文稿教程講稿

5.4積b定積分fxdx的定義要求(1)積分區(qū)間a,b有限,(2)被積afx有界,突破上述限制的積分稱(chēng)為反常積分,或者廣義積分.注.本節(jié)的函數(shù),除了的奇點(diǎn)外,均假設(shè)為連續(xù)函數(shù).一.無(wú)窮限的反常積分例.考exdx,它的幾何意義是曲yexx正半軸間區(qū) AAlimexdxlim1et1exdx0t

0定義

fxdx存在,則稱(chēng)反常積分

fxdx收斂,其積 fxdxlimfxdx;反之,稱(chēng)fxdx發(fā)散 類(lèi)似地fxdxlimfxdxfxdxfxdxfxdx

fxdxF a

fxdxFx例.討1

1dx的斂散性 x1p解.當(dāng)p1時(shí), ;當(dāng)p1時(shí),p

,故當(dāng)p1時(shí)1

1p x,當(dāng)p1時(shí)

p 注.對(duì)xlnpxdxupdu,有相同的結(jié)果 1313 1313 例x22x4x123

3

3333

1d1x2

,發(fā)散例1

2 1

2 1 例.

dx xx1

x1x 1x ln2 1 例. dsec

2x2sec4x2

cos3tdt1

tdsint3 32t x1t

133333221

tdt11t

1xdx11

dx xx1

x1 1

u 2 22u222

2

2 2 1 2 1 2x 12 例. dx 0 dx 2 2 ln

1 lnx

11例.x2dxlnxdxx 1

xdx0

二 函數(shù)的反常積x1 x例.考慮0

dx,它的幾何意義是曲線y 和y正半軸間區(qū)域1面積,而A

1dxlim2x1x1

t2,故

1dx2t0t

tx0x定義.若在Uc內(nèi)fx ,則稱(chēng)c為間斷點(diǎn)(瑕點(diǎn)bt定義.設(shè)fxCa,b,xa為 間斷點(diǎn),若limfxdxtt t則稱(chēng)反常積fxdx收斂,其積分值fxdxlimfxt tb 間斷點(diǎn),則fxdx f tb 若ca,b為fx 間斷點(diǎn),則fxdxfxdxfxdxc c注.設(shè)為 間斷點(diǎn)

,則 f

xa

Fx fxdxFxc,fxdxFbFaFxc 1x例.討論pdx的斂散性x01 1 x1p解.當(dāng)p1時(shí)

;當(dāng)p1 1

,故當(dāng)p1時(shí) 1 1 xpdx1p,當(dāng)p1時(shí)xpdx 1 1 1

例

dx

例. 2 2 2sec3t2costdt2 xxxx2

ut4 u 11例. 2 2

u242arctan24x2t x2tt

xxx2 14xxx2 14x 2 1 x2 x2arcsin2x11lnxx2

ln2 3 1 11 0 1例 2

02dx0

dx

x

,發(fā)散 例1lnxdxxlnx11xdlnx0limxlnx1