完美版圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

圓錐曲線的方程與性質(zhì)1.橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F、F的距離的和等于常數(shù)2a（大于IFFI）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓1 2 12的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若M為橢圓上任意一點(diǎn)，則有IM"I+IMF2\=2a。X2V2 V2X2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：一+：=1（a>b>0）（焦點(diǎn)在x軸上）或二+廣=1（a>b>0）（焦點(diǎn)在y軸a2b2 a2b2上）。注：①以上方程中a,b的大小a>b>0，其中b2=a2-c；X2V2一V2X2②在一+：=1和二+廠=1兩個(gè)方程中都有a>b>0的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看工2和v2的分a2b2 a2b2X2V2母的大小。例如橢圓一+一=1（m>0，n>0，m。n）當(dāng)m>n時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)m<n時(shí)mn表示焦點(diǎn)在V軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)X2V2范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程一+：=1知IxI<a，IvI<b，說明橢圓位于直線x=±a，v=±b所圍成的矩形里；a2b2對(duì)稱性：在曲線方程里，若以-V代替V方程不變，所以若點(diǎn)（x,v）在曲線上時(shí)，點(diǎn)（x,-v）也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，同理，以-x代替x方程不變，則曲線關(guān)于V軸對(duì)稱。若同時(shí)以-x代替x，-v代替v方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、V軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心；頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x軸、V軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x=0，得v=±b，則B（0,-b），B（0,b）是橢圓與v軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令V=0得x=±a，即A（-a,0），1 2 1A2（a，0）是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對(duì)稱性知:橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a；在RtAOBF中，IOB1=b,IOFl=c,IBF1=a,22 2 2 22且IOF|2=|BF|2-1OB|2，即。2=a2—b2；2 22 2c④離心率：橢圓的焦距與長軸的比e=叫橢圓的離心率。?「a>c>0,.?.0<e<1,且e越接近1,c就a越接近a，從而b就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，e越接近于0,c就越接近于0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。2.雙曲線雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線(||尸《|-1尸烏||=2a)。TOC\o"1-5"\h\z注意：①式中是差的絕對(duì)值，在0v2a<|FF|條件下；IPFI-IPFl=2a時(shí)為雙曲線的一支；12 1 2|PF|—|PF|=2a時(shí)為雙曲線的另一支(含F(xiàn)的一支)；②當(dāng)2a=|FF|時(shí)，||PF|—|PF||=2a表示兩條射2 1 1 12 1 2線；③當(dāng)2a>|FF|時(shí)，||PF|—|PF||=2a不表示任何圖形；④兩定點(diǎn)F,F叫做雙曲線的焦點(diǎn)，|FF|叫做12 1 2 1 2 12焦距。雙曲線的性質(zhì)x2y2范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程云—七=1，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線x=±a的外側(cè)。即x2>a2，|x|>a即雙曲線在兩條直線x=±a的外側(cè)。_.,,. ?x2y2 … … 一.對(duì)稱性：雙曲線一-；=1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)a2b2x2y2是雙曲線云-b-=1的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。x2y2頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線一-：=1的方程里，對(duì)稱軸是x,y軸，所a2b2x2y2以令y=0得x=±a，因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(—a,0)A2(a,0)，他們是雙曲線云-*=1的頂點(diǎn)。令x=0，沒有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)）雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段AA?叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段88?叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從X2y2圖上看，雙曲線一-\=1的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。a2b2等軸雙曲線：1） 定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a=b；2） 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：y=±x；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3） 注意到等軸雙曲線的特征a=b，則等軸雙曲線可以設(shè)為：x2-y2=人（人。0），當(dāng)人＞0時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng)人＜0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上。X2y2-y2X2 . .注意a-?=1與9-2=1的區(qū)別：三個(gè)量a,b,c中a,b不同（互換）C相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)16 9 9 16軸也變了。3.拋物線（1） 拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直線l上）。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程y2=2px（p＞0）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。p p注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（m，0），它的準(zhǔn)線方程是x=_上（2） 拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：y2=-2px，x2=2py，x2=-2py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：

點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無對(duì)稱中心，沒有漸近線；(3)注意強(qiáng)調(diào)p的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。4.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識(shí)點(diǎn)梳理一、方程的曲線：在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點(diǎn)與曲線的關(guān)系：若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線C上Of(x0,y0)=0；點(diǎn)P0(x0,y0)不在曲線C上Of(x0,y0)/0。兩條曲線的交點(diǎn)：若曲線C,C的方程分別為f(x,y)=0,f(x,y)=0,則點(diǎn)P(x,y)是C,C的交點(diǎn)O1 2 1 2 0 0 0 1 2{{"0,*!—0方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒有交.0,*)=0點(diǎn)。

