《線性代數(shù)》復(fù)習(xí)

《線性代數(shù)》總復(fù)習(xí)2011.10第一章矩陣m×n個(gè)數(shù)構(gòu)成的m行n列的數(shù)表加法：A+B=(aij+bij),A、B是同型矩陣

A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),A+O=A,A+(A)=O,數(shù)乘：kA=k(aij)

k(lA)=(kl)A,

(k+l)A=kA+lA,

k(A+B)=kA+kBcij=aikbkj.k=1s矩陣乘法：AB=C，其中C是m×n矩陣.(AB)C=A(BC),A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(kA)B=k(AB).第一章矩陣矩陣矩陣概念矩陣運(yùn)算伴隨矩陣逆矩陣特殊矩陣矩陣的秩初等變換轉(zhuǎn)置：A=(aij),AT=(aji)方陣的行列式：(AT)T=A,(kA)T=kAT,(A+B)T=AT+BT,(AB)T=BTAT.設(shè)A=[aij]nn為方陣,元素aij的代數(shù)余子式為Aij,則稱如下矩陣為方陣A的伴隨矩陣.第一章矩陣矩陣矩陣概念矩陣運(yùn)算伴隨矩陣逆矩陣特殊矩陣矩陣的秩初等變換定義:

設(shè)A為方陣,若存在方陣B,使得

AB=BA=E.

則稱A可逆,并稱B為A的逆矩陣.

注意：A可逆detA≠0(A1)1=A.

(AT)1=(A1)T.

(kA)1=k1A1.

(AB)1=B1A1.

運(yùn)算性質(zhì)逆陣的求法:定義法用伴隨矩陣用初等行變換(AE)→(EA-1)逆陣的證法:A≠0，R(A)=n,反證法第一章矩陣矩陣矩陣概念矩陣運(yùn)算伴隨矩陣逆矩陣特殊矩陣矩陣的秩初等變換單位矩陣對(duì)角矩陣初等矩陣對(duì)稱矩陣定義：非0子式的最高階數(shù)求法：初等變換或定義法性質(zhì)：經(jīng)初等變換矩陣的秩不變幾種常用的初等變換及對(duì)應(yīng)的初等矩陣行階梯矩陣、行最簡(jiǎn)型、標(biāo)準(zhǔn)型第一章矩陣矩陣矩陣概念矩陣運(yùn)算伴隨矩陣逆矩陣特殊矩陣矩陣的秩初等變換其它幾個(gè)重要定理及結(jié)論：矩陣等價(jià)：若矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為B,則稱A與B等價(jià).記為A

B.（注意與相似、合同區(qū)別）A與B等價(jià)R(A)=R(B)定理.方陣A可逆的充要條件是A可寫成有限個(gè)初等矩陣的乘積.推論1.

方陣A可逆的充要條件是A與單位矩陣行等價(jià)。推論2.

m×n階矩陣A與B等價(jià)的充要條件是存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B。與等價(jià)有關(guān)的重要定理定理.

對(duì)mn矩陣A進(jìn)行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左

邊乘以相應(yīng)的初等矩陣;

對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的初等矩陣.第一章矩陣解矩陣方程的初等變換法或者齊次線性方程組有非零解的充分條件化三角法遞推法數(shù)學(xué)歸納法降階展開(kāi)法拆項(xiàng)法

…第一章矩陣行列式概念性質(zhì)展開(kāi)式計(jì)算應(yīng)用第二章n維向量第二章n維向量n維向量運(yùn)算線性表示線性相關(guān)性k11+k22+…+knn=0

ki均為0，則1,2,…,n線性無(wú)關(guān)

只要有一個(gè)ki不為0，1,2,…,n

線性相關(guān)

極大線性無(wú)關(guān)組：向量組A中，能找到r個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，任意r+1個(gè)線性相關(guān)，則這r個(gè)向量構(gòu)成的向量組是A的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。求法：非零子式法、初等變換法極大無(wú)關(guān)組包含的向量的個(gè)數(shù)極大無(wú)關(guān)組向量組的秩向量組與矩陣的關(guān)系矩陣A=(1,2,…,s)

列向量組:1,2,…,s

注：行向量的問(wèn)題與列向量相同矩陣A的秩R(A)向量組的秩RT

最高階非零子式最大線性無(wú)關(guān)組

第二章n維向量線性無(wú)關(guān)AE

A=P1…Ps

線性相關(guān)定義：向量?jī)?nèi)積

對(duì)稱性:

