2020年高考數(shù)學(xué)第3講 圓錐曲線的綜合問題

2020年高考數(shù)學(xué)第3講圓錐曲線的綜合問題選題明細表】知識點、方法題號圓錐曲線與圓，圓錐曲線間綜合問題3、5、6、7、8、9圓錐曲線中的最值問題1、2、10、12、14圓錐曲線中的定點、定值問題11、13、14軌跡方程4、14重點把關(guān)已知F是拋物線y2=4x的焦點,P是圓X2+y2-8x-8y+31=0上的動點，則|FP|的最小值是(B)(A)3(B)4(C)5(D)6解析：圓X2+y2-8x-8y+31=0的圓心C坐標為(4,4),半徑為1,???|pf|$|cf|t,???當(dāng)P、C、F三點共線且P在F、C之間時,|PF|取到最小值，由y2=4x知F(1,0),??|PF|二|(4-1嚴+護-］二4.min討故選B.已知點P(t,t),tWR,點M是圓0i：x2+(y-1)2^上的動點，點N是圓O:(x-2)2+y2^上的動點，則|pn|-|pm|的最大值是(D)(A)5-1(B)丁(c)l(D)2解析：|pn|-|pm|的最大值是|POj+亍(lPOj-扌)的最大值，即為|PO|-|PO|+1的最大值，而|PO|-|PO|的最大值是點O關(guān)于y=x的對21211稱點(1,0)到O(2,0)的距離，故|PO|-|PO|+1的最大值為2,故選D.221(2013高考四川卷)拋物線y2=4x的焦點到雙曲線X2-孑1的漸近線的距離是(B)(A”⑻扌(C)1(D)-解析:拋物線y2=4x的焦點坐標為(1,0),雙曲線的漸近線方程為±-7x-y=0,則所求距離為d二二.故選B.已知兩圓C:(x-4)2+y2=169,C:(x+4)2+y2=9，動圓在圓C內(nèi)部且和圓121C相內(nèi)切，和圓C相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(D)12(A)二-二=1⑻二+二=1644S4SS4(C)二-二=1(D)二+孑14B64644S解析:設(shè)圓M的半徑為r,則|MC|+|MC|=(13-r)+(3+r)=16,12???M的軌跡是以C、C為焦點的橢圓，且2a=16,2c=8,故所求的軌跡方12程是三+二=1.故選D.若雙曲線二-二=l(a,b〉0)的左、右焦點分別為F、F,線段FF被拋1212物線y2=4bx的焦點F分成2:1的兩段，則此雙曲線的離心率為(A)(A)二⑻二(C)-(D)罕解析:拋物線的焦點為F(b,0),雙曲線的焦點為F(-c,0)、F(c,0),12又F把線段FF分成2:1的兩段，所以有(b+c):(c-b)=2：l,即c=3b,12所以C2=9b2=9(c2-a2),整理得二=&即e2=ge二二故選A.已知橢圓二+W=l(a〉b〉0)與雙曲線二-==l(m〉0,n〉0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中項，①是2m2與C2的等差中項,則橢圓的離心率是(D)(A)f⑻扌(C”(D)t解析:在雙曲線中m2+n2=c2,又2n2=2m2+C2,解得m=-,又C2二am,故橢圓的離心率e二尸.故選D.過雙曲線C:二-二=l(a〉0,b〉0)的一個焦點作圓X2+y2=a2的兩條切線，切點分別為A,B.若ZAOB=120°(O是坐標原點)，則雙曲線C的離心率為.解析:設(shè)雙曲線C的一個焦點為F,則過點F作圓的兩條切線,依題意得ZAOF=60°,cos60°三二二=l則雙曲線的離心率e—=2.答案:2（2013高考江西卷）拋物線X2=2py（p〉0）的焦點為F,其準線與雙曲線亍-亍=1相交于A,B兩點，若AABF為等邊三角形，則p=.解析：由題意知拋物線X2=2py（p>0）的準線y=-f與雙曲線交于點B(XB(XB,則上-（9=3,即^=土三,由此可得等邊三角形邊長為.匸亍,又因等邊厶ABF的高為p,則p二二?二-「,解得p=6.答案:6設(shè)圓C的圓心與雙曲線T-二=1（a〉0）的右焦點重合，且該圓與此雙曲線的漸近線相切,若直線l：x--y=0被圓C截得的弦長等于2,則a的值為.解析：由題知圓心C(.=r,0),雙曲線的漸近線方程為IX土ay=0,圓心C到漸近線的距離d==T,即圓C的半徑為.二由直線l被圓C截得的弦長為2及圓C的半徑為?I可知，圓心C到直線l的距離為1,即，=1,解得a二.T.設(shè)F是橢圓m+y2=l的左焦點,0為坐標原點，點P在橢圓上，則解析:設(shè)P(x,y),依題意可得F(--,0),001則匚二.二二?[+「：+?~xo二匸+.込+1三％+于)2?又-2WxW2,0所以當(dāng)xo=2時，耳:?卻取得最大值4+2-T.答案：4+2<如圖，等邊三角形0AB的邊長為8二且其三個頂點均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.

