正弦穩(wěn)態(tài)電路

第五章正弦穩(wěn)態(tài)電路本章重點：

相量表示法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率第五章正弦穩(wěn)態(tài)電路主要內(nèi)容：

第一節(jié)正弦量的基本概念

第二節(jié)正弦量的相量表示法

第三節(jié)電阻元件伏安關(guān)系的相量形式

第四節(jié)電感元件伏安關(guān)系的相量形式

第五節(jié)電容元件伏安關(guān)系的相量形式

第六節(jié)基爾霍夫定理的相量形式

第七節(jié)R、L、C串聯(lián)電路及復(fù)阻抗

第八節(jié)R、L、C并聯(lián)電路及復(fù)導(dǎo)納第五章正弦穩(wěn)態(tài)電路

第九節(jié)無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納

第十節(jié)正弦電流電路的分析計算

第十一節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率

第十二節(jié)二端網(wǎng)絡(luò)的功率

第十三節(jié)功率因數(shù)的提高及有功功率的測量

第十四節(jié)串聯(lián)電路的諧振

第十五節(jié)并聯(lián)電路的諧振本章小結(jié)第一節(jié)正弦量的基本概念正弦電流波形圖第一節(jié)正弦量的基本概念式中ω

、Im、i稱為正弦量的3個要素。

ω―角頻率，

Im

―最大值，

i

―初相位。正弦量的瞬時值表達式為第一節(jié)正弦量的基本概念一、角頻率、頻率和周期周期：正弦量是周期量，變化一周所需的時間稱為周期，用T表示，單位為秒(s)。頻率：正弦量在一秒內(nèi)重復(fù)的次數(shù)稱為頻率，用f表示，單位為赫茲(Hz)。我國工業(yè)用電頻率為50Hz，稱為工頻。頻率與周期互為倒數(shù)關(guān)系。f=第一節(jié)正弦量的基本概念角頻率：即正弦量的角速度，其單位為弧度/秒(rad/s)。

第一節(jié)正弦量的基本概念二、幅值和有效值

幅值：正弦量在變化過程中所能達到的最大值，又稱振幅或幅值。

峰-峰值：通常將正弦量的最大值與最小值之差，即2Im稱為正弦量的峰—峰值

第一節(jié)正弦量的基本概念有效值：一個正弦電流i和一個直流電流I分別通過相同電阻R，在同一時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，即

則I稱為i的有效值第一節(jié)正弦量的基本概念正弦電流、電壓的有效值為其最大值的1/倍。即：第一節(jié)正弦量的基本概念三、初相、參考正弦量和相位差

1.相位、初相位、參考正弦量正弦量的表達式中，（ωt+i）稱為正弦量的相位（角）。t=0時，（ωt+i）=i，稱初相位，即i是t=0時的相位角。當(dāng)電路中有多個相同頻率正弦量同時存在時，可根據(jù)需要選擇其中某一正弦量在由負向正變化通過零值的瞬間作為計時起點，則這個正弦量的初相就是零，稱這個正弦量為參考正弦量。第一節(jié)正弦量的基本概念2.相位差

同頻率正弦量的相位差為其初相位之差。如：

u=Umsin（ωt+u）

i=Imsin（ωt+i）

則相位差為

=（ωt+u）-（ωt+i）=

u-i第一節(jié)正弦量的基本概念

當(dāng)

=0時，稱u與i同相，波形如圖５－２ａ所示；當(dāng)>0時，稱u在相位上超前于i

角，或稱i滯后于u角，波形如圖５－２ｂ所示；當(dāng)=90o

時，稱u與i正交，波形如圖５－２ｃ所示；當(dāng)=180o

時，稱u與i反相，波形如圖５－２ｄ所示；第一節(jié)正弦量的基本概念不同相位差的u和i波形第二節(jié)正弦量的相量表示法一、復(fù)數(shù)

工程中通常采用復(fù)數(shù)表示正弦量，把對正弦量的各種運算轉(zhuǎn)化為對復(fù)數(shù)的代數(shù)運算，從而大大簡化正弦交流電路的分析計算過程，這種方法稱為相量法。復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)運算是相量法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，必需熟練掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念。第二節(jié)正弦量的相量表示法復(fù)數(shù)的矢量表示第二節(jié)正弦量的相量表示法二、用復(fù)數(shù)表示正弦量

