海文考研高數(shù)上第一講函數(shù)極限與連續(xù)

1.本章的重點(diǎn)內(nèi)容是極限，既要準(zhǔn)確理解極限的概念和極限存在的性質(zhì)，又要能正確的求出各種極限。一、重要內(nèi)容第一講函數(shù)、極限與連續(xù)極限性質(zhì)：唯一性求極限的方法很多，在考試中常用的主要方法有：（1）利用極限四則運(yùn)算法則及函數(shù)的連續(xù)性極限四則運(yùn)算法則函數(shù)的連續(xù)性一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。（2）利用兩個(gè)重要極限，兩個(gè)重要極限即（3）利用洛比達(dá)法則及泰勒公式求未定式的極限；羅比達(dá)法則：七種未定式極限羅比達(dá)法則：具有皮亞諾余項(xiàng)的馬克勞林公式：設(shè)f(x)在U(0)內(nèi)有n階導(dǎo)數(shù)，則常用二階馬克勞林公式：牢記幾個(gè)函數(shù)展開式：（4）利用等價(jià)無窮小代換（常會(huì)使運(yùn)算簡化）無窮小比較：～等價(jià)無窮小性質(zhì)牢記幾組公式：～～～～～～～～～～～～～～～要靈活地記，要記本質(zhì)！等價(jià)無窮小替換定理注1：在求極限過程中，當(dāng)一個(gè)無窮小量與整個(gè)函數(shù)相乘（除）時(shí)，這個(gè)無窮小量一定可以用其等價(jià)無窮小替換。注2：在求極限過程中，當(dāng)一個(gè)無窮小量與局部函數(shù)相乘（除）時(shí)，或這個(gè)無窮小與函數(shù)相加（減）時(shí)，這個(gè)無窮小量不能用其等價(jià)無窮小替換。（5）夾逼定理：注1夾逼定理的條件1中的“<”可以換成“<=”.注2夾逼定理的條件2中的兩個(gè)極限，任意一個(gè)可以是常數(shù)函數(shù)的極限。注3夾逼定理的特殊情況是數(shù)列極限形式。（6）先證明數(shù)列極限存在（通常會(huì)用到“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”準(zhǔn)則）,再利用關(guān)系式求出極限.（7）利用定積分求某些和式極限（8）利用導(dǎo)數(shù)定義（9）利用級數(shù)的收斂性證明數(shù)列的極限為零.（數(shù)一、數(shù)三）這里需要指出的是題型與方法并不具有確定關(guān)系，一種題型可以有幾種方法計(jì)算法，一種方法也可以用于幾種題型，有時(shí)在一個(gè)題目中要用到幾種方法，所以還要具體問題具體分析，方法要靈活運(yùn)用。

2.由于函數(shù)連續(xù)性是通過極限定義的，所以判斷函數(shù)是否連續(xù)、判斷函數(shù)間斷點(diǎn)類型等問題本質(zhì)上仍然是求極限，因此這部分也是重點(diǎn)。

3.在函數(shù)這一部分內(nèi)，重點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)分段函數(shù)以及函數(shù)記號運(yùn)算。通過歷年試卷歸類分析，本章常見典型題型有：（1）直接計(jì)算函數(shù)的極限值，或給定函數(shù)的極限值，求函數(shù)表達(dá)式中的常數(shù)；（2）討論函數(shù)的連續(xù)性、判斷間斷點(diǎn)的類型；（3）無窮小比較；（4）討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間的零點(diǎn)，或方程在給定區(qū)間有無實(shí)根；（5）求分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù).最后，講一講這一章重要的四個(gè)定理以及推論。（I）有界性定理（II）零點(diǎn)定理：推論：（III）最值定理：成立。（IV）介值定理：題型一、函數(shù)及相關(guān)性質(zhì)二、常見的典型例題題型二、求極限例1.9(A)存在等于0;(B)存在但不一定等于0;(C)一定不存在;(D)不一定存在。例1.10例1.11例1.12求極限例1.13求極限例1.14設(shè)例1.15求例1.16(A)無窮小量;(B)無窮大量;(C)有界量非無窮小量;(D)無界但非無窮大量。例1.17設(shè)(A)(B)(C)(D)例1.18(A)1;(B)2;(C)3;(D)4例1.19～～例1.20例1.21下列各式中正確的是（）(A)(B)(C)(D)例1.22題型三函數(shù)的連續(xù)性問題(A)充分條件，但不是必要條件;(B)必要條件，但不是充分條件；(C)充分必要條件;(D)既不是充分條件，也不是必要條件。例1.23在點(diǎn)連續(xù)是在點(diǎn)連續(xù)的（）(A)0;(B)1；(C);(D)。例1.24函數(shù)上的第一類間斷點(diǎn)是x=()在(A)不存在間斷點(diǎn);(B)存在間斷間；(C)存在間斷點(diǎn);(D)存在間斷點(diǎn)。例1.25設(shè)函數(shù)討論函數(shù)的間斷點(diǎn)，其結(jié)論為（）例1.26設(shè)函數(shù)則函數(shù)的間斷點(diǎn)為例1.27設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則例1.28設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且則（）(A)必是的第一類間斷點(diǎn);(B)必是的第二類間斷點(diǎn);(C)必是的連續(xù)點(diǎn);(D)在的連續(xù)性與a的取值有關(guān)。例1.29設(shè)函數(shù)在內(nèi)