求拋物線E的方程；設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y=-1相交于點Q.證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.⑴解:依題意，|0B|=8凋，ZBOy=30°.設(shè)B(x,y),則x=|OB|sin30°=4屈,y=|OB|cos30°=12.因為點B(4-,12)在x2=2py上,所以(47)2=2pX12，解得p=2.故拋物線E的方程為x2=4y.(2)證明(2)證明:由⑴知y=X2,y/設(shè)P(x,y),則x工0,且l的方程為000y-y0^y-y0^x0(x-x0),即y=wx0x-n.由得由得所以Q—).設(shè)M(0,y),令仁?.=.'=0對滿足y=(x#0)的x,y恒成立.10増u000由于門=*7筲)，丘=(尹-l-y〉由?二；=0,得于-y0-y0y1+y1^=o,即(疋+yi-2)+(l-yi)yo=0.(*)由于(*)式對滿足y二二一(x#0)的y恒成立,0斗u00所以?-=-解得y=1.1故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1).能力拔高已知拋物線y2=4x,圓F:(x-l)2+y2=l,過點F作直線1,自上而下順次與上述兩曲線交于點A,B,C,D(如圖所示)，貝U|AB|?|CD|的值正確的是(A)32/1U1723x(A)等于1⑻最小值是1等于4最大值是4解析:設(shè)直線l:x二ty+1,代入拋物線方程，得y2-4ty-4=0.設(shè)A(x,y),D(x,y),1122根據(jù)拋物線定義|AF|=x+l,|DF|=x+l,12故|AB|=x,|CD|=x,12所以|ab|?|cd|=xx^?空='迸廠,而yy=-4,代入上式，12得|AB|?|CD|=1.故選A.(2014長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研)如圖，已知點A(1,-)是離C于B,D兩點，且A、B、D三點互不重合.(1)求橢圓C的方程；(2)求證:直線AB,AD的斜率之和為定值.⑴解：由題意，可得e=￥，將(1,?I)代入橢圓方程,得寧求點P的軌跡方程；，又a2=b2求點P的軌跡方程；解得a=2,b=T,c=T.所以橢圓C的方程為f+F1?(2)證明：設(shè)直線BD的方程為y=Tx+m,又A,B,D三點不重合,.??mH0,設(shè)D(x,y),B(x,y),1122由得4x2+2.Fx+m2-4=0.{2xxj-1X2；-l=2=+m??(*)xj-1X2；-l=2=+m??(*)X1X2-X1-X2+1將①、②式代入(*),整理得2T+m??"=2y-21=0,所以k+k=0,即直線AB,AD的斜率之和為定值0.ADAB(2014上饒市高三模擬)設(shè)動點P(x,y)(x$0)到定點.的距離比到y(tǒng)軸的距離大;.記點P的軌跡為曲線C.設(shè)圓M過A(1,0),且圓心M在P的軌跡上,BD是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運動時弦長BD是否為定值?說明理由；所以A=-8m2+64>0-2.I〈m〈2?T.xjx?二-亍m,①xx二二，②12設(shè)直線AB,AD的斜率分別為k,k,ABAD則k+k二亠J+丄ADABJT1-1X2-1⑶過）作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S,求四邊形GRHS面積的最小值.解：⑴由題意知，所求動點P（x,y）的軌跡為以F「為焦點，直線l：x二-匸為準線的拋物線，其方程為y2=2x.（2）是定值.解法如下：設(shè)圓心半徑r='圓的方程為V+(y-a)2二a2+]一二,令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),???BD=2,即弦長BD為定值