高考數(shù)學第19煉 利用函數(shù)證明數(shù)列不等式

19利利用函數(shù)證明不等式是在高考導數(shù)題中比較考驗學生靈活運用知識的能力面以函數(shù)為背景讓學生探尋函數(shù)的性質一方面體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)而用恒成立的不等式將沒有規(guī)律的數(shù)列放縮為為有具體特征的數(shù)列謂一題多考巧地將函數(shù)數(shù)，不等式連接在一起，也是近年來高考的熱門題型。一、基礎知識：、考察類型：（1利用放縮通項公式解決數(shù)列求和中的不等問題（2利用遞推公式處理通項公式中的不等問題、恒成立不等式的來源：（1函數(shù)的最值：在前面的章節(jié)中我們提到過最值的一個作用就是提供恒成立的不等式。（2恒成立問題的求解：此類題目往往會在前幾問中進行鋪墊，暗示數(shù)列放縮的方向。其中，有關恒成立問題的求解，參數(shù)范圍內的值均可提供恒成立不等式、常見恒成立不等式：（1

xx

對數(shù)→多項式（）

e

x

指數(shù)→多項式、關于前項和的放縮問題：求數(shù)列前項式往往要通過數(shù)列的通項公式來解決，高中階段求和的方法有以下幾種：（1倒序相加：通項公式具備第

項與第

項的和為常數(shù)的特點（）錯位相減：通項公為“等差

等比”的形式（例如

n

，求和可用錯位相減）（3等比數(shù)列求和公式（4裂項相消：通項公式可裂為兩項作差的形式，裂的某項能夠與后面項裂開某項進行相消。注放法處理數(shù)列求和不等時縮為等比數(shù)列和能夠裂項相消的數(shù)列的情況比較多見，故優(yōu)先考慮。、大體思路：對于數(shù)列求和不等式，要謹記“求和看通項公式入手，結合等號方向考慮放縮成可求和的通項公式。、在放縮時要注意前幾問的鋪墊與提示，尤其是關于恒成立問題與最值問題所帶來恒成立不等式，往往提供了放縮數(shù)列的方向

12nn12nn、放縮通項公式有可能會進行多次，要注意放縮的方向：朝著可求和的通項公式進靠攏（等比數(shù)列，裂項相消等）、數(shù)列不等式也可考慮利用數(shù)學歸納法進行證明（有時更容易發(fā)現(xiàn)所證不等式與題條件的聯(lián)系）二、典型例題：例1：已知數(shù)

f

在

x

處取得極值（1求實數(shù)的（）明對任的整n，等

34n4

都立解）

f

'

x為f

的極值點f'

1a

11（思一想所證不等式與目所給函數(shù)的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)在

f

中，存在對數(shù)，且左邊數(shù)列的通項公n

12

2

也具備

f

項的特征，所以考慮分析

ln

與

x2

的大小關系，然后與數(shù)列進行聯(lián)系。解：下面求

f

的單調區(qū)間f

'

1xx

,令

f

g'

g

f

即ln

x

（每一個函數(shù)的最值都會為我們提供一個恒成立的不等式，不用白不用！觀察剛好與所證不等式不等號方向一致）令

x

1n

，則

即

n2ln1

ln

nn

nn2

n2222n2222即

2

344

nn

小煉有話說：（）不等式實質是兩組數(shù)列求和后的大小關系an

nn,n

過應項的大小關系決定求和式子的大小。此題在比較項的大小時關鍵是利用一個恰當?shù)暮瘮?shù)的最值而個函數(shù)往往由題目所給另外有兩點注意①注函數(shù)最值所產生的恒成立不等式②注意不等號的方向應該與所證不等式同向（）決問題后便明白所證不等式為何右邊只有一個對數(shù)，其實也是在作和，只是作和時對數(shù)合并成一項（與對數(shù)運算法則和真數(shù)的特點相關今后遇到類似問題可猜想對數(shù)是經歷怎樣的過程化簡來的，這往往就是思路的突破點思路二發(fā)不等式兩邊均有含n的表達式且側作和所以考慮利用學歸納法給予證明：解：用數(shù)學歸納法證明：①當