1、 定義：點(diǎn)集1、 定義：點(diǎn)集｛M||OM|=r｝，其中定點(diǎn)O為圓心，定長r為半徑.2、 方程：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2⑵一般方程：①當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(-D，-E)半徑 …DE一° …是*D2+E2-4F。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+—)2+(y+—)2=D 到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之

和為定值2a(2a〉|F] 到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之

和為定值2a(2a〉|F]F2|)的點(diǎn)的軌跡 與定點(diǎn)和直線的距離之

比為定值e的點(diǎn)的軌跡.(0<e<1)2 2 ■2當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-"■,-"")；當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，方程不表示任何圖形.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，則|MC|<r=點(diǎn)M在圓C內(nèi)，|MCI=r。點(diǎn)M在圓C上，|MC|>r。點(diǎn)M在圓C內(nèi)，其中IMC|=Jx。-a)2+(y0-b)2。直線和圓的位置關(guān)系：①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相冷有兩個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相切=有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離=沒有公共點(diǎn)。\Aa+Bb+C②直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d^1,A2+B2與半徑r的大小關(guān)系來判定。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e>0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率。當(dāng)0<e<1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線:橢圓雙曲線拋物線定義定義到兩定點(diǎn)f1,f2的距離之差的

絕對(duì)值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡與定點(diǎn)和直線的距離之比為

定值e的點(diǎn)的軌跡.(e>1)與定點(diǎn)和直線的距離相等的

點(diǎn)的軌跡.軌跡條件軌跡條件點(diǎn)集：({MIIMF1+IMF2I

=2a,IF1F2I<2a}/點(diǎn)集：{miimf1I-imf2I.

=±2a,IF2F2|>2a}.點(diǎn)集｛MIIMFI二點(diǎn)M到直

線l的距離｝.圖形方程標(biāo)準(zhǔn)方程X2y2 L、+7-1(a>b>0)a2b2x2y2—1(a>0,b>0)a2b2y2—2px參數(shù)方程Jx=acos0[y=bsin0(參數(shù)。為離心角)Jx—asec0[y=btan0(參數(shù)0為離心角)Jx=2pt2/j_%矣耕、[y-2pt(t為參數(shù))范圍—a<x<a，—b<y<b|x|>a，yeRx>0中心原點(diǎn)O（0，0）原點(diǎn)O（0，0）頂點(diǎn)(a,0),(—a,0),(0,b),(0,—b)(a,0), (—a,0)(0,0)對(duì)稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸；實(shí)軸長2a,虛軸長2b.x軸焦點(diǎn)Fi(c,0),F2(—c,0)F](c,0),F2(—c,0)F弓，。）準(zhǔn)線a2x=±—c準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外.a2x=±—c準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).px= 2準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.焦距2c(c=%'a2一b2)2c(c=<a2+b2)離心率e=C(0<e<1)ae=C(e>1)ae=1【備注1】雙曲線：⑶等軸雙曲線：雙曲線x2-y2=±白2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=±X，離心率e=5.⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線以-四=xa2b2與---b~=—互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：X—一b—=0.⑸共漸近線的雙曲線系方程：應(yīng)-22=從人尹0)的漸近線方程為欄-12=0如果雙曲線的漸近線為-土2=0時(shí)，a2b2 a2b2 ab它的雙曲線方程可設(shè)為—-—=人(人尹0).a2b2【備注2】拋物線：p p拋物線22=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(—,0)，準(zhǔn)線方程x=-g，開口向右；拋物線22=-2px(p>0)的焦點(diǎn)坐,I,p p I,p p標(biāo)是(-了，0)，準(zhǔn)線方程x="~，開口向左；拋物線-2=2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,了)，準(zhǔn)線方程，開口向上；pp拋物線-2=-2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-5)，準(zhǔn)線方程y=5，開口向下?拋物線22=2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離網(wǎng)可=—+p；拋物線22=-2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離舊尸|=p—-設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為22=2px(p>0)，則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為?，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離?，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p.已知過拋物線22=2px(p>0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB稱為焦點(diǎn)弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長\AB=-+-+p或|AB|= (a為直線AB的傾斜角)，22=-p2，--=與，|AF|=-+%(\AF\1 2 sin2a 12 12 4 12叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換：坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸。坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(x,y)，在新坐標(biāo)系x‘0,寸{-=-'+h x'=--h，7或， 72=2+k 2=2-k叫做平移(或移軸)公式.(4)中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表:方程焦點(diǎn)焦線對(duì)稱軸橢圓(x-h)2+(y-k)2=1a2 b2(土c+h,k)a2x=±—+hcx=hy=k

