1),分,討論即可;(2)由題可得到,故只需證,,即,采用換元法,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理.【詳解】由已知,,若,則在定義域內(nèi)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)由題意,對(duì)求導(dǎo)可得從而,是的兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),因此下證:,即證令,即證:,對(duì)求導(dǎo)可得,,,因?yàn)楣?,所以在上單調(diào)遞減,而,從而所以在單調(diào)遞增,所以,即于是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式,考查學(xué)生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力,是一道有一定難度的壓軸題.21.(1),,;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布表計(jì)算出平均數(shù),進(jìn)而計(jì)算方差,從而X~N(65,142),計(jì)算P(51<X<93)即可;(2)列出Y所有可能的取值,分布求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,計(jì)算期望,進(jìn)而可得需要的總金額.【詳解】解:(1)由已知頻數(shù)表得:,,由,則,而,所以,則X服從正態(tài)分布,所以;(2)顯然,,所以所有Y的取值為15,30,45,60,,,,,所以Y的分布列為:Y15304560P所以,需要
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