時，不等式為

成立②假

n

時，不等式成立（即

2

349

ln(

）當

時，若要證

49

kklnkk34249

2只證ln(

k

ln

klnk

1k

（下同思路一：分析

f

的最值可得

）令

x

1k

，由恒成立不等式

可得

ln1

1k

即所證不等式成立③

，均有

2

344

nnn小煉有話說：利用數(shù)學歸納法證明要注意兩點）格式的書寫（）利用設的條件

所假

例2：已知數(shù)

f

（）

a

14

時，求函數(shù)

f

的單調區(qū)間（當

f()

圖像上的點都在

xy

所表示的平面區(qū)域內求實數(shù)

a

的取值范圍（）求：

4

n2

（中

N是然數(shù)底）解）解法，求出單調區(qū)找最值f

14

f

'

1xx2x2xx

,令

f

求出單調區(qū)間如下：f

'

f（）：函數(shù)

yf()

圖像上的點都在

xy

區(qū)域內，條件等價于

,

x

恒成立，即

ln

令

g

g

'

12ax令

g

即2a①a0時g

alna

不符合題意（此時發(fā)現(xiàn)單調性并不能直接舍掉

a

0

的情況可估計函數(shù)值的趨勢

恒為正

早晚會隨著

值的變大而為正數(shù)，所以必然不符合題意。在書寫時可構造反例來說明，此題只需

nn211nn211ax

即可，所以選擇

1a

）②

0

時，

a

即

g

g

單調遞減

，符合題意綜上所述：

0（路所不等式

4

22n

，左邊連乘，右邊是e，可以想到利用兩邊取對數(shù)“化積為和時用第二問的結論。第二問給我們提供了恒成立的等，a，ln，則可與左邊的求和找到聯(lián)系。

a，即解：所證不等式等價于

l11

n2由（2）可得

ln

，

n

2

，即ln222

n

n

n

1

（左邊可看做是數(shù)列求和，利用結論將不等式左邊的項進行放縮，轉化成可求和的數(shù)列——裂項相消）212

ln222

2

1

2

1

12

不等式得證小煉有話說：（第問中代數(shù)方法與數(shù)形合方法的抉體會為什么放棄線性規(guī)劃思路如將約束條件轉變?yōu)楹愠闪栴}（）數(shù)運算的特點：化積為和。題目中沒有關于乘積式的不等關系，于是決定變?yōu)楹褪剑ǎ┯蒙弦粏柕慕Y論放縮通項公式，將不可求和轉變?yōu)榭汕蠛?，進而解決問題例3：已知數(shù)

f()

x(1lnx)x

2x22x2（1當

時，討論

g(

（2當時若f(n

恒成立，求滿足條件的正整數(shù)n的值；（）證

2n

52

解）

f

axxn

axxx若

g

當當

00

時，時，

gg

上單調遞增上單調遞減（2）思路：

f

xxx

不等式等價于n即

x

min而在第1）問中

g

即為

f'

的分子，故考慮利用

g

來確定

f'

的符號，進而求出

f

的單調區(qū)間及最值解：

f

x

x

，由（1）得

g

單調遞增g

ln3ln4

(盡無法

g

的1g

，所以可估計零點的所在區(qū)間）x

的單調區(qū)間如下：

f

+f

nnnnf

fmin

bb

lnf

bb

n（思路：由第（2）問

n

，所證不等式可兩邊同取對數(shù)“化積為和考利用結論進行放縮解：所證不等式等價于：ln

ln

52由第（2）問可得：

3lnxln

2nnn

i

ln

17=2nln3nn2即原不等式成立。（如果從第一項就進行縮小，則

i

1lni1n

n

3n

，發(fā)現(xiàn)縮小過度但差距不大，所以進行調整，第一項不變，其余放縮。這樣不僅減少縮小的尺度，同時不改變求和規(guī)律）小煉有話說：這道題是對書中幾篇文章所講技巧的一個綜合。所涉內容如下：（）二問中對零點