復(fù)平面上，旋轉(zhuǎn)向量每個時刻在虛軸上的投影對應(yīng)于正弦量的瞬時值，如圖示:

第二節(jié)正弦量的相量表示法

旋轉(zhuǎn)向量的核心部分反映了正弦量的有效值和初相位這兩個重要的要素，而同頻率的正弦量又不必區(qū)分頻率ω，這樣，一個正弦電流就可用復(fù)數(shù)來表示.第二節(jié)正弦量的相量表示法用復(fù)數(shù)表示正弦交流量的方法：復(fù)數(shù)的模對應(yīng)于正弦交流量的有效值（最大值），復(fù)數(shù)的幅角對應(yīng)于正弦交流量的初相位。以后把這個能表征正弦交流量的復(fù)數(shù)稱為相量。當(dāng)復(fù)數(shù)的模對應(yīng)于正弦交流量的有效值時，稱有效值相量，用、表示；當(dāng)復(fù)數(shù)的模對應(yīng)于正弦交流量的最大值時，稱最大值相量，用、表示。第三節(jié)電阻元件伏安關(guān)系的相量形式一、電阻元件的伏安關(guān)系

電阻元件在電壓與電流的關(guān)聯(lián)參考方向下，它們的關(guān)系式為二、電阻元件伏安關(guān)系的相量形式

其電路模型如右圖示。第三節(jié)電阻元件伏安關(guān)系的相量形式電阻元件中電壓與電流的波形圖和相量圖第四節(jié)電感元件及其伏安關(guān)系的相量形式一、電感元件的伏安關(guān)系

電感元件在電壓與電流的關(guān)聯(lián)參考方向下，它們的關(guān)系式為

二、電感元件伏安關(guān)系的相量形式

第四節(jié)電感元件及其伏安關(guān)系的相量形式電感元件的電壓、電流波形圖及相量圖第四節(jié)電感元件及其伏安關(guān)系的相量形式三、電感元件的儲能

從ｔ０到ｔ時間內(nèi)，外部輸入電感的能量即被線圈所吸收并儲存的磁場能量為：

若，即在初始時刻電感中沒有電流，也就沒有儲能。則電感在ｔ時刻儲存的磁場能量為第五節(jié)電容元件及其伏安關(guān)系的相量形式一、電容元件的伏安關(guān)系

電容元件在電壓與電流的關(guān)聯(lián)參考方向下，它們的關(guān)系式為

二、電容元件伏安關(guān)系的相量形式第五節(jié)電容元件及其伏安關(guān)系的相量形式電容元件的電壓、電流波形圖及相量圖第五節(jié)電容元件伏安關(guān)系的相量形式三、電容元件的儲能

從ｔ０到ｔ時間內(nèi)，外部輸入電容的能量即被電容所吸收并儲存的電場能量為：若，即在初始時刻電容電壓為零，也就沒有儲能。則電容在ｔ時刻儲存的磁場能量為第六節(jié)基爾霍夫定律的相量形式一、基爾霍夫電流定律及其相量形式

根據(jù)KCL,電路中任一節(jié)點在任何時刻，都有各電流都是同頻率的正弦量，故有上式即為基爾霍夫電流定律的相量形式。其含義是:正弦交流電路中任一節(jié)點的所有電流相量的代數(shù)和等于零。第六節(jié)基爾霍夫定律的相量形式二、基爾霍夫電壓定律及其相量形式同理可得基爾霍夫電壓定律的相量形式

上式含義是:正弦交流電路中的任一回路的所有電壓相量的代數(shù)和等于零。第七節(jié)R、L、C串聯(lián)電路及復(fù)阻抗一、R、L、C串聯(lián)電路的復(fù)阻抗右圖中有關(guān)系式式中