[,]=[,];(2)線性性:

[k11+k22,]=k1[1,]+k2[2,];(3)[,]0;且[,]=0=0.(4)|[,]|[,][,].性質(zhì)：正交：施密特(Schmidt)正交化方法若[,]=0,則稱與正交.第二章n維向量正交矩陣A為正交矩陣ATA=E

線性方程組Ax=bb=0?齊次方程組是否非齊次方程組行階梯形矩陣初等行變換R(A)nR(A)＝R(Ab)解的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)解系有無(wú)非零解有解判定第三章線性方程組第三章線性方程組1.解的判定

(1)齊次線性方程組有非零解的充要條件定理3.1.

Amn

x=0有非零解r(A)<n.

A的列向量組1,2,…,n

線性相關(guān)特殊,Ann

x=0有非零解|A|=0.

(2)非齊次線性方程組有解的充要條件定理3.4.設(shè)ARmn,bRm,則

(3)當(dāng)秩([A,b])=秩(A)<n時(shí),Ax=b有無(wú)窮解,且通解中含有n秩(A)

個(gè)自由未知量.(1)Ax=b有解(2)當(dāng)秩([A,b])=秩(A)=n時(shí),Ax=b有唯一解;秩([A,b])=秩(A);2.解的結(jié)構(gòu)

(1)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解若1,2,…,s是Ax

=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則應(yīng)該滿足三條:

(2)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及一般解。(a)1,2,…,s是Ax

=0的解向量;

(b)1,2,…,s是線性無(wú)關(guān)的；

(c)Ax=0的每個(gè)解都可以由

1,2,…,s線性表示。Ax=b的一般解為

x=+k11

+…+knr

nr

.

(E–A)=0基礎(chǔ)解系法第四章方陣的特征值和特征向量第四章方陣的特征值和特征向量特征值與特征向量A=，≠0

定義求法性質(zhì)相似矩陣實(shí)對(duì)稱陣特征值特征向量定義法特征方程|E–A|=0定義法1+…+n=tr(A).1…n=|A|.A

可逆1,…,n全不為零.|E–A|=|E–AT|.概念求法性質(zhì)相似矩陣實(shí)對(duì)稱陣特征值與特征向量矩陣相似，則其特征值相同。不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。k重特征值至多有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量P-1AP=BA有n個(gè)不同的特征值A(chǔ)是實(shí)對(duì)稱陣定義矩陣可對(duì)角化的條件應(yīng)用An=P-1nP第四章方陣的特征值和特征向量概念求法性質(zhì)相似矩陣實(shí)對(duì)稱陣的特性特征值與特征向量必可相似對(duì)角化不同特征值的特征向量互相正交特征值全是實(shí)數(shù)k重特征值必有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量與對(duì)角陣合同第四章方陣的特征值和特征向量矩陣等價(jià)、相似、合同的聯(lián)系與區(qū)別A,B∈Mn,

A與B相似

存在可逆矩陣P，使P-1AP=BA與B合同

存在可逆矩陣C，使CTAC=BA,B∈Mm×n,

A與B等價(jià)

存在m階可逆矩陣P，n階可逆矩陣Q，使PAQ=B共同的性質(zhì)：自反性、對(duì)稱性、傳遞性第四章方陣的特征值和特征向量實(shí)對(duì)稱陣對(duì)角化的步驟求A全部特征值根據(jù)（所有特征值的重根次數(shù)之和等于n）對(duì)每個(gè)ki重特征值i求方程(A-iE)x=0的基礎(chǔ)解系得出對(duì)應(yīng)于特征值i的ki個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量將對(duì)應(yīng)于特征值i的ki個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量正交、單位化（總共可以得到n個(gè)兩兩正交的單位特征向量）將n個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣P，即可滿足P-1AP=(注意順序)。求方陣特征值和特征向量的步驟計(jì)算|E–A|

求|E–A|=0的根求(E–A)x=0的基礎(chǔ)解系第四章方陣的特征值和特征向量第五章二次型二次型基本概念標(biāo)準(zhǔn)型化正定二次型第五章二次型定義：含有n個(gè)變量x1,x2,…,xn的二次