(x-h)2+(y-k)2=1b2 a2(h,土c+k)a2y=±—+kcx=hy=k雙曲線(x-h)2(y-k)2=1a2 b2(土c+h,k)a2x=±—+kcx=hy=k(y-k)2(x-h)2八 =1a2 b2(h,土c+h)a2y=±一+kcx=hy=k拋物線(y-k)2=2p(x-h)p(g+h,k)px= +h2y=k(y-k)2=-2p(x-h)p(r~+h,k)x=p+h2y=k(x-h)2=2p(y-k)p(h,彳+k)py= +k2x=h(x-h)2=-2p(y-k)p(h,-g+k)y=p+k2x=h六、橢圓的常用結(jié)論:點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切._, x2v2一 _ xxyy若。(%0,y0)在橢圓~2+b^=i上，則過%的橢圓的切線方程是—+3^=i.TOC\o"1-5"\h\z一，、 X2V2 一若P(x,y)在橢圓一+二=1外，則過P作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P、P，則切點(diǎn)弦PP的直線方程是ooo a2b2 0 1 2 12整+VV=I.a2 b2x2V2橢圓服+b-=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F］，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)ZFPF2=y，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為S =b2tanJ.\o"CurrentDocument"AF1PF2 2

橢圓一+—=1(a>b>0)的焦半徑公式IMF\=a+小,1MF1=a-ex(F(―c,0),F(c,0)a2b2 1 0 2 0 1 2M氣,y)).設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFXNF.AP和AQ21b2x二———。a2y0過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、AP和AQ21b2x二———。a2y0交于點(diǎn)N,則MFXNF.x2y2一 ， 、 b2AB是橢圓—+^~=1的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(x0,y0)為AB的中點(diǎn)，則*誠,kAB=——,即K入］x2y2 xxyyx2y2若匕(x0，y0)在橢圓02+b2=1內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是~0廠+~b「=~CL2+~b°2；【推論】：x2y2 x2y2xxyy x2y21、若匕30，y0)在橢圓二+^^=1內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是—2+^^= +"b；。橢圓-^+^^=1(a>b>o)的兩個(gè)頂點(diǎn)為a(-a,0),A(a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于PP時(shí)AP與AP交點(diǎn)的軌跡方程1 2 1、 2 11 22x2y2是a―btx2y22、過橢圓a+麗=1(a>°，b>0)上任一點(diǎn)A(x0,y°)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于b，c兩點(diǎn)’則直b2x線BC有定向且kC=-—0(常數(shù)).x2y2NPFF^=—，3、若p為橢圓--+丘=1(或>。)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn)，NN；OaNPFF^=—，x2y2,sina

則有sin—+sinyc—=e.a4、設(shè)橢圓無+屈T(a>b>。),sina

則有sin—+sinyc—=e.aZPFF=—,ZFFP=y，12 1左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)0VeW\左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)0VeW\?''2—1時(shí)，可在橢圓上5、若橢圓—+^~=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F］、F2，求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).X2y26、 P為橢圓云+b-=1(a>b>0)上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2a—IAF1<1PAI+IPFl<2a+1AFI，當(dāng)且僅當(dāng)A,F,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.2 1 1 27、 橢圓墮—七)2+(y—狀=1與直線Ax+By+C=0有公共點(diǎn)的充要條件是\o"CurrentDocument"a2 b2A2a2+B2b2>(Ax+By+C)2.\o"CurrentDocument"x2y2 <8、 已知橢圓一+：=1(a>b>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP1OQ.(1)a2b21 1 11 4a2b2 a2b2和+rOQIT=云+b；(2)|OP|2+|OQ|2的最大值為E；⑶七。PQ的最小值是K.x2y29、 過橢圓—+—=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，a2b2,IPFIe則=—IMNI2.x2y210、已知橢圓方+丘T(a>b>0)，A、B、是橢圓上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x，0)，a2一b2a2一b2則一 <X0< x2y2少設(shè)匚點(diǎn)是橢圓房+上=1(a>b>0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2為其焦點(diǎn)記“1PF2=°，則⑴，一，，一， 2b2 yIPFIIPFI= .(2)S =b2tan-.1 21+cos0 apf1F2 2x2y212、設(shè)A、B是橢圓一+—=1(a>b>0)的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，/pAB=a,/pBA=p,a2b22ab21cosaI/BPA=y，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1)IPAI= .(2)tanatanp=1—e2.⑶a2—c2cos2y2a2b2S= coty賢AB b2一a2x2y213、已知橢圓一^―=1(a>b>0)的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點(diǎn)E，過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、a2b2