Z是一個復(fù)數(shù)，稱為電路的復(fù)阻抗。第七節(jié)R、L、C串聯(lián)電路及復(fù)阻抗關(guān)于復(fù)阻抗：

1.實部R為等效電阻，虛部X為等效電抗。是復(fù)阻抗的模，是復(fù)阻抗的幅角，稱為阻抗角。有正、負之分:

>0為感性負載?<0為容性負載?=0為阻性負載

2.復(fù)阻抗Z的單位仍與電阻的單位相同。3.Z不是代表正弦量的復(fù)數(shù)，它不是相量。4.線性電路中，Z僅由電路的參數(shù)及電源的頻率決定，與電壓、電流無關(guān)。5.單一的電阻、電感、電容元件可看成復(fù)阻抗的一種特例。第七節(jié)R、L、C串聯(lián)電路及復(fù)阻抗RLC串聯(lián)電路的相量圖第七節(jié)R、L、C串聯(lián)電路及復(fù)阻抗二、阻抗三角形因為可知，構(gòu)成一個直角三角形，稱為阻抗三角形。第七節(jié)R、L、C串聯(lián)電路及復(fù)阻抗三、電壓三角形因為右圖中可見、、構(gòu)成一直角三角形，稱為電壓三角形。端電壓由兩個分量組成:稱為有功分量；

稱為無功分量。=第八節(jié)R、L、C并聯(lián)電路及復(fù)導(dǎo)納一、RLC并聯(lián)電路的復(fù)導(dǎo)納

第八節(jié)R、L、C并聯(lián)電路及復(fù)導(dǎo)納RLC并聯(lián)電路中有

Y稱為電路的等效復(fù)導(dǎo)納，它是一個復(fù)數(shù)。第八節(jié)R、L、C并聯(lián)電路及復(fù)導(dǎo)納關(guān)于復(fù)導(dǎo)納：

1.實部G為等效電導(dǎo)，虛部B為等效電納。是復(fù)導(dǎo)納的模，

Y是復(fù)導(dǎo)納的幅角，稱為導(dǎo)納角。Y有正、負之分:

Y

<

0為感性負載?Y

>

0為容性負載?Y=0為阻性負載2.復(fù)導(dǎo)納Y的單位仍與電導(dǎo)的單位相同。3.Y不是代表正弦量的復(fù)數(shù)，它不是相量。4.線性電路中，Y僅由電路的參數(shù)及電源的頻率決定，與電壓、電流無關(guān)。第八節(jié)R、L、C并聯(lián)電路及復(fù)導(dǎo)納RLC并聯(lián)電路的相量圖第八節(jié)R、L、C并聯(lián)電路及復(fù)導(dǎo)納、導(dǎo)納三角形

因為

可知，G、B、構(gòu)成了一個直角三角形，稱為導(dǎo)納三角形。第八節(jié)R、L、C并聯(lián)電路及復(fù)導(dǎo)納三、電流三角形

因為右圖中可見、、構(gòu)成一直角三角形，稱為電流三角形?？傠娏饔蓛蓚€分量組成:稱為有功分量；

稱為無功分量。第九節(jié)無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納一、阻抗（導(dǎo)納）的串聯(lián)和并聯(lián)

阻抗或?qū)Ъ{的串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)電路的分析計算，形式上完全與電阻電路一樣，也可導(dǎo)出相類似的等效阻抗或?qū)Ъ{的計算公式。

n個阻抗相串聯(lián)的電路，其等效復(fù)阻抗為

n個導(dǎo)納相并聯(lián)的電路，其等效復(fù)導(dǎo)納為

第九節(jié)無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納二、無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電路

一個無源二端網(wǎng)絡(luò)既可用Z等效，也可用Y等效。Z與Y互為倒數(shù)關(guān)系，即在分析計算和實際測量中，通常根據(jù)便利原則選擇二端網(wǎng)絡(luò)的等效形式。一般來講，等效阻抗多用于串、并、混聯(lián)電路中，等效導(dǎo)納通常用于并聯(lián)電路中。第十節(jié)正弦電流電路的分析計算一、相量法