x

的處理，參見：3.1.3最分析法（）三問中數(shù)列放縮后的調整值得注意，放縮的過程中有可能存在“放過頭”的情況，往往是由于前幾項放縮程度過大造成的（通常越大，放縮的程度越小以考慮數(shù)列幾項不進行放縮，然后再看不等式能否成立，若一直都“過度”一點點，那么就要考慮是否另選放縮方案了。例：設函數(shù)

f

，其中

R

。:

n2222323n23n2222323n23（）a

時，討論函數(shù)

f(x

在其定義域上的單調性；（2證明：對任意的正整數(shù)

n，等式ln

112

都成立。解析：（）

f

'

x

ax2x

，令

f

即解不等式

2x

2

①

12

a0

時方程

2x

的兩根

1

a,x2

，

2f

的單調區(qū)間為：11a11,f

'

f②

12

時，

2

2

恒成立f

單調遞增（）慮

a

時，則

f令

h

f

ln

'

x

3

x

在

恒成立h

單調遞增

hln

，令

x

1n

111ln1lnnnlnk

nnnn即：

ln

1123

例5：已知函數(shù)

f()xln(x

的最小值為0，其中。a（）的值（）對任意的

x有f)

2

成立，求實數(shù)k的最小值（）明

i

2i

ln(2*)解）

f

'

1

,定義域

令

f

解得

x

，f

的單調區(qū)間為：f'

fmin

ff

（）時取有fln0，不題意。當k時令g(f(x)kx

2，g()xxkx2

。g

xkxkkxxx

，令

g

，得

x12

1k2

當

k

11k時，2

0,

在

上恒成立因此

g(x

在

[0,

上單調遞減，對任意的[0,

，總有

g(x)(0)0，即(x)kx

2

在

[0,

上恒成立。故

k

12

符合題意。當

0k

1時，2

1kx)，g，g(x)在)2kk

內單調遞增，取

x(0,

1k2

)

時，

gx(0)0

，即

f()

不成立。

2nnnnn2nnnnn故

0

12

不合題意

k

12綜上，

的最小值為

12

。（）第2）問可得：當2令i

11時，不等式ln2

恒成立2iln22i2

2i

2

112ii

i

2211ln31ii

1122

即

i

2n2i1lnln3i2i2i即

i

2i

2(nN

*

)例6：已知數(shù)

f(x)lnx3ax（1求

fx)

的最大值；（）明等：

e

。解）

f

'

1xx

，令

f

，

f

單調區(qū)間如下：f'f

y

f

（）思路：左邊可看做數(shù)列求和，其通項公式為

i

n

，無法直接求和，所以考慮利用條件進行放縮，右邊是分式，可以猜想是等比數(shù)列求和后的結果，所以將

i

放縮為等比數(shù)列模型。由（1）可得

lnxx

，令

x

in

進行嘗試解：由（）可得

lnxx

ninnnnninnnn令

x

iiii，即nniln尋找方的來源）

i

1

2

n

e

eee

不等式得證小煉有話說：此題的第（3）問數(shù)列通項公式放縮為等比數(shù)列求和，如果不等式的一側是一個分數(shù)，則可向等比數(shù)列求和的結果考慮（猜想公比與首項例7：函數(shù)

f(x)

.（）

f(x)cosx

在

a

的取值范圍；（）明

f

2(n2(n)f)f()n

（解成不等式等價于

令

g

(：在

中這三個自變量的函數(shù)值最便于計算，進而選擇代入）yaxx

可視為關于

a

的一次函數(shù)且遞增

令

h

2

xx

則對

2

,

g

恒成立

若要

g

，只需

h

，下面進行證明：h

h

,只需證

xxx

即可h

'

2

sin

考慮

0,2

時，

x2x

從而

h

'

2

2

（注導數(shù)無法求出極值點故引入抽象的極值點,

h240sin2n2nx4h240sin2n2nx42但要利用零點存在性定理估計所在區(qū)間）h

'

2,sinh

'

,

,使得

h

且當

h

單調遞減，在

,

單調遞增h

h

恒成立

,進而對每一個

a

2

均滿足

a

2（思將邊視為數(shù)列求和通項公式為

af(

k2

)