B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線Z上，且BC1x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14、 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15、 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16、 橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).）17、 橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18、 橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).七、雙曲線的常用結(jié)論：1、 點(diǎn)P處的切線PT平分△PF『2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2、 PT平分△PF『2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).3、 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.4、 以焦點(diǎn)半徑PF]為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）_, X2V2一 xxVV5、若P(x,V)在雙曲線 —=1(a>0,b>0)上，則過p的雙曲線的切線方程是一^一^此T.ooo a2b2 0 a2b2― 、 X2V2TOC\o"1-5"\h\z6、若P（x,V）在雙曲線一—廠=1（a>0,b>0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P、P，則切點(diǎn)弦000 a2b2 12PP的直線方程是xo^一^0^=1.12 a2 b2聶為雙曲線上任意一點(diǎn)"iPF2=『，則雙曲一x2V2聶為雙曲線上任意一點(diǎn)"iPF2=『，則雙曲7、雙曲線—一-^~=1（a>0,b>o）的左右焦點(diǎn)分別為F「F2，線的焦點(diǎn)角形的面積為S =b2cot^.yp^ 2x2Vx2V28、雙曲線一一廠=1a2b2（a>0,b>o）的焦半徑公式：（Fi（—c,0）,冬0））當(dāng)M隊(duì)，V0）在右支上時(shí)，IMF^\=IMF^\=ex0+a,IMF^b2x——，a2V0即KABI=ex一a；當(dāng)M(x,y)在左支上時(shí)，IMFI=—ex+a,IMFI=—ex一a。

0 0 0 1 0 2 09、 設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)危為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFXNF.10、 過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A】、％為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A]P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFXNF.x2V2SB是雙曲線勇七=、>0"0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M（x°,V°）為AB的中點(diǎn),則膈?七b2x 0-a2V012、若P（x,V）在雙曲線x-一*-=1（a>0,b>0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是x°x一=【=三°-一事-.000 a2b2 a2 b2 a2 b2

TOC\o"1-5"\h\z13、若P3，y)在雙曲線一一了-=1(a>0,b>0)內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是一~^~=—^一.ooo a2b2 a2b2 a2 b2【推論】：x2y21、雙曲線云-b-=1(a>0,b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為R(—a,0),A2(a,0)，與y軸平行的直線交雙曲線于P】七時(shí)x2 y2A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是方+丘=1.x2 y22、過雙曲線一—」=1a2b2x2 y22、過雙曲線一—」=1a2b2則直線BC有定向且匕\o"CurrentDocument"b2x …，一o(常數(shù)).a2yox2y23、 若？為雙曲線丘—丘=1(a>0,b>0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F],F2是焦點(diǎn)，/PFF2=a,c—a 以B c—a B以/PFF=B，則 =tan—cot(或 =tancot一).21 c+a2 2 c+a 2 2x2y24、 設(shè)雙曲線云—b-=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為％、F2,P(異于長軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記/F]PF中，記/F]PF=a/PFF=B,/FFP=y，12 1則有sin以土(siny一sinB)c=—=e.a5、若雙曲線三—b-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F]、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)1VeWJ2+1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF]是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).x2y26、？為雙曲線五一b-=1(a>0,b>0)上任一點(diǎn),F],F2%二焦點(diǎn)，入為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則IAFI—2a<1PAI+IPFI,當(dāng)且僅當(dāng)A,F,P三點(diǎn)共線且P和A,F在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.2 1 2 2x2y27、雙曲線一—；=1(a>0,b>0)與直線Ax+By+C=0有公共點(diǎn)的充要條件是A2a2—B2b2<C2.a2b2x2y28、已知雙曲線一一：=1(b>a>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、。為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP1OQ.a2b2、 1 1 1 1 I,,,>4a2b2 、 a2b2(1)poP]7+poQi?=云—丘;(2)Iop|2+Ioq"的最小值為b2一a2；(3)soq的最小值是b2一a2.X2y29、過雙曲線一一；=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交a2b2軸于P，軸于P，則IPFIIMNIx2y2a210、已知雙曲線一一苗=E>0，b>0)，A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)’線段AB的垂直平分線與、軸相交于點(diǎn)p(時(shí)),a2a2+b2則“°-—a—或*0X2y2 _ 11、 設(shè)P點(diǎn)是雙曲線02—丘=1(a>0,b>0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F］、F2為其焦點(diǎn)記^FPF^=9，^〕」(1),-一,,-一, 2b2 VIPFIIPFI= .(2)S =b2cot-.1 21—cos9 apfif2 2x2y212、 設(shè)A、B是雙曲線一一廠=1(a>0,b>0)的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，^PAB=a,ZPBA=&,a2b2ZBPA=-,ZBPA=-,c、分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1)IPAI=2ab21cosaIIa2—C2COS2-I(2)tana(2)tanatan&=1一e2.(3)c 2a2b2S= cot-APAB b2+a2x2y213、 已知雙曲線一^―=1(a>0,b>0)的右準(zhǔn)線/與x軸相交于點(diǎn)E，過雙曲線右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相a2b2交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC1X軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14、 過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線