1.利用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的基本步驟為：

（1）將電路中各正弦電壓和電流用相應(yīng)的相量表示。（本章第二節(jié)中已經(jīng)介紹了正弦量的相量表示法）（2）將電路中R、L、C元件用相應(yīng)的阻抗（或?qū)Ъ{）表示。（3）利用基爾霍夫定律、二端元件伏安關(guān)系和歐姆定律的相量形式，對電路進行分析和計算，得到所求響應(yīng)的相量（4）根據(jù)需要將電路響應(yīng)的相量形式表示為正弦量。第十節(jié)正弦電流電路的分析計算2.相量法有關(guān)說明：

利用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時，電路的相量方程與線性電阻電路的方程在形式上完全類似的。所以分析電阻電路的所有方法、公式和定理都可以適用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析計算（如支路分析法、回路分析法、節(jié)點分析法、疊加定理、戴維南定理與諾頓定理等）。只是注意要用電壓和電流的相量來取代電阻電路中的電壓和電流，用阻抗和導(dǎo)納來取代電阻電路中的電阻和電導(dǎo)。第十節(jié)正弦電流電路的分析計算二、相量法應(yīng)用舉例例5-1分別用回路分析法和節(jié)點分析法求圖示電路中各支路的電流。第十節(jié)正弦電流電路的分析計算解：1.用回路分析法設(shè)回路電流為、，可列出回路方程為整理得第十節(jié)正弦電流電路的分析計算解得：可得：第十節(jié)正弦電流電路的分析計算2.用節(jié)點分析法設(shè)節(jié)點②為參考節(jié)點，列出關(guān)于節(jié)點電壓的方程

解得：第十節(jié)正弦電流電路的分析計算可得注：此例題也可直接按阻抗串、并聯(lián)簡化電路,并應(yīng)用分流公式進行計算.第十一節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率一、電阻元件的功率1.瞬時功率

正弦交流電路中，某段電路在某一瞬間所吸收的功率稱為該電路的瞬時功率，用p表示。瞬時功率的表達式為：正弦交流電路中電阻元件的瞬時功率為第十一節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率說明：電阻元件的瞬時功率以2ω的角頻率變化，并且恒大于零，說明電阻元件是耗能元件。pR、uR、

iR波形第十一節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率

2.平均功率定義瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值為平均功率，用P表示，即電阻元件的平均功率為注意:式中UR、IR都為有效值第十一節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率二、電感元件的功率1.瞬時功率電感元件的瞬時功率為電感元件的瞬時功率也是以2ω的頻率變化，但與電阻元件不同的是，其瞬時功率有正有負，說明它與外電路進行能量交換，是一個儲能元件。第十一節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率pL、uL、

iL波形圖第十一節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率2.平均功率正弦電路中電感元件的平均功率為

說明電感元件不消耗功率，只與外界進行能量交換。第十一節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率3.無功功率

為了反映電感元件與外電路交換能量的不同規(guī)模，定義瞬時功率的最大值為無功功率，它代表電感元件與外電路交換能量的最大速率。電感元件的無功功率用QL表示，根據(jù)定義可得：無功功率的單位規(guī)定為乏(var)。注意：“無功功率”不是“無用功率”。無功功率在工程上占有重要地位，第十一節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率三、電容元件的功率1.瞬時功率

電容元件的瞬時功率也是以2ω的頻率變化的，其瞬時功率有正有負。說明它與外電路進行能量交換，是一個儲能元件。pC、uC、

iC波形圖第十一節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率第十一節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率2.平均功率正弦電路中電容元件的平均功率為這說明電容元件也不消耗功率，只與外界進行能量交換。第十一節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率3.無功功率

定義電容元件瞬時功率的最大值為無功功率，用QC表示，即

在正弦電路中，電感元件“吸收”無功功率，而電容元件“發(fā)出”無功功率。當(dāng)電路中既有電感元件，又有電容元件時，它們的無功功率相互補償，即正、負號只是表示它們之間相互補償?shù)囊饬x。第十二節(jié)二端網(wǎng)絡(luò)的功率一、瞬時功率無源二端網(wǎng)絡(luò)中，設(shè)該二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率為：

第十二節(jié)二端網(wǎng)絡(luò)的功率二端網(wǎng)絡(luò)的功率第十二節(jié)二端網(wǎng)絡(luò)的功率二、有功功率和功率因數(shù)