(意左邊是

項求和考慮利用前面條件對通項公式放縮

a

2

則

x

2

恒成立但如果直接進行代入，不等號右邊的

無法處理，進而無法與所證不等式的右邊找到聯(lián)系?？紤]將

挪至左側并與

sinx

合角而將三角函數(shù)放縮為多項式根求和特點進行求和解：由（）可得：

x

2

cos

2

222sinxsinx4令

4k4可得

f

k

24k2n242n(為

a

k2n

為

令

4

k1

，反求即可）

f(

2n)()f(n

)

n

22

fefe

2n4n

4

n24

22

f

2(=2(n2()f)f()nn小煉有話說：（關本題第二問恒成立的具體可參見3.3.3有關容明需要極值點而無法直接求出時可先用抽象的

x

0

代替，但要確定好

x

0

所處的大概區(qū)間（三問對第二問的結論稍加變將

與

sinx

進行合角不是直接代入

f

)的應用是本題的一大亮點方程等式的變形目的是將條件與結論能夠連接起來以構造時要關注所求不等式的結構特點。（）第問不等式的左邊有兩細節(jié)：第一個是左邊求和的項數(shù)是

項，第二個在f(

2n

)

中，同一個

n

所代表的含義不同。分母每一項都是

,

n

與項數(shù)相關。給定一個n數(shù)項的分母就固定了而分子的n表的是序數(shù)可現(xiàn)數(shù)列中分子是在不斷變化的，從1變n,在(

2n

)

，同一個在子分母中扮的角色不同。所以在寫通項公式時，引入了字母

用來區(qū)分序數(shù)與項數(shù)。例8

y

fxk

在

上為增函數(shù)

f

次比增函數(shù)

k

，已知

f

:（）

a

12

時，求函數(shù)

g在m,x

上的最小值（）證

2

1

解：（）

g

e

x

g'

11x22x

12

x令

g

解得

x2

xxxx

單調遞減，在

單調遞增①

時，

gmin

g

e2m②

mm，g

gmin

e2③

，

min

m2綜上所述：

g

,222+1,（2由第）問可得：

ee2，即2所求和的通項公式為

an

n

1

，由

1e

可得：x

x

xx

1xe

1x

，令

x

，可得：

n

1

2enn

12

e

+

+

2

11112

1

1111223

12e

111114234

11n

=

11117122ne2e

,e2,11,e2,11例9：已知函數(shù)

f

lnx（）

g數(shù)

在區(qū)間

上的零點個數(shù)（）記

Fn

ln

2n

,Sn2

Fn

*

，對意整

，

n

n

4n

對意

D

恒立則

在

D

上“效的試斷

2

上“效的若，給證，不，說理由解）

g

，g

即

的零點個數(shù)即為函數(shù)

y

x

與

ym

交點的個數(shù)設

x

，

h

x2x2

，令

h'

解得

x單調區(qū)間如下：

h

hh

42

，草圖如下：或時g

無零點0

或

4e

m

，

g

一個零點0

4e

，

g

兩個零點

,1n2,1n2（思路觀到

Fn

2n

結構上（2中的

h

很相似

S

n

n

實質上是

F

F

，故考慮對每一項進行放縮使得求和具有規(guī)律性

h

的特點

F

可寫成

Fn

ln2（將n2nx

nx

視為整體用

h單調性進行放縮解：

h

單調區(qū)間如下：h

'

h2nne4heln22xFxn3n2nxn2

（2縮為

4

1n2

而

1n

可放縮為能夠裂項求和的式子Fn

11nnS

n

nn

n

Fn

+

1=4ppnpn

上是“高效”的小煉有話說：（）題中的第（）對第（）問的函數(shù)構造提供了方便，對于證明數(shù)列不等式，同學要善于利用前面問題的條件與結論（）（）的關鍵之處在于找

F

的聯(lián)系，以及通過不等關系消

（）和時通項公式放縮的方向為構造具備裂項求和的數(shù)列，其中

1n2

的放縮技巧如下：

2x22n212222nnn22x22n212222nnn2n

11nn

n

而左右兩邊均可裂項求和例10已函數(shù)

（1若

f

在定義域內為減函數(shù)，求p的圍（）

1

a

n

n

n

，證：2

時4n

34解）f

'

f為減函數(shù)1

x0,

x