根據(jù)有功功率（平均功率）的定義，該二端網(wǎng)絡(luò)有功功率為上式說明：二端網(wǎng)絡(luò)的有功功率不僅與網(wǎng)絡(luò)端口的電壓和電流的有效值有關(guān)，還與它們之間的相位差有關(guān)。式中cos稱為二端網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)，用表示。阻抗角也稱為功率因數(shù)角。

第十二節(jié)二端網(wǎng)絡(luò)的功率說明：（1）無源二端網(wǎng)絡(luò)的有功功率等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部所有電阻消耗功率之和。（2）若將無源二端網(wǎng)絡(luò)用等效復(fù)阻抗表示，即用一個電阻與電抗的串聯(lián)組合來等效，則此時該等效電阻上消耗的有功功率為無源二端網(wǎng)絡(luò)的有功功率。第十二節(jié)二端網(wǎng)絡(luò)的功率三、無功功率

無源二端網(wǎng)絡(luò)的無功功率定義為：

無源二端網(wǎng)絡(luò)的無功功率等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部所有電抗元件無功功率的代數(shù)和。

第十二節(jié)二端網(wǎng)絡(luò)的功率四、視在功率

通常將電壓和電流有效值的乘積稱為視在功率，用大寫字母S表示，即視在功率的單位用伏安（V·A）或千伏安（KV·A）表示。視在功率S通常用來表示電氣設(shè)備的額定容量。額定容量即電氣設(shè)備可能發(fā)出的最大功率。第十二節(jié)二端網(wǎng)絡(luò)的功率五、功率三角形

綜上所述，有功功率，無功功率，視在功率之間存在如下關(guān)系：

P、Q、S三者構(gòu)成一直角三角形，稱為二端網(wǎng)絡(luò)的功率三角形。第十二節(jié)二端網(wǎng)絡(luò)的功率五、復(fù)功率二端網(wǎng)絡(luò)的S、P、Q之間的關(guān)系可用一個復(fù)數(shù)來表示，該復(fù)數(shù)稱為復(fù)功率，用表示，其表達式為注意：電路中有功功率、無功功率、復(fù)功率是守恒的，但視在功率一般是不守恒的。第十三節(jié)功率因數(shù)的提高及有功功率的測量一、功率因數(shù)的提高

1.方法：在實際工程中，大多數(shù)負載都呈感性。因此通常在負載兩端并聯(lián)一個合適的電容器進行功率補償以提高功率因數(shù)，所并聯(lián)的電容叫做補償電容。2.原理：感性負載并聯(lián)電容后，由于電容元件的無功功率與電感元件的無功功率相互補償，從而減少了電源供給的無功功率，但電源提供的有功功率并沒有改變，從而提高了整個電路的功率因數(shù)。第十三節(jié)功率因數(shù)的提高及有功功率的測量功率因數(shù)的提高第十三節(jié)功率因數(shù)的提高及有功功率的測量3.條件（1）要使電路的功率因數(shù)由原來的cos1提高到cos，需并聯(lián)的電容器的電容量為

上式中，IL為感性負載中流過的電流，I為并聯(lián)電容后線路中的總電流，ω為電源角頻率，U為電源電壓。第十三節(jié)功率因數(shù)的提高及有功功率的測量（2）從功率的角度分析，也可以證明，需并聯(lián)的電容器的電容量為上式中，P為感性負載的有功功率，ω為電源角頻率，U為電源電壓的有效值二、有功功率的測量第十三節(jié)功率因數(shù)的提高及有功功率的測量第十三節(jié)功率因數(shù)的提高及有功功率的測量三、最大功率傳輸

對于任意給定的一個線性含源二端網(wǎng)絡(luò)，總可以得到戴維南等效電路，可得負載獲得的平均功率為

若負載的RL、XL都可變，負載ZL從給定電源中獲得最大功率的條件是且負載的最大功率為

第十四節(jié)串聯(lián)電路的諧振一、諧振條件及特征

1.諧振條件:第十四節(jié)串聯(lián)電路的諧振2.特征

1）當(dāng)